Laboratório VISGRAF Instituto

Laborat´orio VISGRAF Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada

Caixas Orientadas Envolventes na Verificacao de Objetos

Luis A.Rivera,Paulo C.Carvalho,Luiz Velho

T echnical Report TR-02-05Relat´orio T´ecnico

May-2002-Maio

The contents of this report are the sole responsibility of the authors.

O conte´udo do presente relat´orio´e de´unica responsabilidade dos autores.

Caixas Orientadas Envolventes na Verifica¸c˜a o de

Contatos

Luis A.Rivera†,Paulo C.Carvalho‡,Luiz Velho‡

†CCT-Laborat´o rio de Matem´a ticas,

Universidade Estadual do Norte Fluminense-UENF, Av.Alberto Lamengo,2000,Campos dos Goytacazes,RJ,Brasil

rivera@uenf.br

‡IMPA-Instituto de Matem´a tica Pura e Aplicada Estrada Dona Castorina,110,22460Rio de Janeiro,RJ,Brasil

{pcezar,lvelho}@visgraf.impa.br

Abstract

A determina¸c˜a o de pontos de interse¸c˜a o e contatos entre fronteiras

de objetos n˜a o´e uma tarefa simples.Uma forma de facilitar essa

opera¸c˜a o usa-se estruturas hier´a rquicas para issolar rapidamente os

peda¸c os de segmentos em poss´ıvel interse¸c˜a o,parafinalmente se com-

putar localmente os pontos de contato.Neste trabalho formula-se um

novo m´e todo de representa¸c˜a o em estrutura hier´a rquica de caixas ori-

entadas envolventes adaptado e ajustadamente de segmentos de fron-

teiras de objetos definidos por curvas B-splines c´u bicas fechadas com

perturba¸c˜o es.Cada par de caixas adjacentes de um n´ıvel define uma

outra caixa orientada.Cada caixa´e computada de forma adatada e

ajustada aos segmentos de fronteira do objeto usando-se indicadores

estat´ısticos de segunda ordem.O resultado computacional,em an-

ima¸c˜o es de objetos r´ıgidos de geometria complexa em computa¸c˜a o

gr´afica,mostra que o m´e todo formulado´e eficiente comparado com

outros m´e todos existentes.

Key words:Detec¸c˜a o de contatos,interse¸c˜a o de curvas,interferˆe ncia

entre objetos,´a rvore bin´a ria,caixas orientadas.

1Introdu¸c˜a o

A Simula¸c˜a o no computador de um peda¸c o do universo demanda a an´a lise de uma serie de casos.Por exemplo,os objetos que se movimentam ou est˜a o em repouso requerem,entre outros casos,a an´a lise de contatos e interse¸c˜o es (interferˆe ncias).Os algoritmos que detectam essas interferˆe ncias s˜a o agru-pados em duas abordagens:estruturadas e compara¸c˜a o direta.As estrutu-radas requerem de espa¸c os adicionais para se definir estruturas hier´a rquicas

1

CAIXAS ORIENTADAS ENVOLVENTES2

[Hubbard,1995],[Gottschalk et al,1996],mas otimiza o tempo na detec¸c˜a o

de interferˆe ncias.Na compara¸c˜a o direta,aproveitam-se as caracter´ısticas

geom´e tricas do objeto para verificar suas proximidades[Hahn,1988],[Moorre e Wilhelms,1988], [Baraff,1992],[Kamat,1993],[Lin,1994];n˜a o usa espa¸c os adicionais,mas

em alguns casos as compara¸c˜o es geom´e tricas s˜a o demoradas e imposs´ıveis

de serem usados em aplica¸c˜o es em tempo real.

Os atributos polinomiais dos objetos s˜a o fundamentais de detec¸c˜a o de in-

terferˆe ncias existentes.Assim,o algoritmo incremental[Lin,1994]detecta

interferˆe ncias usando os espa¸c os Voronoi definidos por v´e rtices,arestas e

faces dos objetos.Interferˆe ncias por interse¸c˜o es baseadas nos m´e todos Clip-

ping e proje¸c˜o es dos atributos poligonais dos objetos[Hahn,1988],[Moorre e Wilhelms,1988]

e[Kamat,1993].A t´e cnica da testemunha[Baraff,1992]usa planos de sep-

ara¸c˜a o definida pela combina¸c˜a o de faces,arestas e v´e rtices dos objetos

convexos.A´a rvore esfera[Hubbard,1995]´e a´a rvore de caixas orientadas

[Gottschalk et al,1996]definem estruturas hier´a rquicas cobrindo recursiva-

mente segmentos poligonais do contorno do objeto.Todos esses m´e todos

n˜a o suportam objetos de geometria complexa e com perturba¸c˜o es1n˜a o ho-

mogˆe neas nos seus contornos.

Um m´e todo h´ıbrido das duas abordagens pode ser apropriado para a de-

tec¸c˜a o de interferˆe ncias entre objetos com perturba¸c˜o es nos seus contornos.

Para este objetivo,na Se¸c˜a o2´e formulada uma vis˜a o de uma arquitetura

de anima¸c˜a o enfatizando a parte de detec¸c˜a o de interferˆe ncias.A Se¸c˜a o

3aborda as estruturas hier´a rquicas,em particular a gera¸c˜a o da´a rvore de

caixas orientadas.Na Se¸c˜a o4,formaliza-se a detec¸c˜a o de interferˆe ncias

dos objetos.Na Se¸c˜a o5,apresentam-se os resultados e discus˜o es da imple-

menta¸c˜a o do m´e todo formulado;efinaliza-se na Se¸c˜a o6com as conclus˜o es

respectivas.

2Arquitetura geral de uma anima¸c˜a o

Uma arquitetura geral de uma anima¸c˜a o´e composta por trˆe s segmentos:

modelagem dos elementos da cena,simula¸c˜a o do movimento,e apresenta¸c˜o es

e controles.

2.1Objetos de geometria complexa

Os objetos do universo tˆe m geometria complexa e n˜a o aproxima¸c˜o es polig-

onais;eles tˆe m detalhes ou rugosidades irregulares em seus contornos.

Considera-se,para efeitos de valida¸c˜a o do m´o dulo formulado neste tra-

balho,objetos em2D de contornos definidos por curvas B-splines c´u bicas

peri´o dicas e cont´ınuas[Rogers e Adams,1990].Um objeto pode ser definido

por n pontos de controle,C={c i}i=0,...,n,os que geram n segmentos da 1Irregularidades do detalhe que definem as rugosidades do contorno