2020年高考数学课时07函数的值域和最值单元滚动精准测试卷

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2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测七函数的图象理含解析

课时跟踪检测(七) 函数的图象一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. ____________________________________________________________________ 已知函数f(x) = X2+ 1,若O v X1V X2,则f(X i)与f(X2)的大小关系为______________________ . 解析：作出函数图象(图略)，知f(x)在(0 ,+^)上单调递增，所以f(x i) v f (X2). 答案：f (X2) > f(X i)2. _____________________________________ (2018 •常州一中期末)将函数y= e X的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为.解析：将函数y= e X的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y = e2X,再向右平移2个单位，可得y= e2(X—2)= e2X「4.答案：y = e2「43. (2018 •前黄中学月考)设函数y = f (X + 1)是定义在(―汽0) U (0 , )的偶函数，在区间(一g, 0)是减函数，且图象过点(1,0),则不等式(X—1) f (X) <0的解集为________________ 解析：y= f(x+ 1)向右平移1个单位得到y = f (X)的图象，由已知可得f(X)的图象的对称轴为x = 1,过定点(2,0)，且函数在(—g, 1)上递减，在(1 ,+^)上递增，则f (x)的大致图象如图所示.由图可知符合条件的解集为(一g, 0] U (1,2]. 答案： 4.使解析：(—g, 0] U (1,2]log 2( — x ) v x + 1成立的x 的取值范围是在同一坐标系内作出答案: 5.址 (—1,0)若关于x 的方程| x | = a — x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是解析：由题意a = | x | + x2x, 令 y = | x | + x = c0, x > 0,x v 0, 图象如图所示，故要使a = | x | + x只有一解，则a >0.答案：(0 ,+g)不等式(x —知满足条件的x € ( —1,0).X2+ x, X V 0,6•设函数f(x) = * 2若f(f(a)) w2,则实数a的取值范围是_____________ .—X , X > 0.解析：函数f(x)的图象如图所示，令t = f(a)，贝y f(t) w2,由图象知t >—2,所以2 2 2f (a)》一2,当a v 0时，由a + a》一2，即a + a + 2》0恒成立，当a》0时，由一a》一2,得O w a w 2，故a w 2.答案：(―汽 2 ]二保咼考，全练题型做到咼考达标1 .已知f(x)= 'T X，若f (x)的图象关于直线x= 1对称的图象对应的函数为g(x)，则2丿g(x)的表达式为解析：设g(x)上的任意一点A(x, y)，则该点关于直线x = 1的对称点为B(2 —x, y),訂冷x x 2 x 2而该点在f(x)的图象上.所以y= 3 — = 3 —，即卩g(x) = 3 —.x_2及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为答案：g(x) = 32. 如图，定义在[—1,+^)上的函数f (X)的图象由一条线段解析：当一1W X W0时，设解析式为f (X) = kx + b(k M0),—k+b=0,解得r=1,b= 1, i b=1.•••当一1w x wo 时，f(x) = x + 1.当x>0 时，设解析式为f(x) = a(x —2)2—1(a>0),•••图象过点(4,0),• 0= a(4 —2)2—1,二a= 4,•••当x>0 时，f(x) = 4(x—2)2—1= 4x2—x.4 4x+ 1, —1w x w 0,故函数f (X)的解析式为f(X) = *1 2匚x—x, x > 0.■x + 1,— 1< x w 0,答案：f (X )= £ 2-x — x , x >053.(2019 •江阴中学检测)方程x 2— | x | + a = 1有四个不同的实数解,是 ________ .解析：方程解的个数可转化为函数y = x 2— | x |的图象与直线y =11 — a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知一 -< 1 — a v 0，所以 “ 5 1< a < .4答案：门，44. (2019 •启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为［—5,5］，若当f xx € ［0,5］时，f (x )的图象如图，则不等式 —— <0的解集为 ___________ .x — 1解析：不等式—< 0,等价于孑x沁X — 1x — 1 < 0由图象可知：当1< x <5时，由f (x ) < 0,解得2< x < 5. 当 0< x < 1 时，由 f (x ) >0,解得 0< x < 1,因为f (x )为奇函数，当一2< x < 0时，由f (x ) >0,此时无解, 当一5< x < — 2 时，由 f (x )》0,解得一5< x < — 2, 故不等式的解集为[—5,— 2] U [0,1) U [2,5]. 答案：[—5,— 2] U [0,1) U [2,5](2 一 1 , x < 0,5.已知函数f (x )的定义域为R,且f (x )= .f x —1 , x >0,有两个不同实根，则 a 的取值范围为 __________解析：x <0 时，f (x ) = 2—x — 1,则 a 的取值范围若方程f (x ) = x + a0< x <1 时，一 1 < x — 1 < 0, f (x ) = f (x — 1) = 2—(x —1)— 1. 故x >0时，f (x )是周期函数, 如图所示.若方程f (x ) = x + a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y = x + a 有两个不\yOL 23*同交点,故a v 1,即a 的取值范围是(一汽1). 答案：(—g, 1)"Ig x , 0v x w 10,6. (2019 •镇江中学测试)已知函数f (x ) = 51—2X + 6|, x > 10.相等，且f (a ) = f (b ) = f (c )，贝U a + b + c 的取值范围是 ___________解析：作出函数f (x )的图象如图所示,不妨设 a v b v c ,贝U b + c = 2x 12= 24, a € (1,10)，贝U a + b + c = 24 + a € (25,34) 答案：(25,34)x — [x ] , x >0,7. (2019 •徐州调研)设函数f (x ) = *,f x +1, x v 0,大整数，女口[ — 1.2] =— 2, [1.2] = 1,若直线y = kx + k (k >0)与函数y = f (x )的图象有三个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ______________ .x — [ x ] , x >0,解析：•.•函数f (x )= <|f x +1, x v 0,•••作出函数f (x )的图象如图所示.y = kx + k = k (x + 1)，故该直线的图象一定过点(一 1,0),若y = kx + k 与y = f (x )的图象有三个不同的交点，贝U f (x ) = kx + k 有三个不同的根,••• k > 0,「.当 y = kx + k 过点(2,1)时，k = *,当 y = kx + k 过点(3,1)时，k =寸,要使f (x ) = kx + k 有三个不同的根，则实数 k 的取值范围是 £, 3 ；. 71 1、答案：〔4，3丿& (2019 •金陵中学月考)已知y = f (x )是偶函数，y = g (x )是奇函数，它们的定义域均为[—n , n ]，且它们在x € [0 , n ]上的图象如图所示，则不等式f (x ) • g (x ) v 0的解集是 ______________ .若a , b, c 互不其中[x ]表示不超过x 的最解析：f(x) • g(x) v 0? f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知，当x€ [0 , n ]时，两者异号的区间为又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，••• f(x) • g(x) v0 的解集是• ••当x€ [ —n , 0)时，两者异号的区间为9. (2018 •盐城一中测试)已知函数f(x) = x| m—x|( x€ R)，且f(4) = 0.(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3) 根据图象指出f (x)的单调递减区间；⑷根据图象写出不等式f(x) >0的解集;⑸求集合M= {m|使方程f (x) = m有三个不相等的实根}.解：⑴因为f(4) = 0,所以4| m—4| = 0，即m= 4.x x—4 , x>4,⑵因为f (x) = x|4 —x| = c—x x—& , x v 4.x —2—4, x>4,即f (x)=—x —2 2+ 4, x v 4,所以函数f(x)的图象如图所示.由图象知函数f(x)有两个零点.⑶从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]⑷从图象上观察可知：不等式 f (x) > 0的解集为{x|0 v x v 4或x>4}.⑸由图象可知若y = f (x)与y = m的图象有三个不同的交点，贝U 0v m v4,所以集合M= { n|i0 v m v 4}.10. 已知函数f(x) = 2x, x€ R.(1) 当m取何值时方程|f(x) —2| = m有一个解？两个解？(2) 若不等式f2(x) + f (x) —m>0在R上恒成立，求m的取值范围.解：⑴令F(x) = | f(x) —2| = |2x—2| ,Gx) = m画出F(x)的图象如图所示.由图象可知，当m= 0或时，函数F(x)与Gx)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0v m v2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解.(2)令f(x) = t(t > 0) , Ht) = t2+ t,因为Ht )= 't +12—1在区间(0 ,+g )上是增函数,所以 Ht) > HO) = 0.因此要使t 2+ t > m 在区间(0 ,+g )上恒成立，应有me 0,即所求m 的取值范围为(—g, 0] •三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.对于函数f (x ) = lg(| x — 2| + 1)，给出如下三个命题：① f (x + 2)是偶函数；②f (x ) 在区间(—g, 2)上是减函数，在区间(2 ,+^)上是增函数；③f (x )没有最小值.其中正确命题的个数为解析：因为函数f (x ) = lg(| x — 2| + 1),所以函数f (x + 2) = lg(| x | + 1)是偶函数;亠.图象向左平移1个单位长度 .z 八由 y = lg x ----------------------------- > y = lg( x + 1)去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象------------------------------------------- > y = ig(| x | +1)图象向右平移2个单位长度y = |g(| x — 2| +1)，如图, 2)上是减函数，在(2 ,+g )上是增函数；由图象可知函数存在最小值为答案：212.已知函数f (x )的图象与函数 h (x ) = x + -+ 2的图象关于点 A (0,1)对称.(1)求f (x )的解析式;a⑵ 若g (x ) = f (x ) + -，且g (x )在区间(0,2］上为减函数，求实数 a 的取值范围.x解：⑴ 设f (x )图象上任一点 P (x , y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P' ( — x, 2— y )在 h (x )的图象上，1 1 即2 — y =— x — 一 + 2,所以 y = f (x ) = x + -(x 丰0). x xa a +1⑵ g (x ) = f (x ) + 一 = x + =,a +1g (x) = 1—〒•因为g (x )在(0,2］上为减函数，a + 1所以1 — 一— W0在(0,2］上恒成立,可知f (x )在( 一 g,0.所以①②正确.x 即a+1>x2在(0,2］上恒成立，所以a+1 >4, 即卩a>3,故实数a的取值范围是［3 ,+g).。

2020届高考总复习单元滚动测试卷文科数学答案.pdf

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2020版高考数学人教A(理)必刷滚动检测卷(规范卷)全辑(有解析)滚动检测七(1～12章)(规范卷)

滚动检测七(1～12章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x ≤14，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．(－3,6) B ．[6，＋∞)C ．(－3，－2]D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)答案 C解析因为A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0} ＝{x |x ≤－3或x ≥6}, 所以∁R A ＝{x |－3<x <6}，又因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2}＝(－3，－2]，故选C.2．已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝2，化为5y 2－4ay ＋a 2－2＝0，∴Δ＝16a 2－20(a 2－2)>0，解得－10<a <10， ∴y 1＋y 2＝4a5，y 1y 2＝a 2－25，OA →·OB →＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(2y 1－a )(2y 2－a )＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－2a (y 1＋y 2)＋a 2＝0， ∴5×a 2－25－2a ×4a 5＋a 2＝0，解得a ＝±5，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的充分不必要条件，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎨⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)等于( ) A ．log 25 B ．－log 25 C ．－2 D ．0答案 B解析由已知，f (1)＝－log 25, f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝log 25， f (3)＝f (0)＝0，f (4)＝f (1)＝－log 25， f (5)＝log 25，f (6)＝0，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝673×(－log 25＋log 25＋0)－log 25＝－log 25.4．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.2π15 B.3π20 C ．1－2π15D ．1－3π20答案 C解析直角三角形的斜边长为52＋122＝13，设内切圆的半径为r ，则5－r ＋12－r ＝13，解得r ＝2， ∴内切圆的面积为πr 2＝4π，∴豆子落在其内切圆外部的概率是P ＝1－4π12×5×12＝1－2π15，故选C.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2等于( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13 答案 C解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列， ∴6a 4＝a 6－a 5，∴6a 4＝a 4(q 2－q )，q >0， ∴q 2－q －6＝0，q >0，解得q ＝3，则S 4S 2＝a 1(34－1)3－1a 1(32－1)3－1＝10，故选C. 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5) B ．产品的生产能耗与产量呈正相关 C ．t 的取值是 3.15D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨答案 C解析由x ＝184＝4.5，故A 正确；又由线性回归的知识可知D ，B 是正确的，故选C.7．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( ) A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，由4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π24，k ∈Z ，当k ＝0时，离原点最近的对称轴方程为x ＝－π24，故选A.8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥a ，目标函数z ＝3x －2y 的最小值为－4，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1 D.12答案 C解析作出约束条件所对应的可行域如图中阴影部分(包含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1，y ＝a ， ∴A (a －1，a )，目标函数z ＝3x －2y 可化为y ＝32x －12z ，平移直线y ＝32x －12z 可知，当直线经过点A 时，截距取最大值，z 取最小值， ∴3(a －1)－2a ＝－4，解得a ＝－1，故选C.9．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π答案 C解析由三视图可得该几何体为底面边长为4和m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为4，则13×4×m ×4＝323，∴m ＝2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R ＝1242＋22＋42＝3, 故这个几何体的外接球的表面积为4πR 2＝36π.10．若抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4，则cos 2A ＋sin 2A 的值为( )A ．－825 B.85 C.825 D.1－2625答案 A解析因为抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4，所以抛物线C ：y 2＝2x cos A 的准线方程为x ＝25，所以cos A 2＝－25，即cos A ＝－45，因为角A 为△ABC 的一个内角，所以sin A ＝35，cos 2A ＋sin 2A ＝cos 2A ＋2sin A cos A ＝⎝⎛⎭⎫－452＋2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－825. 故选A.11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①正确，②中直线l 与α可能平行也可能在α内，故②错；③中直线l ，m ，n 可能平行还可能相交于一点，故③错；④正确，故选B.12．已知A ，B 是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中常数a >0)图象上的两个动点，点P (a,0)，若P A →·PB →的最小值为0，则函数f (x )的最大值为( )A ．－1e 2B ．－1eC ．－e e 2D ．－e e答案 B解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中a >0)图象如图所示，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，当x <a 时，f (x )＝f (2a －x )＝－e (2a－x )－2a＝－e －x ，设P A 与f (x )＝－e －x 相切于点A ，设A (x 0，y 0)，∴f ′(x )＝e －x ，∴k AP ＝f ′(x 0)＝e －x 0＝－e －x 0x 0－a ，解得x 0＝a －1，∵此时P A →·PB →取得最小值0，∴P A →⊥PB →， ∴k P A ＝tan 45°＝1，∴e －x 0＝1，∴x 0＝0， ∴a ＝1，∴f (x )max ＝f (1)＝－1e，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知⎝⎛⎭⎫x ＋ax (2x －1)5展开式中的常数项为30，则实数a ＝________. 答案 3解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋a x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎫x ＋a x [C 05(2x )5＋…＋C 45(2x )(－1)4＋C 55(－1)5]， ∴展开式中的常数项为a x ·C 45·2x ＝30，解得a ＝3.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．答案 x 28－y 28＝1解析设双曲线的左焦点F (－c,0)，离心率e ＝ca ＝2，c ＝2a ，则双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±x ，则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k ＝4－00＋c ＝4c ＝1，∴c ＝4，a ＝b ＝22，∴双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，BD ＝22，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的体积为________．答案125π6解析当BC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积最大，由于AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，DB ＝22， ∴BD 2＋AD 2＝AB 2，则△ABD 为直角三角形，三棱锥A －BCD 的外接球就是以AD ，BD ，BC 为棱的长方体的外接球，长方体的体对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为r ，则(2r )2＝42＋(22)2＋1，解得r ＝52，∴球体的体积为V ＝43π⎝⎛⎭⎫523＝125π6.16．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝________. 答案4 0402 021解析 ∵对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，且a 1＝1， ∴令m ＝1代入得，都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上n －1个式子相加可得，a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝(n －1)(n ＋2)2，则a n ＝a 1＋12(n －1)(n ＋2)＝12n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，符合上式， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝2⎝⎛1－12＋12－13＋…＋12 020⎭⎫－12 021＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1 ∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项的和为T n ，求T n . 解 (1)由题意得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝49，24<5a 1＋5×42d <26，∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵ 1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A ＋33a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，D ＝2B ，且AD ＝1，CD ＝3，BC ＝6，求AB 的长．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )，所以sin B cos A ＋33sin A ＝sin (A ＋B )，故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝33sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33. (2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝－13，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以AC ＝23，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝23，cos B ＝33，所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即12＝AB 2＋6－2·AB ×6×33，化简得AB 2－22AB －6＝0，解得AB ＝3 2. 故AB 的长为3 2.19．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC, AB ＝6, BC ＝23， AC ＝26， D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB, CE ＝2EB, PD ⊥AC .(1)求证： PD ⊥平面ABC ；(2)若P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角．(1)证明由题意知AD ＝4，BD ＝2. ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°. ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝236＝33.在△BCD 中，由余弦定理得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠DBC＝4＋12－2×2×23×33＝8. ∴CD ＝2 2.∴CD 2＋AD 2＝AC 2，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AB ，又∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面P AB ，又PD ⊂ 平面P AB ，∴CD ⊥PD ，又PD ⊥AC, AC ∩CD ＝C ，AC ，CD ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥平面ABC .(2)解由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，由P A 与平面ABC 所成的角为π4，知PD ＝4，则A (0，－4,0)，C (22，0,0)， B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴CB →＝(－22，2,0)，AC →＝(22，4,0)， P A →＝(0，－4，－4)， ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC, PD ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥DE ，PD ⊥BC ，∵DE ∩PD ＝D ，DE ，PD ⊂平面PDE ， ∴CB ⊥平面PDE .∴CB →＝(－22，2,0)为平面PDE 的一个法向量．设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，∴⎩⎨⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)为平面P AC 的一个法向量．∴|cos 〈n ，CB →〉|＝|n ·CB →||| |n CB →| ＝|－4－2|4·12＝32. 故平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32， ∴平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.20．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u 0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N (u ，σ2)(u ＝u 0，σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位) (ⅱ)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及均值E (Y )．(说明：P (X >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－μσ表示X >x 1的概率．参考数据：φ(0.725 7)＝0.6，φ(0.655 4)＝0.4)解 (1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为u 0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.(2)(ⅰ)记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为x 1，根据题意，P (x >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－u σ＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.4，即φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.6. 由φ(0.725 7)＝0.6，得x 1－10319.3＝0.725 7，解得x 1≈117，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分．(ⅱ)因为Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，25，所以P (Y ＝i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫354－i ，i ＝0,1,2,3,4.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝4×25＝85. 21．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．解 (1)不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，过A 点切线斜率存在，设为k (k ≠0)，则切线方程为y －p ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，消去x 得ky 2－2py ＋(2－k )p 2＝0，Δ＝4p 2－4k (2－k )p 2＝0，解得k ＝1，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为－1，抛物线在A 处的切线方程为y －p ＝x －p 2，令y ＝0，得x ＝－p 2， ∴S ＝12·2p ·p ＝4，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由已知可得k OA ·k OB ＝－4,设M ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，N ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2(y 1y 2≠0)，则k OM ·k ON ＝y 1y 2116y 21·y 22＝－4，∴y 1y 2＝－4. 令直线MN 的方程为x ＝ty ＋n ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋n ，消去x 得y 2－4ty －4n ＝0, 则y 1y 2＝－4n ，y 1＋y 2＝4t ，∵y 1y 2＝－4，∴n ＝1.∴直线MN 过定点(1,0)，∴S △OMN ＝12|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1216t 2＋16＝2t 2＋1. ∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2.综上所知，△OMN 面积的取值范围是[2，＋∞)．22．(12分)(2018·吉林省长春外国语学校模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x(x >0)，f ′(1)＝2＋1＝3，f (1)＝2，所以斜率k ＝3，又切点(1,2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)， ①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1>0，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a. 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )＞0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (3)由已知，转化为f (x )max ＜g (x )max .g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0,1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.。

2020届高考文科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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高考总复习单元同步滚动测试卷
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文科数学三
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函数的综合运用
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2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练（解析版）

2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练题型一函数的定义域、值域及解析式【题型要点解析】(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．(3)函数值和值域的求法：求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等，要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法．例1．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．【解析】设t＝x2－3，则x2＝t＋3，则f(t)＝lgt＋3t＋3－4＝lgt＋3t－1，由t＋3t－1>0得t>1或t<－3，∵t ＝x 2－3≥－3，∴t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)，故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)例2．设集合A ＝⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.⎥⎦⎤⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0【解析】因为x 0∈A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即12≤f (x 0)<1，即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0.因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<12，故选C.【答案】 C题组训练一：函数的定义域、值域及解析式1．函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)lg (2－x )的定义域是________．【解析】 ∵函数f (x )的定义域是[0,3]，∴由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤32－x >0lg (2－x )≠0得：⎩⎨⎧12≤x ≤2x <2x ≠1，即12≤x <2且x ≠1，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x <2且x ≠1，【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2，且x ≠1 2．设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0，且a ≠1)，那么函数f (x )＝[g (x )－12]＋[g (－x )－12]的值域为( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1，－1}D ．{－1,0}【解析】∵g (x )＝a x a x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1，∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1.当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.【答案】 D3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－92)＝( )A.12 B.2 C.22D ．1【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的周期为2，f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－92)＝f (－12)＝f (12)∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，∴f (12)＝2，故选B.【答案】 B题型二函数的图象及其应用【题型要点解析】(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)的图象大致是( )【解析】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)，满足f (－x )＝f (x )，所以函数是偶函数，排除选项B ，D ；当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln x1＋x<0，排除A.故选C. 【答案】C2．函数y ＝2sin x 1＋1x2⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈43,00,43ππx 的图象大致是( )【解析】函数满足f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，关于原点对称，f (x )＝2x 2sin x 1＋x 2，f ′(x )＝(4x sin x ＋2x 2cos x )(1＋x 2)－2x 2sin x ·2x (1＋x 2)2＝4x sin x ＋2x 2cos x ＋2x 4cos x (1＋x 2)2，f ′(π2)>0，并且f (π2)>0，满足条件的只有A ，故选A. 【答案】 A题组训练二：函数的图象及其应用1．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( )【解析】因为函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x ，所以x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，函数在(1，＋∞)上递增，只有选项A 符合题意，故选A.【答案】 A2．函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )【解析】因为f ′(x )＝(2x －2＋x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增；又x <－2时，x 2－2x >0，即f (x )>0.应选答案B.【答案】B题型三函数的性质及其应用【题型要点解析】解决与函数有关的综合问题的常见4个切入点(1)已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图象求解；(2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性，常画出函数的图象求解；(3)求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解；(4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时，常借助函数性质求解．例1．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛-31,31 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31【解析】函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln (1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln (1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.【答案】A例2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|的零点分别为x 1，x 2，…，x n ，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝( )A ．nB ．－nC ．－2nD ．－3n【解析】函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，函数f (x ＋1)的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到的，所以函数f (x ＋1)的对称轴为直线x ＝－1，且函数g (x )＝|x 2＋2x －3|的对称轴也是直线x ＝－1，所以方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|零点关于直线x ＝－1对称，所以有x 1＋x 2＋…＋x n ＝－n ，故选B.【答案】 B题组训练三：函数的性质及其应用1．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程式为y ＝f (x )(x ∈R )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．【解析】当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆；当－1≤x ≤1时，P的轨迹是以B 为圆心，2为半径的14圆；当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的14圆；当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以②正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以③错误；根据定积分的几何意义可知f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以④正确，故正确答案为①②④.【答案】 ①②④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).(1)若f (x )＝a 有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．【解析】函数f (x )图象如下图．根据上图，若f(x)＝a只有1个实根，则a>1；若将函数f(x)的图象向左平移T＝2个单位时，如下图所得图象与f(x)的图象在(0,4]上重合，此时方程f(x＋T)＝f(x)有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图象，如下图观察可知2<T<4或－4<T<－2.【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－4，－2)∪(2,4)【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝2－2x＋1log3x的定义域为()A．{x|x<1}B．{x|0<x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|x>1}【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x≥0log 3x ≠0，x >0即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠1x >0，得0<x <1，即函数的定义域为{x |0<x <1}，故选B.【答案】 B2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．eC.1eD ．－1【解析】解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e .解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.【答案】 B3．下列函数中，可以是奇函数的为( ) A ．f (x )＝(x －a )|x |，a ∈R B ．f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R C ．f (x )＝log 2(ax －1)，a ∈RD ．f (x )＝ax ＋cos x ，a ∈R【解析】对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，B 不满足；对于C ，由ax －1>0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，D 不满足．故选A.【答案】A4．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】方法一由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}．令g (x )＝ln (x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎪⎭⎫⎝⎛-21＝1ln 12＋12＝1lne 2<0，排除C ，D ，故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x ，x <0log 2(x ＋1)＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )>4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)【解析】当x <0时，2e x >4，解得：x >ln 2，不合题意；当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2>4，解得：x >3，综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．【答案】C6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同【解析】∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．即f(b x)≤f(c x)．【答案】 A7．函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为()【答案】 A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1)．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0,1)∪(1,4)【解析】由题意得y ＝log a x 与y ＝|x －3|,0<x ≤4有且仅有一个交点，当0<a <1时，有且仅有一个交点；当a >1时，需满足log a 4>4－3⇒1<a <4，因此a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)，选D.【答案】 D9．如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812【解析】当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，则n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29m ＝－12m 2＋9m .而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[2,0)时，g (m )<g (2)＝16，∴mn <16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥2 2m ·n ，∴mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2.故(mn )max ＝18.故选B.【答案】 B10．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛641f f ＝________. 【答案】 1411．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b a 1994＝19⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 414≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号．【答案】 112．．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】根据题意作出f (x )的简图：由图象可得当k ∈(0,1)时，函数f (x )－k 有四个不同零点．若方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同实数解，令k ＝f (x )，则关于k 的方程2k 2＋2bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1、k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于1的实数，即有k 1＋k 2＝－b ，k 1k 2＝12.故：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>00<k 1＋k 2<2k 1k 2>0(k 1－1)(k 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >2或b <－20<－b <2b >－32，可得－32<b <－ 2.【答案】⎝⎛⎭⎫－32，－2。

高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)

函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法【典型例题】例1：求下列函数的值域。

（1）2121x y x -=+；（2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤；（6）3sin 2cos xy x-=-。

解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。

2020届高考总复习单元滚动测试卷理科数学答案

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2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八复数的几何意义课时跟踪检测十九复数代数形式的加减运算及其几何意义课时跟踪检测二十复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一）变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度．解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二）导数的几何意义一、题组对点训练对点练一求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)．答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________．解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <ef (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]．答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六）函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0；当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．00,符合题意．所以实数b 的取值范围是00.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)．则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)；当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。

2020版高考数学浙江(含2019最新模拟题,有解析)滚动检测七 1~10章

滚动检测七(1～10章)(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．(1，5] B ．(1,2] C ．{2} D ．{1,2} 答案 C解析由2x ＋1>1得A ＝(1，＋∞)，而B ＝{0,1，－1,2，－2}，故A ∩B ＝{2}．故选C. 2．已知命题p ：方程x 25＋k ＋y 23－k ＝1表示椭圆，命题q ：－5<k <3，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析对于p,5＋k >0,3－k >0且5＋k ≠3－k ，可得－5<k <3且k ≠－1，易知p 是q 的充分不必要条件，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <1，3x －7，x ≥1，则不等式f (x )<2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)答案 A解析当x <1时，f (x )<2可化为log 2(1－x )<2，即0<1－x <4，解得－3<x <1；当x ≥1时，f (x )<2可化为3x －7<2，即3x <9，解得1≤x <2.综上，不等式f (x )<2的解集为(－3,1)∪[1,2)＝(－3,2)． 4．若函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期是π5，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A.34 B.12 C.14 D ．0 答案 A解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π32(ω>0)的最小正周期T ＝2π2ω＝π5，得ω＝5，所以f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫5x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－π6＝34.5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n .若S 3＝6，S 5＝20，则S 7的值为( ) A ．32 B ．36 C ．40 D ．42 答案 D解析方法一设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，5a 1＋5×42d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，从而S 7＝7×0＋7×62×2＝42.方法二设S n ＝An 2＋Bn ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9A ＋3B ＝6，25A ＋5B ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，从而得S 7＝49A ＋7B ＝42. 方法三设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＝6，5a 3＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 3＝4，所以d ＝2，得a 4＝a 3＋d ＝6，所以S 7＝7a 4＝42. 方法四易知S 33，S 55，S 77成等差数列，所以2×S 55＝S 33＋S 77，得S 7＝42.6．(2018·浙江省高三调研考试)已知直线l ：y ＝x ＋b 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，从直线l 上的一点P 向圆N ：x 2＋(y －3)2＝1引切线，切点为Q ，线段PQ 长度的最小值为7，则b 的值为( )A ．－1B ．7C ．7或－1D ．2 答案 A解析由题意得M (2,0)，圆心M 到直线l 的距离 |2＋b |2<2，解得－22－2<b <22－2， |PQ |＝|PN |2－|NQ |2＝|PN |2－1，|PQ |最小，则|PN |最小，即转化为直线y ＝x ＋b 上的点与圆心N 的最小距离，设圆心N (0,3)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ，则d ＝|b －3|2＝22，解得b ＝7或－1，又－22－2<b <22－2，所以b ＝－1.7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤6，则点P (x －y,3x ＋2y )满足的平面区域的面积为( )A ．3B ．6C ．15D ．30 答案 C解析设a ＝x －y ，b ＝3x ＋2y ，则x ＝2a ＋b 5，y ＝b －3a5，所以a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥0，b －3a ≥0，b －a ≤6，该不等式组表示的平面区域是一个以(0,0)，(－2,4)，(3,9)为顶点的三角形区域，结合图形可知(图略)，其面积S ＝12×6×(3＋2)＝15.故选C.8．已知a >0，b >0，定义H (a ，b )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋22－b，9a ＋2b ，则H (a ，b )的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析由定义H (a ，b )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋22－b，9a ＋2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧H (a ，b )≥a ＋22－b，H (a ，b )≥9a ＋2b，⇒2H (a ，b )≥a ＋22－b ＋9a ＋2b ，即2H (a ，b )≥⎝⎛⎭⎫a ＋9a ＋(22－b ＋2b ) ≥2a ·9a＋222－b ·2b ＝6＋4＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9a ，22－b ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1时取等号，所以H (a ，b )min ＝5.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上一动点，若△F 1PF 2的面积为b 2，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为( ) A.3＋2 B. 3 C.3＋1 D ．2 3 答案 C解析设∠F 1PF 2＝α(0<α<π)，则在△PF 1F 2中，利用余弦定理可得，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos α，即4c 2＝4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|(1－cos α)，2b 2＝|PF 1||PF 2|(1－cos α)，|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos α，因为12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝b 2sin α1－cos α＝b 2，所以sin α＝1－cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝0，又0<α<π，所以α＝π2，即∠F 1PF 2＝π2，即PF 1⊥PF 2，因为∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，所以∠PF 2F 1＝π3，∠PF 1F 2＝π6，所以|PF 1|＝3c ，|PF 2|＝c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选C.10．(2018·衢州模拟)如图，△BCD 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△ABC 中∠BAC ＝90°，△ABC 沿着BC 翻折成三棱锥A －BCD 的过程中，直线AB 与平面BCD 所成的角均小于直线AC 与平面BCD 所成的角，设二面角A －BD －C ，A －CD －B 的大小分别为α，β，则( )A ．α>βB ．α<βC ．存在α＋β>πD ．α，β的大小关系不能确定答案 B解析作AH ⊥平面BCD ，分别作HM ⊥BD ，HN ⊥CD 于M ，N 两点(图略)．由AB 与平面BCD 所成的角∠ABH 总小于AC 与平面BCD 所成的角∠ACH ，则AB >AC .设O 为BC 的中点，则点H 在DO 的右侧，所以有HM >HN ，故tan α＝tan ∠AMH ＝AH HM ，tan β＝tan ∠ANH＝AHHN，因此，tan α<tan β，即α<β，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．若2－i i ＋a (i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则a ＝________，|(2a ＋1)＋3i|＝________.答案 1213解析因为2－i i ＋a ＝(2－i )(a －i )(a ＋i )(a －i )＝2a －1－(2＋a )ia 2＋1，又2－ii ＋a 为纯虚数，所以2a －1＝0且2＋a ≠0，解得a ＝12，则(2a ＋1)＋3i ＝2＋3i ，所以|(2a ＋1)＋3i|＝|2＋3i|＝13.12．(2018·浙江省普通高中高考模拟)已知⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数的绝对值之和为4 096，则n ＝______，该展开式中的常数项为________．答案 6 1 215解析 ⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数的绝对值之和与⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 的展开式中各项系数之和相等，令x ＝1，则4n ＝4 096，则n ＝6.⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式的通项 T k ＋1＝C k 6(3x )6－k⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 36－k C k 6332kx -，令3－32k ＝0，则k ＝2，T 3＝(－1)234C 26＝1 215. 13．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，该几何体的各条棱中最长棱的长度为________．答案 217解析还原该几何体，并将其放入长方体中，如图中三棱锥A －BCD 所示，则V A －BCD ＝V C －ABD ＝13×12×3×2×2＝2.经计算知，三棱锥A －BCD 的各条棱的长度分别为AB ＝3，BC ＝AD ＝22，BD ＝CD ＝5，AC ＝17，则最长棱的长度为17.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n －1解析 a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝n ·2n －1. 15．设a ，b ，e 为平面向量，若|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |的最小值为________，a ·b 的最小值为________．答案 3 54解析 ∵|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴(a ＋b )·e ＝3，设(a ＋b )与e 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则|a ＋b |·|e |cos θ＝3，∴|a ＋b |＝3cos θ(θ∈[0，π])， ∴|a ＋b |min ＝3，当且仅当cos θ＝1即θ＝0时取最小值． ∵|e |＝1，∴不妨设e ＝(1,0)．∵a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴可设a ＝(1，m )，b ＝(2，n )， ∴a －b ＝(－1，m －n )．∵|a －b |＝2，∴1＋(m －n )2＝2，化为(m －n )2＝3， ∴(m ＋n )2＝3＋4mn ≥0，∴mn ≥－34，当且仅当m ＝－n ＝±32时取等号．∴a ·b ＝2＋mn ≥2－34＝54.16．2017年某县为检查“精准扶贫”的落实情况，对甲、乙、丙三个镇进行重点调研，甲镇最多派3个人，乙镇最多派2个人，丙镇只派1个人．调研工作组由3男2女组成，由于该县位于偏远山区，因此女同志不单独调研，每个镇至少派1个人，则不同的分配方法有________种．答案 18解析分析知有2种分配途径：(1)甲镇派2个女同志，则必有1个男同志，有C 13种分配方法，另2个男同志分别分配在乙镇和丙镇，分配方法有A 22种，此时分配方法的种数为C 13×A 22＝6；(2)甲镇派1个女同志，乙镇派1个女同志，共A 22种分配方法，3个男同志只能每镇派1个，共有A 33种，又A 22×A 33＝12，所以共有12种分配方法．又12＋6＝18，所以共有18种分配方法．17．已知函数f (x )＝－x 2＋|x －2a |＋ax (a ∈R )，若函数f (x )在[0,1]上的值域为[1,2]，则实数a 的值为________．答案－1或1解析由题意得，1≤f (0)＝|2a |≤2，① 1≤f (1)＝a －1＋|2a －1|≤2，② 由①得12≤|a |≤1.当12≤a ≤1时，由②得，1≤3a －2≤2,1≤a ≤43，所以a ＝1，此时f (x )＝－x 2＋|x －2|＋x ，又x ∈[0,1]，所以f (x )＝－x 2＋2∈[1,2]，满足题意；当－1≤a ≤－12时，同理可得a ＝－1，此时f (x )＝－x 2＋|x ＋2|－x ，又x ∈[0,1]，所以f (x )＝－x 2＋2∈[1,2]，满足题意．故实数a 的值为－1或1.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )．(1)若4sin A ＝3sin B ，求ca的值；(2)若C ＝2π3，且c －a ＝8，求△ABC 的面积．解方法一 a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )，由余弦定理得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )，所以a ＋c ＝2b .方法二因为a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )，所以由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12(sin A ＋sin C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝12(sin A ＋sin C )，由正弦定理得b ＝12(a ＋c )，即a ＋c ＝2b .(1)4sin A ＝3sin B ，由正弦定理得4a ＝3b ，所以a ＋c ＝2·43a ，所以c a ＝53.(2)由c －a ＝8，得b ＝a ＋4，c ＝a ＋8，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)cos2π3，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，所以b ＝10，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝15 3.19．(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠ABC ＝120°.点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)若P A ＝PD ＝AD ＝2，且平面P AD ⊥平面ABCD ，求PB 与平面ABEF 所成角的正弦值． (1)证明 ∵底面ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD ＝EF ， ∴AB ∥EF ，∵AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(2)解方法一要求PB 与平面ABEF 所成角的正弦值，只要求出点P 到平面ABEF 的距离，设点P 到平面ABEF 的距离为h ，PB 与平面ABEF 所成的角为θ，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BF .∵P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥GB ， ∵PG ＝BG ＝3，∴PB ＝6，不难求得BF ＝2，S △ABF ＝394，S △P AF ＝32，点B 到平面P AF 的距离为BG ＝3，由V P －ABF ＝V B －P AF ，可得 13S △ABF ·h ＝13S △P AF ·BG ， ∴394h ＝32，∴h ＝23913，则sin θ＝h PB ＝239136＝2613，∴PB 与平面ABEF 所成角的正弦值为2613. 方法二取AD 的中点G ，连接PG ，GB ，∵P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ， ∴PG ⊥GB ，在菱形ABCD 中，∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB ，如图，建立空间直角坐标系Gxyz ，∵P A ＝PD ＝AD ＝2，则G (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，∵AB ∥EF ，E 是棱PC 的中点， ∴F 是棱PD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫－1，32，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32， AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，0，PB →＝(0，3，－3)，设平面ABEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝0，n ·EF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝3x ，y ＝33x ，不妨取x ＝3，则平面ABEF 的一个法向量为n ＝(3，3，33)， ∵sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝|n ·PB →||n ||PB →|＝639×6＝2613，∴PB 与平面ABEF 所成角的正弦值为2613. 20．(15分)(2019·台州质检)已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 1＋a 4＝－716，且对任意的n ∈N *，有S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝n ，T n ＝⎪⎪⎪⎪b 1a 1＋⎪⎪⎪⎪b 2a 2＋…＋⎪⎪⎪⎪b n a n，且(n －1)2≤m (T n －n －1)对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意的n ∈N *，有S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，所以2S n ＋2＝S n ＋S n ＋1，令n ＝1，则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，整理得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )．因为a 1≠0，所以2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ，又q ≠0，所以q ＝－12.又a 1＋a 4＝－716，所以a 1＝－12，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n . (2)因为b n ＝n ，由(1)知⎪⎪⎪⎪b n a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ⎝⎛⎭⎫－12n ＝n ·2n ，所以T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减，得－T n ＝1×21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，所以T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2n ＋11－2－n ×2n ＋1＝(n －1)×2n ＋1＋2. 当n ≥2，n ∈N *时，T n >n ＋1，所以(n －1)2≤m (T n －n －1)对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立，即m ≥n －12n ＋1－1对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立．令f (x )＝x －12x ＋1－1(x ≥2)，则f (x ＋1)－f (x )＝x 2x ＋2－1－x －12x ＋1－1＝(2－x )2x ＋1－1(2x ＋2－1)(2x ＋1－1)<0，所以n －12n ＋1－1≤2－123－1＝17.所以m ≥17，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫17，＋∞. 21．(15分)已知抛物线C 1，C 2的方程分别为x 2＝2y ，y 2＝2x .(1)求抛物线C 1和抛物线C 2的公切线l 的方程；(2)过点G (a ，b )(a ，b 为常数)作一条斜率为k 的直线与抛物线C 2：y 2＝2x 交于P ，Q 两点，当弦PQ 的中点恰好为点G 时，试探求k 与b 之间的关系．解 (1)由题意可知，直线l 的斜率显然存在，且不等于0，设直线l 的方程为y ＝tx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，y ＝tx ＋m ，消去y 并整理得x 2－2tx －2m ＝0，因为直线l 与抛物线C 1相切，所以Δ1＝(－2t )2－4×(－2m )＝0，整理得t 2＋2m ＝0.①同理，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝tx ＋m ，得2tm ＝1.② 由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－1，m ＝－12，所以直线l 的方程为y ＝－x －12. (2)由题意知直线PQ 的方程为y －b ＝k (x －a )，即y ＝k (x －a )＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －a )＋b ，消去y 得k 2x 2＋(－2k 2a ＋2kb －2)x ＋k 2a 2＋b 2－2kab ＝0，当k ＝0时，直线PQ 与抛物线C 2：y 2＝2x 只有一个交点，故k ≠0，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2a －2kb ＋2k 2，所以x 1＋x 22＝k 2a －kb ＋1k 2. 又y 1＋y 2＝k (x 1－a )＋b ＋k (x 2－a )＋b＝k (x 1＋x 2)－2ka ＋2b ＝2k 2a －2kb ＋2k－2ka ＋2b ＝2k 2a －2kb ＋2－2k 2a ＋2kb k ＝2k，所以y 1＋y 22＝1k. 要满足弦PQ 的中点恰好为点G (a ，b )，根据中点坐标公式可知⎩⎨⎧ x 1＋x 22＝a ，y 1＋y 22＝b ，即⎩⎨⎧k 2a －kb ＋1k 2＝a ，1k ＝b ，所以kb ＝1.故k 与b 之间的关系是互为倒数．22．(15分)已知函数f (x )＝e x －x 2－ax .(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝1，证明：当x >0时，f (x )>1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222. 参考数据：e ≈2.718 28，ln 2≈0.69.(1)解方法一由f (x )＝e x －x 2－ax ，得f ′(x )＝e x －2x －a ，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )＝e x －2x －a ≥0在R 上恒成立，得a ≤e x －2x 在R 上恒成立．设g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2.令g ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，g ′(x )<0；当x >ln 2时，g ′(x )>0.则函数g (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝ln 2时，g (x )取得最小值，且g (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2，所以a ≤2－2ln 2，所以a 的取值范围为(－∞，2－2ln 2]．方法二由f (x )＝e x －x 2－ax ，得f ′(x )＝e x －2x －a ，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )＝e x －2x －a ≥0在R 上恒成立．设h (x )＝e x －2x －a ，则h ′(x )＝e x －2.令h ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2，当x <ln 2时，h ′(x )<0；当x >ln 2时，h ′(x )>0.则函数h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝ln 2时，h (x )取得最小值，且h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2－a ＝2－2ln 2－a .由于f ′(x )＝h (x )，则2－2ln 2－a ≥0，得a ≤2－2ln 2，所以a 的取值范围为(－∞，2－2ln 2]．(2)若a ＝1，则f (x )＝e x －x 2－x ，得f ′(x )＝e x －2x －1.由(1)知函数f ′(x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(1)＝e －3<0，f ′⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2＝11ln 22e +－2⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2－1＝2e －3－ln 2>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，1＋12ln 2，使得f ′(x 0)＝0，即0xe －2x 0－1＝0.当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.则函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，则当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，且f (x 0)＝0x e －x 20－x 0，所以当x >0时，f (x )≥f (x 0)．由0x e －2x 0－1＝0，得0xe ＝2x 0＋1，则f (x 0)＝0x e －x 20－x 0＝2x 0＋1－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－122＋54.由于x 0∈⎝⎛⎭⎫1，1＋12ln 2，则f (x 0)＝－⎝⎛⎭⎫x 0－122＋54>－⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2－122＋54＝1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222.所以当x >0时，f (x )>1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222.。

2020年人教版高中数学单元测试-函数综合(附答案)

2020年人教版新课标高中数学模块测试卷函数综合一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程2=0x e x --的一个根所在的区间为（）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（） A.()10f x ＞，()20f x ＜B.()10f x ＜，()20f x ＞C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________.16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）. （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤） ①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.2020年人教版新课标高中数学模块测试卷函数综合·答案一、 1.【答案】C 【解析】()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B 【解析】函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C 【解析】α，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A 【解析】()()23=15log f x x x --+-在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t-+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B .12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B . 二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜.15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-；当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，；函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，.②函数()f x 的值域为[)0+∞，.③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1.19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解；当0x ＞时，3e 2=0e x x--，整理得()2e 2e 3=0xx --，即()()e 1e 3=0x x +-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3. 20.【答案】（1）()08A ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤. ()2010C ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标；在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数， ()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x x f x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，高中数学必修第一册 11 / 11 因此()()2322=0x x +-，解得=1x . 所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x x a a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根. 设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得 ()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a的取值范围为(13--，.。

2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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2020高考数学(理数)题海集训07 函数的应用(30题含答案)

2020高考数学(理数)题海集训07 函数的应用一、选择题1.根据表格中的数据，可以判定方程e x ﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为( )A.(﹣1，0)B.(0，1)C.(1，2) D .(2，3) 2.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x －1C ．y=x 2－0.5D ．y=－x 33.某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y=100xB ．y=50x 2－50x ＋100C ．y=50×2xD ．y=100log 2x ＋1004.已知函数f(x)=6x－log 2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)5.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③6.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47.已知e 是自然对数的底数，函数f(x)=e x＋x －2的零点为a ，函数g(x)=ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式成立的是( )A ．f(a)＜f(1)＜f(b)B ．f(a)＜f(b)＜f(1)C ．f(1)＜f(a)＜f(b)D ．f(b)＜f(1)＜f(a)8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台9.某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－110.已知函数f(x)=2x＋x ，g(x)=log 3x ＋x ，h(x)=x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c11.已知函数f(x)=mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 12.方程log 2x+x=3的解所在区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(3，+∞)D.[2，3)13.若函数f(x)=ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，1)14.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x 2，x ＜1，若F(x)=f[f(x)＋1]＋m 有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是( )A ．[4－2ln 2，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，4－2ln 2]D ．(－∞，e)15.已知当x∈[0，1]时，函数y=(mx －1)2的图象与y=x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[23，＋∞)B ．(0，1]∪[3，＋∞)C ．( 0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)16. (贵州·2018一模理数)已知A(0,3)、B(2,1)，如果函数y=f(x)的图象上存在点P ，使|PA|=|PB|，则称y=f(x)是线段AB 的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB 的“和谐函数”的是（）A.ln 2e y x =+ B.1x y e e =+C.ln x y x= D.11x y e -=+17.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx ＋b(e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时18.某市家庭煤气的使用量x(m 3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x≤A，C ＋B （x －A ），x ＞A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( )A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元19.某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高20.定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F(x)=f(x)－a(0＜a ＜1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1C ．1－2－aD ．1－2a二、填空题21.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________．22.已知a ＞0，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．23.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at 2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．24.已知函数2()log 2xf x x m =+-有唯一零点，如果它的零点在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是 .25.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．26.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m ＞0，[m]是不超过m 的最大整数(如[3]=3，[3.7]=3，[3.1]=3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．27.某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．28.已知函数，若方程f(x)-m=0有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________.29.已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A =lg (n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法： ①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A ＜5.5. 其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)30.已知λ∈R，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x －4， x≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ=2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．答案解析1.C.解析：令f(x)=e x ﹣x ﹣2，由图表知，f(1)=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f(2)=7.39﹣4=3.39＞0，方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 (1，2)， 2.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1，当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B.3.答案为：C.解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可.4.答案为：C ；解析：选C.因为f(1)=6－log 21=6＞0，f(2)=3－log 22=2＞0，f(4)=32－log 24=－12＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.5.答案为：A.解析：由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.6.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的解，作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点，故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．7.答案为：A ；解析：选A.函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)=－1＜0，f(1)=e －1＞0，g(1)=－1＜0，g(e)=e －1＞0，所以a∈(0，1)，b ∈(1，e)，即a ＜1＜b ，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．8.答案为：C.解析：设利润为f(x)万元，则f(x)=25x －(3 000＋20x －0.1x 2)=0.1x 2＋5x －3 000(0＜x ＜240，x ∈N *)．令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台．9.答案为：D.解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x)2=(p ＋1)(q ＋1)，解得x=（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.10.答案为：A ；解析：选A.在同一坐标系下分别画出函数y=2x，y=log 3x ，y=－1x的图象，如图，观察它们与y=－x 的交点可知a ＜b ＜c.11.答案为：D ；解析：选D.令m=0，由f(x)=0得x=13，满足题意，可排除选项A ，B.令m=1，由f(x)=0得x=1，满足题意，排除选项C.故选D. 12.D.13.答案为：C ；解析：选C.由题意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a ＜－1或a ＞1.14.答案为：D ；解析：因为函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x 2，x ＜1，所以F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln （ln x ＋1）＋m ，x ≥1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋m ，x ＜1，由F(x)=0得，x 1=e e －m －1，x 2=4－2e －m，其中m=－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＜－ln 32，∴m ＜ln 23.设t=e －m ，则t ＞32，所以x 1·x 2=2e t －1(2－t)，设g(t)=2e t －1(2－t)，则g′(t)=2e t －1(1－t)，因为t ＞32，所以g′(t)=2et －1(1－t)＜0，即函数g(t)=2et －1(2－t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，所以g(t)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=e ，故选D.15.答案为：B ；解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)=(mx －1)2=m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g(x)=x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B.16.D ；17.答案为：C.解析：由已知条件，得192=e b ，∴b=ln 192.又∵48=e 22k ＋b =e 22k ＋ln 192=192e 22k =192(e 11k )2，∴e 11k =⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212=⎝ ⎛⎭⎪⎫1412=12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t=e 33k ＋ln 192=192 e 33k =192(e 11k )3=192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123=24(小时)．18.答案为：A.解析：根据题意可知f(4)=C=4，f(25)=C ＋B(25－A)=14，f(35)=C ＋B(35－A)=19，解得A=5，B=12，C=4，所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f(20)=4＋12(20－5)=11.5.19.答案为：A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a(a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a=m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y 1=m＋4a ，乙食堂的营业额y 2=m×(1＋x)4=m （m ＋8a ），因为y 21－y 22=(m ＋4a)2－m(m ＋8a)=16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．20.答案为：D ；解析：选D.当－1≤x＜0时⇒1≥－x ＞0；x ≤－1⇒－x≥1.又f(x)为奇函数，∴x ＜0时，f(x)=－f(－x)=⎩⎪⎨⎪⎧－log 12（－x ＋1），x ∈（－1，0），－1＋|x ＋3|，x ∈（－∞，－1]，画出y=f(x)和y=a(0＜a ＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 22=－3，x 4＋x 52=3，而－log 12(－x 3＋1)=a ⇒log 2(1－x 3)=a ⇒x 3=1－2a ，可得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5=1－2a，故选D.21.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.22.答案为：(4，8)；解析：当x≤0时，由x 2＋2ax ＋a=ax ，得a=－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a=ax ，得2a=－x 2＋ax.令g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y=a ，y=2a ，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－a 24＋a 22=a24，由图象可知，若f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a24＜2a ，得4＜a ＜8.23.答案为：3.75；解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p=at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p=－0.2t 2＋1.5t －2=－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t=3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．24.答案为：2<m<5；因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以(1)(2)025f f m <⇒<<. 25.答案为：1909；解析：前10天满足一次函数关系，设为y=kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k=209，b=709，所以y=209x ＋709，则当x=6时，y=1909.26.答案为：4.24；解析：∵m =6.5，∴[m]=6，则f(m)=1.06×(0.5×6＋1)=4.24.27.答案为：4；解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x=14.4.化简得：x －6×0.9x =0，令f(x)=x －6×0.9x. 因为f(3)=－1.374＜0，f(4)=0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．28.答案为：0<m<2 29.答案为：③；解析：当n A =1时P A =0，故①错误；若P A =1，则n A =10，若P A =2，则n A =100，故②错误；设B 菌的个数为n B =5×104，∴n A =10105×104=2×105，∴P A =lg(n A )=lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A ＜5.5，故③正确．30.答案为：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)；解析：(1)当λ=2时，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图(1)．由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．(2)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y=x －4与y=x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x=λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．。