分离法解决几何问题

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分离法解决几诃问题
◎刘东莉（山东省淄博市博山区第六中学，山东淄博255200)
【摘要】在平 的学习中， 本图形 以组
合成一 杂图形.反之，要在一 杂图形中进行 论，我往往可以把它分离成 本图形，采各个击破的方法，这样 以使复杂问题 .
【关键词】分情况；复杂图形;分离；抽取;基本图形
在平 的学习中，几个 可以组合成一
个复杂.反之，要在一个复杂 中进行推理论证，我
往往可以 分离成几个 ，采各个击破的方法，这样就可以使复杂问题简单化.这种“分离法
问题”是一种行之有效的数学学习方法， 我 来说
明这种方法.
例1如图1所示，已知4Q //C 1,你可以得出哪些结 论？并加以 $
分析这是一道 题目， 比较复杂，到底能得出哪些结论学生会比较困惑，在）Q / C 1这种情况下，我们
分成五种情况， 这种情况可分离出五种 ，如：(1) 以为截线如图2所示，则可得出714Q %
7)1C = 180R
(2) 以）为截 3所示，则可得出7層％ 7)；C &
180◦或 71S 4 = 7S 4Q ;
(3) 以）C 为截 4 ，则可得出7174 & 7745;
(4) 以7T 为截 5 ， 可得出71CT +
7C T 4 = 180◦或 71C T = 7C T Q ;
(5) 以C Q 为截 6 ，则可得出71CQ +
7C B A &180 R
图4 图5 图6
例2 证明：两平行直线被第三条直线所截，同位角
相等.
已知：如图7 ， 4B //C 1, 71和72是直线4B 、C 1 S T 截出的同位角$
求证：71 = 72$
图7 图8
教材中应用了反证法.证明如下：
8 ，设71 "72,那么我们可以过点
M 做直线U A ，使7S M A & 72，
同位角相等，两直线平行，可得到U A //C 1
又因为4B //C 1,这样经过点；存在两条直线4B 和
U A 都 C 1平行.
这“ 外一点有且只有一条直线与这条直线平行”这个 事 矛盾.
这说明假设71 "72是不成立的，所以71 = 72$分析此题 证法学生 感到比较难理解的原因在于:其一反证法学生第一次接触，前没有相应的 ，
无从 &其 8是个 合在了一起， 复杂， 使学生 来眼花缭乱， 不上证明 了;其明明
是）和卩U A 都和C 1平行，而我们的 感受U A 又明显不与C 1平行.基于以上三点给学生造成了很大的困扰，为 这个难题笔采用的办法是“分离法”， 8分离成个 9和 10.图9 图10
对于图9假设71 "7 2，但已知直线）? // C 1 $
对于图10既然71 "72,我们可以过点；做直线U A ，
使7S ;A = 72， 同位角相等， 平行，可得到
U A //C 1
由图9和10 个 我们可以清 到经过点
;存在 4B J U A 都 C 1平行.
这与“ 外一点有且只有一 这条直线平行”这个 事 矛盾.
这说明假设71 "72是不成立的，所以71 = 72$例3 如图11 ， 形4B O C 的顶点）的坐标为(-4,5)，1 O B 的中点，S O C 上一点，当A )1S 的周 最小时，求点S 的坐标$
图11 图12图13
分析此题难度很大，首先需要确定点S 的位置，如图
11所示，在A )1S 中，的长 定要使周长最短只需 4S + S 1最短.
11中S 点的位置不固定，我们无法 问题，为此
我采用的方法 是“分离法”从11中抽取出了图12,在图12中已知两点）B 在y 轴上找一点S 使% S 1最短. 这 从复杂 中抽取出了学生非常 非常容易解的 —两点一线，求距离之和最短问题.
题 13 ，作）点关于y 轴的对称点），
连接交7轴于点S ，则点S 就是所求作的点.用待定系 数法求出的表达式，再求出与y 轴的交点坐标即可.
以上笔者从三个 析了分离法在 平面几何问题中的优越性， 对大师生有所帮助.
数学学习与研究
2019.2。