Hamilton系统的形式不变性和Lie对称性

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混沌Hamilton系统的统计力学性质

混沌Hamilton系统的统计力学性质混沌系统是一类具有不确定性和高度敏感性的动力学系统，在长时间演化中表现出无序、混乱和随机的行为。

Hamilton系统是其中一种常见的动力学系统，它由哈密顿力学方程描述，具有能量守恒和相空间流体的特征。

本文将探讨混沌Hamilton系统的统计力学性质，包括熵增、吸引子、Liouville定理以及混沌系统的统计稳定性等方面。

1. 熵增在混沌系统中，熵增是描述系统演化的重要指标。

熵是描述系统无序程度的度量，可以通过系统的概率分布函数计算。

对于混沌系统，由于其非周期性和高度敏感性，系统的熵通常随时间增加。

混沌系统的熵增特性使得其在演化过程中趋向于无序，无法被简单的周期性或确定性模式所描述。

2. 吸引子吸引子是混沌系统中的重要概念，它描述了系统演化的稳定态。

对于一个混沌系统，其吸引子可以是一个有限维的奇异吸引子或一个无限维的奇异吸引子。

奇异吸引子通过吸引系统各个相空间轨迹使其局限于某一区域，从而使得系统在长时间演化中表现出有限范围内的稳定态。

混沌Hamilton系统的统计力学性质可以通过对吸引子的研究来揭示。

3. Liouville定理Liouville定理是描述Hamilton系统的守恒性质的重要定理。

根据Liouville定理，对于一个不可压缩的Hamilton系统，相空间中的体积在演化过程中保持不变。

这意味着在长时间演化中，系统的相空间轨迹虽然会发生复杂的变化，但相空间中的点密度保持恒定。

Liouville定理为混沌Hamilton系统的统计力学性质提供了重要的理论基础。

4. 统计稳定性混沌Hamilton系统的统计稳定性是指系统在经过足够长的演化后，其统计性质是否趋于稳定。

对于混沌系统而言，由于系统的高度敏感性和非周期性，统计分布函数通常不会呈现典型的正态分布或其他简单的分布形式。

然而，经过足够长的时间演化后，系统的统计分布函数往往会趋于稳定，并且可以用一些概率分布模型来描述。

完整力学系统Nielsen方程的Lie对称性-形式不变性

对称性一形式不变性导出的Ｎｅｈｒ恒量和Ｈｊａｏｔｅ守ｏｍｎ守恒量。
关键词：完整力学系统；Ｎｅｌ方程；Ｌｅ对称性一ｉｌｅｓｌｉ形式不变性；Ｎｅｈｒ守恒量；Ｈｊａｏｔｅｏｍｎ
守恒量
中图分类号：０１文献标识码：Ａ文章编号：１０－６１（０７４０８．３３６０９４０２０）０．０３０
不变性是指这种对称性既是Ｌｅ对称性的，又是形ｉ式不变性的。３．Ｌｉｅ对称性一形式不变性导致的Ｎｅｈｒ守ｏｔｅ恒量
力系的能数《香系学统动函为＝（＋；统｝ｌ
受到的非广义力为＝曹，２＝香．ｌＯ２试研究Ｌｅ对ｉ
有类型的对称性以便了解物质世界的变化。Ｎｅｈｒｏｔｅ对称性，Ｌｅ对称性和形式不变性 “ （ｉ也称Ｍｉｅ对称性）以及相应地三种主要的守恒量．Ｎｅｈｒ守恒量“ ｏｔｅ ’
・
Ｎ）Ｑ＝
一
（２）
般说Ｔｆ，，＝（，来．＝（ｑ）ｆｑ，ｑ，）设ｑ
维普资讯
第１第４期５卷
２０年８月０７
呼伦贝尔学院学报
ＪｕｎｌｆＨｕｕｂｉｒＣｏｌｇｏｒａｌｎｅｅｌｅｏｅ
Ｎｏ４．
Ｖｌｌｏ＿５
ＰｂｉｅｎＡｕｕｔ０７ｕｌｈｄｉｇｓ．０ｓ２
Ｈｊａ守恒量。ｏｍｎ
＝，，）（ｋ１，，口（＝，… ｎ）（，口，２ｑ３）

力学系统的对称性和守恒量的应用

这里ξ 0，ξｓ为无限小生成元，而 Noether 守恒量有形式
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂

无穷维Hamilton算子的对称性

无穷维Hamilton算子的对称性作者：李琳来源：《数码设计》2017年第10期摘要：本文研究了对称算子的性质，给出了无穷维Hamilton算子是对称算子的条件。

无穷维Hamilton算子在弹性力学、最优化问题、发展方程问题、断裂问题以及弯曲问题等领域有着广泛的应用.对于无穷维Hamilton算子谱的问题，大量学者做了很多工作[1−3]. 关于无穷维Hamilton算子的特征函数系的辛正交、谱的结构、数值域、二次数值域以及极大不变子空间的存在性问题[4−5]，已经得到了很好的结论.对称算子是无界算子理论中非常重要的算子，关于无穷维Hamilton算子是否是对称算子，还没有很好地结论.本文主要讨论对称算子的性质，得到无穷维Hamilton算子是对称算子的条件.关键词：无穷维Hamilton算子；对称算子；中图分类号：O175.3 文章标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）10-0022-01Abstract： in this paper， the properties of symmetric operators are studied， and the conditions under which infinite dimensional Hamilton operators are symmetric are given.Infinite dimensional Hamilton operators are widely used in the fields of elasticity， optimization， evolution equation，fracture and bending.A large number of scholars have done a lot of work on the spectrum of infinite dimensional Hamilton operators [13].On the existence of symplectic orthogonality， spectral structure， numerical range， quadratic numerical region and maximal invariant subspace of eigenfunction system of infinite dimensional Hamilton operator， we have obtained very good results. ConclusionSymmetric operator is a very important operator in the theory of unbounded operator. There is no good conclusion as to whether the infinite dimensional Hamilton operator is a symmetric operator.In this paper， the properties of symmetric operators are discussed， and the conditions under which infinite dimensional Hamilton operators are symmetric are obtained.Keywords： infinite dimensional Hamilton operator； symmetric operator；参考文献[1]Alatancang， Jin G. ， Wu D.， On Symplectic Self-Adjointness of Hamiltonian Operator Matrices[J]. Sci China Math，58，821-828.（2015）[2]Taylar A.E.， Lay D.C.， Introduction to Functional Analysis[M]. FLORIDA，Robert E. Krieger Publishing Company.（1980）[3]孙炯，王忠，线性算子的谱分析[M].北京，科学出版社， 2005.[4]Alatancang， Huang J.J.， Structure of the spectrum of infinite dimensional Hamiltonian operators[J]. Sci China Math，51（5）：915-924，（2008）.[5]吴德玉，阿拉坦仓，无穷维Hamilton算子特征函数系的Cauchy主值意义下的完备性.中国科学A辑：数学，38（8）：904-912，（2008）。

4_1 Hamilton方程

g (u ) 也可以做 Legendre 变换，由于 x = dg du ，因此 g (u ) 的 Legendre 变换
为 xu − g (u ) ，它就是原来的函数举个例子。考虑函数变量 u
f ( x) 。
f ( x) = x 2 ，它满足我们前面的条件 f ′′ = 2 > 0 ，新
变换后新的函数为正是
y
y = f ( x)
y
y = f ( x)
y = f ′( x0 ) x − g
(0, − g )
x0
x
唯一的截距，这相当于要求
f ′′( x) 总是大于零（或者总是小于零）的，因为这
种情况下曲线切线的斜率就是单调增加（或减小）的。实际上，由于我考虑的是那些光滑的函数
[
v
v = g (u )
= f ′( x) = 2 x ，其反变换为 x = u 2 ； Legendre
g (u ) = xu − f ( x) = u 2 2 − u 2 4 = u 2 4 。而 x = ∂g ∂u = u 2
相应的 − g (u ) 作如果你有兴趣，不妨以每一个 u 作为斜率， u = 2 x 的反变换。为截距做出一系列的直线，你会发现这些直线的包络线正是曲线稍微推广一下，考虑这样一个具有两个自变量的函数只想把其中一个变量（譬如 y ，假设 ∂ 一个变量保持不变
i H ( q, p, t ) = q
∂L i pi − L −L=q i ∂q
(9)
我们将这个函数称为 Hamilton 函数或者 Hamiltonian （Hamilton 量）。实际上这个式子中间的那一项大家是熟悉的了，它就是我们以前定义的 Jacobi 积分。但是需

2015级硕士研究生凝聚态物理导论考试题目及答案(自己整理)

2015年“凝聚态物理导论”课程考试题目（2015级硕士研究生，2016年1月）一、简答题（合计30分，要求给出简洁和准确的解答，字数不少于1000字）1. 固体物理学的范式？答：（1）晶体学研究，涉及晶体的周期性结构（2）固体比热理论，涉及晶格振动的研究（3）金属导电的自由电子理论（4）铁磁性研究相关内容[1]。

2. 凝聚态物理学的新范式？答：凝聚态物理学是从微观角度出发，研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质的结构和动力学过程以及其与宏观物理性质之间关系的一门科学。

经过长时间的发展，如进行成了以“对称破缺”为核心概念所建立的凝聚态物理学新范式，包括了（1）基态（2）元激发（3）缺陷（4）临界区域等四个不同的层次，而且这些层次之间又彼此相互关联[2]。

3. Hartree-Fock 近似？答：总的来看，Hartree-Fock 近似是一种对“原子核和周围与其保持电中性的一组电子”这一系统哈密顿量的一种简化处理，以实现单电子近似。

它主要涉及到对“电子之间的相互作用势”这一项的简化与修正。

这种简化并非是一蹴而就的，首先是Hartree 的自洽场近似，假设每个电子运动于其他所有电子构成的电荷分布（通过2Ψ）所决定的场里，引入电子之间的相互作用势： ()()j i j j i j i i i dr r r r Ψe r V ∑≠-=22041πε（1）来代替原先Hamilton 量中的电子之间的相互作用势。

之所以称为“自洽”是因为最终的方程组可以通过自洽的方式求解。

另外一方面，如果考虑电子的自旋，总波函数相对于互换一对电子应是反对称的，最终求解出的电子系统的总能量还要增加一项：每对平行自旋电子的交换能。

()()()()r drd r r r r r r e E j i j j i i '''-⨯'=∑⎰⎰≠∞ψψψψπε1802（2）结合以上两种处理就是Hartree-Fock 近似。

哈密顿方法

哈密顿方法哈密顿方法，又称为Hamiltonian方法，是经典力学中用来描述物理系统动力学的一种方法，由爱德华·哈密顿（Edward Hamilton）在19世纪中期发明。

哈密顿方法是用来解决动力学问题的一种规范方法，它是基于特定原理和数学框架来构建物理模型的一种方法。

哈密顿方法的核心思想是用哈密顿函数（Hamiltonian）来描述物理系统，在这个函数的基础上，通过一个特定的形式来描述运动方程，使用哈密顿铁运动方程将物理系统的演化过程描述为一组动量方程和位置方程。

哈密顿方法的优点在于可以将形式简洁的哈密顿铁运动方程用于各种问题的求解，同时也提供了一种易于理解的物理解释。

另外，哈密顿方法还具有误差分析、稳定性分析等方面的优点。

哈密顿方法的基本概念包括哈密顿函数、哈密顿铁运动方程和哈密顿量子力学等。

下面将详细介绍这些概念和应用。

一、哈密顿函数哈密顿函数是哈密顿方法的起点和核心。

它是物理系统的一个数学描述，同时也是一个能量函数。

哈密顿函数的定义如下：H = ∑ p i q ˙ i - L ( q , q ˙ )其中，H是哈密顿函数；p是动量；q是位置；q˙是位置的一阶时间导数，L是拉格朗日函数。

从这个公式可以看到，哈密顿函数是由动量和位置两部分组成的。

动量是物理系统的关键参数之一，在哈密顿方法中，通过将物理系统的动量与位置分开来研究，我们可以得到系统的许多性质，例如能量守恒等。

同时，哈密顿函数也是一个能量函数，可以通过它计算物理系统的能量。

因此，它具有重要的物理意义和实用价值。

二、哈密顿铁运动方程哈密顿铁运动方程是描述物理系统演化过程的基本方程。

这个方程可以使用哈密顿函数来表达。

它由位置和动量分别构成的一组方程组成。

哈密顿铁运动方程的基本形式如下：这里，t是时间，q和p分别是位置和动量。

这个方程组可以解决各种物理问题，例如守恒定理、稳定性、非线性系统等。

三、哈密顿量子力学哈密顿量子力学是量子力学的一个分支，并与哈密顿方法紧密相关。

经典力学中的哈密顿力学

经典力学中的哈密顿力学经典力学是研究物体运动的学科，是描述宏观物体运动的物理学分支。

在经典力学中，哈密顿力学是一种与牛顿力学等其他形式的力学相比较而独特的表述方式。

1. 哈密顿力学的定义哈密顿力学是由W.R. Hamilton在19世纪的初期发展起来的。

它是经典力学的一种数学表述方式，而不是新的力学理论。

在哈密顿力学中，对于物体的运动是由哈密顿函数和哈密顿方程来描述的。

哈密顿函数H是一种描述物体状态的函数，它由物体的位置和动量组成。

哈密顿函数可以看作一个确定物体状态的函数，通常情况下，它的定义是：H = T + V，其中T是动能，V是势能。

对于一个系统，T和V是已知的。

哈密顿方程是描述经典力学中物体运动的基本方程之一。

在哈密顿力学中，物体的运动由哈密顿函数和哈密顿方程来描述。

2. 哈密顿力学的应用哈密顿力学的应用范围广泛。

例如，它可以用来描述分子运动、经济系统、天体力学等问题。

在分子运动中，哈密顿力学可以用来计算分子的能量和动量。

在经济系统中，哈密顿力学可以用来描述经济交易和市场价格的变化。

在天体力学中，哈密顿力学可以用来描述行星的运动和轨道。

在物理学中，哈密顿力学的应用也非常重要。

哈密顿力学在量子力学中的应用，特别是在量子场论和量子微扰理论中，是不可缺少的。

3. 哈密顿力学的数学基础哈密顿力学的数学基础是泊松括号。

泊松括号在经典力学中是描述位形和动量演化的工具，它可以用来计算任意两个物理量的变化率。

泊松括号是两个函数的反对称李括号：[f,g] = ∂f/∂q * ∂g/∂p - ∂f/∂p * ∂g/∂q其中，q和p分别为位置和动量，f和g是任意两个函数。

4. 哈密顿力学和其他力学形式的比较哈密顿力学是牛顿力学和拉格朗日力学的补充，它提供了一种更加方便的方式来描述动态系统。

与拉格朗日力学相比，哈密顿力学的优点是它的形式不变性，使其比拉格朗日力学更加容易理解和应用。

5. 结论哈密顿力学是经典力学中的一种表述方式，它通过哈密顿函数和哈密顿方程来描述物体的运动。

粒子物理学中的对称性与不变性研究

粒子物理学中的对称性与不变性研究粒子物理学是一门研究自然界构成结构和相互作用的基本粒子的学科。

在粒子物理学中，对称性与不变性被认为是非常重要的概念，对整个学科的发展起到了关键作用。

对称性与不变性是从艾米·居内斯（Emmy Noether）于20世纪初提出的“Noether 定理”中发展起来的。

该定理指出，在物理体系中，对称性存在的同时，也存在一个与之相对应的守恒量。

例如，在空间平移不变的系统中，动量守恒；在时间平移不变的系统中，能量守恒。

这一定理揭示了自然界中的对称性与守恒量之间的密切关系。

粒子物理学中，最著名的对称性之一就是洛仑兹对称性。

它表明物理规律在时间平移、空间平移、空间旋转和洛仑兹变换下是不变的。

它是爱因斯坦的相对论理论的基础，也是现代粒子物理学的核心概念。

洛仑兹对称性的研究为人们理解基本粒子的相互作用提供了重要线索。

另一个在粒子物理学中被广泛研究的对称性是内禀对称性，又称为规范对称性。

内禀对称性是指在场的变换下，拉格朗日量保持不变。

规范对称性的一个重要例子是电磁相互作用中的U(1)对称性，即电荷守恒。

在标准模型中，电弱相互作用采用SU(2) × U(1)规范对称性，它描述了电磁与弱相互作用之间的统一。

研究这些内禀对称性为我们理解基本粒子的相互作用提供了重要线索。

除了对称性之外，不变性也是粒子物理学中另一个重要的概念。

不变性是指在某些变换下，物理规律不发生改变。

在粒子物理学中，最著名的不变性是费米子的玻色化不变性。

根据玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计，玻色子和费米子在交换下具有不同的性质。

但是通过玻色化，我们可以将费米系统转化为对应的玻色系统，从而更容易进行计算和研究。

这种不变性的研究为我们更好地理解粒子性质和相互作用提供了便利。

对称性与不变性的研究在粒子物理学中有着广泛的应用。

通过对称性与不变性的分析，人们可以推测出新的粒子、相互作用和对称性，进而设计实验来验证这些假设。

第一章 Hamilton系统

某一瞬时系统的运动规律。一有限运动过程中系统的运动规律。
力学原理
变分原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。不变分原理微分原理如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点：（1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域的问题。（2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学运算较复杂的原因。
经典力学
分析力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用，其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了物理规律背后更普遍的性质。

汉米尔顿方案

汉米尔顿方案1. 简介汉米尔顿方案是一种数学问题的求解方法，主要用于寻找某个系统的最优解。

它起初被应用于优化问题和组合问题中，但现在已被广泛应用于多个领域，如物理学、计算机科学、经济学等等。

这种方案的独特之处在于，它通过构建一个有向图来表示问题，并在图上进行搜索，以找到最佳路径或解决方案。

2. 汉米尔顿方程汉米尔顿方程是汉米尔顿方案的核心。

它由基于拉格朗日力学的哈密顿原理推导而来，用于描述一个系统的动力学行为。

该方程是一个偏微分方程，可以用来求解系统状态在时间上的演化。

汉米尔顿方程的一般形式如下：H(q, p) = T(p) + V(q)其中，H表示系统的汉米尔顿量，q和p分别表示系统的广义坐标和广义动量。

T(p)和V(q)分别表示系统的动能和势能。

3. 汉米尔顿图在汉米尔顿方案中，问题首先被转化为一个有向图，该图被称为汉米尔顿图。

汉米尔顿图中的节点表示问题的状态，边表示从一个状态到另一个状态的转移。

每个状态都可以通过一个唯一的标识符来表示，并与其他状态之间有所区分。

汉米尔顿图的构建通常需要根据具体问题的特点进行。

在图的构建过程中，需要考虑如何表示问题的状态，以及如何定义合适的转移条件。

4. 汉米尔顿回路和汉米尔顿路径在汉米尔顿图中，汉米尔顿回路是指一个遍历图中所有节点恰好一次的闭合路径。

汉米尔顿路径是指一个遍历图中所有节点恰好一次的路径，但不需要闭合。

汉米尔顿回路和汉米尔顿路径的存在性是汉米尔顿方案求解的关键。

通过在汉米尔顿图上进行搜索，可以找到满足条件的汉米尔顿回路或路径，从而得到问题的最优解。

5. 汉米尔顿方案的应用汉米尔顿方案广泛应用于多个领域，包括优化问题、组合问题、路径规划等等。

在优化问题中，汉米尔顿方案可以用于找到一条路径或序列，使得某个目标函数取得最大或最小值。

例如，旅行商问题就是一个典型的优化问题，它要求找到一条最短路径，使得旅行商可以遍历所有城市并回到起点。

在组合问题中，汉米尔顿方案可以用于找到一组对象的最优排列方式。

《2024年无穷维Hamilton算子的谱与特征函数系的完备性》范文

《无穷维Hamilton算子的谱与特征函数系的完备性》篇一一、引言无穷维Hamilton算子在量子力学、物理、数学等多个领域具有广泛的应用。

本文旨在探讨无穷维Hamilton算子的谱及其特征函数系的完备性。

首先，我们将简要介绍Hamilton算子的基本概念和性质，然后详细阐述其谱的特性和特征函数系的完备性。

二、Hamilton算子的基本概念与性质Hamilton算子是一种在量子力学和物理中广泛应用的算子，具有无穷维的特性。

它描述了系统的能量和动量等物理量，是研究量子系统的重要工具。

Hamilton算子具有自伴性、厄米性和正定性等基本性质，这些性质使得它在描述物理系统时具有很高的精确性和可靠性。

三、无穷维Hamilton算子的谱无穷维Hamilton算子的谱是指其本征值组成的集合。

由于Hamilton算子具有无穷维的特性，其谱通常也是无穷的。

谱的性质对于理解Hamilton算子的物理意义和数学结构具有重要意义。

在无穷维空间中，Hamilton算子的谱具有连续性和离散性。

连续谱表示系统的能量可以取任意实数值，而离散谱则表示系统的能量只能取某些特定的离散值。

这两种谱共同描述了系统的能量分布和动力学行为。

四、特征函数系的完备性特征函数系是指由Hamilton算子的本征函数组成的函数系。

特征函数系的完备性是指该函数系能否在某种意义上完整地描述系统的状态和演化。

对于无穷维Hamilton算子，其特征函数系通常具有完备性。

特征函数系的完备性意味着，任何系统的状态都可以用其本征函数进行展开和描述。

这使得我们可以通过求解Hamilton算子的本征值和本征函数来了解系统的性质和演化规律。

此外，特征函数系的完备性还保证了我们在进行量子计算和模拟时，可以使用该函数系来近似任意状态，从而提高计算的精度和效率。

五、结论本文详细探讨了无穷维Hamilton算子的谱与特征函数系的完备性。

通过分析Hamilton算子的基本概念、性质、谱的特性和特征函数系的完备性，我们深入理解了其在量子力学、物理、数学等领域的应用。

约束Hamilton系统的对称性与守恒量的某些研究进展

第37卷第3期2020年9月苏州科技大学学报(自然科学版)Journal of Suzhou University of Science and Technology(Natural Science)Vol.37No.3Sep.2020doi:10.12084/j.issii.2096-3289.2020.03.002约束Hamilton系统的对称性与守恒量的某些研究进展郑明亮，冯鲜（无锡太湖学院机电工程学院，江苏无锡214064）摘要：介绍有关约束Hamilton系统的对称性与守恒量理论研究与应用发展。

对约束Hamilton系统的结构特点和本质进行了总结和评价。

在经典水平层面介绍了Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性以及由它们导致的守恒量；在量子水平层面介绍了正则对称性，涉及Ward恒等式、量子守恒律和Poincare，-Cartan积分不变量。

并提出了若干问题和进一步研究建议。

关键词：约束Hamilton系统;对称性;守恒量;量子中图分类号：O316；O322MR（2010）Subject Classification：00A69文献标志码：A文章编号：2096-3289（2020）03-0008-07当力学系统的Lagrange函数的Hessian矩阵不满秩（奇异动力系统），利用Legendre变换，从Lagrange体系过渡到Hamilton体系描述时，在相空间中正则变量之间将存在固有内在约束（也称Dirac约束），称为约束Hamilton系统叫现实中众多重要有用的系统均符合这类模型，它是力学界、控制界、数学界以及其他学术界共同关注的重要课题，它在近代理论物理（量子、光、电磁等）円、机械工程中机器人系统叫电力工业和自动化控制问等领域都有广阔的应用背景。

1940年末,DiracPT和Bergmann*呵首先开始了对此类系统的研究，他们最初的目的主要是为力学量子化和量子场论服务的。

Lie对称性和共形不变性及守恒量若干问题的研究

Lie对称性和共形不变性及守恒量若干问题的研究本文基于对称性理论研究了某些力学系统守恒量的若干问题.目前研究的对称性主要有Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性以及共形不变性,它们导致的守恒量有Noether守恒量、Hojman守恒量、Mei守恒量.本文将应用这些对称性理论研究某些力学系统的守恒量,研究内容有以下四部分：在第一部分即本文的第二章中,我们研究了Lagrange系统、Hamilton系统、广义Hamilton系统的Lie对称性两种提法的等价性,对于广义Hamilton系统还研究了在一般无限小变换下的Lie对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的表达式和证明过程.在第二部分即本文的第三章中,我们先研究了广义Hamilton系统的共形不变性与Mei对称性的关系,给出共形不变性同时具有Mei对称性的充要条件,并且得到了共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；其次讨论了Lorenz方程的Robbins模型的共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；最后研究了平面Kepler方程的共形不变性与Lie对称性,给出共形不变性通过Lie对称性导致的Hojman守恒量,同时研究了Kepler方程的Mei对称性,得到了与系统的总能量、角动量相互独立的守恒量.在第三部分即本文的第四章中,我们研究了Nielsen
方程的Lie对称性导致的新型守恒量和Appell方程的Mei对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的具体表达式和证明过程,举例说明结果的应用.在第四部分即本文的第五章中,我们应用单参数Lie群理论,研究了广义齐次系统的拟齐次多项式首次积分.通过讨论Lotka-Volterra系统的约化问题,给出系统拟齐次多项式首次积分的存在条件和具体表达式.。

hamilton原理

hamilton原理《Hamilton原理》是一个既简单又重要的定理，它对某些类型的物理系统有着重要的意义。

它由英国物理学家William Rowan Hamilton在1834年提出，是牛顿力学系统中一个重要的定理。

它通过一种叫做“动量和能量”的统一张量来描述动力学系统中的总体结构。

Hamilton原理是一个精确的理论，它提供了一种解决问题的方法，而不是一种抽象的描述。

Hamilton原理是一种描述系统动力学的假设，指出物体在坐标系中的行为是满足某种动量守恒定律的。

一般来说，这种定律表明：在某一时刻，物体的动量（动量矢量）总是保持不变，自由系统中的力与动量总是成正比。

动量定律表明，物体在坐标系中运动时，它们的全部运动只能由力和动量所决定，并且不应该有任何其它力量的发挥作用。

Hamilton原理还提供了一种从物理系统的能量到力的理解的桥梁。

通过它，我们可以用物理系统的能量来解释系统中的力，而不用去考虑力的来源。

它使我们能够简单地从能量对物体行为和动力学系统的性质做出准确的推断。

Hamilton原理在物理学和数学领域都有着广泛的应用，它已经成为一种重要的定理。

它可以用来描述物理系统的绝对性质，以及描述它们的运动规律。

Hamilton原理进一步定义了力学原理中的概念，如动量和能量。

它还被用来解释许多物理现象，如电磁场、轨道动力学、量子力学等。

Hamilton原理的最重要的作用是它可以用来描述物体在一维力学系统中的行为，同时也可以用来模拟复杂的多体系统。

比如，它可以用来描述空气动力学中飞机滑翔时的运动，以及电磁学中电磁场的性质和电磁波传播的特性。

它还可以用来模拟弹性力学系统中的结构性与弹性的运动，以及量子力学中的原子的行为。

Hamilton原理的重要性无可置疑，它是物理学、力学和数学研究中的一个重要的定理。

它被广泛应用于许多物理实验中，并且作为连续力学系统研究的基础理论。

它可以提供准确的预测，从而为人类技术的发展提供可靠的基础。

广义 Hamilton 系统的规范型及其计算

广义Hamilton系统的规范型及其计算赵晓华, 阮永全【摘要】基于广义Hamilton系统的流定义的变换是保结构变换的性质,利用相应的Lie变换公式,获得了广义Hamilton系统的Hamilton函数的规范型及保结构变换的产生函数表达式.为阐明已获得这些理论结果的应用，具体研究了一类具有Lie-Poisson结构U(1,1)的三维广义Hamilton系统，明确计算了它的二阶规范型及其保结构变换的生成函数.【期刊名称】浙江师范大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7【关键词】广义Hamilton系统;Lie-Poisson结构;保结构变换；规范型0 引言广义Hamilton系统的规范型理论是动力系统规范型理论的重要组成部分.规范型理论是研究动力系统在平衡点或周期解附近的动力学性质时最常用的方法之一，其核心思想就是在平衡点或周期解某一邻域内，通过近似恒同变换将原系统变换为一定意义下的便于分析的简化形式，简化的过程称为系统的规范化过程，简化的结果就是原系统的规范型及相应的近似恒同变换.广义Hamilton系统是经典辛流形上定义的偶数维Hamilton系统的一种推广系统，它的相空间是一个Poisson流形，可以是任意有限维甚至无穷维流形.广义Hamilton系统广泛存在于天体力学、生命科学、离子物理等领域中，在动力系统理论和应用研究中具有重要地位[1-2].规范型(Normal Form)理论自19世纪末Poincaré和Dulac提出以来，一直受到非线性科学研究工作者的重视和青睐，被看作是定性和定量研究非线性系统的稳定性、寻找周期解和不变环面等不变流形、近似解计算等方面的有力工具.有关它的发展历史可以参见文献[3-6],关于它的最新研究进展可见文献[7-9].关于一般向量场和经典Hamilton系统的规范型及其计算问题国内外已有很多研究成果，并在大量的实际问题或动力系统模型研究中得以应用[5-6,10-16].但是,针对广义Hamilton系统的规范型研究，国内外学术界的研究相当少[17]，应用的实际例子也未见报道.对于广义Hamilton系统▽H(x),它的右端由两部分构成：结构矩阵J(x)；Hamilton函数H(x)的梯度向量.因此,在研究广义Hamilton系统的规范型时通常有如下3种思路:1)对结构矩阵J(x)进行化简，也就是对Poisson结构进行化简，这也就是通常所说的Poisson结构线性化，达到对广义Hamilton系统的规范化；2)保持结构矩阵J(x)不变，通过保结构变换对Hamilton函数H(x)进行化简，从而达到化简系统的目的；3)同时对结构矩阵J(x)和Hamilton函数H(x)化简,但对Poisson 结构有一些特殊的要求,如解析性、光滑性等.本文采用文献[13,16]中的方法，利用Lie变换和广义Hamilton系统相流保持Poisson结构不变的性质，将广义Hamilton系统的化简问题转化为用保结构变换化简Hamilton函数的问题，获得了相应的规范型定义和具体的计算方法.最后，为阐明本文所得理论结果的应用，研究了一类具有与Lie代数U(1,1)同构Lie-Poisson结构的三维广义Hamilton系统的规范型，得到了这个系统的二阶规范型及相应的保结构变换生成函数.1 广义Hamilton系统与Lie变换广义Hamilton系统是在Poisson流形上定义的动力系统.设Mn是一个n维C∞光滑流形,在光滑函数空间C∞(Mn,R)上定义了一个括号运算{·,·},使每2个函数F,G∈C∞(M)确定C∞(M)中的第3个函数{F,G},并满足以下条件：1)反对称性：{F,G}=-{G,F};2)双线性：{αF+βG,K}=α{F,K}+β{G,K},其中,α,β为常数;3)求导法则——Leibnitz 法则：{F·G,K}=F·{G,K}+G·{F,K};4)Jacobi恒等式：{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0.则称对子(M,{·,·})为Poisson流形，括号结构{·,·}为其Poisson结构.若Poisson流形M的局部坐标为(x1,x2,…,xn),则Poisson结构可以由一个反对称函数矩阵确定，这个矩阵叫作结构矩阵J(x).其元素由Jij(x)={xi,xj} 定义，常称其为结构元素.根据Poisson括号定义中满足的4条性质,对C∞(M)中用局部坐标x表示的函数F,G,{F,G}的计算公式为(1)且n×n结构矩阵J(x)=(Jij(x))(x=(x1,x2,…,xn)T)的结构元素应该满足如下2条性质：(2)当结构矩阵元素为x的齐线性函数,即时，相应的Poisson括号称为Lie-Poisson括号,因为它与n阶Lie代数结构有同构关系.此时结构矩阵J(x)的结构常数应满足以下条件：(3)将Poisson流形(M,{·,·})上的光滑函数H:M→R所确定的广义Hamilton向量场记为ξH，定义为：对一切F∈C∞(M),ξH(F)={F,H}.(4)称函数H为该向量场的Hamilton函数.在M的局部坐标x下，广义Hamilton向量场ξH所对应的广义Hamilton系统可表示为(5)也可以表示为紧凑的向量形式▽H(x).(6)若记χH(M)为Poisson流形M上全体广义Hamilton向量场组成的集合，则下面的命题1表明:集合χH(M)在通常的向量场Lie括号[ξ,η]=ξη-ηξ下是封闭的，从而构成一个Lie代数.命题1 假设M是一个Poisson流形,F,G∈C∞(M)是流形上的2个光滑函数，ξF,ξG是它们所对应的广义Hamilton向量场.那么Poisson括号确定的广义Hamilton向量场ξ{F,G}满足下面的关系:ξ{F,G}=-[ξF,ξG]=[ξG,ξF].(7)若Poisson流形M的Poisson结构具有常数秩，或者在M的某个具有常数秩的开子流形上，则结构矩阵在适当的坐标下具有非常简洁的形式.这就是著名的达布(Darboux)定理的结论.定理1(Darboux定理) 设(M,{,})是n维Poisson流形，若在x0∈M的一个邻域上，Poisson结构矩阵J(x)的秩处处为常数2k≤n,则存在x0附近的典则局部坐标(p,q,z)=(p1,p2,…,pk,q1,q2,…,qk, z1,z2,…,zs),2k+s=n,使得Poisson括号在这组坐标下具有如下形式:(8)显然,当定理1中的s=0时,括号结构就对应于经典的标准Poisson结构,而相应定义的Hamilton系统就是辛流形上的经典Hamilton系统.定义1 设函数C(x)∈C∞(M)不恒等于常数，且对任意函数F∈C∞(M)满足{C,F}=0,(9)则称函数C(x)为(广义)Poisson括号的一个Casimir函数.关于Casimir函数存在性的详细证明可参见文献[2].显然，对于经典Poisson 括号是不存在Casimir函数的，因为经典Poisson 括号满足非退化条件.对于取定的Poisson流形结构,根据定义立刻可以推出结论：Poisson流形如果存在非平凡的Casimir函数,那么它必是这个Poisson流形上任何一个广义Hamilton 系统的运动不变量.Poisson流形具有特殊的叶层结构,它的每一个叶层都是由Casimir函数的水平集来确定的.因为具有这种特殊的叶层结构，所以在研究广义Hamilton系统的动力学性质时，可以将系统限制到每一个叶层上，使得系统的相空间维数降低，便于我们研究系统的动力学性质.对于光滑微分同胚映射φ:M→M,若保持Poisson括号结构形式不变，即{F∘φ,G∘φ}={F,G}∘φ, ∀F,G∈C∞(M),(10)则称变换φ为广义典则变换(也称保结构变换).在局部坐标x=(x1,x2,…,xn)T下,不难验证微分同胚映射φ:M→M是保结构变换的充要条件为(11)根据广义Hamilton 系统的定义,将任意一个光滑Hamilton函数W对应的广义Hamilton向量场ξW所定义的流记为exp(tξW),就产生一个单参数t保结构变换群,称为由函数W产生的单参数Lie变换群.因此，对固定的t,在保结构变换x=exp(tξW)y下,广义Hamilton向量场ξH被变换为新的广义Hamilton向量场其中(12)式(12)对t求导可得(13)这样,逐次在t=0处求导,即可得到关于t在t=0处的Taylor展开式(14)特别取t=1,则得Hamilton函数H(x)在时间t=1对应的Lie变换x=exp(1ξW)y下所得的新Hamilton函数的Lie级数表示为(15)式(15)中,括号{·,·}是式(1)中定义的广义Poisson括号.利用这个Lie级数表示，可以选择适当的函数W,使得它所产生的保结构Lie变换x=exp(1ξW)y将原来的Hamilton函数H变换为尽可能简单的新Hamilton 函数2 规范型及其计算下面总假设式(1)中定义的Poisson括号是Lie-Poisson括号,即在x局部坐标下,结构矩阵J(x)的元素均为x的齐次线性函数，(16)式(16)中,结构常数满足式(3)中的条件.考虑由式(5)定义的广义Hamilton系统,Hamilton函数H(x)可展成形式级数(17)式(17)中,Hk(x)是x的k次齐次多项式函数.若Wk是一个k次齐次多项式函数,则根据式(15),由它产生的保结构变换x=exp(1ξWk)y就将式(17)中的Hamilton函数H化为(18)显然,的第k-1次及以下的项与H相同,而第k次齐次项可表示为(19)因此,寻求H的规范型，就是对每个k逐次选择合适的Wk(y),使得变换后的Hamilton函数尽可能简单.最理想的情况是使为零,此时Wk(y)必为下面方程的k次齐次多项式解：{H1,Wk}(y)=-Hk(y).(20)为了讨论方程(19)和(20)的齐次多项式解的求解,定义伴随算子adkH1={H1,·}:Fk(M)→Fk(M).(21)式(21)中,Fk(M)表示Poisson流形M上定义的k 次齐次多项式函数线性空间.显然，算子adkH1完全由H1决定,并且是一个线性算子.若这个算子没有0特征值,即是可逆算子,则方程(20)必有解Wk,即可以通过Wk 确定的广义Hamilton系统相流对应的保结构变换将变换后的Hamilton函数的第k次齐次项完全消掉.若算子adkH1不可逆,即存在0特征值,此时核空间Ker(adkH1)非空,方程(20)一般不可解,仅当方程(20)的右端多项式Hk属于adkH1的值域空间Im(adkH1)时才有解.尽管如此,此时还是可以选择合适的Wk,使得以简化.实际上,根据线性代数知识,线性算子adkH1存在唯一半单幂零分解(22)可以证明：如果广义Hamilton向量场ξH1的半单和幂零部分也是广义Hamilton向量场,分别为ξH1s和ξH1n,即H1=H1s+H1n,那么下面的半单幂零分解等式成立：(23)假设半单算子adkH1s(也是算子adkH1)的全体不同特征值的集合记为Λk,则任意k次齐次多项式Hk均可分解为(24)式(24)中,Hk,α是半单算子adkH1s的特征值α所对应的多项式特征函数,即满足adkH1s(Hk,α)=αHk,α.(25)类似于文献[13,16]中的方法可证，对∀α∈Λk\{0},若定义Wk,α 为(26)且取k次齐次多项式函数Wk为(27)则(28)因此,方程(19)变为(29)换句话说,由这样的Hamilton函数Wk定义的变换exp(ξWk),可以将Hamilton函数H中k次齐次多项式中的Hk,α(α≠0)项全部消去.余下的项Hk,0都在算子adkH1s的核空间Ker(adkH1s)中.综上所述,可以得到以下定理：定理 2 对于具有Lie-Poisson结构(16)的n维流形M上的广义Hamilton向量场ξH,对每个1≤j≤k存在形如式(27)的多项式函数Wj,通过逐次保结构变换exp(ξWj)(1≤j≤k),使得变换后的Hamilton函数见式(18))成为k阶规范型,即满足条件(30)3 应用实例为了说明上一节规范型计算的方法，考虑具有与Lie代数U(1,1)[18]同构的Lie-Poisson结构的三维Poisson流形R3上的广义Hamilton系统的规范型.按照文献[18],在R3的坐标x=(x1,x2,x3)T下,与Lie代数U(1,1)同构的Lie-Poisson结构的矩阵为(31)容易验证,这个结构矩阵J(x)具有Casimir函数：取Hamilton函数为H(x)=H1(x)+H2(x)+H3(x)+ (32)式(32)中:Hi(x)(i≥1)为i次齐次多项式;H1(x)=a1x1+a2x2+a3x3.在以上记号下,H确定的三维广义Hamilton向量场ξH所对应的广义Hamilton 系统为▽H(x).(33)其线性向量场ξH1为▽H1(x),(34)即(35)通过如上的定义可以得到ξH1=Ax.通过简单计算可知,矩阵A的特征值为(36)当时,α±为一对共轭纯虚数;当时,α±为一对反号实数.以下仅讨论的情况.此时,矩阵A在实数域上是半单矩阵，相应的伴随算子adH1={H1,·}也是半单的.特别地,adH1限制在R3上定义的k次齐次多项式函数线性空间Fk(R3)上的算子adkH1也是半单的.为求二阶规范型，取2次齐次函数空间F2(R3)的基为则伴随算子ad2H1={H1,·}在这组基上的作用为(37)从而可得到算子ad2H1={H1,·}相对于这组基的变换矩阵(38)当a1≠0时，容易求得矩阵B的特征值和对应特征函数为：其中,直接计算可得,式(32)中H(x)的2次齐次项H2(x)可用上述特征函数表示为(39)式(39)中,常数cs(s=1,2,…,6)定义为(40)由于此时变换ad2H1本身就是半单的,所以可利用式(29)得到系统(33)的Hamilton函数的二阶规范型(41)注意,h5刚好就是Poisson结构(31)的Casimir函数,从而由Casimir函数的定义知Hamilton函数H最终的二阶规范型进一步简化为(42)进一步,利用式(26)和式(27)，可得到对应的生成函数对于a3≠0和a1=a3=0,a2≠0的情况，重复前面的过程可以得出相应的λi,hi,ci,从而得出相应的规范型和生成函数.更高阶的规范型的计算按照以上方法同理可求.参考文献:[1]Meyer K R,Hall G,OFFin D.Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem[M].New York:Springer-Verlag,1992. [2]李继彬,赵晓华,刘正荣.广义哈密顿系统理论及其应用[M].2版.北京:科学出版社,2007.[3]李伟固.正规形理论及其应用[M].北京:科学出版社,2000.[4]Arnold V I.Geometrical methods in the theory oF ordinary diFFerential equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.[5]Elphick C,Tirapegui E,Brachet M E,et al.A simple global characterization For normal Forms oF singular vector Fields[J].Physica D:Nonlinear Phenomena,1987,29(1):95-127.[6]Murdock J.Normal Forms and unFoldings For local dynamical systems[M].New York:Springer-Verlag,2003.[7]Stolovitch L.Progress in normal Form theory[J].Nonlinearity,2009,22(7):R77-R99.[8]Yu putation oF the simplest normal Forms with perturbation parameters based on Lie transForm and rescaling[J].J Comput Appl Math,2002,144(1):359-373.[9]Tian Yun,Yu Pei.An explicit recursive Formula For computing the normal Forms associated with semisimple cases[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2014,19(7):2294-2308.[10]Bruno A D.The normal Form oF a Hamiltonian system[J].Russian Math Surveys,1988,43(1):25-66.[11]Churchill R C,Kummer M.A uniFied approach to linear and nonlinear normal Forms For Hamiltonian systems[J].J Symbolic Computation,1999,27(1):49-131.[12]Gutiérrez S,Palacián J F,Yanguas P.Universal procedure For normalizing n-degree-oF-Freedom polynomial Hamiltonian systems[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2005,65(4):1130-1152.[13]Mikram J,Zinoun putation oF normal Forms oF Hamiltonian systems in the presence oF Poisson commuting integrals[J].Numerical Algorithms,1999,21(1/2/3/4):287-310.[14]Palacin J,Yanguas P.Reduction oF polynomial Hamiltonians by the construction oF Formal integrals[J].Nonlinearity,2000,13(4):1021-1054. [15]Sanders J A.On the computation oF normal Forms[C]//Computational aspects oF Lie group representations and related topics.Amsterdam:CWI Tract 84,1990:129-142.[16]Scheurle J,Walcher S.On normal Form computations[C]//Newton P K,Holmes P,Weinstein A.Geometry,dynamics and mechanics.New York:Springer-Verlag,2002:309-325.[17]Monnier P,Zung N T.Normal Forms oF vector Fields on Poisson maniFolds[J].Ann Math Blaise Pascal,2006,13(2):349-380.[18]Patera J,Sharp R T,Winternitz P,et al.Invariants oF real low dimension Lie algebras[J].Journal oF Mathematical Physics,1976,17(6):986-994.收文日期：2014-04-30；修订日期：2014-05-08基金项目：国家自然科学基金资助项目(10872183;11172269)(责任编辑陶立方)。

《2024年无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性》范文

《无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性》篇一一、引言在量子力学和数学物理中，Hamilton算子扮演着至关重要的角色。

它不仅用于描述系统的能量和运动状态，还是研究物理系统对称性的基础工具。

在无穷维空间中，Hamilton算子的四次数值域的对称性是一个重要的研究方向。

本文旨在探讨无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性，并分析其物理意义和数学性质。

二、Hamilton算子的基本概念Hamilton算子是一个描述系统能量和运动状态的算子，其定义涉及势能和动能等多个物理量。

在无穷维空间中，Hamilton算子具有特殊的性质和表现形式。

其四次数值域是指与Hamilton算子相关的四阶微分算子的数值域。

本文研究的对象就是该四次数值域的对称性。

三、四次数值域的对称性分析在无穷维空间中，Hamilton算子的四次数值域具有多种对称性。

这些对称性包括自共轭性、时间反演对称性和空间反演对称性等。

我们将分别对这些对称性进行分析。

首先，自共轭性是四次数值域最基本的对称性。

通过分析Hamilton算子的厄米性和酉性，我们可以得出四次数值域的自共轭性质。

这为后续分析其他对称性奠定了基础。

其次，时间反演对称性是指系统在时间反演操作下保持不变的性质。

我们将分析时间反演操作对Hamilton算子及四次数值域的影响，从而得出时间反演对称性的条件及物理意义。

最后，空间反演对称性是指系统在空间反演操作下保持不变的性质。

我们将探讨空间反演操作对Hamilton算子及四次数值域的作用，进而得出空间反演对称性的条件及数学表达。

四、物理意义和数学性质无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性在量子力学和数学物理中具有重要的物理意义和数学性质。

首先，这些对称性反映了系统在不同操作下的不变性，有助于我们更好地理解系统的性质和运动规律。

其次，这些对称性还与系统的能级结构、波函数等密切相关，对于解释实验现象和预测新现象具有重要意义。

在数学上，无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性涉及到线性代数、泛函分析等多个领域的知识。

Hamilton力学的辛算法

(1998年3月11日《中国科学报》)
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“冯氏大定理”
• 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上是等价的；但在计算上是不等价的。
• 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性，将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有高保真性的算法。
• 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
2
2
p H q
q
1 2
pT
Tp
1 2
qT
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1 2
q
qT Vq
Vq
q
H p
p
1 2
pT
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1 2
qT
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1 2
p
pT Tp
Tp
p Vq
差分
q
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1
h
pm1 pm
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1
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1
h
q
m
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qm1 2
Tpm1
pm1
qm
3 2
pm
q m
1
2
hVq m 1 2
泛函
现代微分几何规范场理论微分拓扑辛几何
......
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外微分辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3、面积或体积—平行四边形面积
或平行六面体体积。
• 外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 Hamilton矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛