2018年高中数学北师大版选修4-4课件： 圆锥曲线统一的极坐标方程

[解题过程]
设点的直角坐标为(x，y，z)．
5π (1)∵(ρ，θ，z)＝2， 6 ，3，
5π x＝ρcos θ＝2cos 6 ＝－ 3， 5π ∴ y＝ρsin θ＝2sin 6 ＝1， z＝3， ∴(－ 3，1,3)为所求．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2 2 2
2 2 π 进行转化：r＝ x ＋y ＋z ＝2.cos φ＝ r ＝ 2 ，∴φ＝4. 5π y tan θ＝x＝1，∴θ＝ 4 .
答案： B
3．设点M的柱坐标为 ________.
π 2， ，7 6
，则它的直角坐标为
x＝2cos 解析： 用坐标变换公式得 y＝2sin z＝7. ∴直角坐标为( 3，1,7)．
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用．在测量 实践中，球坐标中的角 _______称为被测点P(γ，φ，θ) θ 的方位角，__________称为高低角．
90°－φ
1．设点M的直角坐标是(－1，－ 是( )
π A．2，3，3 4π C．2， 3 ，3
3 ，3)，则它的柱坐标
圆锥曲线统一的极坐标方程
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义． 2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系 与公式． 3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题.
[学习目标]
[学法指要]
1．柱坐标系和球坐标系的结构和概念．(重点) 2．常与空间直角坐标系和三角函数结合命题． 3．空间点的坐标互化公式易混淆，掌握空间点的坐 标的转换并用于解题．(难点)
π 2，4，5，
π x＝ρcos θ＝ 2cos 4＝1， π ∴ y＝ρsin θ＝ 2sin 4＝1， z＝5， ∴(1,1,5)为所求．
π 6＝ 3， π 6＝1，
答案： ( 3，1,7)
4．设某点的球坐标为(r，φ，θ)＝ 角坐标．
解析： x＝2sin y＝2sin z＝2cos 由坐标变换公式得 3π 3π 4 cos 4 ＝－1， 3π 3π 4 sin 4 ＝1， 3π 4 ＝－ 2.
3π 3π 2， ， 4 4
(γ，φ，θ)
有序数组(γ，φ，θ) 这样，空间的点与______________________ 之间建立 了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系(或______________)， 空间极坐标系 有序数组(γ，φ，θ) ____________________ 叫做点P的球坐标，记做 P(γ，φ，θ) ______________ ，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
直角坐标
2．柱坐标系 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任 意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时 点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
有序数组(ρ，θ，z) 这样，建立了空间的点与____________________ 之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系 __________，___________________叫做点P的柱坐标， 有序数组(ρ，θ，z) P(ρ，θ，z) 记作____________，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－ ∞<z<＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系，它是由______________及 平面极坐标系 __________________中的一部分建立起来的． 空间直角坐标系
2π B．2， 3 ，3 5π D．2， 3 ，3
解析：
x＝ρcos θ， 由直角坐标与柱坐标变换公式y＝ρsin θ， z＝z，
4π 即柱坐标为2， 3 ，3.
ρ＝2， 4π 得θ＝ 3 ， z＝3，
一个环形体育场，自正东方向起，按逆 时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为 一区，二区，…十六区，我们设环形体育场 第一排与体育中心的距离为500 m，每相邻 两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m. 现在需要确定第十区第五排正中的位置A，如何描述这个 位置？
1．空间直角坐标系 在空间任选一点O，作两两垂直的三条 直线Ox、Oy、Oz，一般地，使∠xOy＝ __________135°，∠yOz＝ __________90°，建立空间直角坐标系 Oxyz.
，求它的直
∴直角坐标为(－1,1，－ 2)．
由点的柱坐标求直角坐标
根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
5π (1)2， 6 ，3；(2) π 2，4，5.
[思路点拨] 公式即可． 柱坐标
知点的柱坐标，欲求其直角坐标，利用互换
x＝ρcos θ ――→ 直角坐标 y＝ρsin θ，z＝z
1．空间直角坐标系 在空间任选一点O，作两两垂直的三条直线Ox、Oy、 Oz，一般地，使∠xOy＝_______，∠yOz＝________，建
立空间直角坐标系Oxyz.
135° 90°
建立空间直角坐标系后，空间任意一点P在平面xOy上 的射影为Q(x，y)，点P在Oz轴上的射影的坐标为z， 则有序实数组(x，y，z)即为点P的__________．
答案： C
2．设点M的直角坐标为(－1，－1， 为( )
π π A．2，4，4 5π π C．2， 4 ，4
2 )，则它的球坐标
π 5π B．2，4， 4 3π π D．2， 4 ，4
解析：
x＝rsin φcos θ， 利用公式y＝rs来自百度文库n φsin θ， z＝rcos φ，
3．球坐标系 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意 一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角 为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向 旋转到OQ时所转过的__________为θ.这样点P的位置 最小正角 就可以用有序数组 ______________ 表示．