从德布罗意波到克莱因-戈登方程

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TheKlein-Gordonequation：克莱因戈登方程

(24)
where the Lagrangian density satisfies the Euler-Lagrange equations of motions
(25)
such that the Euler-Lagrange equations of motion just give the Klein-Gordon equation (12) and its complex conjugate.
as the basic field equation of the scalar field.
The plane waves (10) are basic solutions and the field (9) is constructed by
a general superposition of the basic states.
Quantization
The challenge is to find operator solutions of the Klein-Gordon equation (12) which satisfy eq. (28). In analogy to the Lagrange density (24) , the hamiltonian is
Lecture 8
The Klein-Gordon equation
WS2010/11: ‚Introduction to Nuclear and Particle Physics‘
The bosons in field theory
Bosons with spin 0
scalar (or pseudo-scalar) meson fields
(23)

克莱因综合方程

克莱因综合方程克莱因综合方程，又称为“克莱因-马克斯-罗尔曼方程”，简称“CMR-E”，是物理学上最重要和最有影响力的方程之一，由斯坦福大学理论物理学家亨利克莱因发现，既是物理学的基础，也是量子力学的基石，几乎影响着整个物理学的发展。

克莱因方程的起源可以追溯到20世纪50年代存在的一个主要问题，即“特殊相对论”和“量子力学”之间的联系。

特殊相对论是一种新的理论，由爱因斯坦在1905年提出，可以描述大规模宇宙的行为，灭绝理论。

量子力学是一种定性的、概括的理论，可以描述微观宇宙的行为，量子力学实验结果与相对论结果不一致，需要被统一起来。

于是，亨利克莱因把这两个理论融合在一起，发展出了一种新的理论，即“克莱因综合方程”，简称CMR-E。

克莱因综合方程既是相对论的拓展，也是量子力学的拓展，考虑到了相对论和量子力学之间的联系，并添加了3个现象：“重磁力”、“相对论”和“量子效应”，从而实现了物质在宏观与微观之间的平滑过渡。

克莱因方程非常复杂，主要由2个部分组成，即“相对论”和“量子力学”两个部分。

克莱因方程的相对论部分由4个常数组成，分别是“重磁力系数”、“引力率”、“相对论质量”和“光速”。

克莱因方程的量子力学部分分为4个子部分，即量子力学能级、量子内部相互作用、介子-量子能量级互作用以及量子效应。

克莱因方程的出现改变了科学家们对宇宙规律的理解，克莱因方程也成为未来物理学研究的基础。

例如，它可以帮助科学家们分析复杂的物理系统，例如氢原子和质子等，从而了解宇宙中出现的一些现象，如黑洞、引力波等，可能会带来一些新的发现。

此外，克莱因方程也可以帮助科学家们实现量子理论困惑的解决，如量子引力、量子相干等，从而为物理学提供新的视角和思路，推动物理学的进步。

克莱因方程是物理学研究的基石，它为科学家们提供了一种简单、有效的方法来理解宇宙，它不仅改变了人们对宇宙规律的理解，也为未来科学研究提供了坚实的基础。

因此，克莱因方程也被称为20世纪最伟大的发现之一。

狄拉克方程

（3.7）

展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满足交换律）
（3.8）

要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅归一化条件态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学，1933年获诺贝尔物理学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系

为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上就是一种待定系数法。对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）

狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式，可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感光屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。这样描写粒子的波叫几率波。

德布罗意物质波的假设

hc hc
Ek 2 Ek
3
（1）当EK=100eV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，有：
Ek m0c2
h 1.231010 (m)
2m0 Ek
（2）当EK=1keV 时，
Ek有： m0c2
h 0.391010 (m)
2m0 Ek

以上两个结果均与X射线的波长相当，（4）当EK= 1MeV 时，有：
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时间上不一致。答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
8.8 10 37 m
人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。
5
3.从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件电子的物质波沿轨道传播，当电子轨道周长恰为物质波波长的整数倍时，可以
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。答案：A

克莱因戈登方程的推导

克莱因戈登方程的推导克莱因戈登方程是量子力学中的基础方程之一，描述了自由粒子的行为。

它的推导过程非常复杂，需要借助大量的数学工具和物理知识，本文将从基本原理出发，逐步介绍克莱因戈登方程的推导过程。

1. 相对论性量子力学基本原理相对论性量子力学是处理高速运动粒子行为的量子力学理论。

在它的基础上，可以推导出克莱因戈登方程。

相对论性量子力学基本原理包括：（1）粒子的总能量E和动量p满足爱因斯坦质能公式：E² = p²c² + m²c⁴，其中m是粒子的静质量，c是光速。

（2）波粒二象性：粒子的动量和能量可以看作波的特性，用波函数ψ描述，满足薛定谔方程iℏ(dψ/dt) =Hψ，其中ℏ= h/2π是普朗克常数，H是哈密顿算符，描述系统能量的算符。

（3）洛仑兹群的对称性：粒子的物理规律在相对论变换下不变。

这个对称性可以用洛仑兹变换来描述。

2. 动量算符和哈密顿算符的推导根据相对论性量子力学的基本原理，我们可以看出，粒子的动量和能量是波函数的参数，也就是说，它们是算符。

具体来说，动量算符用下式描述：p = -iℏ∂/∂x其中x是空间坐标，∂/∂x是偏导数算符。

这个式子的推导可以用波长λ和波数k表示波的形式，k = 2πλ，∂/∂x = ik。

类似地，我们可以用波长λ和频率ω表示波的能量关系E = ℏω，然后推导出哈密顿算符：H = iℏ∂/∂t这里t是时间坐标，∂/∂t是时间偏导数算符。

这两个算符将在后面的推导中发挥重要作用。

3. 密度矩阵的概念和推导为了描述多粒子系统的行为，我们引入了密度矩阵的概念。

密度矩阵ρ是一个n×n的矩阵，其中n是可能的粒子数目。

它的元素ρi,j表示系统处于态i的概率与系统处于态j的概率的乘积。

如果所有可能的状态都已经被观察到，那么ρ的对角线元素代表每一个状态的概率。

设t时刻密度矩阵为ρ(t)，下一刻密度矩阵为ρ(t+Δt)，根据量子力学中的演化方程，可以得到：ρ(t+Δt) = exp(-iHΔt/ℏ)ρ(t)exp(iHΔt/ℏ)exp表示指数函数e的幂，H是哈密顿算符。

高等量子力学-习题及答案ch08

第八章形式散射理论一、请写出克莱因-高登方程的方程式以及怎么理解“负能量”的问题。

上式即为克莱因-高登方程。

在相对论力学中，负能量的出现几乎是不可避免的。

在经典力学中，由于粒子的初始能量为正，运动过程又必须保持能量守恒，因此以后任何时刻，能量也必然为正，不会引起麻烦。

在量子力学中，负能量问题必须另外考虑。

因为若有负能级存在，而且按式(8.8)，k越大，E负得越大。

粒子从负的数值小的较高能级向负的数值大的较低能级跃迁，将不断放出能量。

于是体系将不会出现稳定态。

这个结果当然是不合理的。

二、分析一下克莱因-高登方程为什么会出现负概率问题的原因。

先分析一下克莱因-高登方程出现负概率问题的原因。

由于克菜因-高登方程是对时间的二阶微分方程，初始条件必须同时由决定。

而概率流守恒定律或连续性方程是ρ对时间的一阶微分方程，为使它和克莱因-高登方程一致，ρ必然依赖于时间的一阶微商。

而是任意的，于是就不可避免地出现负概率问题。

三、为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论，请简单分析。

为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。

假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满。

因此根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去。

这种被填满的负能态称为费米海，它只起一个背景的作用。

在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的。

只有从费米海中移去一个或多个电子时，才会产生可观测的效应。

例如，由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一个空穴，于是这个空穴就类似于某种具有正能量的东西。

四、洛伦兹矩阵由哪些重要的性质。

(1)对每一个Γn(n=S，V，T，P，A)，均有(2)除Γs外，对每一个Γn，最少一个有Γm，使它满足利用性质(2)和(1)，得两边取迹.即除Γs外，所有其余的15个矩阵的阵迹均为零。

(3)对给定的Γa和Γb(a≠b)，总可以找到另一个Γn，但这个Γn不是Γns，使得式中，是一个常数，视a、b、n不同而可能取不同的值(4)γ5矩阵满足五、为以后将狄拉克方程写成更方便的协变形式，引入四维坐标的协变和抗变矢量，第σ分量的方程式是什么，以及应满足什么条件。

klein-gordon方程推导

klein-gordon方程推导
klein-gordon方程推导
Klein-Gordan方程，也称为fokker-Planck方程、Klein-Gordon微分方程，
是一种量子力学中用于描述粒子特性的关键性方程。

它是一个二阶接近方程，由德国物理学家Oskar Klein和Walter Gordon首次提出于1926年，用来研究中微子
运动问题。

根据这个方程，要测出双极子在时空中的特征，需要用到更加复杂的数学方法，例如哈伯—霍尔—礼芬变换和瞬态求解。

其推导过程以及更多数学知识可以概括如下：首先，Klein-Gordan方程的基
本假设是物质在二维欧几里德空间中的动态运动。

在这里，假定电子是一个没有质量的点粒子，并且它们只要存在就具有电荷。

粒子跟随规则运动时，质能平衡方程就可以获得。

然后，就可以使用拉格朗日方程及其衍生公式，将粒子的能量转化为克雷因力，并以此建立好双极子特性与能量的关系。

再得出的是瞬态的能量守恒方程，它除了满足能量守恒外，还有一种新的衍生性质，即时空穿梭性。

此性质带来的是另外一个方程——克雷因-戈登方程，就是Klein-Gordan方程的起源。

该方程是对快速移动中小质点（双极子）的能量深层分析，并用其研究其在时空中的特性。

最终，Klein-Gordan方程就可以用来描述双极子粒子特性，它可以用来研究
超量子性问题，比如中微子在时空中的运动，由此也可以进行更多精准定位和单位描述。

薛定谔介绍

怀念着他。1987年8月，来自世界各地的著名科学家和哲学家汇聚维
也纳，纪念薛定谔诞生一百周年，探讨他在科学史上的历史地位和久
远影响，并出版了一本文献资料和图片集，以志永久纪念。
12
八、宗教信仰：无
13
九、所获奖励：
• 1926年他提出著名的薛定谔方程，为量子力学奠定了坚实的基础，因而与P.A.M.狄拉克共获1933年诺贝尔物理学奖。方程的提出只是稍晚于沃纳·海森堡的矩阵力学学说，此方程至今仍被认为是绝对的标准，它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。这使薛定谔一举成名，他还在同年证明了自己的波动力学是与海森堡和玻恩的矩阵力学在数学上是等价的。
• 薛定谔还鼓励进行校际交流，经常和联邦工业大学共同举行活动，他自己也同联邦工业大学的数学家H·外尔和物理学家德拜成了莫逆之交。德拜与薛定谔神交已久，两人都对固体比热、X射线干涉图形、原子结构等问题感兴趣，并已各自在刊物上讨论过对方的观点，现在能当面切磋，互相琢磨，真是相见恨晚，倍感快慰。
9
六、社会活动：
• 1921年10月，薛定谔夫妇终于结束了他们婚后一年半来不断的迁居转移，摆脱了生活于战败国中经济上和心理上的压力和阴影，在苏黎世安定下来。苏黎世是一个美丽的旅游城市，每年都有一群群的学者来参加这里的现代物理学讨论会，带来了各自研究的最新成就和各种信息。这种开放的环境和动态的交流，使薛定谔和他们的讨论会得以保持较高的水准，也使苏黎世的研究集体和工作更为外界所知。他们的讨论会生动活泼，形式不拘，有时常常是在户外的郊游和旅行中进行。薛定谔喜欢登山和旅行，在大自然中陶冶性情。有一段时期，每周六他们都外出，边旅游边讨论，置身于大自然中去探求它的底蕴。
一、名片
中文名

狄拉克方程

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随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3) (3)
薛定谔方程
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3.薛定谔方程(三维) 人删除。
4.算符
拉普拉斯算符
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形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
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玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
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注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
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薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学，1933年获诺贝尔物理学奖。
二、克莱因人删-除戈。尔登方程
1. 简介
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation）是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程，它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自旋为零的粒子。
克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。

Klein-Gordon

q p = P− A c
(P = −i ħ∇)
(20)
∂ ∂ i ħ → i ħ − qϕ ∂t ∂t
(21)
在非相对论极限下，同样令
− imc 2t ψ = φ exp ħ
代入式（21），得
2 1 ∂ q iħ φ = P − A + qϕ ∂t c 2m
非相对论极限
非相对论极限(
v ≤ 1 )情况下，粒子的能量（正）可近似表示为 c
p2 E ≈ mc 2 + 2m
(16)
第一项是粒子静质量所相应的能量，第二项为能量，令
−imc 2t ψ ( r , t ) = ψ ( r , t ) exp − ħ
代入Klein-Gordon方程，即可得出
(22)
(23)
这正是非相对情况下电荷q的粒子在电磁势 ( A, ϕ ) 中的薛定谔方程。
Klein-Gordon方程
在非相对论量子力学中，自由粒子的波动方程为
∂ ħ2 2 iħ ψ ( r , t ) = − ∇ ψ ( r, t ) ∂t 2m
这个方程可以在经典自由粒子的能量-动量关系式
（1）
p2 E= 2m 2m
中作如下替换：
（2）
∂ E → iħ ∂t
p → −i ħ∇
（3）
并作用于波函数上得到，按de Broglie假定，具有一定动量（能量）的自由粒子，相应的波为平面单色波
(11)
但应该注意，此时与的关系应为
ħ2 w2 = ħ2 c 2 k 2 + m 2 c 4
按照式（10）和（12），粒子能量为
(12)
E = ± p 2 c 2 + m 2 c 4 = ± ħ2 c 2 k 2 + m 2 c 4

德布罗意假设的基本内容

德布罗意假设的基本内容
德布罗意假设是由法国物理学家路易斯·德布罗意在1924年提
出的一项重要假设，它指出微观粒子（如电子）同样具有波动性质。

具体内容如下：
1. 波粒二象性：德布罗意假设认为，微观粒子既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。

这意味着微观粒子不仅具有质量和位置等粒子特征，也具有波长和频率等波动特征。

2. 波长和频率关系：德布罗意假设进一步推导了微观粒子的波长与其动量之间的关系。

根据他的理论，微观粒子的波长（λ）与其动量（p）之间满足德布罗意方程：λ = h / p，其中h为普
朗克常量。

3. 干涉和衍射现象：根据德布罗意假设，微观粒子也可以表现出波动行为，因此它们也能够经历干涉和衍射现象。

这意味着微观粒子在传播过程中会出现波纹交叠和波面扩散等现象，类似于光波在水面上的干涉和衍射。

德布罗意假设的提出对量子力学的发展产生了深远影响，它揭示了微观世界的奇特性质，并为之后的波函数、波动力学方程等理论提供了重要的基础。

薛定谔方程的推导过程

薛定谔方程的推导过程薛定谔方程是描述微观粒子（如电子）行为的基本方程，其推导过程相对较为复杂。

下面将以简化的方式概述薛定谔方程的推导过程，但是请注意这并不是完整的推导过程，并且其中有很多复杂的数学细节无法在此完全解释清楚。

1.假设微观粒子的运动具有粒子-波二重性，即既可以表现为粒子又可以表现为波动。

2. 假设微观粒子的运动状态可以用波函数（psi）来描述，波函数包含了关于粒子位置和动量的信息。

3.根据实验观察到的波动现象，引入了薛定谔方程的时间依赖部分。

以下是薛定谔方程的推导概述：1.从波粒二重性出发，我们假设微观粒子的运动状态可以由一个波函数来描述。

波函数可以看作是空间中复杂的波动形式。

2.粒子的动量p与波函数之间的关系是德布罗意的关键假设。

德布罗意关系认为，波函数的波长与粒子的动量反比。

即λ=h/p，其中h为普朗克常数。

3.根据量子力学原理，波函数的平方的概率密度函数，即P(x)，表示粒子在一些位置出现的概率。

4. 我们引入波函数的时间依赖性，即认为波函数也随着时间的变化而变化。

这个时间依赖性可以用施莱林格（Schrodinger）方程来描述。

薛定谔方程是一个偏微分方程，形式如下：iℏ∂ψ/∂t=-(ℏ²/2m)∇²ψ+Vψ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，∂/∂t代表时间的偏导数，∇²是拉普拉斯算子，m是粒子的质量，V是描述粒子在势能场中受到的势能。

5.方程中的第一项代表的是动能与动量的关系，而第二项代表的是势能与位置的关系。

所以可以说薛定谔方程是动能与势能的和。

6.薛定谔方程的波函数ψ是一个复数函数，因此薛定谔方程是一个复数偏微分方程。

解这个方程得到的波函数就能够描述微观粒子在给定势能下的运动状态。

这里只是对薛定谔方程的推导进行了简要的概述，实际的推导涉及到更多的数学和物理细节。

薛定谔方程的推导过程是量子力学理论的重要组成部分，不仅涉及到数学的复杂性，还需要依赖丰富的物理实验结果和观察事实。

debroglie公式

debroglie公式德布罗意公式（de Broglie formula）是描述物质波粒二象性的关键公式之一。

它由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出，为量子力学奠定了基础。

德布罗意公式的表达式为λ = h / p，其中λ表示物质波的波长，h 为普朗克常数，p为物体的动量。

这个公式揭示了物质不仅具有粒子性，还具有波动性的重要事实。

在经典物理学中，我们通常将物体看作是粒子，其运动遵循牛顿力学的定律。

然而，在微观尺度下，物质的行为并不完全符合经典物理学的描述。

根据德布罗意公式，任何物体都具有波动性，其波长与动量成反比关系。

这意味着，对于具有较大动量的物体，其波长将较短，而对于具有较小动量的物体，其波长将较长。

德布罗意公式的提出得益于爱因斯坦的光量子假设。

爱因斯坦认为，光既可以被视为粒子（光子），也可以被视为波动。

德布罗意在此基础上推论，如果光可以同时具有粒子性和波动性，那么物质也应该具有类似的性质。

这一假设在实验上得到了验证，进一步巩固了量子力学的基础。

德布罗意公式在实践中具有重要应用。

首先，它解释了电子在原子中的行为。

根据德布罗意公式，电子的波长与其动量有关。

由于电子的质量较小，其波长相比可见光等电磁波要长得多。

这一特性使得电子在原子尺度下表现出波动性，从而解释了原子结构和化学键的形成。

德布罗意公式还为粒子的干涉和衍射现象提供了理论基础。

根据波动理论，当具有相同波长的波相遇时，会出现干涉和衍射现象。

利用德布罗意公式，科学家们发现，即使是具有质量的粒子，如中子和原子，也可以表现出干涉和衍射的效应。

这一发现不仅深化了人们对物质波动性的理解，还为粒子束技术的发展提供了理论依据。

德布罗意公式还为粒子的散射提供了描述。

散射是指粒子在与其他粒子或势场相互作用后改变方向或动量的过程。

德布罗意公式可以用来计算粒子散射的概率和分布，从而揭示了微观粒子之间的相互作用规律。

德布罗意公式的提出为物质波动性的研究提供了重要的理论依据。

德布罗意关系表达式

德布罗意关系表达式
德布罗意公式是p=hν/c=h/λ。

p是动量，h是普朗克常数6.626196×10^-34J·s，ν是频率，c是光速，λ是波长。

德布罗意于1924年提出，微观粒子也具有波动性，他根据光波与光子之间的关系，把微观粒子的粒子性质（能量E和动量p）与波动性质（频率ν和波长λ）用所谓德布罗意关系联系起来了。

德布罗意波的定义：
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动量，位置测量越准，动量越不准，这个叫不确定性原理。

哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。

机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期变化的电磁场的传播。

物质波既不是机械波，也不是电磁波。

德布罗意波及薛定谔方程

波函数与薛定谔方程
一.波函数及其统计解释

机枪点射实验
一挺机枪从远处向靶子不断点射，机枪和靶子之间有一堵子弹无法穿透的墙，墙上有两条缝，当只打开一条缝时，靶子上子弹的密度分布为，，双缝齐开时，经过两个缝的子弹不相干的打在靶上，靶子上的子弹密度是两个密度的简单叠加。

经典波（声波）的干涉实验
二.态叠加原理
在经典力学里，谈到波的相干叠加时，只是表明这个合成波里含有各种成分的子波。而在量子力学中，根据前面的分析我们知道，波函数描述的是一个微观体系的量子态，这样一来我们前面说的波的叠加就变成了态的叠加。例如，设体系处于态函数Ψ1描述的状态下测得某力学量 A的值为a1，在体系处于态函数ψ2描述的状态下测得该力学量的值为a2，那么在位于叠加态Ψ=c1Ψ1+c2ψ2描述的状态下，测得该力学量A的值可能是a1，也可能是a2，而不会是另外的值。并且测得a1或者a2 的概率是一定的。我们称ψ态是Ψ1和ψ2的线性叠加。态叠加原理是和测量密切相关的一个基本原理，在量子力学中，态的叠加导致在叠加态中观测结果的不确定性。

可见，波函数模的平方近出现的概率成正比。
| (r, t ) |2 与t时刻例子在位矢 r附

在此基础上，Born在1926年提出了波函数的统计解释，即：
波函数在空间中某一点的强度与粒子在该点出现的概率成比例。是量子力学的基本原理之一。
电子呈现出的波动性体现了微观粒子运动的一种统计规律，所以也称为概率波，波函数 (r, t ) 称为概率波幅。
纠缠态的应用纠缠态作为一种物理资源，在量子信息的各方面，如量子隐形传态、量子密钥分配、量子计算等都起着重要作用。量子密钥的之所以安全是因为，密码由量子状态组，如果有第三方试图窃听密码，则通信的双方便会察觉。这种性质基于量子力学的基本原理：任何对量子系统的测量都会对系统产生干扰。如果有第三方试图窃听密码，必须测量它，就会带来可察觉的异常通讯无法进行信息得到保护。利用量子计算机可以轻易破解现在所有安全密码，利用量子通讯传输速度至少比光速高4个数量级，而且不存在被截获的风险。而量子密钥可是保证传输的信息更加万无一失。

克莱因-戈登方程和狄拉克方程-黄鹏辉

2 4 E 2 = p 2 c 2 + m0 c
(2.7)
算符代换就得到克莱因-戈登方程
2 2 m0 c 1 ∂2 2 ψ = (∇ − 2 )ψ 2 2 c ∂t
(2.8)
五、狄拉克方程
ˆ = (ca i p ˆ + m0c 2 β ) ，就得到相对论自由粒子狄拉克薛定谔方程中的哈密顿算符换成 H
(2.5)
2 p2 ˆ= ， + V ，对应的哈密顿算符为 H （− ∇ 2 + V） 2m 2m 因此，力场中的一般薛定谔方程（含时薛定谔方程）为： 2 ∂ ±i ψ = (− ∇ 2 + V )ψ ∂t 2m
(2.6)
四Байду номын сангаас克莱因-戈登方程
2
由相对论的质能公式 E = mc 2 = m0 c 2 / 1 − v 2 /c 2 和动量公式 p = mv = m0 v/ 1 − v 2 /c 2 ，可以得到自由粒子的相对论能量动量关系
(1 + x ) m = 1 + mx +
m(m − 1) 2 x + 2! + m(m − 1)(m − 2) n!
(2.10)
(m − n + 1)
xn +
(2.11)
当 m = −1/ 2 且 x ∈ (0, 1) 时，由(2.11)式可以得到，
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 = 1+ x + x + x + 2 2⋅4 2⋅4⋅6 1− x
= 1+
1 3 5 x + x 2 + x3 + 2 8 16
(2.12)
对于相对论质能公式 E = mc 2 = m0 c 2 / 1 − v 2 /c 2 ，显然有 v 2 /c 2 ∈ (0, 1) 。因此质能公式符合(2.12)式的展开条件，可以展开为 m0 c 2 1 3 m0 v 4 5 m0 v 6 2 2 E= = m0 c + m0 v + + + 2 8 c2 16 c 4 1 − v 2 /c 2 (2.13)

克莱因戈登方程退化到薛定谔方程

克莱因戈登方程退化到薛定谔方程克莱因-戈登方程是狭义相对论下描述自旋1/2的粒子的量子力学方程。

而薛定谔方程是描述非相对论下的量子力学体系的基本方程。

本文将探讨克莱因-戈登方程如何退化到薛定谔方程，并解释其物理意义。

我们回顾一下克莱因-戈登方程的形式：$$(\gamma^\mu p_\mu - m)\psi = 0$$其中，$\gamma^\mu$是一组4x4的矩阵，$p_\mu$是4-动量矢量，$m$是粒子的质量，$\psi$是波函数。

为了将克莱因-戈登方程退化到薛定谔方程，我们将采用相对论量子力学的非相对论极限，即粒子的动能远小于其质能。

在这种情况下，粒子的速度远小于光速$c$。

我们将4-动量矢量$p_\mu$展开为非相对论形式：$$p_0 = \frac{E}{c} \approx mc + \frac{p^2}{2m}$$$$\mathbf{p} = \frac{\mathbf{p}}{c} \approx \mathbf{p}$$其中，$E$是粒子的总能量，$\mathbf{p}$是粒子的动量。

将上述展开代入克莱因-戈登方程中，我们可以得到：$$(\gamma^0 mc + \gamma^i p_i - m)\psi = 0$$接下来，我们考虑粒子的速度远小于光速$c$的情况。

在这种情况下，我们可以将$\gamma^0$近似为单位矩阵，即$\gamma^0 \approx I$。

同时，我们可以将$\gamma^i$近似为3x3的矩阵，即$\gamma^i \approx \sigma^i$，其中$\sigma^i$是泡利矩阵。

将上述近似代入克莱因-戈登方程中，我们可以得到：$$(mc^2 + \sigma^i p_i - m)\psi = 0$$进一步化简上述方程，我们可以得到：$$(mc^2 - m)\psi + (\sigma^i p_i)\psi = 0$$由于非相对论情况下，粒子的能量项远大于其质量项，即$mc^2 \gg m$，因此我们可以将上述方程进一步简化为：$$mc^2\psi + (\sigma^i p_i)\psi = 0$$最后一步，我们将波函数$\psi$进行分解，即：$$\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{pmatrix}$$将上述分解代入上式，我们可以得到：$$mc^2\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma^i p_i & 0 \\ 0 & \sigma^i p_i \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{pmatrix} = 0$$进一步化简上述方程，我们可以得到两个方程：$$mc^2\psi_1 + \sigma^i p_i \psi_2 = 0$$$$mc^2\psi_2 + \sigma^i p_i \psi_1 = 0$$将上述两个方程合并，我们可以得到：$$\frac{1}{2m}\left(\sigma^i p_i\right)^2\psi + mc^2\psi = 0$$化简上述方程，我们可以得到：$$\left(\frac{\left(\sigma^i p_i\right)^2}{2m} + mc^2\right)\psi = 0$$由于$\left(\sigma^i p_i\right)^2 = p^2$，我们可以进一步得到：$$\left(\frac{p^2}{2m} + mc^2\right)\psi = 0$$我们可以将上述方程进一步简化为：$$\left(\frac{p^2}{2m} + V\right)\psi = 0$$这就是薛定谔方程的形式，其中$V$是势能。

薛丁格方程式

薛丁格方程式————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：薛丁格方程式薛丁格方程式（英語：Schrödinger equation）是由奧地利物理學家薛丁格在1926年提出的一個用於描述量子力學中波函數的運動方程式[1]，被認為是量子力學的奠基理論之一。

薛丁格方程式主要分為含時薛丁格方程式與不含時薛丁格方程式。

含時薛丁格方程式相依於時間，專門用來計算一個量子系統的波函數，怎樣隨著時間演變。

不含時薛丁格方程式不相依於時間，可以計算一個定態量子系統，對應於某本徵能量的本徵波函數。

波函數又可以用來計算，在量子系統裏，某個事件發生的機率幅。

而機率幅的絕對值的平方，就是事件發生的機率密度。

薛丁格方程式的解答，清楚地描述量子系統裏，量子尺寸粒子的統計性量子行為。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質子、正子、等等，與一組相同或不相同的粒子，像原子核。

薛丁格方程式可以轉換為海森堡的矩陣力學，或費曼的路徑積分表述（path integral formulation）。

薛丁格方程式是個非相對論性的方程式，不能夠用於相對論性理論。

海森堡表述比較沒有這麼嚴重的問題；而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。

雖然，含時薛丁格方程式能夠啟發式地從幾個假設導引出來。

理論上，我們可以直接地將這方程式當作一個基本假定。

在一維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢中的含時薛丁格方程式為；(1)其中，是質量，是位置，是相依於時間的波函數，是約化普朗克常數，是位勢。

類似地，在三維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢中的含時薛丁格方程式為。

(2)假若，系統內有個粒子，則波函數是定義於-位形空間，所有可能的粒子位置空間。

用方程式表達，。

其中，波函數的第個參數是第個粒子的位置。

所以，第個粒子的位置是。

不含時薛丁格方程式不相依於時間，又稱為本徵能量薛丁格方程式，或定態薛丁格方程式。

德布罗意波公式

德布罗意波公式
德布罗意波公式是量子力学中的一条重要公式，它是法国物理学家德布罗意在1923年提出来的。

德布罗意波公式描述了物质在运动过程中所具有的波粒二象性，也是量子力学中描述粒子运动和相互作用的基础公式之一。

德布罗意波公式的形式为λ=h/p，其中λ表示物质波长，h为普朗克常数，p为物质的动量。

这个公式表明，与传统的物理学不同，物质也具有波动性，而波长与物质的动量成反比。

德布罗意波公式的提出，彻底颠覆了传统物理学对物质和能量的认识，揭示了微观世界的奥秘。

它的引出，为研究微观粒子的运动和相互作用提供了新的思路和方法，成为量子力学的重要基础。

德布罗意波公式的意义不仅在于理论上的革新，更在于其实验验证的成功。

通过电子衍射实验，物理学家们证实了物质波的存在，进一步验证了德布罗意波公式的正确性。

德布罗意波公式的应用范围非常广泛。

在量子力学中，德布罗意波公式被广泛应用于描述粒子的运动和相互作用，包括电子、中子、原子等微观粒子。

在物理学的其他领域中，德布罗意波公式也被应用于声波、光波等波动现象的研究中，成为研究波动现象的基础。

德布罗意波公式是量子力学中的一条重要公式，它揭示了微观世界
的奥秘，为研究微观粒子的运动和相互作用提供了新的思路和方法。

它的应用范围广泛，成为研究波动现象的基础。

物质波的德布罗意公式(一)

物质波的德布罗意公式(一)
物质波的德布罗意公式
引言 - 描述物质粒子的波粒二象性是量子物理的基本原理之一。

- 德布罗意在1924年提出了物质波的概念，即物质粒子也具有波动性质。

德布罗意公式的表达
λ=ℎp
公式解释与示例 - 公式中： - λ代表物质波的波长， - ℎ代表普朗克常数（$ ^{-34} J s$）， - p代表物质粒子的动量。

•示例：光子的物质波
–光子是一种电磁波，也被视为一种粒子。

–光子的物质波可以使用德布罗意公式进行描述。

–假设光子的动量为p=10−25kg⋅m/s。

–则根据德布罗意公式，光子的物质波波长为：
λ=ℎ
p
=
×10−34J⋅s
10−25kg⋅m/s
=×10−9m
结论 - 德布罗意公式描述了物质粒子的波动性质。

- 通过德布罗意公式，我们可以计算物质波的波长，从而理解物质粒子的波粒二象性。