初中数学辅导九年级数学总复习特殊与一般思想

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2011
2012
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初三第二轮复习专题四：特殊与一般思想
【知识梳理】
人类认知总是从特殊到一般，即从特殊的情况中找出一般规律，学数学也是一样，从特殊到一般，能使数学问题由浅入深，化难为易，且能加深对数学知识的理解，同时还能打开解题思路。

因此，在研究问题时，“从特殊到一般”是初中数学的一种重要的数学思想和方法。

在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题相互联系的认识和理解。

【课前预习】
1、如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色L 形由3个正方形组成，第2个黑色L 形由7个正方形组成，…，那么第6个黑色L 形的正方形个数是( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25
2、如图，已知直线l ：y ＝3
3
x ，过点A (0,1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，
过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为( )
A ．(0,64)
B ．(0,128)
C ．(0,256)
D ．(0,512) 3、
4、瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数 .
【例题精讲】
例1、如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3 S 2＝22
（3）2＋1＝4 S 3＝
32
⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；
⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102
的值．
例2、在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图1，易证 EG ＝CG 且EG ⊥CG .
A 6 … A 5 1 1
A 4 1 A 3 A 2
1
A 1
1
1 O S 1 S
2 S
3 S
4 S 5
(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
例3．数学课上，老师出示下面条件，
如图，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，A 点坐标为（1，0），点B 在x 轴上且在点A 的右侧，AB=OA ，过点A 和B 作x 轴的垂线，分别交二次函数2x y =的图象于点C 和D 。

直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H 。

记点C 、D 的横坐标分别为D c x x 、，点H 的纵坐标为H y 。

同学发现两个结论：
①32：
：梯形=∆ABMC CMD S S ；②数值相等关系：D c x x =－H y 。

请你验证结论①和②成立；
（1）请你研究：如果将上述框中条件“A 点坐标为（1，0）”改为“A 点坐标为（t ，0），（t ＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）
（2）进一步研究：如果将上述框中条件“A 点坐标为（1，0）”改为“A 点坐标为（t ，0），（t ＞0）”，又将条件“2x y =” 改为“2ax y =（a ＞0）”，其他条件不变，那么D c x x 、和H y 有怎样的数值关系？（说明理由）
【巩固练习】
1、如图，用小棒摆出下面的图形，图形(1)需要3根小棒，图形(2)需要7根小棒，……，照这样的规律继续摆下去，第n 个图形需要__________根小棒(用含n 的代数式表示)．
2、观察下列算式：
① 1×3—22 =3—4=—1 ②2×4—32=8—9=—1 ③3×5—42=15—16=—1 ④ …
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
【课后作业】 班级 姓名 一、必做题：
1、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
2、观察下列各式：错误！未找到引用源。

……请你将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是_________ _.
3、如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，
错误！未找到引用源。

是相邻两行的前四个数（如图所示），
那么当a =8时，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

． 4、一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：
按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案：。

5、观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

6、如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4
比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A
6比图A 2多出“树枝”（ ）
A.28
B.56
C.60
D. 124
7、观察下列算式：
2
1＝2，22＝4，
23＝8，24＝16，
25＝32，26＝
64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为810的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．6 8、根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的方向是以下图示中的（ ）
…
A B C D
9、图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为错误！
未找到引用源。

的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形
纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的错误！未找到引用源。

）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则P n -P n-1的值为（ ） A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

二、选做题：
10、设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…， S n ＝1＋1n 2＋1
(n ＋1)2
.设S ＝S 1
＋S 2＋…＋S n ，求S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．
……
9 0 1 2 5 6 10
8
7 4 3 …
① ② ③
11、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。

(1)当AB= 4，DC=1，BC= 4时，在线段BC上是否存在点P，使
AP⊥PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。

(2)设AB= a，DC=b，AD=c，那么，当a、b、c之间满足什么关
系时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD？
12、已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现一个正确的命题：
“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四
条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四
边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平
行四边形)．”若点P是边EF或边FG上的任意
一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，
并写出探索过程；。