Lebesgue积分和Lebesgue的理论

Lebesgue积分和Lebesgue的理论

Abrat Chen, pku

作为日志，写得比较随意，希望不会造成误导。。

一

2011年刚刚过去，当我想起自己到底在2011年收获了什么的时候，总是能够想起许多的失败的经历，而其余的收获又几乎微不足道，唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于Lebesgue的美妙理论有所了解。我真的很喜欢这个理论，或许是因为我喜欢公理化的东西，这也许可以解释我的物理的悲剧。。

整个过程持续的时间很长，从2011年的春季，那时候在看一本书，但是学得很不明白。真正有所感触，大概要到9月份，那时候在抽象测度论上还是比较磕绊，再后来，鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己学习这些东西的历程和心得，逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。虽然我觉得在面试的时候自己讲的不好，但是，对于自己学习这套理论来说，效果非常得好，很多没有想明白的东西终于想明白了。所以，我得到这样一种印象，学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。

我看的书是Friedman的Foundations of Modern Analysis，包含了实变和泛函的内容，关于实变的部分，组织材料的方法非常奇怪，它先将\sigma-代数，然后讲抽象的公理化的外测度（可以初步地认为外测度和测度都是长度或者面积的推广），然后是公理化的抽象的测度，接着推出的Caratheodory的定理，这条非常要紧，就是说每个外测度都可以诱导出一个测度，只不过要限制在一部分集合上，这些集合叫做可测集。什么意思呢？外测度是大的集合X（可以具体地想成是欧氏空间神马的）的所有子集都有定义的（比如欧氏空间的所有子集都有外测度），但是外测度的公理说了这么三条：

首先它是从X的幂集（X的全体子集的集合）到非负实数的映射。

（1）空集的外测度是0

（2）F是E的子集，于是F的外测度小于等于E的外测度（这条叫做单调性）

（3）次可数可加性，就是说A可以写成En的并，En是集合序列（当然是可数个咯），那么A的外测度小于等于En各自的外测度之和（这个和当然是一个非负无穷级数）

这三条都是非常自然的，第三条或许会有些疑虑，其实也很自然，因为En之间可能有交集的，外测度可以想成是长度或者面积的推广，计算A的外测度的时候，这些重叠部分只被算了一次，而计算En的外测度之和的时候，它们都分别被算了，也就是说，被重复计算了，当然会大。

但是外测度有很严重的缺陷，就是，它没有可加性，就是说，我们期待着两个集合A，B不交，那么A并B的长度应该是它们长度之和。所以引入测度的公理：

（1）空集的测度是0

（2）可数可加性，这个性质比刚才举的这个A和B的例子还好，现在是说En是集合列，En两两不交，那么它们的测度之和等于它们的并（这个并是不交并）的测度。

这就非常好的。那么外测度和测度到底什么关系（当然这么说还是太抽象了，这个时候，可以看看Lebesgue 外测度的定义，它这样定义的，现在拿一维欧氏空间做例子，n维欧氏空间类似的也有Lebesgue外测度：

定义集合E的Lebesgue外测度为，u*(E)=inf { \sigma_n (b_n - a_n) | (a_n,b_n)是一列开区间，并且覆盖了E}

其中取下确界是对所有的覆盖取下确界。学习过数学分析其实就可以很容易地验证它满足外测度公理，然而它没有可加性（有一个经典例子，基本所有书来会给出，通过区间[0,1]上的等价关系a~b当且仅当a-b 是有理数，这个等价关系诱导出[0,1]的划分，然后用选择公理从每个等价类中选出一个来，就可以验证它没有可加性。之和可以知道，这个集合是一个Lebesgue不可测集，是由Sierpinski给出的）

那么，怎么从外测度得到测度呢，这就是Caratheodory定理的内容：

首先定义什么叫u*-可测：

设u*是X（可以想成欧氏空间）的一个外测度（就是满足外测度的公理），定义E是u*可测的如果它满足

对于任意的集合T，有u*(T) = u*(E\T) + u*(E交T)

这个定义可能很不自然。其实大家可以看到，它已经有可加性的影子了。其实最早Lebesgue不是这么定义可测的，它用了外测度和内测度（和外测度对偶的一个概念，其实不完全是），外测度是从外面去覆盖，内测度可以认为从内部去扩张（当然，不完全对，Lebesgue当时是用外测度定义内测度的，即假设E包含在区间[a,b]中，则E的内测度=u*([a,b])-u*([a,b] \ E)，可以想象成是E的内部有一列区间，然后它的内测度就是这些区间的和的上确界）。Lebesgue定义，如果它可测当且仅当它的外测度等于内测度。可以证明，它和这里的可测定义是等价的。但是它有致命缺点，就是说一般的抽象空间怎么定义外测度，第二，如果集合无界怎么办，第三，最糟糕的是，当外测度可加的时候，内测度一定可加，反之却不然（这条我木有仔细想过）。

Caratheodory定理就说：

X上的所有u*可测集组成的集合是有（代数）结构的，它是一个\sigma-代数，记为a，即全体可测集的集合。并且u*限制在a上是测度（就具有可数可加性了）。

首先，这么是\sigma-代数，它是这么定义的：

定义a是X的幂集的子集（就是说a包含了X的一些子集），定义a是\sigma-代数如果它满足：

（1）空集属于a

（2）如果E属于a，那么E的补也属于a

（3）A对于可数的并运算封闭，就是说E_n都属于A，那么它们的并（这是可数并，而且不要求不交）就属于a

其实，就可以很容易地推出X也属于A，并且，A对可数并交补的各种混合运算全部封闭（交可以用补和并来表示，就很容易可以验证了）。（下面扯点代数内容，如果把并运算看作加法，把对称差运算看作乘法，a实际上代数上的环，也能是把并看作乘法，对称差看作加法，，有点忘了。。一会儿验证下）

Caratheodory定理的证明不难，但是很重要。由它就可以知道，由Lebesgue外测度（上面已经给出了它的定义）可以得到一个限制在可测集类a（它是一个\sigma-代数）上测度，它就是Lebesgue测度。

有几点需要指出：

Lebesgue可测集类对于可数并交补的混合运算全部封闭，而且，在后面就可以知道，所有开集都是可测的（从Lebesgue外测度是一个度量外测度可以推出），所以，想构造一个不可测集非常难，因为，它对于这些集合的运算都封闭了，肿么办？当年数学界曾有一段时间，找不到一个Lebesgue不可测集，Lebesgue本人虽然断言不可测集一定存在，但是，他也做不出来。。。不可测集的例子，刚才所列出的Sierpinski的例子就是一个，当然不是最早的，后来掌握了不可测集的构造方法，就有了Banach-Tarski 分球怪论，把一个球分成有限块，然后重新组合，可以变成两个一样大的球，当然，那些部分都是不可测的）

另外，很容易验证的事实就是，如果E的外测度是0,那么E的所有子集（包括E自己）一定可测，并且是零测集（测度是0），如果测度对于所有这样的集合E（即满足外测度是0的条件的E）都成立，那么就说，这个测度是完备的。很容易验证，由Caratheodory定理给出的由外测度诱导的测度都是完备的，特别地，Lebesgue测度是完备的。

这就扯出一段轶事来，最早是有Borel测度的，但是不完备，而Lebesgue测度是它的完备化，就是说，每一个Lebesgue可测集都可以写成一个Borel可测集并上一个零测集，反之亦然，能写称这样形式的都是Lebesgue可测的。于是，Borel（1871-1956，是Lebesgue的老师，只比Lebesgue大4岁，但是Lebesgue 1875-1941，早于他的老师15年就离开人世）说：“Lebesgue的贡献仅在于零测集。”于是二人反目了。。在20年代的时候，Lebesgue理论已经获得公认，他们争着评法国科学院的院士（其实我认为Borel的成就不亚于Lebesgue），名额只有一个，他们争吵不休，甚至相互辱骂，最后的结果是。嗯，我先去吃饭去了，下次再说。

二

前文提到了Lebesgue和他的老师Borel的争端，两个人在争夺一个法国科学院院士的名额，最后的结果是，额，两个人都评上了有木有！！

现在我觉得，如果每一天的下午都能很闲暇地翻一翻这些书，这样的生活也很快乐。在考试周的时候，虽然关于数学的考试都已经过去，但是，觉得实在复习不下去或许常常感到很悲观的时候，翻一翻这些书，看看我喜欢的Lebesgue和他的奇妙定理，就会感到特别地平静。Fermat猜想（也就是后来成为Fermat 大定理的那个命题）曾经救过一个悲观厌世的人的生命，他曾经打算结束自己，但那时他看到了Fermat 猜想，他努力去探寻，最后他发现人间还有很多很奇妙的东西，他没有自杀，捐了一笔钱作为给解决这个问题的人的奖励。

Friedman的书里面在讲完Caratheodory的定理之后，也就是在揭示了外测度和它诱导的测度的联系之后，告诉我们如何在抽象的集合X（而不仅仅是欧氏空间）上构造外测度。

我们可以回忆以下Lebesgue外测度的做法，它是对于所有E的开区间覆盖里面取个下确界。利用覆盖的办法，就可以在抽象的空间上也建立外测度。在Lebesgue外测度的定义中，我们注意到这么几点：

（1）欧氏空间的开区间是能够覆盖R上的任何集合的（当然，只要验证它能覆盖R即可，不妨取(n,n+2)，n取遍所有的整数，这样就显然可以覆盖R，覆盖R的所有子集也就不在话下，而且，后来可以知道，这是\sigma-有限的，英文是\sigma-finite，就是说，虽然R本身的外测度或者测度是无穷的，但是它可以被测度有限的可数个集合盖住，这就是\sigma-有限，这里的\sigma可以理解为可数，不妨想想表示无穷级数时的求和号，那个大\Sigma）

（2）这些开区间，我们事先赋予了长度，就是，我们认为区间(a,b)的长度是b-a

这样就可以得到一般的构造外测度的方法。首先有一个叫sequential covering class（不知道中文怎么翻译），这个东西就类似于开区间族（开区间的集合），如果一个X的幂集的子集K满足以下条件就说它是一个sequential covering class:

（1）空集属于K

（2）X的任何子集E，都可以从K中选取可数个元素（这些元素都是X的子集）把它盖住

这些实际上就是R上的开区间族的抽象。

然后，我们要给K中的元素E赋予长度\lambda(E),这就好比给开区间赋予长度b-a一样。这个\lambda是从K到非负实数的映射。这样，就可以造出X上的外测度了

对于任意的X的子集E, 定义u*(E) = inf { \sum_n \lambda (E_n) | E_n都是K的元素,并且E_n的并覆盖E }

是对于所有的覆盖取下确界。由刚才的Caratheodory定理，就可以得到一个限制在可测集类a（它是一个\sigma-代数）上的测度u。

现在Lebesgue测度就成为一个特例的，就是K取开区间族，\lambda (a,b) = b-a，这样得到的外测度。从而又诱导出Lebesgue测度。其实欧氏空间上还可以有别的测度，比如Lebesgue-stieltjes测度。它的K 依然是开区间族，而\lambda (a,b) = f(b) - f(a) ,f是单调递增的右连续的函数。这样得到Lebesgue-stieltjes 外测度，进而得到Lebesgue-stieltjes测度。高维欧氏空间的Lebesgue外测度怎么来呢？可以把K取成半开半闭的开矩体（就是那些长方体一样的），\lambda就是它们的体积，就是每一维长度的乘积。

其实现在已经足够定义积分了。但是，这时候Friedman的书里面讲了以下度量外测度。什么是度量外测度？如果u*是度量空间(X,d)上的一个外测度，如果它还满足当A，B的距离inf_{x \in A, y \in B} d(x,y)>0时，有u*(A并B) = u*(A) + u*(B)，就称它是一个度量外测度。有以下两个定理（具体证明不难，但是，用纯文本打公式太悲剧了）：

定理1：u*是度量空间(X,d)上的外测度，那么它是度量外测度的充分必要条件是所有开集都可测（注意到如果有度量，就有了度量诱导的拓扑，开集闭集的概念就有了）

定理2：欧氏空间的Lebesgue外测度是度量外测度

定理的证明真心不难，当然我自己还是看了很久才明白。

下面可以谈谈抽象的测度的性质：（注意，只要它满足测度的公理，这些就都对）

有很多性质，比如它对于递增的集合列有连续性，就是说E_n都可测，并且是单调递增的集合列，那么，它们会收敛到它们的并E，那么E的测度等于lim u(E_n)，也就是说lim u(E_n) = u (lim E_n)。对于递减集合列也有连续性，但是有条件，必须某一个集合E_n0的测度是有限的，否则有反例，比如欧氏空间的(n,+\infty)，它是递减列，极限是空集，测度是0,而这些集合每一个的测度都是无穷（这其实也是后来Egroff 定理要求测度有限的原因）。

如果测度有限，那么对递增集合列和递减集合列都有连续性了，于是，对于集合的极限也有连续性的（回忆一下集合的上下极限就知道了）

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下面其实就可以谈Lebesgue积分了。Friedmann的书似乎要把抽象坚持到底，它讲的是测度空间（X,a,u）上关于测度u的积分，从而Lebesgue积分成为了特例。（神马是测度空间，实际上就是把集合X，测度u，以及可测集类a，它是一个\sigma-代数，组成一个三元组就是一个测度空间）。

最后扯点八卦。当时啊，Lebesgue在1902在他的博士论文里面给出了一出现就已经达到完善的Lebesgue 积分理论，但是二十年以来才被承认。像Hermite就认为Lebesgue的理论，尤其他对于不可微的东西研究很恶心，破坏了数学的美感。Hermite（学物理的孩纸都知道的厄米算符，就是他了）妨碍Lebesgue 发表论文，当时Lebesgue也很受孤立。他想和分析学家讨论问题的时候，他们就会说：“你不会感兴趣的，我们在研究有导数的函数”，而几何学家则对他说：“我们在研究有切平面的曲面”。poor Lebesgue。下次再谈。

三

之前的两篇日志的内容就花了很长的时间去理解，到了10月份左右才知道它在说些什么。

下面就可以谈谈Lebesgue积分了。

不妨想一想为什么要谈刚才所谈到的测度？其实，它的重要作用就是，引入Lebesgue积分。Lebesgue 积分是以测度作为基础的。为什么要引入Lebesgue积分，我觉得有这样一些原因：

（1）Riemann积分的可积性对于连续性要求非常高。有Lebesgue定理：

[a,b]上的有界函数f，它是Riemann可积的充分必要条件是它的不连续点是零测集。

这句话就是说，它几乎处处连续（说某个命题P几乎处处成立就是说它不成立的点是零测集，几乎处处缩写为a.e，almost everywhere）。

（2）极限定理非常不好。比如即使的单调上升的非负的R可积函数列，它即使一致有界都不能保证它的极限函数R可积。极限和积分的换序条件要求非常高。

（3）微积分基本定理要求太强，要求f可导，并且导函数f'可积，才有\int f' = f(b) - f(a)

（4）重积分的理论非常不好。

很神奇的一点是，Lebesgue积分克服了R积分的缺点，一切都变得很容易。

下面就开始谈测度空间(X,a,u)上的积分。Lebesgue积分就是它的特例的，把X取成欧氏空间，u取成Lebesgue测度。

很重要的一点，L积分是对所谓可测函数定义的。

现在所谈的函数都是从X到R的函数，如果对于任意的t, f^-1 (t,+\infty)是可测集，那么就说f是可测函数。其中f^-1(E) = {x| f(x) \in E }，就是E的原像集，并不意味着f可逆。

函数可测有很多等价条件，对于任意的t，(t,+\infty)的原像集可测就等价于(-\infty, t]的原像集可测，又等价于(-\infty, t)的原像集可测，又等价于(-\infty, t)的原像集可测，又等价于[t,+\infty)的原像集可测，又等价于所有区间的原像集可测。

可测函数中有一类叫简单函数（很像R积分里的阶梯函数）：如果f是E上的简单函数，如果E有一个划分En（En的并是E，且En两两不交，En都可测），注意，这里En是有限个，f在每个En上都是常值。

一个重要结论就是：

非负的可测函数f都可以找到一列简单函数f_n逐点收敛到f。特别地，当f有界时，可以一致收敛到f。

把可测函数f写成正部和负部（显然正部和负部也可测），就可以证明，可测函数f都可以有简单函数逐点逼近，当它有界时，逼近可以是一致的。这就是L积分的基础。在这里，用到了函数的可测性。在证明这个定理的时候，需要对f的值域进行划分，这就是常常说的L积分是划分值域的原因。

可测函数有很重要的三个极限定理：

Egroff Thm: 测度空间(X,a,u),如果u(X)有限，如果可测函数fn 几乎处处收敛到f，那么除去测度任意小的集合外，fn在剩下的集合上是一致收敛到f（在除了测度任意小的集合外一致收敛一般称为几乎一致收敛，almost uniform）

Lusin Thm：f是E上可测函数，那么f限制在E的闭子集F上是连续函数。其中E\F的测度可以任意小。Riesz Thm：（牵扯到依测度收敛，不多提）依测度收敛的可测函数列fn必有几乎一致收敛的子列

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积分的定义：

这是经典的三步走路线，先定义简单函数的积分，然后是非负函数的积分，然后是一般的可测函数的积分。简单函数f的积分就定义为\sum a_n m(E_n)。其中f在E_n上取值就是a_n。这个定义非常自然。

非负函数的积分：\int f = sup{ \int f*|f*是非负的简单函数，并且f* \leq f}

这个取上确界是对所有这样的非负简单函数取上确界。之前我们已经定义了非负函数的积分了。

我们为什么不找一列非负简单函数逼近f，然后把它们的积分的极限定义为f的积分呢？当然这样定义和这个定义是等价的，但是，需要验证这和非负简单函数序列的选取是无关的。还有一个等价定义就是传说中直接分割值域，把值域分成0

这样做就消除了对于f的连续性的要求，把不好的情况都转移到了集合f^-1 (y_{n-1},y_n）的复杂性，要度量它的长度，我们需要Lebesgue测度，而Lebesgue测度又特别强大，我们能够遇到的集合都是可测的，这就v5了。

一般可测函数的积分怎么定义呢？把f分成正部和负部，如果f+,f-至少有一个积分是有限的，那么就定义f的积分为f+的积分和f-的积分的差。这就是Lebesgue积分。

就是这样一个定义，保存了R积分的精华，它的结论非常地好，主要体现它以下几个定理，就不多谈了：

（1）三个极限定理：Levi定理，Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理。这三个都是讨论积分和极限交换次序的。

（2）有关重积分和含参积分的：Fubini定理和Tonelli定理

（3）关于微分和不定积分的：Lebesgue理论的微积分基本定理（这里有很多美妙的定理，例如单调函数几乎处处可微等等）

关于Lebesgue的历史评价：Lebesgue的工作使微积分回到了Newton和Leibniz的时代。

而Lebesgue也开启了现代分析的序幕。

（在那个时候，从来都不管什么时候积分和极限能够交换。R积分出现以后，许多的交换被限制。L积分使得这些条件都得到了巨大的改善。）