2019版高考数学(理)一轮总复习作业：55空间向量的应用(二) 空间的角与距离1

题组层级快练(五十五)1．(2018·广西桂林一中期中)若a ＝(2，3，m)，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( )A ．7 B.52 C ．6 D ．8答案 C解析 由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.2．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)．若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657答案 D解析 由题意，得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.故选D.3．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合答案 C解析 由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．4．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 在平面α内的是( ) A ．P(2，3，3) B ．P(－2，0，1) C ．P(－4，4，0) D ．P(3，－3，4)答案 A解析 ∵n ＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1，4，1)，∴n ·MP →＝0.5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)． 单位法向量为：±n|n |＝±(33，33，33)．6．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4 D ．4，407，－15答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________． 答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP.则①②正确．从而③正确，又BD →＝AD →－AB →＝(4，2，0)－(2，－1，－4)＝(2，3，4)．∵－12≠23.∴AP →与BD →不平行．∴④不正确．8．(2018·甘肃兰州质检)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，且E 为CD 的中点，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ⊥AE ； ③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD. 答案 ①②④解析 不妨设BC ＝a ，CE ＝ED ＝b.折起后∠CED ＝θ(0<θ<π)．以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴．则A(a ，0，0)，C(0，b ，0)，D(0，bcos θ，bsin θ)． ∴M(a 2，b 2cos θ，b 2sin θ)，N(a 2，b2，0)．∴MN →＝(0，b 2－b 2cos θ，－b 2sin θ)，EA →＝(a ，0，0)，AB →＝(0，b ，0)，AD →＝(－a ，bcos θ，bsin θ)，EC →＝(0，b ，0)．∵MN →·EA →＝0，∴MN ⊥AE ，②对，EA →是平面CED 的法向量．∴MN ∥平面DEC ，①对，MN 与AB 异面，③不对．当θ＝π2时，AD →·EC →＝0，∴④对．综上，①②④正确．9.如右图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD. 答案 略证明 方法一：设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一组基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·[(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ]＝4(λ＋12μ)－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法二：基向量的取法同上．∵AB 1→·BA 1→＝(a －c )·(a ＋c )＝|a |2－|c |2＝0，AB 1→·BD →＝(a －c )·(12a ＋b )＝12|a |2＋a ·b －12a ·c －b ·c ＝0，∴AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ，由直线和平面垂直的判定定理，知AB 1⊥平面A 1BD. 方法三：取BC 的中点O ，连接AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC.∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．则n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－ 3.故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，∴AB 1→＝n ，即AB 1→∥n ，∴AB 1⊥平面A 1BD.10．(2018·杭州学军中学模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝12BC ，BE ＝14BC.求证：DE ⊥平面PAC.解析 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝AD ＝12BC ＝2，则D(0，2，0)，E(2，1，0)，A(0，0，0)，C(2，4，0)． ∴DE →＝(2，－1，0)，AC →＝(2，4，0)． 设P(0，0，z)，AP →＝(0，0，z)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面APC 的一个法向量，则m ⊥AP →，m ⊥AC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1·z ＝0，2x 1＋4y 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，x 1＝－2y 1.令y 1＝1，则m ＝(－2，1，0)，显然m ＝－DE →. ∴DE →∥m ，∴DE ⊥平面PAC.11.(2018·甘肃省兰州市高考实战模拟)如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，EG ∥AD ，EF ＝EG ＝1，AE ＝3. 求证：平面CFG ⊥平面ACE. 答案 略解析 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，0，3)，G(0，1，3)，F(1，0，3)． ∴AE →＝(0，0，3)，AC →＝(2，2，0)，FG →＝(－1，1，0)，FG →·AC →＝－2＋2＋0＝0，FG →·AE →＝0＋0＋0＝0. ∴FG ⊥AC ，FG ⊥AE. ∴FG ⊥平面ACE. 又FG ⊂平面CFG ， ∴平面CFG ⊥平面ACE.12．(2018·江西景德镇二中模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1. (1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1. 答案 略证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，E(3，0，1)，F(0，3，2)，D 1(3，3，3)，所以BE →＝(3，0，1)，BF →＝(0，3，2)，BD 1→＝(3，3，3)．所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M(0，0，z 0)，则GM →＝(0，－23，z 0)，而BF →＝(0，3，2)，由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z 0·2＝0，解得z 0＝1.故M(0，0，1)，ME →＝(3，0，0)．又BB 1→＝(0，0，3)，BC →＝(0，3，0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC.又BB 1∩BC ＝B ，所以EM ⊥平面BCC 1B 1.13．(2018·湖北襄阳模拟，理)如图，多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是正方形．(1)求证：CF ∥平面AED ；(2)在线段EC 上是否存在点P ，使得AP ⊥平面CEF ？若存在，求出EPPC 的值；若不存在，说明理由．答案 (1)略 (2)不存在点P解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形，所以BC ∥AD. 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ， 又四边形BDEF 是正方形，所以BF ∥DE.因为BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ， 因为BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ，所以平面BCF ∥平面AED ，因为CF ⊂平面BCF ，所以CF ∥平面AED.(2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△BCD 为等边三角形，取BD 的中点O ，连接CO ，所以CO ⊥BD ，取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE ， 因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD ， 故可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)， 所以AF →＝(1，3，2)，FE →＝(－2，0，0)，FC →＝(－1，3，－2)．设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎨⎧－2x ＝0，－x ＋3y －2z ＝0.x ＝0，令y ＝1，则n ＝(0，1，32)． 又EC →＝(1，3，－2)，AE →＝(－1，3，2)，设P(x ，y ，z)，EP →＝λEC →，由AP →＝AE →＋EP →＝AE →＋λEC →，得AP →＝(λ－1，3λ＋3，2－2λ)，又平面CEF 的一个法向量为n ＝(0，1，32)．若AP ⊥平面CEF ，则AP →∥n ，令AP →＝μn .得⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，3λ＋3＝μ，2－2λ＝32μ.方程组无解，不符合题意．综上，线段EC 上不存在点P ，使得AP ⊥平面CEF.14.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点． (1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由． 答案 (1)1010 (2)存在，|AS|＝22解析 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz. 依题意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，N(1，1，1)，E(12，1，0)，所以NE →＝(－12，0，－1)，AM →＝(－1，0，1)，因为|cosNE →，AM→|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010.所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN.连接AE ，如图所示．因为AN →＝(0，1，1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，又EA →＝(12，－1，0)，所以ES →＝EA →＋AS →＝(12，λ－1，λ)．由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝(0，12，12)，|AS →|＝22.经检验，当|AS|＝22时，ES ⊥平面AMN. 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时|AS|＝22.1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PDC. 答案 (1)略 (2)略 思路建立空间直角坐标系(1)求平面法向量线线垂直线面平行(2)求平面法向量线面垂直面面垂直证明 如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD.又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB. 又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD. 因为PA ＝PD ＝22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(a2，0，0)，F(0，a 2，0)，D(－a 2，0，0)，P(0，0，a 2)，B(a 2，a ，0)，C(－a2，a ，0)．因为E 为PC 的中点，所以E(－a 4，a 2，a4)．(1)易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝(0，a 2，0)，因为EF →＝(a 4，0，－a 4)，且OF →·EF →＝(0，a 2，0)·(a 4，0，－a 4)＝0，所以EF ∥平面PAD.(2)因为PA →＝(a 2，0，－a 2)，CD →＝(0，－a ，0)，所以PA →·CD →＝(a 2，0，－a 2)·(0，－a ，0)＝0，所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC. 又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.2.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 答案 (1)略 (2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析 (1)以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，3)，E(－12，2，32)．∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD. (2)设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0. ∴⎩⎨⎧－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)．又A(1，0，0)，∴AF →＝(－12，1，32)．∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE.故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE.3．(2017·衡水中学调研卷)如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λPA 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1. 答案 (1)略 (2)点P 不存在解析 以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，3)，B(1，1，0)，D 1(－1，0，3)，B 1(0，1，3)，C 1(－1，1，3)．(1)AC →＝(－1，1，0)，A 1B →＝(1，1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B. (2)假设存在∵AP →＝λPA 1→，∴P(11＋λ，0，3λ1＋λ)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1，1，3)，AC 1→＝(－2，1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0. ∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝(0，3λ＋1，－1)，∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0矛盾．∴这样的点P 不存在．4．(2018·石家庄市高三一检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上的点，且PC ＝3PN.求证：MN ∥平面PAB.证明 方法一：(传统法)如图，在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1， 又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形，∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法二：(向量法)在平面ABCD 内作AE ∥CD 交BC 于点E ，则AE ⊥AD.分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(22，2，0)，N(223，23，83)，B(22，－1，0)，A(0，0，0)， MN →＝(223，－13，83)，AP →＝(0，0，4)，AB →＝(22，－1，0)． 设MN →＝mAB →＋nAP →，∴(223，－13，83)＝m(22，－1，0)＋n(0，0，4)， ∴m ＝13，n ＝23，∴MN →、AB →、AP →共面． ∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB.∴MN ∥平面PAB.方法三：(法向量)建系写点坐标如方法二．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAB 的一个法向量，则由m ⊥AP →，m ⊥AB →得⎩⎨⎧4z 1＝0，22x 1－y 1＝0，∴⎩⎨⎧z 1＝0，y 1＝22x 1.令x 1＝1，则m ＝(1，22，0)．∴MN →·m ＝223·1－13·22＋83·0＝0. ∴m ⊥MN →，∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB.∴MN ∥平面PAB. 方法四：(基本法) 设BE →＝13BC →.由题知PC →＝3PN →.MN →＝AN →－AM →＝AP →＋PN →－BE → ＝AP →＋13PC →－13BC → ＝AP →－13(CP →－CB →) ＝AP →－13BP →＝AP →－13(AP →－AB →)＝23AP →＋13AB →，∴MN →、AP →、AB →三向量共面．∴MN →∥平面APB.又MN ⊄平面PAB.∴MN ∥平面PAB.。