《解析几何》课题：圆的方程(一)(2课时)

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高中数学圆方程教案

高中数学圆方程教案
教学目标：
1. 掌握圆的一般方程和标准方程；
2. 理解不同参数对圆的位置、形状的影响；
3. 能够根据已知条件求解圆的方程。

教学内容：
1. 圆的一般方程和标准方程的表达；
2. 圆的圆心、半径和方程之间的关系；
3. 圆的位置、形状与参数之间的关系。

教学流程：
一、导入
教师引入圆的概念，讲解圆的定义及基本性质，激发学生对圆的兴趣。

二、讲解
1. 圆的一般方程和标准方程的表达形式；
2. 圆的圆心坐标和半径与圆的方程之间的关系；
3. 不同参数对圆的位置、形状的影响。

三、练习与实践
1. 给出不同圆的半径和圆心坐标，让学生求解圆的方程；
2. 给出圆的方程，让学生画出对应的圆图形。

四、总结与延伸
教师总结本节课的重点知识，并提出延伸思考题，拓展学生对圆方程的理解。

五、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生结合实际情况解决问题。

教学反馈：
教师根据学生的表现和作业情况，及时给予反馈与指导，以便学生及时纠正错误，提高学习效果。

教学资源：
1. 教科书《高中数学》；
2. PPT课件；
3. 相关练习题目。

教学评估：
通过课堂练习、作业表现以及考试成绩等多方面评估学生掌握情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高学习效果。

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小，则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16，展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0，比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.

高考数学一轮复习第八章解析几何第二节圆与方程(第2课时)系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与

第2课时系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系圆的方程求法[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧]1．确定圆的方程必须有3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．[针对训练]1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选C 由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.直线与圆位置关系的判断 [典例感悟]1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a |a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|2a 2＋2.再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1.而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交．法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．2．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切解析：选B 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，故直线l 与圆相切．3．直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233.[方法技巧]直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.切线问题[典例] 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] (1)由题意得圆心C (1,2)，半径长r ＝2. 因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. 因为|MC |＝3－12＋1－22＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.[方法技巧]求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程2方法几何法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出[提醒] 当点(x 0，y 0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况． [针对训练]1．(2019·陕西高三质检)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0，点M (－2,0)是圆C 外一点，则过点M 的圆的切线方程是( )A ．x ＋2＝0,7x －24y ＋14＝0B ．y ＋2＝0,7x ＋24y ＋14＝0C ．x ＋2＝0,7x ＋24y ＋14＝0D ．y ＋2＝0,7x －24y ＋14＝0解析：选C 将圆C 的方程转化为(x －2)2＋(y －3)2＝16，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然x ＋2＝0是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线7x ＋24y ＋14＝0的距离d ＝14＋72＋1449＋242＝4，所以选项C 满足，故选C. 2．(2019·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1， |－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.弦长问题[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1，2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|PA 2|＋|PB 2|＝12？若存在，求出点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22，|CM 2|＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，所以4＝2＋m22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12，点P 的个数为2. [方法技巧] 解决圆弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 2代数法若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2·x A ＋x B2－4x A x B ＝1＋1k2·|y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |[针对训练]1．(2019·丽水模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选B 设圆心为(a,0)(a ＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，即|a ＋2×0|12＋22＝1，得a ＝－5，所以所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π圆与圆的位置关系 [典例感悟]1．(2019·内蒙古赤峰模拟)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切解析：选A 圆O 1圆心坐标为O 1(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2圆心坐标为O 2(0,2)，半径r 2＝2，两圆心距|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5，因为2－1＜5＜2＋1，即r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，所以圆O 1与圆O 2相交，故选A.2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题意知，22－32＝1a，解得a ＝1.答案：13．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由题意可知，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得直线MN 的方程为x －y ＝0，所以B (－1,2)到直线MN 的距离为|－1－2|2＝322，线段MN 的长度为252－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝2，所以△BMN 的面积为12×322×2＝32.答案：32[方法技巧]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． [提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．。

(完整版)圆的一般方程教案(正式)

人教A版高中数学实验教科书选修2 —1 《圆的一般方程》教案4.2.1圆的一般方程•教学目的与要求一、知识目标：（1）理解记忆圆的一般方程的代数特征。

（2）掌握方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的条件。

二、能力目标：（1）能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。

（2）能应用待定系数法求圆的一般方程。

（3）能应用代入法求一般曲线的方程。

（4）培养探索发现及分析解决问题的能力。

三、情感目标：（1）培养学生勇于探索的精神。

（2）渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。

•教学重点圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤•教学难点圆的一般方程和代入法的掌握、应用•教学方法师生合作式探究诱导启发式教学•教学辅助多媒体教学平台CAI课件•教学过程与时间分配一、复习提问，引入课题二、探索研究，讲授新课三、例题讲解，对应练习四、课堂小结，反馈回授五、分层作业，巩固提高（3分钟）（22分钟）（16分人教A 版高中数学实验教科书选修 2 — 1 《圆的一般方程》教案教学基本内容设计意图 -2 -一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0), (1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识, 最后得出运用圆的知识很难解决问题。

因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。

于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课请同学们写出圆的标准方程： 2 2 2、 ,(x a) (y b) r 、圆心(a ， b)、半径 r这个方程就是圆的方程•反过来给出一个形如x 1 2 y 2 Dx Ey F 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2 y 2 Dx Ey F 0配方得： 2 2 2Do. E 2 D E 4F (x —) (y )-------------------4【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(2)

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所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.

《解析几何》课题：圆的方程(二)(1课时)

高三数学学案第19周第03次课题：圆的方程（二）（1课时总107课时）备课时间：2016年12月26日主备课人：检查人：上课时间：年月日知识与技能：能解决与圆有关的最值问题、直线与圆的对称问题。

过程与方法：通过实例，探索并掌握与圆有关的最值问题：斜率型，线性和距离的平方型的解决方法。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

与圆有关的最值问题题型一、与圆有关的最值问题1、已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x 求（1）xy的最大值和最小值；（2）x y -的最大值和最小值；（3）22y x +的最大值和最小值练习：求实数y x ,满足()4422=++y x ，则()()2211-+-y x 的最值题型二、直线与圆的对称问题1、圆044222=-+-+y x y x 关于直线2=x 对称的圆的标准方程是__________________ 练习： 1、圆C ：⎩⎨⎧+-=+=θθsin 42cos 43y x ，（θ为参数）的圆心坐标为______，半径为______（1）和圆C 关于直线0=-y x 对称的圆的普通方程是_______________________（2）和圆C 关于直线0=+y x 对称的圆的普通方程是_______________________（3）和圆C 关于直线01=+-y x 对称的圆的普通方程是_______________________（4）和圆C 关于直线01=++y x 对称的圆的普通方程是_______________________。

圆与方程教案

高三数学问题导学教学案例——圆与方程课题：圆与方程课时安排： 2 课时一、复习目标：圆与方程了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程四、知识回顾： 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.探究1：过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 探究2：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222，解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a .练习巩固：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l . （1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.解：（1）∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，此时21=-=PCl k k ，∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？例3、基础训练：已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(. 练习巩固：若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、基础训练：判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，并画出图形.探究1：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(22=++y x 的圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.探究2：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--. 练习巩固：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.解：设所求圆的圆心为),(1b a O ，则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴131OO OP =，∴),(31)2,1(b a =-，∴6,3=-=b a ，∴所求圆的方程为20)6()3(22=-++y x .问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？例5、基础训练：已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.探究1：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .探究2：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，则325min=-=-=r OC OP，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.练习巩固：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 解：（1）设k x y =--21，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由1122=+k k ，解得33±=k ，∴21--x y 的最大值为33，最小值为33-. （2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由151=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值为51+，最小值为51-.问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？例6、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.探究1：已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.探究2：由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ；当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.问题导学七：圆中动点的变化，带来求其轨迹方程的方法是什么？例7、基础训练：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.探究1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 探究2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化”，来解决问题？例8、基础训练：某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？探究1：某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b . ∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈.故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.探究2：据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h .（结果精确到0.1h ）解：以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是x y -=，受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x .依题意有222250)300(≤+--a a ，解得14251501425150+-≤≤--a .∴6.64014502402,0.240142515024021211≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t .∴从现在起经过约2.0h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6h .练习巩固：有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费A 地是B 地的3倍.已知A 、B 两地的距离是10km ，顾客购买这种商品选择A 地或B 地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则)0,5(-A ，)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为a 元km /，则PB a PA a =3，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得222)415()425(=++y x .∴A 、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(-为圆心，415为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去A 地购货，在曲线外的居民选择去B 地购货，在曲线上的居民去A 、B 两地购货均可.六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习八、教学反馈：问题导学法通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取和运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的三个基本特征是：①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者，解决问题过程的指导者，学生学习的鼓励者.在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益的提高.使“双案制”教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.。

圆的标准方程

§2.3.1 圆的标准方程（1课时）一、本节教材整体结构分析：圆作为常见的简单几何图形，圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形。

研究问题的方法与以前不同，这就是坐标法圆的方程是我们在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学习解析几何的时间还不长，且对坐标法的运用还不是很熟练，因此要加强学习，体会数形结合的美妙。

关注圆的标准方程与圆的一般方程的统一。

二、本节需要搞清楚的问题：1．理解圆（图形）与圆的标准方程之间的关系。

2.圆心C （a ，b ），半径为r 的☉C 的方程的含义:① ；② 。

3.圆的标准方程：①圆心C （a ，b ），半径为r 的☉C 的标准方程；②圆心C （0，0），半径为r 的☉C 的标准方程。

4.圆的两个要素是和；确定圆的方程需要确定个参数。

5.怎样用解析法判断点与圆的位置关系？6.如何利用待定系数法求圆的标准方程？三、本节典型例题分析：【例1】根据下列条件，求圆的方程。

（1）已知：)2,1(A ，)4,5(B ，求以AB 为直径的圆的方程。

（2）圆心在点（1,3），并与直线3460x y --=相切。

（3）过点（0，1）和点（2，1）说明：圆心和半径是圆的两要素，解题关键是确定这两要素即可写出圆的方程。

例2、（书p94）求过点(6,0)A 和(1,5)B 且圆心在直线l 的方程：2780x y -+=的圆的方程。

例3、课本p95【例3】改编赵州桥的跨度约为37m ，圆拱高约为7m ，① 求这座圆拱桥的拱圆方程②若水面上升后圆拱高度为6m 求此时水面上的拱桥跨度。

四、本节相关练习【A 组】基本题落实基础1. 以点)4,3(-为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（）（A ）16)4()3(22=++-y x （B ）16)4()3(22=-++y x（C ）9)4()3(22=++-y x （D ）9)4()3(22=-++y x2. 若直线0=++m y x 与圆m y x =+22相切，则m 为（）（A ）0或2 （B ）2 （C ）2 （D ）无解3.圆20)2()1(22=++-y x 在x 轴上截得的弦长是（）（A ）8 （B ）6 （C ）26 （D ）344.已知：点)3,1(P 和)2,2(-Q 直线l 的方程：03=--y x ，求过点P 和Q 且圆心在l 上的圆的方程。

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(1)

所以 r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
类型二点与圆的位置关系
[例 2] 如图，已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3)． (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
方法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－－11 ＝－1，所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)，即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y －2＝0 的交点，
由yx＝＋xy，－2＝0，得xy＝＝11，，即圆心为(1,1)，圆的半径为
1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解．
A．(－4,3) B．(－5,4) C．(－5,5) D．(－6,4)
解析：由 a2＋(a＋1)2<25，可得 2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3. 答案：A
3．已知圆 C 经过 A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________．
解析：因为圆心在 x 轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又因为 A(5,2)，B(－1,4)在圆上．所以5－－1a－2a＋24＋＝1r62＝r2，解得 a＝1，r2＝20. 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20. 答案：(x－1)2＋y2＝20

解析几何专题-圆的方程

圆心坐标与半径求法
圆心坐标
对于标准方程，圆心坐标为$(a, b)$；对于一般方程，圆心坐标为$left( frac{D}{2}, -frac{E}{2} right)$。
半径求法
对于标准方程，半径$r = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$；对于一般方程，半径$r = frac{1}{2}sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}$。
已知三点求圆方程
• 设三点为$A(x{1}, y{1}), B(x{2}, y{2}), C(x{3}, y{3})$，则圆方程可表示为
已知三点求圆方程
$$ begin{vmatrix}
x^{2} + y^{2} & x & y & 1
已知三点求圆方程
x_{1}^{2}
+
y_{1}^{2} & xห้องสมุดไป่ตู้{1} &
圆与圆的位置关系
04
圆与圆外离和内含
圆与圆外离
两圆心之间的距离大于两圆半径之和，即$d > R + r$。
VS
圆与圆内含
一个圆位于另一个圆的内部，即$R - r < d < R + r$，其中$d$为两圆心之间的距离， $R$和$r$分别为两圆的半径。
圆与圆外切和内切
圆与圆外切
两圆有且仅有一个公共点，且该点位于两圆的外部，即$d = R + r$。
圆的综合应用举例
06
涉及圆的证明题解法举例
利用圆的定义进行证明
01
通过证明某点到圆心的距离等于半径，从而证明该点在圆上。
利用圆的性质进行证明

解析几何4.1.1圆的标准方程.ppt

⒊ y sin x
?
y sin(x )
y Asinx
方法1: 先平移后伸缩
y
y=3sin(2x+ )③
3
3
2
1
o
36
3
-１
-2 -3
y=sinx
5
5
3
2
x
6
y=sin(x+
)①
3
y=sin(2x +
)②
3
函数 y=sinx （1）向左平移 3
y=sin(x+
)
的图象
3
1
（2）横坐标缩短到原来的 2 倍纵坐标不变
先平移后伸缩函数ysinxysinx3横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y3sin2x纵坐标不变2横坐标缩短到原来的函数ysinxysinx3纵坐标伸长a1或缩短0a1到原来的a倍横坐标不变yasinx1向左0或向右个单位2横坐标缩短原来的倍纵坐标不变ysinxy3sin2x先伸缩后平移3横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y3sin2x向左平移函数ysinx3横坐标不变纵坐标伸长a1或缩短0a1到原来的a倍yasinx函数ysinxysin原来的倍纵坐标不变2向左0或向右平移个单位通过一系列的变换
y=sin(2x+ ) 的图象
3
（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ 3 )的图象
方法1:先平移后伸缩一般规律
（1）向左( >0)或向右( <0)
函数 y=Sinx
y=Sin(x+ ) 的图象
平移| |个单位
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
原来的1 倍，（纵坐标不变）

圆的标准方程说课稿(精品模板)

圆的标准方程说课稿圆的标准方程说课稿1【一】教学背景分析1. 教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3.教学目标(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4. 教学重点与难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.2.学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程.下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.首先：纵向叙述教学过程(一)创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题________于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.(二)深入探究——获得新知问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为几的圆的方程?2.如果圆心在，半径为__时又如何呢?这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.(三)应用举例——巩固提高I.直接应用内化新知问题三 1.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径为3;(2)经过点，圆心在点2.写出圆的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II.灵活应用提升能力问题四1.求以点为圆心，并且和直线相切的圆的方程.2.求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.3.已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗?已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是什么?我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III.实际应用回归自然问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到0.01m).我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.(四)反馈训练——形成方法问题六1.求过原点和点，且圆心在直线上的圆的标准方程.2.求圆过点的切线方程.3.求圆过点的切线方程.接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.(五)小结反思——拓展引申1.课堂小结把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为，半径为r 的圆的标准方程为;圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：2.分层作业 (A)巩固型作业：教材P81-82：(习题7.6)1，2，4.(B)思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程.3.激发新疑问题七1.把圆的标准方程展开后是什么形式?2.方程表示什么图形?在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计：横向阐述教学设计(一)突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破。

解析几何中圆的标准方程教案

解析几何中圆的标准方程教案4.1.1 圆的标准方程教案单位:林州市第四中学学科:高中数学姓名:李庆军4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．【教学重点】圆的标准方程．【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．【教学方法】启发、引导、讨论．【教学过程】一、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为，半径为（其中、、都是常数，）．设为这个圆上任意一点，那么点满足的条件是（引导学生自己列出）,由两点间的距离公式让学生写出点适合的条件①化简可得：②引导学生自己证明为圆的方程，得出结论．若点在圆上，由上述讨论可知，点的坐标适用方程②，说明点与圆心的距离为，即点在圆心为的圆上．所以方程②就是圆心为,半径为的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．三、例题解析例1：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点,是否在这个圆上．分析：可以从计算点到圆心的距离入手．点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外（2），点在圆上（3），点在圆内解：圆心是半径长等于5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．例2：的三个顶点的坐标是,求它的外接圆的方程．师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定、、三个参数．（学生自己运算解决）（外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点．）解：设所求圆的方程是．①因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是解此方程组，得所以的外接圆的方程是．例3：已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为的圆经过点和,由于圆心与，两点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线的交点，半径长等于或．解法1：因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率．因此线段的垂直平分线的方程是，即．圆心的坐标是方程组的解．解此方程组，得所以圆心的坐标是圆心为的圆的半径长．所以圆心为的圆的标准方程是．解法2：设所求圆的方程为．由题意得解得所以所求圆的方程是．总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于、、的方程组，解方程组得到、、得值，写出圆的标准方程．②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．四、课堂练习1、根据下列条件，求圆的方程．（1）圆心在点，并且过点；（2）圆心在点，并与直线相切；（3）过点和点，半径为．2、求过点,且圆心在直线上的圆的方程．五、课堂小结1、圆的标准方程．2、点与圆的位置关系的判断方法．3、根据已知条件求圆的标准方程的方法．。

苏教版高中数学必修二课件《解析几何初步》圆的标准方程教学.pptx

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
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4
用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
据圆的定义有|MC|=r
由距离公式，得
y
C
M
．r
两边平方，得
O
x
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5
圆的标准方程
特点：
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
y
14.52-(-2)2-10.5 ≈14.36-10.5=3.86(m)
答20：20/支4/23柱A2P2的长度约重为庆市3涪.陵8实6验m中。学
x
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例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
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(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在直线x＋2y＝0上．
3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1 ＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．
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4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点 A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
4
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2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件 ,即a、b、r.
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为
x +y =r 20220/4/223 2
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6
练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在圆点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)

高中数学第二章解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程课件1高一数学课件

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典型例题 (diǎnxíng) 例2 过点M(-1,1)且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+6y-3=0相同(xiānɡ
tónɡ)的圆的方程
解法一:将已知圆的方程(fāngchéng)化为标准方程
(fāngchéng)
(x-2)2+(y+3)2=16,
圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,
由于 a, (yóuyú) b, r均为常数令 - 2 a = D ,- 2 b = E ,a 2 + b 2 - r 2= F
结论：任何一个圆方程(fāngchéng)可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如以上方程所表示的曲线，都是圆呢？
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(x-4)2+(y+3)2=25
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
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[小结]: 注意:求圆的方程(fāngchéng)时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般(yībān)采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般(yībān)方程用待定系数法求解.
2 .方法(fāngfǎ)总结：
运用了配方法、公式法、待定系数(xìshù)法解题；
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内容(nèiróng)总结
圆的一般方程(fāngchéng)。方程(fāngchéng)x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件：。求圆的方程(fāngchéng)时,若已知条件与圆心和半径没有直接关系,则设一般方程(fāngchéng)。因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．。

圆的方程集体备课

一、教学内容：1范围：数学必修2，课本78—86页。

2.课时划分：§2圆与圆的方程§2.1圆的标准方程---------1课时。

§2.2圆的一般方程---------1课时§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系-------2课时。

二课标要求：1. 回顾确定圆的几何要素，通过具体的实例，探索并掌握圆的标准方程，可以根据圆的标准方程找出圆心与半径，并能由条件写出圆的方程。

2. 理解记忆圆的一般方程的代数特征，掌握用待定系数法求圆的一般方程，并能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．3. 了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；理解“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d 与半径r 的数量关系”的对应关系，从而实现“形”到“数”的转化，掌握方程组解的个数与直线与圆的位置关系的联系，实现“数” 到“形”的转化。

4. 掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。

三、重点要求：§2圆与圆的方程§2.1圆的标准方程1. 圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.2. 圆的标准方程的求法与应用.§2.2圆的一般方程1. 圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=. 2. 圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤.§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系:1.能根据给定的直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.圆与圆的五种位置关系、性质和判定的探究及应用。

3.培养学生“数形结合”的意识。

四、难点分析：§2.1圆的标准方程：1.利用圆的标准方程解决与圆有关的问题。

§2.2圆的一般方程1. 圆的一般方程220++++=x y Dx Ey F2.待定系数法的掌握、应用。

§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系：1.直线与圆的位置关系的应用2.根据方程组解的情况判断直线与圆位置关系，3.如何得出两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量关系。