1你能证明它们吗(二)

角平分线 ? 如图,在△ABC中, 符号语言 ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 (三线合一).
2014年3月20日星期四
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本节课学些什么？
•等腰三角形还具有哪些重要的性质? •除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还 有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三 角形? 这就是本节课的学习的主要内容。
E
B
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D C
1 1 又∵∠1= ABC ，∠2= ACB (已知), 2 2
∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）, ∴ △BDC≌△CEB（ASA）. ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)
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证明两个角相等，我们往往证明这两 个角所在的两个三角形全等，这一性质为B 我们提供了除了用全等方法以外证明两个 角相等的另一个方法。 用这一方法的条件是：要证明这两个 角所对的边相等，从而证明角相等。
腰
顶角
腰
底角 底角 底边 A C
【性质定理 等腰三角形顶角的平分线、 的推论】 底边上的中线、底边上的高 互相重合。 (简称:“三线合 2014年3月20日星期四 一”)
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反证法证题范例
求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1, 那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
(用反证法来证)
证明:
假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,
即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
C
这里是一 个由特殊 结论归纳 出一般结 论的一种 数学思想 方法.
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两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
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等腰三角形的 判 定 定 理
2. 前面已经证明了“等边对等角”，反 过来，“等角对等边”吗? 即有两个角相等的角形是等腰三角形吗? 已知: 如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C. A 求证: AB=AC. 分析: 要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所 在的两个三角形全等就可以了. ′ 你是如何思考的? B C 请与同伴交流你的做法. 如：作BC边上的中线； 作∠A的平分线或作BC边上的高. 结论 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. 2014年3月20日星期四 这又是一个判定两条线 段相等的依据之一.
高
B
D
C
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”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换
A 【性质定理的推论】 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 图形语言 互相重合。 1 2 (简称:“三线合 符号语言 高线 ？ 一”) B C 如图,在△ABC中, D ∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知). 轮换条件∠1=∠2, ∴BD=CD,AD⊥BC (三线合一). BD=CD,AD⊥BC 中线 ？符号语言 可得三线合一的三种 如图,在△ABC中, 不同形式的运用. ∵AB=AC, BD=CD (已知). 左边方框中的的格式, ∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一). 以后可以直接运用.
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论证的新方法----反证法
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边 ” 定理可得∠B=∠C . 但已知条件是∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾, 因此,AB≠AC. A
C
B
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的 结果，从而证明命题的结论一定成立. 这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity) 反证法是一种重要的数学证明方法. 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. 你可要结识“反证法”这个新朋友噢!
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A Q P
B
C
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等腰三角形中的相等的线段(2)
议一议
1.已知:如图,在△ABC中, 1 1 ABC (1)如果∠ABD= , ∠ACE= ACB , 2 2 那么BD=CE吗? B 1 1 如果∠ABD= 3 ABC , ∠ACE= 3 ACB 呢? ′ 由此你能得到一个什么结论? 1 1 AC (2)如果AD= , AE= AB , 那么BD=CE吗? 2 2 1 1 AC 如果AD= , AE= AB 呢? 3 3 由此你能得到一个什么结论? 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. (3)你能证明得到的结论吗？ E A D
牛利刃不费磨刀功
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A 、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面 “∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这 个假定出发推下去，找出矛盾． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设 ∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 2.用反证法证明：
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实践观察猜想证明
画一画
先画一个等腰三角形, •然后在等腰三角形中作出一些线段 (如两个底角的角平分线、两条腰 上的中线、两条腰上的高线)， •你能发现其中一些相等的线段吗？ B A
小结
•你能证明你的结论吗？
C
•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较； A A •底角的两条平分线相等； A •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等。 E D
在一个三角形中, 至少有一个内角小于或等于600.
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作 业
P 9
习 题 1.2
1、 2 、 3 。
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谢
谢
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议一议
论证命题的新思维与新方法
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等. C 即 在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
想一想
A
B
你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?
小明 是这 样想 的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C, 此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对 等边”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此， AB≠AC. 你能理 解他的 证明过 程吗?
●● ●●
N
M
Q
P
B
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● ●
C
B
C B
C
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“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证 明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线. 求证: BD=CE. 证明: ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). A 图形语言
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“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明
证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
已知: 如图,在△ABC中,AB=AC,BM, CN是△ABC两腰上的中线. 求证: BM=CN.
证明: ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC= ∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵CM= AC , BN= AC (已知), 2 2 ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴ BM=CN (全等三角形的对应边相等) 2014年3月20 日星期四 B
大•课首 八年 级《 数 学(下)》 北 师北 大师 • 九年 级《 数 学(上 )》
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等腰三角形 知识回顾 【定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;
这一定义为我们提供了判定等腰三角 形的一个方法，即证明三角形的某两边相 等，即为等腰三角形。
A
【性质定理】 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角.
A N M C
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“等腰三角形两腰上的高相等”的证明
证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高. 求证: BP=CQ.
证明: ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC= ∠CQB=90o(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
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用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,
得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.
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