走进数学建模

走进数学建模作者：黄海洋来源：《中国教师》2014年第15期全国大学生数学建模竞赛已开展了22年。

在教育部的悉心指导下，在全国大学生数学建模竞赛组织委员会的精心组织下，数学建模竞赛的规模不断扩大，参赛人数逐年增加，目前已经发展成为一项规模最大的大学生课外科技活动。

这项学科竞赛活动给学生提供了全过程亲身体验运用数学方法和计算机技术解决实际问题的机会，激励学生发挥创造力，通过团队合作参与竞争，同时也促进教师对数学教学内容和方法的思考与研究，对推动高校数学教学改革有着非常重要的意义。

我参加数学建模课程教学已有10年，我想通过我的经历与大家分享数学建模带来的快乐。

一、我的学习经历自1961年到1967年，我在福州实验小学学习，实际上只学到1965年，“文化大革命”开始，小学五年级就停课了，六年级根本就没有上课。

妈妈问我，“你长大后想干什么啊？你现在小学都没读完，你自己接着读吧”，所以我就自学小学六年级的课本。

上小学时，我的数学、语文成绩都在平常水平。

我很粗心大意，经常会被老师叫去改正数学作业，如2+2等于5，老师会说这算错了，再写一下。

但当我自学时，就没有人来批评我做得对还是错。

每隔一段时间，我告诉妈妈我看完了什么内容就行了。

我自己读完了小学六年级的数学，读完了初中一年级的数学，这时开始复课闹革命。

1968年9月，我们到实验小学去拿证明，证明我在这里读过小学，按照街区划片我就上了福州一中。

现在的福州一中可不好进，但那时没有考试，进去后也不会正式上课，教师不敢讲课。

工宣队说，按毛主席的教导，“兵教兵”，于是我就开始上台讲数学。

当时给我一种自信，就是对数学学习不再头痛。

1969年，我随父母下放，从福州到了上杭县。

我们家下放的旧县公社在才溪乡边上，就是毛主席写才溪乡调查报告的地方。

1970年1月，我到县城一中读书，读到1973年1月就算毕业了，所以初中、高中共六年，实际上我就读了三年。

好在下放时，人家都在卖家具、卖书，我妈妈就让我们去捡了几本初中、高中数理化方面的教材，包括高考复习教材带在身边。

那时真找不到其他的书，手中这些书就是最好看的了。

我对物理、化学也很喜欢，但是缺乏实验设施，唯有数学好读，不需要做实验。

在县城一中读书时，我们虽然也经常下乡学农，但比在大城市好，教师还能正常上课，学校还组织过数学竞赛。

到中学毕业时，知识青年“上山下乡”，我到农村插队落户。

因为当时的大学已经开始招收工农兵学员，我就有个愿望，要争取读书的机会。

我在生产队里当仓库保管员，晒谷子时，150斤的担子得挑起来。

刚开始揺风车，我根本揺不动，没有力气将二道谷，就是瘪的谷子摇出去，于是揺一遍不够我就揺两遍，特别卖劲儿干。

两年的农活干下来，我的体力上去了，身体也壮实了，1975年如愿以偿地到三明师院当了工农兵学员。

其实，当时我特别想学计算机，因为在中学时，有位教师给我们介绍了计算机，在计算机刚刚起步的20世纪60年代，那位教师曾在福州大学研究计算机。

可是，当时由于家庭成分的原因，我没有上成福州大学，结果就到了三明师专去读数学。

但到了三明师专，头一年基本上就没学什么，因为工农兵学员是推荐上去的，数学基础太差，只好先补学中学数学课程。

好在第二年来了一位毕业于复旦大学、曾在兰州大学任教的教师——彭仲庆老师，他带来了复旦大学的教材——《数学分析》、《解析几何》和《概率论》。

他给我们讲极限论，还让我接着讲实数理论，这给了我一个锻炼的机会。

之前，数学在我的脑海中就是做题，看完前面的章节后我就会看习题，认为学数学就是做习题，这是一个很大的失误，这时我才开始了解数学的逻辑架构和理论体系。

就像每一位数学专业的大学一年级学生一样，都要经历迈进高等数学门坎的磨炼，当时的困难是只有一本复旦大学的《数学分析》，那时又没有复印机，于是我们晚上就到餐厅去，两三个同学围着那本书学习。

幸好有那本书给我打下的一些基础，后来恢复高考，1978年2月，我就开始给新入学的77届学生讲课，用的教材是吉林大学《数学分析》的教材，到了该年10月，我考上北京师范大学（以下简称北师大）进修班，第二年又考上北师大的硕士研究生。

二、转向应用数学1981年，硕士研究生毕业后，我留校任教，就这样走上与数学相伴的道路。

数学研究和教学是需要功底的，我确实花了很多的时间和做出很大的努力来充实自己。

1993年，我完成博士论文，获得博士学位，特别是出国进修访问的经历使我开阔了眼界，看到我们国家和国外的一些差别，产生了一种想追想赶的欲望，希望中华民族在我们这一代的努力下会有一个翻天覆地的变化，这也影响了我的研究兴趣。

需要指出的是，我在荷兰进修时，我的指导教师——Odo Diekmann是生物数学界的著名学者，在微分积分方程方面做得非常好，在生物方面也是专家，曾同时在阿姆斯特丹大学数学系和莱顿大学生物系任教授。

他教我在做微分方程分析推导时，要想想这些数学公式的生物背景，这可能会有助于我做数学演绎推理。

在他的影响下，我对应用数学越来越感兴趣。

从硕士研究生开始，我的第一个研究方向是奇异积分方程与解析函数边值问题，属于复分析方向。

我的博士论文是关于带非线性时滞算子的偏微分方程及其应用，属于偏微分方程方向，还是偏向理论研究。

后来，我参加了应用物理与计算数学所郭伯灵老师主持的偏微分方程讨论班，从无穷维动力系统角度研究偏微分方程解的渐近性质。

从荷兰回来后，我继续研究生物种群动力系统。

最近几年，了象处理中的偏微分方程方法研究成为我的重点研究项目。

回想起来，我的研究兴趣是从纯数学方面慢慢地走，并逐步转向应用数学方向。

我的教学工作也是这样子的。

我教了20多年的基础数学课程，如数学分析、线性代数、常微分方程、偏微分方程、复变函数、泛函分析等非常抽象的数学理论课程，但在2002年，我第一次接触到数学模型与建模课，使我对这个应用数学课程一下子产生了很大的兴趣。

当时，头两节课我给学生讲泛函分析，后两节课我会奔到另一个教室，跟学生坐在一起，听刘来福老师讲数学建模，一下子我的眼界就开阔了，觉得真好。

因为刘老师曾带我做过生物数学，在课上，他把应用数学研究与数学理论学习和研究的不同地方讲得非常清楚，而且也使我了解到有那么多的数学应用，发现了教学需要改进的地方。

这门课与数学分析不一样，数学分析一堂课不听，下一堂课就可能听不懂，期末考试就可能很难通过，而这门课是案例教学，听多听少是自己的积累，期末课程论文只是部分课程内容的练习结果。

实际上，应用数学解决实际问题是非常困难的，头几步该怎么做，刘老师讲得很清楚，但由于学生没有接触过实际问题，没做过研究，所以没有体会，感触不深，有些同学甚至会埋头干自己的事情。

在听课的过程中，我对这门课的教学产生了新的想法，觉得必须引入课堂讨论。

数学应用必须亲身经历，选择适当的问题让学生参与分析建模的过程，只听不做是学不到的。

其次，必须采用多媒体教学，实际问题信息量大，教师在黑板上抄写占用的时间太多，而且缺少图表的直观表达。

最后，最重要的是必须运用计算机，绝大部分的数学模型没有显式表达解，理论分析也很困难，而且没有数值结果就不可能判定模型的适用性，也没法解决问题。

所以，通过一学期的听课，我觉得自己的收获非常大，特别想试一试我的关于教学改进的想法。

虽然我在基础课教学中很少组织课堂讨论，也没有用过多媒体教学，对数学应用涉及的有些数学分支一点儿也不懂，且不会计算机编程，但这个挑战实在太吸引人了。

过去我当学生学数学时，不知道抽象数学怎么用，教师没有教，但如果现在我也不教，我的学生也会不知道，一代代人就都会不知道，那我们的科学怎么能进步，社会怎么能发展呢？特别是我面对的是北师大数学专业的学生，我知道他们学那么多年数学，只有很少一部分人会去搞数学研究，大部分人是会去中学教数学的，还有一些人是会走进其他学科领域去做应用数学的。

北师大毕业的学生将来在中学里大多都是骨干教师，是十几年后中国最高的中学教学水平的代表，他们的水准会反映我国未来的综合实力。

因此，我急切地想要改进我的数学教学。

于是我就对刘老师说我想来上这门课，他对我说这正是他所期望的，所以我这几年就一直在做数学建模教学，它与基础数学课程教学不一样的地方在于每当我完成一个学期的数学建模课程教学后，我会明确地感到学生迸发出的潜能会超过我的期望。

2009年，我开始担任北京市大学生数学建模与计算机应用竞赛组委会秘书长，并将自己在应用数学教学中探索的经验用于推动北京市高校数学建模竞赛活动的开展。

三、什么是数学建模首先，我举几个有关数学模型的例子。

中学生都知道牛顿第二运动定律，即当一个物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。

引入变量x表示在t时刻物体的位置，它的一阶导数是速度，二阶导数是加速度，合外力等于质量乘以加速度。

于是，我们会得到牛顿第二运动定律的数学模型，即合外力等于质量乘以变量x的二阶导数。

这个例子给大家的一个具体印象是数学模型可以用数学公式来表达。

我们再来看一下经济学的市场均衡模型。

市场均衡是指市场需求量等于市场供给量。

假设市场是理想竞争市场，即价格决定了市场需求量和市场供给量。

按照经济学的观点，使消费者和生产者的愿望都得到满足的价格就是使市场达到均衡的价格，引进自变量p表示价格，引进一个因变量D（p）表示市场需求量，另外一个因变量S（p）表示市场供给量，那么D（p）=S（p）就是市场均衡模型。

这个式子相对抽象一些，没有用大家熟悉的初等函数给出函数关系的明确表达，但它表明在理想竞争市场中价格所起的关键作用。

这也是一种数学模型。

我们再来看更抽象一点的数学模型，如哥尼斯堡七桥问题：在一条河上有七座桥，连接两岸与河心的两个孤岛，能否从某个岸边或岛上出发，经过每座桥恰好一次，再回到原地？这个游戏问题被数学家欧拉抽象成一个数学模型，四个点、七条边的图，用“点”表示岸边和岛屿，用“边”表示桥。

欧拉用数学方法证明这个游戏不可能实现，称在这个图中不存在欧拉回路。

欧拉设计的仅由“点”和“边”构成的图模型是现代庞大的复杂网络模型的雏形。

有的网络还在“点”或“边”上赋予权重，用于刻画复杂系统多因素之间的关系，在研究人际关系、社会群体关系等许多心理、人文、社科领域中有着广泛的应用。

由此可见，数学模型是用数学符号、数学方式表达实际现象或问题的。

当我们面对实际问题，可能是心理问题，也可能是生物问题时，如果想利用数学方法与计算机来解决这些问题的话，我们就会发现，采用数学方法必须引入数学符号，计算机只认得数字。

我们需要把与问题相关的学科语言翻译成这些东西，而且要采用适当的方式，以便于下一步的数学研究或编程计算，这就是在构建数学模型，将实际问题与数学和计算机连接起来，使我们的问题能够利用数学方法和计算机来解决。