《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力

二、物理关系 假设纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态。 假设纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态。则 有
σ x = Eε x =
σ
Ey
ρ
M
M
M
σmax M
中性轴
σmax
三、 静力学关系
M y = ∫ zσdA = 0
A
M z = ∫ yσdA = M
A
将
σ =E
y
ρ
S y = ∫ zdA A 定义： 定义： S z = ∫ ydA A
M x
一、变形几何关系 1.变形现象和假设 变形现象和假设 a b M a b c d c d （2）纵向线变为曲线， 纵向线变为曲线， M 且上缩下伸； 且上缩下伸； （3）横向线与纵向线变 形后仍正交； 形后仍正交； （4）横截面高度不变。 横截面高度不变。 梁的纯弯曲实验变形特点 （1）横向线(ab、cd）变形 横向线( 后仍为直线，但有转动； 后仍为直线，但有转动；
第一节
A a D Q P
梁纯弯曲时横截面上的正应力
P E a B 纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时， 有剪力时，其横截面上只有正 应力没有切应力， 应力没有切应力，该段梁的变 形称为纯弯曲。 形称为纯弯曲。如DE段。 段 x 横力弯曲 某段梁的内力既有弯矩 又有剪力时， 又有剪力时，其横截面上既 有正应力又有切应力， 有正应力又有切应力，该段 梁的变形称为横力弯曲。 梁的变形称为横力弯曲。如 AD、EB段。 段
设计载荷： 设计载荷： M max ≤ Wz [σ ]; [ F ] = f ( M max )
图示外伸简支梁，受均布载荷作用， 例12-1 图示外伸简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应 力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。 ］ ，校核该梁的强度。
10kN/ m
200 2m 4m
100
10kN/ m
纵向对称面 中性层 中性轴
2.几何关系 几何关系
εx
⌢ ⌢ ab − ab ab − O O = = ⌢
1
⌢
2
ab
O1O2
( ρ + y )dϕ − ρdϕ y = = ρdϕ ρ
εx =
y
ρ
横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性轴距离成正 比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变）。 中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变）。
d α= D
惯性矩
bh 3 IZ = 12
hb 3 Iy = 12
I Z = IY =
πd 4
64
Iz = Iy = =
3
π
64
(D4 − d 4 )
πD 4
64
(1 − α 4 )
πD 3
弯曲截 面系数
bh Wz = 6
2
πd
Wz = W y =
32
32 d 式中 , α = D
M N1 = ∫ ∗ σ 1dA = A Iz
∗
∫
A∗
MS z∗ yd A = Iz
∗
由切应力互等
(M + dM )S 同理 : N 2 = Iz ∑ X = N 2 − N 1 − τ 1b ( dx ) = 0
∗ z
QSz τ =τ ( y) =τ1 = bIz
切应力的计算公式。 切应力的计算公式。
3kN.m
P2=4kN 作弯矩图。 D E （3）作弯矩图。 （4）D截面校核。 截面校核。 1m
4 ×103 × 52×10−3 σ t ,max = Pa −6 7.63×10 = 27.3×106 Pa = 27.3MPa < [σ t ]
4kN.m
4×103 ×88×10−3 Pa σc,max = −6 7.63×10 = 46 .1×106 Pa = 46 .1MPa< [σc ]
4kN.m
第三节
梁弯曲时截面上的切应力
一、矩形截面梁的切应力 如图所示的矩形截面梁， 如图所示的矩形截面梁，横截面上 作用剪力Q。现分析距中性轴z为 作用剪力 。现分析距中性轴 为y 的横线上的剪应力分布情况。 的横线上的剪应力分布情况。 经分析可以假设： 经分析可以假设： (1)横截面上任一点处的切应力方 横截面上任一点处的切应力方 向均平行于剪力 。 (2)切应力沿截面宽度方向均匀分 切应力沿截面宽度方向均匀分 布。
分别称为图形对于y轴和 轴 分别称为图形对于 轴和z轴 轴和 截面一次矩或静矩， 的截面一次矩或静矩，单位 为m3或mm3。
S z = ∫ ydA = 0
A
注：通过截面形心（图形几何形状的中心）的坐标轴， 通过截面形心（图形几何形状的中心）的坐标轴， 形心 图形对其静矩等于零。 图形对其静矩等于零。 说明： 轴通过截面形心 轴通过截面形心， 轴和 轴的位置确定了。 轴和x轴的位置确定了 说明：z轴通过截面形心，即z轴和 轴的位置确定了。
两个概念 （1）中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短， 维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （2）中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴：中性层与横截面的交线。 两个假设 （1）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生 平面假设：横截面变形后仍为平面， 转动，距中性轴等高处，变形相等。 转动，距中性轴等高处，变形相等。 （2）单向受力假设：纵 单向受力假设： 向纤维间无挤压、 向纤维间无挤压、只受 单向拉伸和压缩。 单向拉伸和压缩。
σ max
M max = Wz
正应力强度条件为
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
依此强度准则可进行三种强度计算， 依此强度准则可进行三种强度计算，分别为
校核强度： 、校核强度：
σ max ≤ [σ ]; τ max ≤ [τ ]
M max 设计截面尺寸： 设计截面尺寸： Wz ≥ [σ ]
= 30MPa < [σ ]
6
20
该梁满足强度条件，安全。 该梁满足强度条件，安全。
如图两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等， 例12-2 如图两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等， 但放置如图(1)、 所示 所示。 但放置如图 、(2)所示。按弯曲正应力强度条件确定两者 许可载荷之比 F1／F2。
第十二章 弯曲应力
第一节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 第二节 梁弯曲时的应力强度条件 第三节 梁弯曲时截面上的切应力 第四节 提高梁承载能力的措施
教学目的和要求
本章在梁的剪力和弯矩知识基础上讨论梁的应力问 主要介绍梁弯曲时截面上的正应力和切应力， 题，主要介绍梁弯曲时截面上的正应力和切应力， 学习时要了解弯曲的平面假设和弯曲正应力公式及 弯曲切应力公式的推导过程及公式的适用范围。 弯曲切应力公式的推导过程及公式的适用范围。要 熟练利用弯曲的正应力公式和切应力公式对梁的弯 曲进行强度校核，了解提高梁承载能力的措施。 曲进行强度校核，了解提高梁承载能力的措施。
将
σ =E
A
y
ρ
E
M iz = ∫ yσdA = M
A
M = ∫ yσdA =
其中
A
ρ
∫
A
y 2 dA
I z = ∫ y 2 dA
为横截面对z轴 中性轴） 为横截面对 轴（中性轴）的 惯性矩（截面二次轴矩） 惯性矩（截面二次轴矩）。
M = ρ EI z
1
1
ρ
是梁轴线变形后的曲率。 是梁轴线变形后的曲率。
上下边缘距中性轴的距离为 y1=52mm y2=88mm （2）求截面对中性轴z的惯性矩。 求截面对中性轴z的惯性矩。
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 ×1203 + + 20 × 120 × 282 12 = 7.63 × 10 −6 m 4
y
P1=10kN A B 1m 1m
由于两个梁的材料相同即许用应力相同，则两梁的强 度条件为 σ max 1 = σ max 2 = [σ ] 计算可得
F1 h = F2 b
若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！ 若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！
例12-3 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。其许用拉压应力为 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 型截面铸铁梁
∗
此即为横力弯曲时, 此即为横力弯曲时,横截面上
N 2 − N 1 d M S z∗ QS z∗ τ1 = = = b ( dx ) d x bI z bI z
五、横截面上的最大正应力
σmax
Iz Wz = ymax
M = Wz
⇒ 抗弯截面模量。 抗弯截面模量。
b
d d D
bh3 Iz bh2 矩形 − − Wz = = 12 = h ymax 6 2 I z πd 4 / 64 πd 3 圆形 − − Wz = = = ymax d /2 32
I z πD3 圆环 − − Wz = = (1−α 4 ) ymax 32
将
σ =E
y
ρ
E
A
M iy = ∫ zσdA = 0
A
∫ zσdA = ρ ∫
A
yzdA = 0
其中
I yz = ∫ yzdA
A
是横截面对y和 轴的惯性积。 轴的惯性积 是横截面对 和z轴的惯性积。 由于y轴是横截面的对称轴，必然有 由于 轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。 轴是横截面的对称轴 。
F 1
F
F2
h
l
z
b
(1)
b
z
h
(2)
解 梁上最大弯矩都发生在梁的左端面上，大小为