2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)Word版含解析

12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2 019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( )A.{x |1<x <2}B.{x |1<x ≤2}C.{x |1≤x <2}D.{x |1≤x <4}答案 C解析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( )A.－15B.15C.30D.－30 答案 B解析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( ) A.②③ B.①③ C.①④ D.③④ 答案 C解析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵ n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种 B.54种 C.48种 D.24种 答案 D解析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A.p ＝q <v <rB.p ＝v <q <rC.p ＝v <r <qD.p <v <q <r答案 B解析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ， v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )，∴p ＝ v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴ r ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22 ＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n . ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意. ∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA ＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( )A.3B.4C.5D.6 答案 A解析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP 为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154 C.153 D.152答案 C解析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2a sin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C.13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .。