高中数学选修1-1人教A教案导学案：3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

旧知回顾求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值（3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得：求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数和的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设，若()ln f x x x = ，则（）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1, )处的切线与直线平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数可以看做函数和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。

人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》教案

导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x,那么函数y 相应的有增量 = ；比值叫做函数y=f(x)在x 0到x 0+△x 之间的 ,当△x →0时，△y△x 有极限，就说y=f(x)在点x 0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x 0的导数（瞬时变化率），记作或，当x 变化时，f ' (x)便是x 的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '= lim △x →0f(x+△x)－f(x) △x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)= lim △x →0△y △x3、导数的几何意义：f ' (x 0)是曲线y=f(x)在点P （x 0，f (x 0)）处的切线的即4、几种常见函数的导数C '= (x n ) '= (sinx) '= (cosx) '=(e x ) '= (a x ) '= (lnx) '= (log a x) '=5、导数的四则运算若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x) ± g(x)] '= [f(x) g(x)] '= [f(x) g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x '=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b ）内，如果，那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，反之？求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x 0附近所有的x 都有，则称f (x 0)是f(x)的一个极大值；如果对x 0附近所有的x 都有，则称f (x 0)是f(x)的一个极小值。

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．重点：导数的四则运算法则及其运用．难点：导数的四则运算法则的理解运用．方法：合作探究一新知导学思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．三．作业基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。

高中数学第3章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一教师用书教案新人教A版选修1

3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标核心素养1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x2思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y ＝x α的导数是什么吗？ [提示] 若y ＝x α，则y ′＝αx α－1. 2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．函数f (x )＝0的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A ．] 2．下列结论正确的个数为( ) ①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②g (x)＝cos x ，则g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－12； ③h (x )＝2x ，则h ′(x )＝2x ln 2； ④φ(x )＝log 5x ，则φ′(x )＝1x ln 5.A ．0B ．1C ．2D ．3D [对①，f ′(x )＝(ln 2)′＝0；对②，g ′(x )＝－sin x ，g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＝－12；对③，h ′(x )＝2x ·ln 2；对④，φ′(x )＝1x ln 5.故选D ．] 3．求下列函数的导数．(1)(2x )′＝________；(2)(log 3 x )′＝________； (3)(sin 30°)′＝________；(4)⎝⎛⎭⎫1x 4′＝________. [答案] (1)2x ln 2 (2)1x ln 3 (3)0 (4)－4x5利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝5x 3；(3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝3x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(3)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)y ′＝(log12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(5)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练]求下列函数的导数：(1)y ＝5x ；(2)y ＝－1x 5；(3)y ＝ln 3；(4)y ＝x x 3.[解] (1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5. (2)y ′＝－(x －5)′＝5x －6＝5x 6.(3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y ＝x x 3，∴y ＝x 52， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52′＝52x 52－1＝52x 32＝5x x2.利用导数公式求曲线的切线方程＝x 2的切线方程．[思路点拨] 直线PQ 的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．本例中，是否存在与直线PQ 垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．[解] 假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x 1，y 1)，则y ′|x ＝x 1＝2x 1，令2x 1＝－1，则x 1＝－12，y 1＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1，则由f ′(a )＝1a ＝1，得a ＝1，故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．判断正误 (1)(log 3π)′＝1πln 3.( ) (2)若f (x )＝1x，则f ′(x )＝ln x ．( ) (3)因为(sin x )′＝cos x ，所以(sin π)′＝cos π＝－1. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝________. 1e [y ′＝(ln x )′＝1x ，则1x ＝k . 所以x ＝1k ，所以y ＝k ×1k＝1.所以曲线y ＝ln x 过点1k ，1，即1＝ln 1k ，所以k ＝1e.]3．曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为__________．x －y ＋1＝0 [y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝e 0＝1，故切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.。

高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A版选修1-1

二、填空题
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_14

3.2.1几个常用函数的导数教学目标1、能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2、利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点重点：推导几个常用函数的导数。

难点：推导几个常用函数的导数。

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程一、复习回顾1、函数在一点处的导数的定义。

2、导数的几何意义。

3、导函数的定义。

4求函数的导数的步骤。

二、新课学习1．函数c x f y ==)(的导数根据导数定义，因为0)()(=∆-=∆-∆+=∆∆xc c x x f x x f x y 所以00lim lim'00==∆∆=→∆→∆x x x y y0'=y 表示函数c y =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若c y =表示路程关于时间的函数，则0'=y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数x x f y ==)(的导数根据导数定义，因为1)()(=∆-∆+=∆-∆+=∆∆xx x x x x f x x f x y所以11lim lim '00==∆∆=→∆→∆x x x y y1'=y 表示函数x y =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若x y =表示路程关于时间的函数，则1'=y 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．经典探究1：在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k ≠0)增(减)的快慢与什么有关?（指导学生完成）3．函数2)(x x f y ==的导数根据导数定义，因为x x xx x x x x x x x x x x f x x f x y ∆+=∆-∆+∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆∆2)(2)()()(22222 所以x x x x y y x x 2)2(lim lim '00=∆+=∆∆=→∆→∆x y 2'=表示函数2x y =图像上点),(y x 处的切线的斜率都为x 2，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0<x 时，随着x 的增加，函数2x y =减少得越来越慢；当0>x 时，随着x 的增加，函数2x y =增加得越来越快．若2x y =表示路程关于时间的函数，则x y 2'=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为x 2．4．函数xx f y 1)(==的导数根据导数定义，因为xx x x x x x x x x x x x x x x f x x f x y ∆⋅+-=∆∆+∆+-=∆-∆+=∆-∆+=∆∆21)()(11)()( 所以22001)1(lim lim 'xx x x x y y x x -=∆⋅+-=∆∆=→∆→∆经典探究2：画出函数xy 1=的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. （指导学生完成）5.函数x x f y ==)(的导数根据导数定义，因为所以xx x x x y y x x 211lim lim'00=+∆+=∆∆=→∆→∆ x x x x x x x x x x x x x xx x x x x f x x f x y +∆+=+∆+∆+∆+-∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆1)())(()()(小结：（1）1. 若c x f =)(（c 为常数）, 则0)(=x f ；2.若x x f =)(, 则1)(=x f ；3.若2)(x x f = ,则x x f 2)(=；4．若,1)(x x f =则21)('x x f -=5.若,)(x x f =则x x f 21)('=（2）推广：若)()(*Q n x x f y n ∈==，则1)(''-==n nx x f y这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数.三、例题分析例1．求 (1) )'(3x (2) )'1(2x （学生独立完成老师点评）例2．已知曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ． (－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.（1,8）例3．已知函数x x f 1)(=，求曲线)(x f y =在点（1,1）处的切线方程．（老师讲解，规范解题过程）四、巩固练习1 求下列幂函数的导数（1） 5x y = （2）21x y = （3）3x y = （4）35x y =五、课堂小结1．五个常用函数的导数：2．求函数导数的步骤：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；（3）得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim ． 3．函数的导数的不同角度意义的解释：（1）几何意义的解释是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率；（2）物理意义的解释是：物体运动在某一时刻的瞬时速度．六、课外作业1．已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '．2．已知2()f x x =,求(3)f '．3．求过曲线3y x =上点(1,1)的切线的直线方程． 4．求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．。

高中数学人教版选修1-1 3.2.1几个常用函数的导数教案1

3.2.1几个常用函数导数（教案）教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：检查预习情况：见学案目标展示：见学案合作探究：探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11 ()()y f x x f x x x xx x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x xx x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x xyyx x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆函数导数1yx=21yx'=-5．函数y x=的导数6推广：若*()()ny f x x n Q==∈，则1()nf x nx-'=反思总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测1.()0f x=的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（）A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11(,)416D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 .板书设计略作业略。

新人教A版数学选修1-1《3.2.2导数的运算法则》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.2导数的运算法则学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

【重点难点】基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用【学习内容】 1.复习：基本初等函数的导数公式表基本初等函数的导数公式c x f =)(αx x f =)(（*Q ∈α）x x f sin )(=x x f cos )(=x a x f =)(x e x f =)(()x x f a log =()x x f ln =（二）导数的运算法则导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3.典例分析例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y ＝x x 4；（3）y ＝xx ln 1ln 1+-．（4）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）ex（5） y ＝xx x x x x sin cos cos sin +-例 2.（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-例3．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例 4.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？四、课堂练习1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-（5）ln y x x = （6）ln x y x =（7）sin x y x=2. 求过曲线y ＝2e x 上点P (1，2e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．3. (2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（）A ．1-B ．2-C ．2D ．0【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =( ) A 18 B 14 C 12D 1 6. （2011年高考江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（） A.1 B.2C.eD.1e7. （2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________8. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x =9.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( )A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+12（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-13.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.。

2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.2.2 基本初等函数的导数公式

3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)内容标准学科素养1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第59页[基础认识]知识点一函数和、差的导数预习教材P84－85，思考并完成以下问题若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？提示：设f(x)，g(x)是可导的．Δy＝h(x＋Δx)－h(x)＝f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)－f(x)－g(x)＝[f(x＋Δx)－f(x)]＋[g(x＋Δx)－g(x)]＝Δf＋Δg∴ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＋g(x＋Δx)－g(x)Δx＝ΔfΔx＋ΔgΔx∴li mΔx→0ΔyΔx＝lim⎝⎛⎭⎫ΔfΔx＋ΔgΔx＝limΔx→0ΔfΔx＋limΔx→0ΔgΔx＝f′(x)＋g′(x)即h′(x)＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)同理可证I′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)知识梳理和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．知识点二函数积、商的导数知识梳理(1)函数积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)．(2)函数商的导数⎣⎡⎦⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)·g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．(3)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即[cf(x)]′＝cf′(x)．[自我检测]1．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12x D ．－14x答案：A2．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x xB ．e x ＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x 答案：C授课提示：对应学生用书第59页探究一利用导数四则运算法则求导[阅读教材P 84例2]根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y ＝x 3－2x ＋3的导数．题型：运用导数的运算法则求导．方法步骤：①由基本函数的导数公式知(x 3)′＝3x 2，x ′＝1,3′＝0. ②由导数的运算法则得y ′＝3x 2－2. [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[解析] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.方法技巧利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪探究 1.求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解析：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′ ＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 探究二导数运算法则的综合应用[阅读教材P 84例3]日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x (80<x <100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90%； (2)98%. 题型：导数的应用．方法步骤：①利用商的求导法则求出C ′(x )． ②再将90,98分别代入C ′(x )即得到所求． [例2] (1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos xsin 2 x＝1－2cos xsin 2x，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin 2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，由题意－1a ＝－1，所以a ＝1.[答案] 1(2)已知函数f (x )＝ln xx ＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系．[解析] 由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1. 所以f (x )＝ln xx －2x ，得f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．方法技巧 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪探究 2.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.答案：43．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－3 B ．2e C.21－2eD.31－2e解析：f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x∴f ′(1)＝2e f ′(1)＋3 ∴f ′(1)＝31－2e ，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第60页[课后小结]求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．[素养培优]1．未能区分好变量与常量而致错求f (x )＝a x ＋cos a 的导数(其中a 为常数)．易错分析本题错在忽视变量a x 与常量cos a 的不同，常量的导数应为0.考查数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(x )＝a x ln a .2．导数的四则运算记忆不准确致误求下列函数的导数 (1)f (x )＝x ＋1x －1； (2)f (x )＝x 2cos x .易错分析求导时没能准确地运用商和积的运算法则致误．考查数学运算的学科素养．自我纠正 (1)f ′(x ) ＝(x ＋1)′(x －1)－(x ＋1)(x －1)′(x －1)2＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2.(2)f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x.。

高中数学人教版选修1-1 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案(系列三)

3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第52页)1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？【提示】能．基本初等函数的导数公式续表一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】能．设两个函数f (x )，g (x )可导，则 ⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝fx gx －f x g x[g x 2(g (x )≠0)课堂互动探究 (对应学生用书第53页)例题(1)y＝x8(2)y＝1x4(3)y＝3 x(4)y＝2x(5)y＝log2x(6)y＝cos x【思路探究】(1)以上函数分别是什么类型的函数？(2)这种函数的求导公式是怎样的？【自主解答】(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(1x4)′＝(x－4)′＝－4x－5.(3)y′＝(3x)′＝(x13)′＝13x13－1＝13x－23.(4)y′＝(2x)′＝2x ln 2.(5)y′＝(log2x)′＝1x ln 2.(6)y′＝(cos x)′＝－sin x.方法规律1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．对于形如y＝1x p，y＝nx的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．变式训练求下列函数的导数；(1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y＝3x2；(4)y＝13x2；(5)y＝3x；(6)y＝log3x. 【解】(1)y′＝(10)′＝0 (2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9.(3)y′＝(x 23)′＝23x23－1＝23x－13＝233x.(4)y′＝(x－23)′＝－23x－23－1＝－23x－53＝－233x5.(5)y′＝(3x)′＝3x ln 3.(6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x ； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ·ln 10－3x ln 3. (3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x－x ＋x＝21－x， ∴y ′＝(21－x)′＝－－x－x 2＝2－x2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x)′＝－－＋sin x ＋sin x2＝cos x ＋sin x2.规律方法1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．变式训练求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)．【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －x ＋－x －x ＋x ＋2＝x ＋－x －x ＋2＝2x ＋2.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－x ＋－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .例题3 【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ，∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．规律方法利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．变式训练已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．【解】过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.易错易误辨析 (对应学生用书第54页)因公式记忆不准确致误典例求函数y ＝sin x －cos x 的导数．【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .课堂小结本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.课堂双击达标 (对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－1－2＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x 6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3x ln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．【答案】 B4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2x －2.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.课后知能检测 (对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22 D ．ln 2【解析】 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. 【答案】 B2．(2013·广元高二检测)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A.【答案】 A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( )A.1－cos x －sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x －cos x 2C.1－cos x －sin x －cos x 2D.1－cos x ＋x sin x －cos x 2【解析】 y ′＝x－cos x －x －cos x－cos x 2＝1－cos x －x sin x －cos x 2.【答案】 B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D 二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】 07．(2013·张家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f a ＋b f b＋cf c＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得 a f a ＋b f b ＋cf c ＝a a －b a －c＋b b －cb －a＋c c －ac －b＝－ab －c －b c －a －c a －ba －b b －c c －a＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bc a －b b －c c －a＝0. 【答案】 08．(2013·重庆高二检测)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y＝0，得x n ＝n n ＋1， ∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】－2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x 2； (2)y ＝1x·cos x . 【解】 (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝1－12cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′ ＝⎝⎛⎭⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋2－b x2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝1，f ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1. 所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x. (2)【证明】设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.教师备课资源(教师用书独具)备选例题设f(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 011(x)＝() A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x【解析】f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4.∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.【答案】 D备选变式已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1(π2)＋f2(π2)＋…＋f2 011(π2)＝________.【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝f n＋4(x)．又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1(π2)＋f2(π2)＋…＋f2 011(π2)＝f1(π2)＋f2(π2)＋f3(π2)＝－f4(π2)＝cos π2－sinπ2＝－1.【答案】－1。

高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力（利用现有知识解决问题）
学习知识的能力（学习新知识速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.

高中数学选修1-1优质学案1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数．核心扫描1．基本初等函数的导数公式．(重点)2．能运用导数定义推导几个常用的函数的导数公式，应用公式计算有关导数．(重难点) 课前探究学习自学导引1．几个常用函数的导数⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为0，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0.若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．基本初等函数的导数公式a 提示函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .名师点睛1．几种常用函数的导数(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先计算ΔyΔx，并化简；然后观察当Δx 趋近于0时，Δy Δx 趋近于哪个定值；最后，ΔyΔx趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数．(2)对基本初等函数的导数公式的特别说明不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的运算练习．2．理解和记忆指数函数、对数函数的导数公式指数函数、对数函数的导数公式的记忆：公式(ln x )′＝1x ，(e x )′＝e x 很好记，但公式(log a x )′＝1x ln a，(a x )′＝a x ln a 的记忆比较难，特别是ln a 的位置易记混．应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．(1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面找(ln x )′与(log a x )′、(e x )′与(a x )′联系，二要从横的方面找(log a x )′与(a x )′的联系，并找出它们的差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′可用(ln x )′和求导法则证明来帮助理解和记忆． (log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ln a . 课堂讲练互动题型一利用导数公式求函数的导数例1：求下列函数的导数． (1)y ＝5x ； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ；规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．变式1：求下列函数的导数： (1)y ＝x 7;(2)y ＝x 10; (3)y ＝1x2.题型二利用导数公式求曲线的切线方程例2：(1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． (2)已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．题后反思：相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．变式2：求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程．误区警示未检验点是否在曲线上而致误示例：已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，求切线的方程．错解：由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，所以k ＝f ′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程为y ＝－3x ＋32.思维突破：对于给定的点M ，要验证与曲线的位置关系，若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本题的正解进行．追本溯源：在求曲线的切线方程时，注意两个说法：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程．在点P 处的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线，点P 则不一定是切点，则应设出切点B 的坐标(x 0，f (x 0))，再求曲线在点B 处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，此时切线方程l ：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．由点P 在直线l 上，求出x 0，再代入切线方程，求出切线.——★ 参考答案 ★——：课堂讲练互动题型一利用导数公式求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x， ∴y ′＝－12x －32.变式1：解：(1)y ′＝7x 6； (2)y ′＝10x 9；(3)y ＝x －2，∴y ′＝－2x －3；题型二利用导数公式求曲线的切线方程例2：解： (1)∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0. (2)∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.(10分)∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.变式2：解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.误区警示未检验点是否在曲线上而致误正解：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，所以切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，所以有2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2，故切线方程为y ＝21x ＋32.。

高中数学人教A版选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计

高中数学人教A版选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
2学情分析
学生整体素质偏差,基本功底一般,没有较强的学习欲望和学习兴趣。

只能以书本知识为主要研究对象,尽可能的让学生掌握书本基础知识和基本技能,对于普通的整式函数,分式函数,简单的对数函数、幂函数、指数函数的求导运算,会用导数运算法则计算。

3重点难点
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.(重点)
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.(难点)
4教学过程
1【导入】探究点1 几种常见函数的导数
提示:根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
1.函数y=f(x)=c的导数.
2.y=f(x)=x的导数
3.y=f(x)=x2的导数
探究点2 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)=c,则=_____.
(2)若f(x)=xα(α∈Q*),则= .
(3)若f(x)=sinx,则=_____.
(4)若f(x)=cosx,则=_______.
(5)若f(x)=ax,则= .
6)若f(x)=ex,则f′(x)=____.
(7)若f(x)=logax,则f′(x)=_____(a>0,且a≠1).。

人教A版选修1-1教案：2.2基本初等函数和导数运算法则(含答案)

§1.2.2基本初等函数和导数运算法则
【学情分析】：
上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算2
1
,,,,y c y x y x y y x
====
=导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则.
【教学目标】：
（1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.
(2) 会用导数乘除运算法则求简单函数的导数.
（3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括.
【教学重点】：
两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.
【教学难点】：
合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程.。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_0

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一、回顾复习1.函数 y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P( ,f( ))处的切线的斜率.2.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点处的导数 ( )，得到曲线在点( ,f( )) 的切线的斜率。

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程：3.求函数的导数（导函数）的方法：4.函数f(x)在点处的导数 ( )就是导函数 (x)在x= 处的函数值,即 ,这也是求函数在点处的导数的方法之一。

二、复习旧知四种常见函数、、、的导数公式及应用 000()()().y f x f x x x -=-'(1)()();y f x x f x ∆=+∆-求函数的增量(2):()();y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim .x y y f x x ∆→∆''==∆求极限，得导函数0|)()(0x x x f x f ='='y c =y x =2y x =1y x=三．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表531(1)() (2)() (3)()()(5)() (6)()3 1(7)()3 (8)() 2(9)()log 1 x x x f x x f x xf x f x f x f x f x f x f x x -=========例 (10)()lg f x x = *()()n y f x x n Q ==∈（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例题2：求下列函数的导数32142(1)() (5)()91(2)() (6)()91(3)() (7)()log (4)()()lg.x x f x x f x f x x f x f x f x x x f x f x x -========练习:求下列函数的导数[]''()()cf x cf x =52(1)238y x x =-+43(2)(2)(2)y x x x =+-(3)sin cos y x x =sin (4)21x x y e =+。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_9

3. 2.1几个常用函数导数课前预习学案（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =上课学案学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程学习过程合作探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数导数1y x = 21y x '=- 例2 求函数2()y f x x ==的导数解析：因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．有效训练练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x x ==的导数反思总结 1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测1.()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 . 课后练习学案1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？3.2.1几个常用函数导数（教案）教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_6

3.2导数的计算第一课时几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式一、1．知识与技能二、了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y＝xα(α∈Q)的导数．三、2．过程与方法四、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．五、教学重难点六、本节重点：常数函数、幂函数的导数七、本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．预习案阅读课本，完成学案的知识归纳1.几个常用函数的导数（1）若y=f(x)=c,则'f(x)=＿＿＿（2）若y=f(x)=x,则'f(x)=＿＿＿（3）若2f x x==，则'f(x)=＿＿＿（4）若1y()f xy()==则'f(x)=＿＿x2基本初等函数的导数公式新课导入求函数导数的方法是：根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1) 函数y=f(x)=c 的导数. 0:(),()(),0,()lim 0.x y y f x C y f x x f x C C x y f x C x ∆→∆==∆=+∆-=-=∆∆''∴===∆解公式1: .公式2是怎么推导出来的呢？（了解）探究案[例1] 求下列函数的导数．(1) 2y a = (a 为常数)． (2) 12y x =(3)y ＝cosx. （4）y=lnx方法小结：变式1求下列函数的导数(1) x y e = (2)4y x -=(3)y ＝2x (4)y ＝log 2x[例2]求下列函数的导数(1)y ＝1x 2 (2)y ＝3x(3) y =方法小结：变式2求下列函数的导数(1) y = (2)31y x =(3)y =拓展延伸：求函数f (x )＝1x 在x ＝1处的导数．方法小结：课堂小结训练案一、选择题1．函数f(x)＝0的导数是( ) A．0 B．1 C．不存在 D．不确定2．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是( )A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝03．已知函数f(x)＝1x，则f′(－2)＝( )A．4 B.14C．－4 D．－144．下列结论中不正确的是( ) A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝1x，则y′＝－12xC．若y＝－x，则y′＝－12xD．若y＝3x，则y′|x＝1＝3二、填空题5．曲线y＝n x在x＝2处的导数为12，则n等于________．6．若函数y＝sint，则y′|t＝6π＝________.。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_4

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。

过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。

情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。

【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。

本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。

【教学过程】一、问题导学：1、依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ，则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ，则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。

高中数学选修1-1人教A教案导学案：3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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