中南财大微积分下.

院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________
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中南财经政法大学2005–2006学年第二学期
期末考试试卷标准答案及评分标准
课程名称：《 微积分 》 （B ）卷
课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试
使用对象：全校各经济、管理专业
一．填空题（每题2分） 1.1
e θ-= 2. ,x t 3.
1
n n u ∞
=∑的部分和数列有界 4. 0 5.
4
π 6. z x z
+ 7. 15π 8.
2110
1(,)y y
dy f x y dx +-⎰
⎰
9. 3412x y c e c e -=+
二．判断正误并说明理由
1．对。

（2分）反证法。

若不然，存在[]0,x a b ∈，使得0()0f x ≠
由()f x 在[],a b 上连续，2
0()0f x >。

因此存在[][],,a b αβ⊆，使得()()22
00()
,,(),2
f x x f x x αβαβ∈>
∈（4分）
于是
22
2
0()
()()()02
b a
f x f x dx f x dx βα
βα≥>->⎰
⎰
这与假设矛盾。

（5分）
2．错。

（2分）如22222
220()00
x y x y f x x y x y ⎧+≠⎪
=+⎨⎪+=⎩
（4分）
在原点连续但不可微分。

（5分）
3．错。

（2分）反例111(1)n
n n n u n ∞
∞
===-∑∑收敛。

其偶数项组成的级数11
2n n
∞
=∑发散。

（5分）
4．错。

（2分）令u xy
v x y
=⎧⎨
=-⎩
得 2
(,)2f x y x y =+（4分）
所以 (,)(,)2(1)x y f x y f x y y ''+=+（5分） 三．计算题
1. 原式4
4
20
01tan (3)2cos 2
x dx xd x x π
π
==⎰⎰分 4
4
0011sin tan |(4)22cos x x x dx x
ππ
=-⎰分 4
011
cos (5)82cos d x x
ππ=+⎰分
1ln (8)822
π
=
+分 2．原式1
1arctan ()xd x +∞=-⎰
00
11arctan (arctan )x d x x x +∞
+∞⎡⎤
=-+⎢⎥⎣⎦⎰(3分)
211
(01)(5)
4
(1)
dx x x π
+∞
=-+⨯++⎰分221
1
11()ln ln(1)(6)4
142x x x x x π
π+∞
+∞⎡⎤=
+-=+-+⎢⎥+⎣⎦⎰
分1
ln 242
π
=
+(8分) 3．
1
()(),z f x x y y f y x y y x
ϕϕϕϕ∂''''=+++=+++∂（4分）
2()()()z
xf xy x y y x y x y
ϕϕ∂'''''=++++∂∂（8分） 4．211200sin sin sin (4)()(7)y y D
y y y dxdy dy dx y y dy y y y ==-⎰⎰⎰⎰⎰分分 1sin1(8)=-分 5．将方程 2
(sin cot )1y x y y '+=变形为
2cot sin dx
y x y dy
-=（3分） 所以cot cot 2sin (6)sin (cos (8)ydy ydy
x e ye dy C y y C ---⎡⎤⎰
⎰=+=-+⎢⎥⎣⎦
⎰
分分 四．1．解：设切点的横坐标为0x ，
则曲线ln y x =在点()00,ln x x 处的切线方程是000
1
ln ()y x x x x -=
-(3分） 由该切线过原点知0ln 1x =，从而0x e = (4分)
所以切线方程为x
y e
=
（6分） 1
()12
y e
A e ey dy =-=
-⎰（8分） 2．解：总利润函数为
2212(25)(18)(12)(225)216105L R C p x p y z x x y y x y x y x y =-=+-+=-+--++=--++-（3分）
41602100x
y L x L y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩40x y =⎧⇒⎨
=⎩
（6分） 则12
10(7(p p =⎧⎨=⎩万元/t)
万元/t)（7分）
所以52L =（万元）（8分）
五．证明：1230n u u u u <≤≤≤
≤≤
且{}n u 有界
所以{}n u 收敛且有 11111
01n n n n n n n n n u u u u u
v w u u u ++++--<=-=≤=（3分） 考察
n w
∑
因为11111
111111
()()N
N n n N n n N n n u u S u u u u u u u +++==-==-=-∑∑ ，lim N N S →∞存在（5分） 所以
n
w
∑收敛
所以
n
v
∑收敛。

（6分）
院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________
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1,2,
），若n +∞=∑
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中南财经政法大学2006–2007学年第二学期
期末考试试卷标准答案及评分标准
课程名称：《 微积分（下）》 （A ）卷
课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试
使用对象：全校财经类各专业2006级
一、填空： 1、0； 2、
22
-+ydx xdy
x y
； 3、{}0； 4、18； 5、∞； 6、1101(,)x dx f x y dy -⎰⎰； 7、1
1x
+；
8、π； 9、
12
π
-； 10、x y e e C -= 二、判断正误并说明理由：
1、错 （1分） 令，u xy v x y ==-，
∂''=+∂u v z
yf f x
（4分）
2、错 （1分）
如211
，n n u v n n
=-=
（4分）
3、错 （1分） 广义积分30
x dx +∞=+∞⎰
（4分）
4、正确 （1分）
当x < 0时，x dt x F x
-=-=⎰0)1()(；
当x > 0时，x dt x F x
==⎰0
1)(，
当x = 0时，F (0) = 0.
即F (x ) = |x |，
显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. （4分）
三、解答下列各题：
1、原式=20
cos ()x
xd e π
--⎰20
1sin x e xdx π-=-⎰
（3分）
2
20
1cos x e e xdx π
π-=+-⎰
（6分）
故原式21
2
e π
+=
（7分） 2、令21x θ-=，2dx d θθ=，
（1分）
原式02
1lim εε
→+=⎰
（3分）
201
lim d εθθ→=
（5分）
8
3
= （7分） 3、画草图（略）
（1分）
.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以
10
d d D
x y y x =⎰⎰
（4分）
()3
12
2
021d 3=--⎰y
y xy y y
（6分）
12022
d 39
==⎰y y （7分） 4、利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
方法一、
22(4)8,∂'=-⋅∂z f x y x x ，22(1,2)
(1,2)
(4)84∂'∴=-⋅=∂z
f x y x
x
（3分）
()()
2222(1,2)
(1,2)
(4)2,(4)22∂∂''=-⋅-∴=-⋅-=-∂∂z z f x y y f x y y y y
， （6分）
()
()()
1,21,21,2d d d 4d 2d ⎡⎤∂∂∴=+
=-⎢⎥∂∂⎣⎦
z
z z
x y x y x
y
. （7分） 方法二、对()224z f x y =-微分得
2222d (4)d(4)'=--z f x y x y （3分）
()22(4)8d 2d '=--f x y x x y y （6分）
()
()1,2d (0)8d 2d 4d 2d '∴=-=-z
f x y x y . （7分）
5、令21
2n n u nx
-=
()2122
1212222lim lim lim 22n n n n n n n n x u n x x u nx n ++-→∞→∞→∞++=== （2分） 22
1111x x x x ∴<< >>即时，级数收敛；
即时，级数发散；
()1
1
1212n n x n x n ∞
=∞
==--=∑∑时,级数发散;
时,级数发散.
()1,1∴-收敛域为 （4分）
()21,1,1n x x x x x
=+++++
∈--1
1
()24
222
01,1,1n
n n x x x x x x
∞
==+++++
= ∈--∑11 （6分）
()()()21
222211
122,1,111n n
n n x nx
x x x x ∞
∞
-=='⎛⎫'∴===∈- ⎪-⎝⎭-∑∑ （7分） 6、2
2032
5
x V y dx ππ==
⎰ （4分） 4
420
28y V dy ydy πππ=-=⎰⎰
（7分）
7、解: sin (cos )y dx
y x e dy
-= (*) （2分） 解
(cos )0dx
y x dy
-= 得 sin y x ce = （4分） 令sin ()y x c y e =并代入(*)得:
sin sin ()y y c y e e '= ()c y y c =+ （6分）
原方程的通解为: sin ()y x y c e =+ （7分）
五、应用题：
1.5U V +=
拉格朗日函数(，，)( 1.5)L U V R U V λλ=++-
（3分）
000L U L
V L λ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪=⎪∂⎩
（6分）
01.52U V λ=⎧⎪
⇒=⎨⎪=-⎩
（9分） 六、证明题
证明：作辅助函数()()()x
b
a
x
F x f t dt g t dt =⎰⎰ （2分）
由于(),()f x g x 在[],a b 上连续，
所以()F x 在[],a b 上连续，(),a b 内可导，并有()()0F a F b == 由罗尔定理有，()()0,,F a b ξξ'=∈ （4分）
即 ()()|()()()()0x
b b x a x a x f t dt g t dt f g x dx g f x dx ξ
ξξξξ='⎡
⎤=-=⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰⎰⎰
所以
()()()
()ξξξξ=⎰⎰a
b
f x dx f
g g x dx （6分）
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2,
)，若1
n ∞=∑
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中南财经政法大学2006–2007学年第二学期
期末考试试卷标准答案及评分标准
课程名称：《 微积分（下） 》 （B ）卷
课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试
使用对象：全校财经类各专业2006级
一． 1.1
3
2.
11p - 3. 12
π
- 4. [-1, 1) 5.12 6.
22
1
()1ydx xdy x y ++
7. 发散 8. 2
x y ce =
9.
e -3
ln 3
10．π
二．1．错。

（1分）
2
1lim
lim
2
a a a xdx xdx x +∞+→+∞
→+∞===+∞⎰
⎰
发散 （4分） 2．错。

（1分）
令，u xy v x y ==-，
∂''=-∂u v z
xf f y
（4分） 3．错。

（1分）
如11()n n ∞
=-∑发散，211
1n n ∞
=+∑收敛。

（4分）
4．对。

（1分）
被积函数为奇函数。

（4分）
三．1．原式3211
(ln )|3
(ln )e e
x x x dx =-⎰
（3分）
211
1
1
3[(ln )|2
ln ]3[2(ln |)]e e
e e
e x x xdx e e x x dx =--=---⎰
⎰ （6分）
3[2(1)]62e e e e e =---+=- （7分）
2．解
dx e
x x x
⎰
--+1
1
)(=dx xe
dx e
x x
x
⎰⎰----+1
1
1
1
（1分）
=
dx e
x x
--⎰
1
1
（3分）
=⎰
⎰
---=1
1
022x
x
xde
dx xe （5分）
=][21
10
dx e xe
x x
⎰---- （6分）
=)21(21
--e . （7分）
3．由已知条件可得
)()(2y x
f x y f x
y x g '+'-=∂∂， （1分） )(1)()(242322y x
f y y x f x
y x y f x y x g ''+''+'=∂∂， （3分）
)()()(1y
x
f y x y x f x y f x y
g '-+'=∂∂， （4分） )()()()(13222222y x
f y
x y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂， （6分） 22
2
222g g x y x y
∂∂∴-∂∂ =
)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f x
y ''-''- =).(2x
y
f x y ' （7分）
4．解: (图形略) （1分）
dy dx =
⇒212x y ='= （3分） 切线方程为 22x y =- （4分）
22014
((22))23
S y y dy =--=⎰ （7分）
5. 方程可化为
x e x y x
dx dy 22
=-. （1分） 这是一阶非齐次线性方程, 其中
x
x p 2)(-=, 2()x q x x e = .
由通解公式得通解
])([)()(c dx e x q e
y dx
x p dx
x p +⎰
⎰
=⎰-
][)2
(2)2(c dx e e x e dx x x
dx
x
+⎰⎰
=⎰---
2()x x e C =+. （5分） 由10x y ==, 得c =-e .
所求特解为2()x y x e e =- （7分）
6、 (图形略) （2分）
2
2
10
1
11
(1)
2
y
y y dy e dx
ye dy
e ---= = =-⎰⎰⎰原式 （7分）
7、
(1)(2)
lim |
|1(1)
n n n n n →∞
++=+, （1分）
所以幂级数的收敛半径R =1. （2分）
又当x =-1及x =1时幂级数分别成为
∑∞
=+-1
)1()1(n n n 和∑∞
=+1
)1(n n n , 它们都发散, 所以幂级数的收敛区间为(-1, 1).
（4分）
设∑∞
=+=1
)1()(n n
x
n n x S , 则当x ∈(-1, 1)时
])([][][
)(1
21
1
2
1
1
''='='=∑∑∑∞
=∞
=-∞
=+n n n n n n x x nx
x
nx
x S
])1(1[])111([222'-=''--=x x x x 3
)1(2x x -=. （7分）
四．
解：要求目标函数(,)f x y 在约束条件150********x y +=下的最大值
314
4
(,)100(50000150250)L x y x y x y λ=+-- （3分）
1144
3344751500
25250015025050000x y L x y L x y x y λλ--⎧'=-=⎪⎪⎪'
=-=⎨⎪+=⎪⎪⎩
（6分） 250
50
x y =⎧⇒⎨
=⎩ 这是目标函数在定义域内 的唯一可能极值点，故此时获最大利润。

（9分） 五．证明：作辅助函数()()()x b
a
x
F x f t dt g t dt =
⎰
⎰ （2分）
由于(),()f x g x 在[],a b 上连续，
所以()F x 在[],a b 上连续，(),a b 内可导，并有()()0F a F b == 由罗尔定理有，()()0,
,F a b ξξ'=∈ （4分）
即 ()()|()()()()0x b b x a x a x
f t dt
g t dt f g x dx g f x dx ξ
ξξξξ='⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 所以 ()
()()()b a
f g x dx g f x dx
ξ
ξξξ=⎰⎰
（6分）。