高中数学 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案新人教A版必修4

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统编通用版高考数学全套电子教案之必修四高中数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)教案新人教A版必修4

,与
这两个向量的长度无关 . 在没有指明非零向量的情况下 , 共线向量可能有以下几种情况 :(1)
有一个为零向量 ;(2) 两个都为零向量 ;(3) 同向且模相等 ;(4) 同向且模不等 ;(5) 反向且模相
等;(6) 反向且模不等 .
讨论结果 : ①数与向量的积仍是一个向量 , 向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定
图1
PN = PQ QM MN =(- a)+(- a)+(- a),
即 (- a)+(- a)+(- a)=3(- a). 显然 3(- a) 的方向与 a 的方向相反 ,3(- a) 的长度是 a 的长度
的 3 倍 , 这样 ,3(- a)=-3 a.
对问题② , 上述过程推广后即为实数与向量的积 .
(1)(- 3) ×４a;
(2)3( a+b)-2( a- b)- a;
(3)(2 a+3b- c)-(3 a-2 b+c).
活动 : 本例是数乘运算的简单应用 , 可让学生自己完成 , 要求学生熟练运用向量数乘运算
的运算律 . 课程中 , 点拨学生不能将本题看作字母的代数运算 , 可以让他们在代数运算的同时
2
22
点评 : 结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则Leabharlann , 将两个向量的和或差表示
出来 , 这是解决这类几何题的关键 .
思路 2
例 1 凸四边形 ABCD的边 AD、BC的中点分别为 E、 F, 求证 : EF = 1 ( AB + DC ). 2
活动 : 教师引导学生探究 , 能否构造三角形 , 使 EF 作为三角形中位线 , 借助于三角形中位
由学生自己完成 . 另外 , 本题是一个很好的与信息技术整合的题材 , 课程中可以通过计算机作

高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.3 向量数乘运算及其几何意义1．理解向量数乘运算的几何意义．2．掌握向量数乘运算的运算律．3．掌握向量共线的条件．基础梳理一、向量的数乘运算1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa．(1)|λa|＝|λ||a|．(2)λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ＝0时λa＝0．2．运算定律．结合律：λ(μa)＝(λμ)a，第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．练习1：a为单位向量，则|3a|＝3，|2a|＝2，|2(3a)|＝6．练习2：(－3)×4a＝－12a．思考应用1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行加法、减法运算呢？解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．二、向量共线 1．向量共线的条件．(1)对于向量a (a ≠0)、b ，若有实数λ，使b ＝λa ，则a 与b 为共线向量． (2)若a 与b 共线(a ≠0)，则有实数λ，使b ＝λa ． 2．向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的条件是当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ．练习3：M 是线段AB 的中点，对于任意一点O ，都有OM →＝12(OA →＋OB →)．思考应用2．在向量共线定理中，为什么附加上条件a ≠0?解析：当a ＝0时，不论实数λ为何值，都有b ＝0，而当b ≠0，a ＝0时，向量a 与b 共线，此时λ不存在，共线定理不成立．也就是说当a ＝0时，不能表示任意的向量b .自测自评1．若a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2，则a ＝－12b ，b ＝－2a .解析：根据向量共线条件得a ＝－12b ，b ＝－2a .2．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →.3．已知|a |＝3，|b |＝5，b 与a 的方向相反，若a ＝λb ，则λ＝－35．解析：|a |＝35|b |，b 与a 的方向相反，∴a ＝－35b ，∴λ＝－35.4．若C 是线段AB 的中点，则AC →＋BC →为(D ) A.AB → B.BA → C ．0 D ．0解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC →＝CB →.∴AC →＋BC →＝AC →－CB →＝AC →－AC →＝0.故选D .基础提升1．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为(B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a2．(2015·新课标全国高考Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数________．解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12. 答案：123．已知向量是不共线向量e 1，e 2，给出下列各组向量： ①a ＝2e 1，b ＝e 1＋e 2；②a ＝2e 1－e 2，b ＝－e 1＋12e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2. 其中共线的向量组共有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有(C ) A.AD →＝0 B .AB →＝0或AD →＝0C ．ABCD 为矩形 D ．ABCD 为正方形解析：由于AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，由条件得|AC|→＝|DB|→，又ABCD 是平行四边形，∴ABCD 为矩形，故选C .5．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是(C )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：只有⑥错误，应为a ＋(－a )＝0.故选C . 巩固提高6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．答案：CA →7．设两个非零向量a 和b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解析：∵ka ＋b 和a ＋kb 共线， ∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，则(k －λ)a ＝(λk －1)b .由于a 与b 不共线．只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.8．证明：向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →，反之也成立．证明：∵向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线，∴存在实数t ，使得AC →＝tAB →，即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)，OC →＝(1－t )OA →＋tOB →.令λ＝1－t ，μ＝t .则有OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1. 反之，若OC →＝λOA →＋μOB →，(*) ∵λ＋μ＝1，把λ＝1－μ带入(*)式得OC →＝(1－μ)OA →＋μOB →， OC →－OA →＝μ(OB →－OA →)，即得AC →＝μAB →.∴向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线．9．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2 OB →＋3 OC →＝0. (1)若D ，E 分别是BC ，CA 的中点，求证：D ，E ，O 共线； (2)求△ABC 与△AOC 的面积之比．(1)证明：如右图，OB →＋OC →＝2 OD →，OA →＋OC →＝2 OE →， ∴OA →＋2 OB →＋3 OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)．∴2OD →＋OE →＝0，∴OD →与OE →共线，即D ，E ，O 共线． (2)解析：由(1)知2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.1．若向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一实数λ，使b ＝λa ；若存在实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，则向量a 与向量b 共线．2．若存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0，则向量a 与b 共线；若向量a 与b 共线，则必存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.。

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2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。

三、教学过程：（一）复习：已知非零向量a r ，求作a a +r r 和()()a a −+−r u u r ．如图：OB a a =+u u u r r r 2a =r ，()()CE a a =−+−u u u r r r 2a =−r ．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=r r ；（2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=r r （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）；（3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．例1 计算：（1）(3)4a −⨯r ；（2）3()2()a b a b a +−−−r r r r r ；（3）(23)(32)a b c a b c +−−−+r r r r r r ．解：（1）原式=12a −r ；（2）原式=5b r ；（3）原式=52a b c −+−r r r ．例2．已知向量a ϖ和向量b ϖ，求作向量b a a ρρρρ325.2−−和4．练习计算：（1）)2(2)(3b a b a +−−（2）)243(3)362(2c b a c b a −+−−−+（3）教材P90面5题5．思考例3． a −r E a r a r a r O B A C D a −r )0( ρρρρ≠a a a 有何关系？与λ. a b a b ρρρρλλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +−=−=ρρ例4．教材例7。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。

£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。

新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)

三、教学过程：（一）复习：已知非零向量a r ，求作a a +r r 和()()a a -+-r u u r ．如图：OB a a =+u u u r r r 2a =r ，()()CE a a =-+-u u u r r r 2a =-r ．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=r r ；（2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=r r （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）；（3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．例1 计算：（1）(3)4a -⨯r ；（2）3()2()a b a b a +---r r r r r ；（3）(23)(32)a b c a b c +---+r r r r r r ．解：（1）原式=12a -r ；（2）原式=5b r ；（3）原式=52a b c -+-r r r ．例2．已知向量a ϖ和向量b ϖ，求作向量b a a ρρρρ325.2--和4．练习计算：（1）)2(2)(3b a b a +-- （2）)243(3)362(2c b a c b a -+---+ （3）教材P90面5题 5．思考例3．a -r E a r a r a r O B A C D a -r )0( ρρρρ≠a a a 有何关系？与λ. ab a b ρρρρλλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +-=-=ρρ例4．教材例7。

高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修4

课题 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学目标知识与技能理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．过程与方法理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．情感态度价值观启发引导，讲练结合重点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义难点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？(2)已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？（3)已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？探究点二向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.探究点三共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在一个实数λ，使b＝λa.向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明教学内容教学环节与活动设计推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线．【典型例题】例1 计算：(1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )．解 (1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ；原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c . 跟踪训练1 计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ， OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ，故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线．教学设计教学内容教学环节与活动设计例3如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且AB→＝a，AD→＝b，你能用a、b表示MA→、MB→、MC→和MD→吗？解在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，DB→＝AB→－AD→＝a－b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，MA→＝－12AC→＝－12(a＋b)＝－12a－12b，MB→＝12DB→＝12(a－b)＝12a－12b，MC→＝12AC→＝12a＋12b，MD→＝－MB→＝－12DB→＝－12a＋12b.踪训练3如图，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE→＝12BC→.1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a＋8b－a－2b.2．如图，AM→＝1AB→，AN→＝1AC→.结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．教学小结1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|表示与向量a同向的单位向量．课后。

高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》新人教A版必修4

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，

新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义(二)

2.2.3 向量数乘运算及几何意义（2）一、教学目标：（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。

（2）能运用向量判断点共线、线共点等。

二、教学重、难点：（1）共线向量定理（2）共线向量定理应用。

三、教学过程：（一）复习：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=r r ；（2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=r r （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）；（3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．向量共线定理：定理：如果有一个实数λ，使b a λ=r r （0≠），那么向量b r 与a r 是共线向量；反之，如果向量b r 与a r （0≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=r r ．（二）新课讲解：1．向量共线问题：例1、例2、例3、教材P89面例6. ,2351253 共线和求证：向量（满足、已知向量b a b a +=--+证明三点共线的问题 .2.)0(B 三点共线、、C B A ⇒≠=ρλ .3证明两直线平行的问题. CD //AB CD AB // 直线直线不在同一直线上与⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒=λ是否共线？与，试判断，已知 3 3==A BC D E例4。

四、课堂练习： P90面6题五、小结：1．掌握向量数乘运算的定义；2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；3．理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。

课后思考1．2．3．..35,4,2,为梯形求证：四边形中在四边形ABCD ABCD --=--=+=。

2018版高中数学平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4 含解析

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案向量.思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3 λa 的几何意义是什么？答案 λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍. 梳理向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |. (2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律. 梳理向量数乘运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三向量共线定理思考1 若b ＝2a ，b 与a 共线吗？答案根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线.如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .思考2 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？答案若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 梳理 (1)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )].解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b ) ＝－4a ＋4b .(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________.答案 29a －29b ＋19c解析因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线.解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线.(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点.跟踪训练 2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________. 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值.解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思与感悟利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案 1解析由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1. 类型三用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB →D.23AC →＋13AB → 答案 D解析示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1.已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c 等于( ) A.5e B.－5e C.23e D.－23e答案 C解析 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e . 2.在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C.2AM → D.MA → 答案 C解析如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝12答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.所以n ＝2m ，此时，m ，n 共线.4.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上答案 D解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →， ∴PC →＝－2PA →，∴P 在AC 边上.5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量.3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是( ) A.λa 与a 的方向不是相同就是相反 B.若a ，b 共线，则b ＝λa C.若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D.若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 答案 D解析显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |.2.在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( ) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43b D.－23a ＋43b答案 A解析由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析连接CD ，OD ，如图所示.∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ， ∴CD ∥AO ，∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .4.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13B.23 C.12 D.34答案 B解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.5.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.6.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A.①④ B.①② C.①③ D.③④答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误. 二、填空题7.已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则________三点共线. 答案 A ，B ，D8.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 9.(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 答案 a ＋10b10.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示) 答案 14b －14a解析如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ).三、解答题11.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，求△ABM 的面积与△ABN 的面积之比.解如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ，∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝23. 12.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值. 解 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b . ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk －2＝0，∴k ＝± 6.13.在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c ). ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d . 四、探究与拓展14.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________.答案－1或315.已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形.证明如图所示.∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形.。

人教新课标版数学高一必修4导学案向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一向量数乘的定义思考1向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？思考2一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向______；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(3)λa几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍．知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？知识点三向量共线定理思考若b ＝2a ，b 与a 共线吗？如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .【合作探究】类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .类型二向量的表示例2 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB→＝2b ，求CD →，CE →.(2)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.类型三共线问题例3 (1)已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ；③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b .5．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.【小结作业】小结：作业：本节限时练。

高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4-新人教A版

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。

——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2 共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量λa，｜λ｜｜a｜，相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λbλa－aλa－λb2．b＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b－a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a数乘，得到向量λa，其方向由λ的正负及向量a的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a沿a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量也是向量a方向上的单位向量.4．(1)当a，b同向时，λ＝，当a,b反向时，λ＝－.(2)共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a，b不共线，则a≠0，b≠0，且a＝b，从而a，b共线，与向量a，b不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a+4b+9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb与b+λa的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb与b+λa的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-kλ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb与b+λa的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则.4．5．（1）由，得，而与不共线，所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则，有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-，所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。

高中数学《向量数乘运算及其几何意义》教案2 新人教A版必修4

高中数学 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案新人教A版必修4

2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

【学法指导】通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。

【知识链接】引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F m a =r r ，位移与速度的关系 s v t =r r。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++r r r 和()()()a a a -+-+-r r r向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）【学习过程】 1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a r 的积就是λa r，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a r相乘的含义作一番解释才行。

实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r. 它的长度和方向规定如下：（1） .（2） . 2）运算律：问：求作向量2(3)a r 和6a r （a r 为非零向量）并进行比较，向量2()a b +r r与向量22a b +r r 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生： .师：设a r 、b r为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμa λa μa +=+r r r ；（2）()()λμa λμa =r r ；（3）()λa b λa λb +=+r r r r.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

高中数学人教(A版)必修4导学案：2.2.3-向量数乘运算及几何意义(无答案)

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.理解实数与向量的积的概念．2．明确实数与向量的积的定义和运算律．3．掌握向量共线定理并能够判断两向量是否共线．【预习案】1．向量的加减法的法则有____________法则和________法则．2．平行四边形法则中，两个向量必须是共________、不共线；三角形法则中的两个向量_________求其和；连终点指向被减，求其差．3．向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做______________，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；λ＜0时，λa的方向与a的方向______；λ＝0时，λa＝0.4．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．3．共线向量基本定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有_________实数λ,使b＝λa.4．线性运算(1)向量的____________________统称为向量的线性运算．(2)任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【探究案】问题探究1．数乘向量与原向量之间有什么关系？2．在共线向量定理中，为什么要强调a≠0?考点一：向量数乘的定义及其几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．例一已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.(1)用BC→表示AB→；(2)用CB→表示AC→.【思维总结】解决此类问题，关键是准确理解数乘向量的定义，把握表示及被表示向量的长度和方向，实现问题的转化考点二向量数乘及线性运算向量的加法、减法、实数与向量的积以及它们的混合运算称为向量的线性运算．根据运算律化简．例二：计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋13b)；(2)12[(3a＋2b)－(a＋12b)]－2(12a＋38b)；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【思维总结】其运算规律可类比多项式的合并“同类项”考点三：共线向量定理及应用要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．例三：设两非零向量a和b不共线，如果AB→＝a＋b，CD→＝3(a－b)，BC→＝2a＋8b.求证：A、B、D三点共线．【思维总结】利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”，通过向量关系证出“三点共线”的结论．互动探究2 在本例前提下，证明：CA →＝xCB →＋yCD →.(其中x ＋y ＝1) 方法技巧1．判断向量a 与b 是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)．2．判断A 、B 、C 三点是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使AC →＝λAB →.如例33．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”，“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．如例2 4．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．失误防范1．对于λa ，当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍． 2．数乘向量λa ＝0，则可得λ＝0或a ＝0；反之，也成立． 3．如果a 与b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.。

人教A版数学必修四教案：2.2.3向量数乘运算及其几何意义

3、情感态度与价值观：初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。

三、重点难点教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.四、教学设想（一）导入新课思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题①,学生通过作图1可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,图1PN=MN+=(-a)+(-a)+(-a),QMPQ+即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa=0.根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a 与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.（三）应用示例思路1例1 计算:(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b .解:(1)原式=(-3×4)a =-12a ;(2)原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;(3)原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”. 变式训练若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .解:因3m +2n =a , ①m -3n =b. ②3×②得3m -9n =3b . ③①-③得11n =a -3b .∴n =111a -113b . ④ 将④代入②,有m =b +3n =113a +112b . 点评:此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程,通过方程组的求解获得m 、n .在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.图2例2 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律.图3解:如图3分别作向量OA 、OC 、OB 过点A 、C 作直线AC.观察发现,不论向量a 、b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想A 、B 、C 三点共线.事实上,因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b , 而AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b ,于是AC =2AB .所以A 、B 、C 三点共线.点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.例3 如图4,ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD吗?图4活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.解:在ABCD 中, ∵AC =AB +AD =a +b ,DB =AB -AD =a -b ,又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴MA =21-AC =21-(a +b )=21-a -21b , MB =21DB =21(a -b )=21a -21b , MC =21AC =21a +21b , MD =MB -=-21DB =-21a +21b . 点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.思路2例1 凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:EF =21(AB +DC ). 活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.图5解:方法一:过点C 在平面内作CG =AB ,则四边形ABGC 是平行四边形,故F 为AG 中点.(如图5)∴EF 是△ADG 的中位线.∴EF21DG . ∴EF =21DG . 而DG =DC +CG =DC +AB , ∴EF =21(AB +DC ). 方法二:如图6,连接EB 、EC,则有EB =EA +AB ,EC =ED +DC ,图6又∵E 是AD 之中点, ∴有EA +ED =0, 即有EB +EC =AB +DC . 以EB 与EC 为邻边作EBGC,则由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴EF =21EG =21(EB +EC )=21(AB +DC ). 点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.例2 已知OA 和OB 是不共线向量AP =t AB (t ∈R ),试用OA 、OB 表示OP .活动:教师引导学生思考,由AP =t AB (t ∈R )知A 、B 、P 三点共线,而OP =OA +AP ,然后以AB 表示AP ,进而建立OA ,OB 的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.解:OP =OA +AP =OA +t·AB =OA +t·(OB -OA )=(1-t)·OA +t·OB . 点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则OP =m·OA +n·OB ,m+n=1. 变式训练1.设两个不共线的向量e 1、e 2,若向量a =2e 1-3e 2,向量b =2e 1+3e 2,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d =λa +μb 与向量c 共线？解:d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2,要使d 与c 共线,则存在实数k 使d =kc,即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2k e 1-9k e 2.由2λ+2μ=2k 及3μ-3λ=-9k 得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d 与c 共线.2.(2007浙江高考),7 若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,则( )A.|2a |>|2a +b |B.|2a |<|2a +b |C.|2b |>|a +2b |D.|2b |<|a +2b |答案:C3.(2007全国高考),5 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =31CA +λCB ,则λ等于( ) A.32 B.31 C.-31 D.-32 答案:A（四）课堂小结1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.（五）作业。

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