2.2离散型随机变量及其分布列(10.6)
2.2 离散型随机变量及其分布
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
2离散型随机变量的分布列
X的所有可能取值是0,1,2,3.
P(X=0)=
C36 C130
=
20 120
=
1 6
,
P(X=1)=
C62C14 C130
=
60 120
=
1 2
,
P(X=2)=
C
2 4
C16
C130
=
36 120
=
3 10
,
P(X=3)=
C34 C130
=
4 120
=
1 30
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
1
1
3
1
P
6
栏目索引
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时
也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质
(i)pi③ ≥0 ,i=1,2,3,…,n;
n
(ii) pi 1. i 1
栏目索引
3.常见的离散型随机变量的概率分布
η
0
1
2
P
0.1
0.3
0.3
栏目索引
3 0.3
栏目索引
1-2 (2015北京朝阳一模改编)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶 图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损,其中,频率分布直方图 的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],据此解答以 下问题. (1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生的失分情况,设 抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X,求X的分布列.
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量及分布列
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X
P
x1
P1
x2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率； 2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
（2） pi p1 p2 pn 1
离散型随机变量及其分布列
一、随机变量的概念：
我们把随机试验的每一个可能的结果都对应于一 数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数 字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量 就叫做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。
注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是 可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义 “X=0，表示正面向上，X =1，表示反面向上”
（4）某品牌的电灯泡的寿命X； [0，+∞) （5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场 任意一棵树木的高度x． [0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 （如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等） 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 （如灯泡的寿命，树木的高度等等） 注意： （1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量
按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量及其分布列教案一、引言1.1 概念介绍离散型随机变量是统计学中的一个重要概念，它描述了在一次实验中可能取到的离散数值，如扔一枚硬币可以取到正面和反面两个离散数值。
本文将介绍离散型随机变量的基本概念及其分布列。
1.2 学习目标通过本教案的学习，你将能够：- 理解离散型随机变量的基本概念；- 了解离散型随机变量的分布列及其性质；- 掌握计算离散型随机变量概率的方法。
二、离散型随机变量的定义2.1 随机变量的概念在概率论中，随机变量是指定义在某个概率空间上的实值函数，它的取值是由实验结果决定的。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型，本文主要关注离散型随机变量。
2.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值是有限个或可数个的随机变量。
扔一枚硬币的实验可以定义一个离散型随机变量X，它的取值为1（正面）和-1（反面）。
三、离散型随机变量的分布列3.1 定义离散型随机变量的分布列，也称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF），描述了随机变量取各个值的概率。
3.2 示意图我们可以通过绘制柱状图来直观地表示离散型随机变量的分布列。
横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应取值的概率。
3.3 性质离散型随机变量的分布列具有以下性质：- 非负性：概率质量函数的取值非负；- 总和为1：所有可能取值的概率之和等于1。
四、计算概率4.1 概念介绍在实际问题中，我们常常需要计算离散型随机变量的概率。
概率计算可以基于分布列进行。
4.2 计算方法计算离散型随机变量概率的基本方法是通过分布列查找对应取值的概率。
具体而言，对于随机变量X和某个取值x，我们可以通过查找分布列找到对应的概率P(X=x)。
五、总结与回顾5.1 概括概念通过本教案的学习，我们了解了离散型随机变量的基本概念及其分布列。
离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率。
5.2 理解计算方法我们学会了通过分布列计算离散型随机变量的概率的方法。
§2.2离散型随机变量及其分布列
2．联合分布的性质
容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面 的性质：
1）非负性： ， ，
2）规范性： pij 1
ij
3．边际分布（边缘分布）
定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它 们的每一个分量 的分布称为关于（ ）的边际分
布，记为
与
若（ )的联合分布列为 P( ai ,， bj ) pij
5000k
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大
，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
P( 5)
1 P 5
1
5
5k 5 e
k0 k !Βιβλιοθήκη 查Poisson分布表得：
5
5k
5
e
0.616.
k0 k !
于是，
P 5 1 0.616 0.384
例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品 每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了 以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少 应进某种商品多少件？
布列中，要计算b(k;n,p)= Cnk p k q nk ，当n和k
都比较大时，计算量比较大。
若此时np 不太大（即p较小），那么由Poisson定理
就有
b(k;n;p) k e
k!
其中 np
k
而要计算
e
有Poisson分布表可查.
k!
例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共
P( k) Cnk pk qnk
k 1, 2,L , n
显然，（1） pk 0 k 1, 2,L , n
n
n
（2） pk
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
2-2离散型随机变量及其分布律
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(学生)
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
长用希腊字母ηξ，来表示。
若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。
2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3、离散型随机变量的分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅21，X 取每一个值)21(n i x i ，，，⋅⋅⋅=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。
有时为了表达简单，也用等式i i p xX P ==)(，n i ，，，⋅⋅⋅=21，表示X 的分布列。
（2）性质：①n i p i ，，，，⋅⋅⋅=≥210；②11=∑=ni i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。
4、常见离散型随机变量 （1）两点分布若随机变量X 的分布列是则这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。
其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P nNkn MN k M ，，，，，⋅⋅⋅=⋅==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
记作：1)1()(---•==N nN N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
2.2离散型随机变量
用 ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数；
场 合
④ 某地区发生的交通事故的次数.
⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
30 September 2019
概率统计教研室
2.2 离散型随机变量
第29页
例 设某地区每年发表有关“利用圆规与直尺三
2.2 离散型随机变量
第27页
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
30 September 2019
概率统计教研室
2.2 离散型随机变量
第28页
在某个时段内：
应
① 大卖场的顾客数； ② 市级医院急诊病人数；
xn pn
(4) 图形: 在随机变量每个可能取值的点处画一长度 为相应概率值的线段。
P{X k}
O 123 4
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x
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2.2 离散型随机变量
第6页
分布律的形象化解释
设想有一单位质量的物质(如一克面粉),被分配在
随机变量X的所有可能取值
2.2 离散型随机变量
第1页
第二节 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
30 September 2019
概率统计教研室
2.2 离散型随机变量
第2页
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列离散型随机变量是概率论中的一种重要概念。
它是指取有限或无限个数值的随机变量，其可能取值的集合是离散的。
离散型随机变量可以用分布列来描述其取值和对应的概率。
离散型随机变量的分布列是一个表格，其中包含了随机变量的所有可能取值和对应的概率。
这个表格可以用来表示离散型随机变量的分布情况。
每个取值对应的概率是该取值发生的可能性大小。
为了更好地理解离散型随机变量及其分布列，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个掷硬币的实验，正面朝上记为1，反面朝上记为0。
这个实验的随机变量X可以取到的值只能是0或1，因此X是一个离散型随机变量。
通过多次实验，我们记录下了X的取值和对应的频率，得到如下的分布列：| X | 0 | 1 || :--: | :-: | :-: || P(X) | 0.4 | 0.6 |在这个例子中，分布列告诉我们当硬币扔出来后，有40%的可能性出现反面朝上，有60%的可能性出现正面朝上。
离散型随机变量的分布列具有以下性质：1. 所有可能取值的概率大于等于0：对于所有可能取值xi，P(X=xi)大于等于0。
2. 所有可能取值的概率之和为1：所有的概率值P(X=xi)的和等于1，即ΣP(X=xi) = 1。
离散型随机变量的分布列可以通过实验或者推理来确定。
在实验中，可以通过重复进行一定次数的实验，记录下随机变量的取值和对应的频率，从而近似估计出分布列。
在推理中，可以根据问题的给定条件和假设，利用概率论的理论和方法来推导出分布列。
离散型随机变量的分布列对于概率计算和统计分析非常重要。
通过分布列，可以计算出随机变量的期望、方差和其他重要统计量。
同时，分布列也可以用来描述随机变量的概率分布，从而进一步研究随机现象的规律和性质。
常见的离散型随机变量及其分布列有很多，例如二项分布、泊松分布、几何分布等。
这些分布在概率论、统计学和应用领域中都有广泛的应用。
对于每种离散型随机变量，都有其特定的分布列形式和计算方法。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第10章 §10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征
跟踪训练3 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上 篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合 格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否 则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进 行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直 接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考 核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合 格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的 概率与考核次序无关. (1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
教材改编题
2.已知X的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1 3
1 6
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为
7
√A.3
B.4
C.－1
D.1
教材改编题
E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.
教材改编题
3.若离散型随机变量X的分布列为
X0 1
P
a 2
a2 2
1 则X的方差D(X)＝___4___.
教材改编题
由a2＋a22＝1，得 a＝1 或 a＝－2(舍去).
X0 1
∴X的分布列为 P
1 2
1 2
∴E(X)＝0×12＋1×12＝12， 则 D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 分布列的性质
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.6
离散型随机变量及其分布列
两人中一人送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件 C，“这两人送考次数相同”
为事件 D，
由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝CC120C22001100＋CC110022C00180＝110909，
解
P(X＝2)＝P(C)＝CC12022C00180＝11969， P(X＝0)＝P(D)＝C220＋CC22210000＋C280＝18939， 所以 X 的分布列为
解 (1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，送考 2 次的有 100
人，送考 3 次的有 80 人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人
20×1＋100×2＋80×3
均次数为
200
＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 2
次”为事件 A，“这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件 B，“这
3.(2020·安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计 划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品 50 天，统计发现每天的销售 量 x 分布在[50,100)内，且销售量 x 的分布频率
1n0－0.5，10n≤x<10n＋1，n为偶数， f(x)＝2n0－a，10n≤x<10n＋1，n为奇数. (1)求 a 的值并估计销售量的平均数； (2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中 用分层抽样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计， 设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列(将频率视为概率)．
解析 答案
(2)(2021·辽宁大连联考)已知随机变量 ξ 只能取三个值：x1，x2，x3，其 概率依次成等差数列，则公差 d 的取值范围是_____________.
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~ B(2500,0.002),
这种分布称作参数为 的泊松分布，记作
普哇松定理 设
~ Pk;
且满足
~ B(n, pn ) , 则 k k P{ k} Cn pn (1 pn )nk ,
lim npn 0 ,
n
则对任意非负整数k，有 k lim P{ k} e n k!
,
3 10 P{ k} , 13 13
.
3
2
故 的分布律为
1
10 13
2
k
3 13
k 1
10 13
p
3 10 3 10 13 13 13 13
概率论与数理统计
(2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时,
概率论与数理统计
例15 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 .02, 0
独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概 . 率
解 设击中的次数为 ，则
~ B(400, 0.02).
从而， 的分布列为
400 P{ k} (0.02)k (0.98)400k , k
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
P
概率论与数理统计
例3 设离散型随机变量 的分布律为
0
1 16
1
3 16
2
1 16
3
4 16
4
3 16
5
4 16
P
求 P 2 , P 3 , P0.5 3.
解 P 2 P 0 P 1 P 2
概率论与数理统计
（3）.均匀分布
如果随机变量 的分布律为 a1 a2 an 1 1 1 pk n n n 其中(ai a j ), (i j) , 则称随机变量 服从 均匀 分布.
则有 例13 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 ， 1 5 6 3 4 2
pk
1 6
概率论与数理统计
普哇松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从普哇松分布.
概率论与数理统计
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排 队等问题中 , 普哇松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特 大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从普哇松分布. 地震 火山爆发 特大洪水
例14 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次 射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
0
5
1
2
3
4
5
pk
5 5 4 5 2 3 0.63 0.42 5 (0.4) 0.6 0.4 0.6 0.4 0.64 0.4 0.6 5 3 1 2 4
1 P n c ,(n 1 2， ), ， 4
n
试求常数c. 解 由随机变量的性质，得
1 1 P n c , n 1 n 1 4
n
该级数为等比级数，故有
所以
1 n 1 1 P n c c 4 , 1 n 1 n 1 4 1 4 c 3．
2
3 10 13 12
3
4
3 2 10 3 2 1 13 12 11 13 12 11
概率论与数理统计
(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中. 所取的可能值是 1, 2, 3, 4.
10 P{ 1} , 13 P{ 3} P{ 2} 3 11 , 13 12
概率论与数理统计
解
所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品 , "
P( k ) P( A1 A2 Ak 1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( Ak 1 ) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p
3 4 7 P 3 P 4 P 5 16 16 16
1 3 1 5 16 16 16 16
P0.5 3 P 1 P
3 1 4 2 16 16 16
概率论与数理统计
例4设随机变量 的分布律为
概率论与数理统计
例1 设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中 任取3个球，求取到的白球数 的分布列。 解
的可能取值为0，1，2
3 C3 P 0 3 0.1 C5
1 C2 C32 P 1 0.6 3 C5 2 1 C 2 C3 P 2 0.3 3 C5 分布表为 0 1
P( 2) 1 P( X 0) P( 1)
1 0.9999
1000
可利用普哇松定理 1000 0.0001 0.1,
1000 0.0001 0.9999999 1
e0.1 0.1 e0.1 0.0047. P( 2) 1 0! 1!
3 2 12 , P{ 4} 3 2 1 13 , 13 13 13 13 13 13 13
故 的分布律为
1 10 p 13
2 3 4 3 11 3 2 12 3 2 1 13 13 13 13 13 13 13 13
概率论与数理统计
例20 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄 同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死 亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元 保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取2000元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 解 设 表示这一年内的死亡人数,则
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
概率论与数理统计
（4）.二项分布
若 的分布列为
k P{ k} Cn pk qnk , k 0,1, 2,n
则称随机变量 服从参数为n, p的二项分布。记为
~ B(n , p) ,其中q＝1－p.
注：二项分布
n1
两点分布
概率论与数理统计
2
pi
0.1
0.6 0.3
概率论与数理统计
2.分布律
记随机变量 的一切可能取值为 a , a , 并且 取 a 的 概率为 p ,即 P a p , i 1,2, 则称 P a p , i 1, 2, 为离 散型随机变量 的分布列，也称为分布律，有时就简称 为分布. 离散型随机变量 的分布列也可以写成表格的形式
k 0,1,,400.
因此，
P{ 2} 1 P{ 0} P{ 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
0.9972.
概率论与数理统计
（5）. 泊松分布
若随机变量的 分布列为
P k
k
k!
其中 0 e , k 0,1, 2,，
(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在
取下一件产品; (2)每次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品 中.
概率论与数理统计
解
(1) 所取的可能值是 1, 2, 3, ,
10 P{ 1} , 13
k 1 2 3 10 3 10 P{ 2} , P{ 3} , 13 13 13 13
1 2
i
i
i
iiΒιβλιοθήκη ipia1 p1
a2 an
p 2 pn
分布列还可以写成矩阵形式
a1 p 1 a2 p2 an p n
概率论与数理统计
3．分布列的性质
离散型随机变量的分布列具有下列性质： (1) pk 0, k 1,2,;
( 2) pk 1.
商场接待的顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
概率论与数理统计
（6）. 几何分布
若随机变量 的分布律为 1 2 k
q k 1 p 则称 服从几何分布.记 ~ Gk ; p .
pk
, p q 1,
p qp
例17 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回 的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之 前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 是一个 随机变量 , 求 的分布律.
k 1
反过来还可以证明，具有性质(1)、(2)的数列 { pi } 必 是某个离散型随机变量 的分布列.
概率论与数理统计
例2 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 为“取出的5个数字中的最大值”．试求 的分布 律． 的取值为5，6，7，8，9，10．并且 解
Ck41 P k 5 k 5, 6， ， 10 C10 从而，即可得 的分布律为
概率论与数理统计
上面我们提到 二项分布
np ( n )
普哇松分布
普哇松分布，
2
概率论与数理统计
例16 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆 汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天 的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于 2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过时出事故的次数为 , 则 ~ B(1000, 0.0001), 从而所求概率为