数学选修2-2互动课堂 2.1.1合情推理第二课时含解析精品

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数学选修2-2 2.1 2.1.1 合情推理

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()[答案](1) ×(2)×(3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．[解析]类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)．[答案]b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)4．如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n ＝________(n>1，n∈N*).图2-1-1[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．[答案]153n－3[合作探究·攻重难](1)12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式． [解析] (1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x，根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．[规律方法]进行数、式中的归纳推理的一般规律1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式. [跟踪训练]1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________.[解析] 因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜测x ＝64＋1＝65. [答案] 65 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．[答案] 43n (n ＋1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．①②③④图2-1-3[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509[规律方法]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[跟踪训练]3．如图2-1-4，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图2-1-4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根.[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．[答案]163n＋1[探究问题]三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．[思路探究] (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解析] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有n b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .[答案]nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图2-1-5所示)性质的猜想．图2-1-5[解] 如图所示，在四面体P －ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立”．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解] 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.下面证明上述猜想成立．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．[规律方法]类比推理的一般步骤[当堂达标·固双基]1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A．r22B．l22C．lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()图2-1-611 A.B.△C.D.○A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.[答案] b 4＋b 8>b 5＋b 74．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)25．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P - A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

数学人教B选修2-2学案：第二章1 合情推理含答案

数学人教B选修2-2第二章2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是()．A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。

【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()．A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin240°＋sin220°＋sin40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是()．A．sin2α＋sin2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝3 4B．sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝3 4C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案：基础知识·梳理1．(1)前提结论 (2)可能【做一做1】B2．(1)归纳推理归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物类比推理类比【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得， b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p ， b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ，所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．32 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x ＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。

高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(2)》

教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤． 3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有．3. 归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5．222233＋＝，333388＋＝，44441515＋＝，…，66a a b b＋＝（a ，b均为实数），请推测a ＝ b ＝．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：实验，观察概括，推广猜测一般性结论四、数学运用例1 （G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆弦大圆直径周长表面积圆面积球体积五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx nya m n＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。

数学苏教版选修2-2互动课堂2.1.2演绎推理含解析

互动课堂疏导引导1。

演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式。

演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示:M —P （M 是P ） )()(M -S P S P S M S 是是三段论推理的根据，用集合论的观点来讲,就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集,那么S 中所有元素都具有性质P 。

三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断—-结论。

演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而,只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的。

但错误的前提可能导致错误的结论。

在推理形式中,不论任何具体概念代入S 、M 与P,只要代入后的前提是正确的,那么代入后的结论也是正确的,这表明在演绎推理中,从正确前提出发，运用正确的推理形式，就必然得出正确的结论.2.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.但数学结论、证明思路等的发现过程,主要靠合情推理。

因此,我们不仅应当学会证明,也应当学会猜想.“三段论"是由古希腊的亚里士多德创立的。

亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想。

例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题. 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提，推出尽可能多的结论. 继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域,例如牛顿以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系。

高中数学(人教选修2-2)配套课件第二章 2.1 2.1.1 合情推理

自测自评
2．下面使用的类比推理中恰当的是( )
A．“若 m·2＝n·2，则 m＝n”类比得出“若 m·0＝n·0，则 m＝n”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
栏目链
接
D．“(pq)n＝pn·qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
栏目链接
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行
简单的推理．
栏
目
链
2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．
接
栏目链接
基础梳理
1 ．归纳推理是由 _某_类__事_物__的__部_分__对__象____ 具有
式或探求数列的前 n 项和公式．
跟踪训练
1．(2013·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所
示：
栏目链接
按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴的根数
为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
跟踪训练
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图
中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火
解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111. 故选B.
答案：B
基础梳理
2．归纳推理包括不__完__全_归__纳_法___和_完__全_归__纳__法__．
3 ．由 ____两__类__对_象__具_有__某__些_类__似_特__征______________

人教a版数学【选修2-2】2.1.1《合情推理》ppt课件

牛刀小试 1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( A．3 B．－3 C．6 D．－6 [答案] A
)

[解析] a3＝a2－a1＝6－3＝3， a4＝a3－a2＝3－6＝－3， a5＝a4－a3＝－3－3＝－6， a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3， a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3， a8＝a7－a6＝6. 归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3 ＝a3＝3，故应选A.
(3)∵2 Sn＝an＋1， ∴2 S1＝a1＋1，即 2 a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又 2 S2＝a2＋1，∴2 a1＋a2＝a2＋1， ∴a2 2－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an＞0，∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n－1.

[解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．
(2)由已知有 a1＝a， 2－a 1 1 1 a2 ＝＝，a3＝＝， 2－a1 2－a 2－a2 3－2a 3－2a 1 a4 ＝＝ . 2－a3 4－3a n－1－n－2a 猜测出 an＝ .(n≥2) n－n－1a
－1
) B．nn D．(2n)2
[答案] B
1 4 x x 4 [解析] 由 x＋x ≥2，x＋x2＝2＋2＋x2≥3， b x x x b 可推广 x＋x3＝3＋3＋3＋x3≥4，知 b＝33， a x x x a 所以对于结论 x＋xn＝n＋n＋…＋n＋xn≥n＋1 知 a＝nn，故应选 B.

人教A版数学选修2-2课件第二章推理与证明 2.1.1合情推理精选ppt课件

(2)平面图形与空间几何体的类比方向．
平面图形
空间几何体
二维平面
三维空间
线
面
线段的长度
相应面的面积
面积
相应几何体的体积
两线的夹角
两平面的二面角
线垂直
面垂直
线平行
面平行
三角形
四面体
圆
球
[变式训练] 在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝b， BC＝a，则△ABC 的外接圆半径为 r＝ a22＋b2.试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．
[变式训练] 已知数列{an}，满足 a1＝1，an＋1＝2an ＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{an}的通项公式 an＝______________．
解析：由 a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－
1， a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出 an＝2n－1(n∈N*)．答案：2n－1(n∈N*)
又 2 S2＝a2＋1，所以 2 a1＋a2＝a2＋1，所以 a22－2a2－3＝0.因为对一切的 n∈N*，an＞0，所以 a2＝3.同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n －1. 答案：2n－1
归纳升华归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
防范措施：三角形的内角类比到四面体中是面面角；三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦值相乘．这些类比具有不确定性，要根据实际情况认真分析．一般情况下，类比的结果要进一步判断其真假．

高二数学教案 2.1.1合情推理导学案人教版_选修2-2 2.1.1合情推理(二)

这是平面几何中的一个命题，其证明常用“面积法”：运用类比，猜想对于空间中的四面体，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明。（课本P98A5）
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1．若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则 =
时，数列也是等比数列。
等比数列
若，，则
，
2．半径为R的圆的面积，周长若将R看作上的变量，则可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
类比，对于半径为R的球，若将R看作上的变量，则____________________，可用语言叙述为：__________。
3．已知O是内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于，则。
2．由，得：
将以上各式两边分别相加,得：
即：
类比上述求法：试求出的值.
解：
实数的加法
实数的乘法
例2．（课本P74例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
解：
◆反馈练习
1．试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：⑴ ；⑴
⑵ ；⑵
⑶ ；⑶
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
2．平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．类比“平面向量基本定理”，写出空间向量基本定理．
2．春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？为什么？

数学选修2-2优化训练：2.1.1合情推理含解析精品

第2章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于（）1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111234×9+5=11 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B2.定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下图中的图形：则下列图形中可以表示A*D 、A*C 的分别是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（4）答案：C解析：注意观察分析、辨别，找到A 、B 、C 、D 分别对应的图形，A 为竖线，B 为大正方形，C 为横线，D 为小正方形.3.已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x),f 3(x)=f 2′(x),f 4(x)=f 3′(x)，…，f n (x)=f n-1′(x)，则f 2 006(x)等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 答案：B解析：f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x)=-sinx,f 3(x)=f 2′(x)=-cosx,f 4(x)=f 3′(x)=sinx,f 5(x)=f 4′(x)=cosx,…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 006（x)=f 2(x)=-sinx.4.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（） A.V=31abcB.V=31Sh C.V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径） D.V=31（ab+bc+ac)h （h 为四面体的高）答案：C解析：三角形ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ，类比：设四面体A —BCD 的内切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V=31（S 1+S 2+S 3+S 4）r. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30答案：B解析：第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+7＝28.2.观察三角形数与正方形数,猜测有可能正确的命题是( )A.相邻两个三角形数之和是正方形数B.相邻两个正方形数之和是三角形数C.相邻两个三角形数之差是正方形数D.相邻两个正方形数之差是三角形数答案：A3.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同一点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增加一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系式为_____________.解析：第n+1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n+1个圆分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域.答案:p(n+1)=p(n)+2n4.考查下列式子：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,得出的结论是__________________________.解析:从数值特征看：左式首数为n 时,共有连续2n-1个数,右式为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)25.设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1·a n =0(n≥1,n ∈N *),试归纳出这个数列的通项公式.解:由a 1=1,2a 22-a 12+a 2·a 1=0,得a 2=21.又3a 32-2a 22+a 3·a 2=0,∴a 3=31. 又4a 42-3a 32+a 4·a 3=0, ∴a 4=41. 归纳猜想a n =n1. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式：S=2高底 ,可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.22r B.22l C.2lr D.不可类比答案：C解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得.2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的?( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大答案：A解析:由图知,三白两黑周而复始相继排列,因36÷5＝7余1,所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同,即白色.3.观察下图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.■B.△C.□D.○ 答案：A解析:图形涉及□、○、△三种符号;其中○与△各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色□符号,即应画上■才合适.4.如果对象A 和B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等,此外已知对象A 还有一个属性S,而对象B 还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?…( )A.x 就是PB.x 就是QC.x 就是RD.x 就是S 答案：D解析:各自另外的属性S 只能类比x.5.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________.解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等6.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过其焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则有AF 1+BF 1为定值，试写出关于椭圆的类似结论：____________________________________________. 答案：过椭圆的焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，则AF 1+BF1为定值 7.半径为r 的圆的面积S(r)=πr 2,周长C(r)=2πr,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子: ____________.② ②式可用语言叙述为___________________________________________________________. 解析:该题考查了类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累,从平面到空间,长度到面积、面积到体积,这是我们平时的经验.答案:(34πR 3)′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数8.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果？试考察几个数并给出猜想.解:取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4, 4÷2=2,2÷2=1.其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7,则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→ (1)取自然数100,则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→ (1)归纳猜想：这样反复计算,必然会得到1.9.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解:如图（1）所示,我们知道,在Rt △ABC 中,由勾股定理可得c 2=a 2+b 2,如图(2),在四面体D —PEF 中,PD ⊥ED,PD ⊥DF,DE ⊥DF.设△DEF 、△DPF 和△DPE 的面积分别为S 1、S 2和S 3,△PEF 的面积为S.于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体P —DEF 中,我们猜想:S 2=S 12+S 22+S 32.。

人教版高中数学选修2-2精品课件：2.1 合情推理与演绎推理课件

2.类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理数是学「家自波然利奧亚妙曾的指参出与“者类」比和是自一己个「伟最大好的引的路老人师,求」解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”
第三个芒果是甜的
例:观察下图,可以发现 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
1+3+…+(2n－1)=n2．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事靠,单它却有发现的功能.
例4 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
例5 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
具体的材料观察分析
猜想出一般性的结论
例如：金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，
金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀
所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
例如：磨擦双手（S1 ）能产生热（P），敲击石头（S2）能产生热（P），锤击铁块（S3）能产生热（P），磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。

数学选修2-2讲义：第2章 1 1 合情推理含答案

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理一、推理与合情推理1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．3．推理的分类推理一般分为合情推理与演绎推理．4．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．二、归纳推理与类比推理1．归纳推理(1)定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()[答案](1)×(2)×(3)√2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行[解析]利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．[答案] D3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝___________________________________________________，a n＝________(n>1，n∈N＋)．[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N ＋)．[答案] 15 3n －3【例1】 (1)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 019(x )的表达式为________．(2)观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________． (3)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为__________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．[思路探究] 结合数或式子的结构特征，提炼结论． [解析] (1)由题意f 1(x )＝f (x )＝x1＋x ， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝…＝x1＋nx ，故f 2 019(x )＝x1＋2 019x.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．(3)∵f (x )＝x 1－x，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x1－2×x 1－2x＝x 1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x1－4×x 1－4x ＝x1－8x ，f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x ，根据前几项可以猜想f n (x )＝x 1－2n －1x. [答案] (1)f 2 019(x )＝x1＋2 019x(2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n－1)(3)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(a ∈N ＋)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝1nD ．a n ＝1n ＋1(2)已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________．[解析] (1)由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1. (2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：b a ＜b ＋m a ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )．[答案] (1)B (2)b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．① ② ③ ④[思路探究] (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1．(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：2．观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．[解析]观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.[答案]F＋V－E＝23．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．(1)(2)(3)(4)(5)[解]法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1．法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的1 3.【例3】(1)在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和．可类比得到的结论是________________________________.(2)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[思路探究](1)等比数列中的商类比等差数列中的差．(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．[解析](1)因为等差数列{a n}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋ (10)10个＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.[答案]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300(2)如图①所示，由射影定理得①AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以1AD2＝1BD·DC＝BC2BC·BC·BD·DC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，A E⊥平面BCD，则1A E2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如图②，连接BE交CD于F，连接AF，②因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2，所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，猜想正确．上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：2.与平面，圆与球等等．1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[解析]观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.[答案] C2．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2nD．a n＝3n－1＋2n－3[解析]∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1．[答案] A3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．[解析]由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.[答案]1∶84．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第五个等式应为________．[解析] 每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n 行最左侧的数应为n ；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n 行的个数应为2n －1．所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81．[答案] 5＋6＋7＋…＋13＝815．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .[解] (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310.(2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.。

高中数学选修2-2讲义：第二章 1 1 合情推理含答案

2.1合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理1.推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理． (2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理． 2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理.问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n 的长度构成数列{a n }．试计算a 1，a 2，a 3，a 4的值．提示：由图知：a 1＝OA 1＝1， a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2， a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，[对应学生用书P32]a 4＝OA 4＝OA 23＋A 3A 24＝(3)2＋12＝4＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a n }的通项公式a n 吗？提示：能猜想出a n ＝n .(n ∈N ＋)问题3：直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论．归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).已知三角形的如下性质(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题3：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．[例1]根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式：(1)a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n(n∈N＋)．[思路点拨]由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→分析a1、a2、a3、a4的结构特征→猜想通项公式[精解详析](1)由a n＋1＝2a n＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，[对应学生用书P33]可归纳猜想a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N ＋)得a 2＝a 11＋a 1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14.可归纳猜想：{a n }的通项公式a n ＝1n.[一点通] 归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．1．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是________．解析：前1行共1个数；前2行共1＋2＝3个数；前3行共1＋2＋3＝6个数；前4行共1＋2＋3＋4＝10个数；前5行共1＋2＋3＋4＋5＝15个数； …前n －1行共1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＝n 2－n2个数．因此，第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋622．在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，计算S 2，S 3，S 4并猜想S n 的表达式．解：依题意得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，S 1＝a 1＝1. 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1， ∴S 2＝32S 1＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1＝32＋2＝72；∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1＝74＋2＝154，∴S 4＝158；猜想S n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋).[例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36[思路点拨] 解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．[精解详析] 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.答案：B[一点通]解决图形中归纳推理的方法(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．3．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为()A．(n＋1)(n＋2)B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)×(n ＋3)个顶点．答案：B4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：28[例3](12分)如图所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明． [精解详析] p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBC S △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △P ABS △ABC ，(2分)∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC＝ 1.(4分)类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离，P 为四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d ＝ 1.(8分)证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·pa 13S △BCD ·h a＝V P －BCDV A －BCD，同理，p b h b ＝V P －ACD V A －BCD ，p c h c ＝V P －ABD V A －BCD ，p d h d ＝V P －ABCV A －BCD ，(10分)∵V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABC ＝V A －BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABCV A －BCD＝ 1.(12分)[一点通](1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比如下：5．实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质：a·b＝b·a，a·b＝b·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.则由①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？解：猜想：①(a·b)·c＝a·(b·c)，②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，这两个结论都不正确．①式左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，c与a不一定共线，就不一定相等．②a·c＝a·b，|a||c| cos〈a，c〉＝|a| |b|cos〈a，b〉，可得|c| cos〈a，c〉＝|b| cos〈a，b〉，则c，b在a方向上的投影相等，b，c不一定相等．6．如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面P AB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应课时跟踪训练(十二)]1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：观察很容易发现规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：B2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9答案：D3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.答案：C4．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到() A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D5．(山东高考)设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝x(21－1)x＋21，f2(x)＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝x(24－1)x＋24，…，f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n6．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)． 8．已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )，则N 点的坐标为(－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2)．则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

高中数学选修2-2精品课件10：2.1.1 合情推理

（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为：（12）（13）（23）共移动了3次. 当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形，移动顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础,类比出新的结论.
(2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性. (3)类比的结果具有猜测性.
例：如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
猜想:所有金属都导电.
➢又如
2 3
2 3
1 1
,
2 3
2 3
2 2
,
2 3
2 3
3 3
,
猜想:
b a
bm am
(a, b, m均为正整数).
探究点2 :类比推理
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了手, 他由此受到启发从而发明了锯.
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的.
2
1
3
1.每次只能移动1个金属片； 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
【解析】我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动顺序是：

数学苏教版选修2-2知识导航2.1.1合情推理含解析

2。

1 合情推理与演绎推理2。

1。

1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________。

任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2。

从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个（或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________,其思维过程大致为_____________、_____________、_____________。

4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________,_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律,找出共性,产生联想，归纳出有关的结论。

或类比原来研究过的内容来研究与之相似的,更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题,如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识,学会探索,勇于探索，注意知识的前后、纵横联系。

疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验。

高中数学选修2-2 2.1.1合情推理学案1 含解析

课堂导学三点剖析一,运用归纳推理发现新事实,获得新结论【例1】在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n 边形有几条对角线?解:凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n -2)=21n(n-3)(n≥4,n ∈N *). 温馨提示归纳推理是由部分到整体\,由个别到一般的推理,是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会.在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系,如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.二,运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解:(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a ；a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a 与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方法,在平时的数学学习与复习中,常常以一两个对象为中心,把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表,便于记忆与运用.三,利用合情推理探索新结论拓展知识【例3】在△ABC 中,余弦定理可叙述为a 2=b 2+c 2-2bccosA,其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.解:S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC,平面PBC 与平面PCA\,平面PCA 与平面PAB 所成二面角的大小,猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S 2=S 12+S 22+S 32-2S 1S 2cosα-2S 2S 3cosβ-2S 3S 1cosγ. 上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方,等于其他各面面积平方的和,减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法,给出较简捷的证法.各个击破类题演练1意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….这就是斐波那契数列,此数列中a 1=a 2=1,你能归纳出,当n≥3时a n 的递推关系式吗?解：从第3项开始,逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得:从第3项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n-1+a n-2(n≥3,n ∈N *).变式提升1数列{a n }中,a 1=2,a n+1=13+n n a a ,n ∈N *,依次计算a 2\,a 3\,a 4,并归纳猜想出a n 的表达式. 解：a 2=1162123216272162+⨯=+⨯=+==+ a 3=126214321122132172372+⨯=+⨯=+==+⨯, a 4=1362163211821921136132+⨯=+⨯=+==+, 故a n =5621)1(62-=+-⨯n n . 类题演练2类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x 0,y 0)为圆心\,r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球;(3)球有表面积与体积;(4)在空间直角坐标系中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2. 变式提升 2从大小正方形的数量关系上,观察如右图所示的几何图形,试归纳得出的结论. 解：从大,小正方形的数量关系上容易发现1=12,1+3=2×2=22,1+3+5=3×3=32,1+3+5+7=4×4=42,1+3+5+7+9=5×5=52,1+3+5+7+9+11=6×6=62.观察上述算式的结构特征,我们可以猜想:1+3+5+7+…+(2n -1)=n 2.类题演练 3S n =)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,求出S 1,S 2,S 3,S 4,并归纳猜想S n 的表达式. 解：取n=1,2,3,4,计算可得S 1=21,S 2=32,S 3=43,S 4=54,观察4个结果,都是分数,分子正好等于和式的项数,分母比分子大1,故归纳猜想S n =1+n n . 计算可得S n =(1-21)+(21-31)+…+n 1-1+n n =1-1+n n =1+n n . 变式提升 3观察下列已有的数的规律在( )内填入恰当的数.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 (①)(②)(③)(④) 11 (⑤)(⑥)(⑦)(⑧)(⑨) 1解：①到⑨依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和.。

(选修2-2)2.1.1合情推理课件2.24

偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
任何一个不小于6 的偶数都等于两个奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
大胆猜想:
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理的例子吗?
观察下列等式
6＝3+3， 12=5+7,
8＝3+5, 14=3+11，
10＝3+7, 16=5+11 归纳出一个规律：
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的
爬行动物都是用肺呼
整体蜥蜴是用肺呼吸的
吸的
一般
共第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
性
第n个数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
化学中的门捷列夫元素周期表Fra bibliotek天文学中开普勒行星运动定律
歌德巴赫猜想四色定理牛顿发现万有引力门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论!
归纳推理的过程：归纳推理的特点:
实验观察
在同一类事物中 (1)从特殊到一般；

2019-2020学年高中人教A版数学选修2-2学案：2.1.1 合情推理含解析

同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案,气象专家怎样预测天气,数学家怎样论证命题的真伪吗?这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯。

2.1 合情推理与演绎推理2。

1。

1 合情推理Q错误!错误!《内经·针刺篇》记载了这样一个故事:有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾,出了一点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发,又偶然碰破同一脚趾,头疼又好了．这次引起了他的注意，以后每次头疼时,他就有意刺破该处,都有效应(这个樵夫碰的地方,即现在所称的“大敦穴"）．现在我们要问,为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？X错误!错误!1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2。

合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程错误!→错误!→错误!→错误!Y错误!错误!1．(2019·周口期末)下列表述正确的是( A ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理；④演绎推理是由一般到特殊的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①⑤［解析] 根据题意，归纳推理,就是由部分到整体的推理．故①对②错；由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯"开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了（ B ）A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．3．等差数列｛a n｝中，a n>0,公差d〉0，则有a4·a6〉a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n｝中，若b n>0，q〉1，写出b5，b7,b4，b8的一个不等关系b4＋b8〉b5＋b7.[解析］将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.［解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方,个数也依次加1,因此,第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2.H错误!错误!命题方向1 ⇨归纳推理典例1 已知下列等式成立：错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!，……，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．［思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结果．[解析］从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项,右边为错误!，第2个等式左边有2项，右边为错误!，第3个等式左边有3项,右边为错误!，第4个等式左边有4项，右边为错误!，由此可以归纳出的一般性的结论为错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!(n∈N*）．以下用数列的方法证明该等式成立．错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!）＝错误!（错误!－错误!）＝错误!。

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互动课堂
疏导引导
1.合情推理包括归纳推理和类比推理,它是一种含有较多猜想成分的推理,因此应注意推出的结论不一定正确.
数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程.归纳推理和类比推理常常被认为是发现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.只要略略浏览中外数学史,即可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想.因此在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练,有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.
2.推理是人的一种思维形式,在数学中有着不可替代的作用,同学们要以日常生活中的许多事实为依据,结合以前所学知识,认真体会推理的内涵,并初步运用推理知识解释一些现象. (1)归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.
归纳推理有以下几个特点：
①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;
②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测的性质;
③归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.
由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.
(2)运用归纳推理时的一般步骤.
首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是能否进行严格的证明.
(3)类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.
(4)类比推理有以下几个特点：
①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性.它以旧有认识作基础,类比出新的结果;
②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;
③类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但却具有发现的功能.
(5)在运用类比推理时,其一般步骤为：首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,用一类对象的性质去推测另
一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.
(6)注意,两个系统可作类比的前提是,它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致.因此,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚,这不同于比喻.
(7)类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法.这是因为,类比推理不像归纳推理那样局限于同类事物,也不像演绎法那样受到一般原理的严格制约.运用类比推理,不仅可以跨越各类事物的界限,进行不同事物的类比,而且既可以比较事物的本质属性,也可以比较非本质属性.同时,类比推理比归纳推理更富于想象,因而也就更具有创造性.事实上,人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理、公式都是通过类比提出来的,工程技
术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的.因此,类比推理已成为人类发现、发明的重要工具.
3.合情推理所进行的推理过程概括为：
活学巧用
1.在△ABC 中，射影定理可表示为a=bcosC+ccosB.
其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边.类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想. 解析：如右图,在四面体P —ABC 中，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示面PAB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S 1cosα+S 2cosβ+S 3cosγ.(其正确性，同学们可自己证明)
2.在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2=b 2+c 2
-2bccosA,其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边.类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.
解析：如例1图示，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC 、平面PBC 与平面PCA 、平面PCA 与平面PAB 所成二面角的大小，猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为 S 2=23
2221S S S ++-2S 1S 2cosα-2S 2S 3cosβ-2S 3S 1cosγ. 上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方，等于其他各面面积平方的和，减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.
关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理证明三角形余弦定理的方法，给出较简捷的证法.
先看由三角形射影定理证明其余弦定理的方法：在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示角A 、
B 、
C 的对边，则有a=bcosC+ccosB, ①
b=ccosA+acosC, ②
c=acosB+bcosA, ③
①×a-②×b-③×c 可得
a 2-
b 2-
c 2=-2bccosA ，∴a 2=b 2+c 2-2bccosA.
下面给出三维余弦定理的证明，如题1图形，记号
表示面积为S 1和S 2的两个面所成的二面角大小，由题1的三维射影定理可知：
S=S 1cos
+S 2cos +S 3cos , ① S 1=S 2cos
+S 3cos +Scos , ② S 2=S 3cos +Scos +S 1cos , ③ S 3=Scos +S 1cos +S 2cos , ④
①×S-②×S 1-③×S 2-④×S 3可得
S 2-S 12-S 22-S 32=-2S 1S 2cos -2S 2S 3cos -2S 3S 1cos =-2S 1S 2cosα-2S 2S 3cosβ-2S 3S 1cos γ,
移项得欲证三维余弦定理.
3.一个空间用n 个平面去划分，最多能被分成几部分？
解析：在空间只有三个平面才能交于一点(就是说，四个或四个以上平面不能交于一点)以及三个或三个以上的平面产生的交线互不平行的时候，用n 个平面去划分空间，才能使分得的空间块的数目最多.因此，在后面的分析中，我们假设的这些条件都是满足的.用V n 表示由n 个平面去划分空间时所得空间块的数目.考查增加一个平面，可以把空间多分割出几个空间块，由于第n 个平面与前n-1个平面相交，因此第n 个平面上就有n-1条交
线，这些交线满足例3的假定条件，因此，根据例3的结论可知第n 个平面被n-1条直线分成22)1()1(2+-+-n n =2
22+-n n 个平面块，而每个平面块把它所在的那个空间块一分为二，于是增加了2
22+-n n 个空间块.因此得到递推公式 V n =V n-1+2
22+-n n . 在上式中分别令n=1,2,…,n,可得n 个等式
V 1=1+1=1+22112+-,V 2=V 1+2
2222+-, V 3=V 2+2
2332+-,…… V n =V n-1+2
22+-n n . 以上n 个等式相加，可得
V n =1+
21(12+22+…+n 2)2
1-(1+2+…+n)+n =1+21·6)12)(1(++n n n 21-·2)1(+n n +n
=6
653++n n . 故一个空间用n 个平面去划分，最多能被分成61(n 3+5n+6)个空间块.。

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