全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

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2012年全国高中数学联合竞赛一试试题(B卷)解析

4 9
− −
4a 6a
− −
1 1
⩽ >
0, 0
⇒
3
⩽
a
<
4.
所以
a
的取值范围是
[3 ,
4
) .
4
3
43
5.
在
△ABC
中，若
#» #» AB · AC
=
#» #» 7, |AB − AC|
= 6，则
△ABC
面积的最大值为
. 解答依题意，BC = 6，以 BC 中点为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐
2
2p 2p
tan θ = kOA − kOB 1 + kOAkOB
=
− y1 y2
4p2 1+
=
2p(y2 − y1) y1y2 + 4p2
=
− y1
− p
y2
√
y1y2
⩽
2 −
|y1y2| p
=
−2√2，等号成立时
y1
=
−y2
=
√ 2p.
综上，当
m
取得最小值
p2 −
时，tan θ
的最大值是
√ −2 2.
2 1
+ 4 + 42 (1
<3·
+··· )n
(n
+ ∈
4n−1 N∗).
所以
1−4 11
+
3 +···+
3 1
3[ 1
( 1 )T2n
4( 1 )n]
<3 +
+···+

【竞赛试题】2019年全国和高中数学联赛试卷及答案

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为．答案：-3 ．解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 ．显然 x < 0 ，从而1 + 2 + x = 0 ，得 x = -3 ．2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模为．答案： 10 ．解：令 2m = t ，则 t > 0 ．条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ，解得 t = 3 ．因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 ．3. 设a , b Î (0, p ) ，cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b 的值为．答案：7 ．5解：由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1，从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 ． ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = 7．54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为．答案： 2 6 ．3解：设三棱锥 P - ABC 的高为 h ．取M 为棱 AB 的中点，则h £ PM = 32 -12 = 2 2 ．当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时， h 取到最大值 2 2 ．此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 ．3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为．答案：95 ．解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个．其中，除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余的数互不相等．因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 ．6. 设整数 n > 4 ，( x + 2 的值为．答案：51． y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等，则 nn解：注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r ．其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中，其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) ．n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中，其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) ．因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) ．注意到 n > 4 ，化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51 ．7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ，则 r 的最小值为．答案： 4 ．解：由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ，故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 ．即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 ．上述关于 a 的一元二次不等式有解，故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ，解得 r ³ 4 ．经检验，当 r = 4 时， (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件．因此 r 的最小值为 4 ．8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数，首项 a 1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m ．这样的数列{a n } 的个数为．答案：5 ．解：设{a n } 的公差为 d ．由条件知 a 1 + a 2 = a k （ k 是某个正整数），则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ，a 1即 (k - 2)d = a 1 ，因此必有 k ¹ 2 ，且d =k - 2．这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a ， n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ，a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ，确实为{a n } 中的一项．ç 1 çè 2 ø 因此，仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积，易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值，对应得到5 个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆G 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ，并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 ．由对称性，可设 F 为 G 的右焦点．易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ，到右顶点的距离为 a - c ，到上、下顶点的距离均为 a ．分以下情况讨论：(1) A , B 分别为左、右顶点．此时a + c = 3, a - c = 2 ，故 AB = 2a = 5 （相应地，b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ，G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ）． …………………4 分25 6(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，所以 AB =a 2 +b 2= 7（相应的 G 的方程为 x + y = 1 ）．4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点， B 为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，所以 AB =a 2 +b 2 = 17（相应的 G 的方程为 x + y= 1 ）．9 8…………………12 分综上可知， AB 的所有可能值为5, 7, 17 ． …………………16 分10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值．解：设lg a = x , lg b = y , lg c = z ，由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 ．由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ，即xy + z = 3y = 4x ． y x…………………5 分。

2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(B卷)试题(教师版)

2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷)一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设集合A ={2,0,1,8},B ={2a |a ∈A }，则AB 的所有元素之和是．解析31．易知B ={4,0,2,16}，故AB ={0,1,2,4,8,16}．A B 的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．2.已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线P Q 与底面所成角不大于45◦，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为．解析3π．圆锥顶点P 在底面上的投影即为底面中心，记之为O ．由条件知，OP OQ=tan ∠OQP 1，即OQ 1，故所求的区域面积为π·22−π·12=3π．3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,，则abc +def 是奇数的概率为．解析110．当abc +def 为奇数时，abc,def 必为一奇一偶，若abc 为奇数，则a,b,c 为1,3,5的排列，d,e,f 为2,4,6的排列，这样有3!×3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的情况数为36×2=72种，从而所求概率为726!=72720=110．4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，−→n =(3,1)是l 的一个法向量．已知数列{a n }满足：对任意正整数n ，点(a n +1,a n )均在l 上．若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为．解析−32．易知直线l 的方程是3x +y =0．因此对任意正整数n ，有3a n +1+a n =0，即a n +1=−13a n ，故{a n }是以−13为公比的等比数列．于是a 3=−13a 2=−2．由等比数列的性质可得，a 1a 2a 3a 4a 5=a 53=(−2)5=−32．5.设α,β满足tan α+π3 =−3,tan β−π6=5，则tan (α−β)的值为．解析−74．由两角差的正切公式可知tan (α+π3)−(β−π6) =−3−51+(−3)×5=47，即tan α−β+π2 =47，从而tan (α−β)=−cot α−β+π2 =−74．6.设抛物线C :y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B (−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M,N ，则 KMN 的面积为．解析12．设直线l 与MN 的斜率为k ，则l :x =1k y −1,MN :x =1k y −12．将l 与C 联立，得方程y 2−2k y +2=0，由条件知其判别式为零，故k =±√22．将MN 与C 联立，得方程y 2−2k y +1=0，于是|y M −y N |= (y M +y N )2−4y M y N = 4k 2−4=2，结合l 与MN 平行，可知S KMN =S BMN =|S BAM −S BAN |=12·|AB |·|y M −y N |=12·12·2=12．7.设f (x )是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f (π)=1,f (2π)=0，则不等式组 0 x 10 f (x ) 1的解集为．解析[2π−6,4−π]．由f (x )为偶函数及在[1,2]上严格递减知，f (x )在[−2,−1]上严格递增，再结合f (x )以2为周期可知，[0,1]是f (x )的严格递增区间．注意到f (4−π)=f (π−4)=f (π)=1,f (2π−6)=f (2π)=0，所以0 f (x ) 1⇔f (2π−6) f (x ) f (4−π)，而0<2π−6<4−π<1，故原不等式组成立当且仅当x ∈[2π−6,4−π]．8.已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实数是（用含有r 的式子表示）．解析r 2−32．记w =z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1．由复数模的性质可知z 1=1z 1,z 2=1z 2,z 3=1z 3，因此w =z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1．于是r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1+z 2+z 3)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w =3+2Re w ，解得Re w =r 2−32．二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第9题满分16分，第10、11题满分20分.9.已知数列{a n }:a 1=7,a n +1a n=a n +2,n =1,2,3,···．求满足a n >42018的最小正整数n ．解析12．由a n +1a n=a n +2可知a n +1+1=(a n +1)2．因此a n +1=(a 1+1)2n −1=82n −1=23×2n −1，故a n =23×2n −1−1．显然{a n }单调递增．由于a 11=23072−1<24036=42018,a 12=26144−1>24036=42018，故满足题目条件的n 的最小值是12．10.已知定义在R ∗上的函数f (x )为f (x )= |log 3x −1|,0<x 94−√x,x >9设a,b,c 是三个互不相同的实数，满足f (a )=f (b )=f (c )，求abc 的取值范围．解析(81,144)．不妨假设a <b <c ，由于f (x )在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,+∞)上严格递减，且f (3)=0,f (9)=1，故结合图像可知a ∈(0,3),b ∈(3,9),c ∈(9,+∞)，并且f (a )=f (b )=f (c )∈(0,1)．由f (a )=f (b )得1−log 3a =log 3b −1，取log 3a +log 3b =2，因此ab =32=9．于是abc =9c ．又0<f (c )=4−√c <1，故c ∈(9,16)．进而abc =9c ∈(81,144)．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 与C,D 分别是椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点与上下顶点．设P,Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ AP ，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R ．证明：线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形．解析设点P 坐标为(x 0,y 0)．由于−−→OQ −→AP ,−→AP =−−→OP −−→OA ;−−→OR −−→OM,−−→OM =12(−−→OP +−→OA )，故存在实数λ,µ，使得−−→OQ =λ(−−→OP −−→OA ),−−→OR =µ(−−→OP +−→OA )．此时点Q,R 的坐标可分别表示是(λ(x 0+a ),λy 0),(µ(x 0−a ),µy 0)．由于点Q,R 都在椭圆上，所以λ2 (x 0+a )2a 2+y 20b 2 =µ2 (x 0−a )2a 2+y 20b2 =1．结合x 20a 2+y 20b 2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a )=µ2(2−2x 0a )=1，解得λ2=a 2(a +x 0),µ2=a 2(a −x 0)．因此|OQ|2+|OR|2=λ2(x0+a)2+y2+µ2(x0−a)2+y20=a2(a+x0)(x0+a)2+y2+a2(a−x0)(x0−a)2+y20=a(a+x0)2+ay22(a+x0)+a(a−x0)2+ay22(a−x0)=a2+ay221a+x0+1a−x0=a2+ay22·2aa2−x20=a2+a2·b21−x2a2a2−x20=a2+b2=|BC|2.从而线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形．2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷)一、设a,b 是实数，函数f (x )=ax +b +9x．证明：存在x 0∈[1,9]，使得|f (x 0)| 2．解析证法一只需证明存在u,v ∈[1,9]，满足|f (u )−f (v )| 4，进而由绝对值不等式得|f (u )|+|f (v )| |f (u )−f (v )| 4，故|f (u )| 2与|f (v )| 2中至少有一个成立．当a ∈(−∞,12] [32,+∞)时，有|f (1)−f (9)|=|(a +b +9)−(9a +b +1)|=8|1−a | 4．当12<a <32时，有3√a ∈[1,9]．再分两种情况：若12<a 1，则|f (1)−f (3√a )|=|(a +b +9)−(6√a +b )|=(3−√a )2 4．若1<a <32，则|f (9)−f (3√a )|=|(9a +b +1)−(6√a +b )|=(3√a −1)2 4．综上可知，存在u,v ∈[1,9]，满足|f (u )−f (v )| 4，从而命题得证．证法二用反证法．假设对任意x ∈[1,9]，均有|f (x )|<2，则|f (1)|<2,|f (3)|<2,|f (9)|<2．易知f (1)=a +b +9，①f (3)=3a +b +3，②f (9)=9a +b +1．③由①，②得，2a −6=f (2)−f (1)；又由②，③得，6a −2=f (3)−f (2)．由上述两式消去a ，可知f (3)−4f (2)+3f (1)=(6a −2)−3·(2a −6)=16．但f (3)−4f (2)+3f (1)<2+4·2+3·2=16，矛盾!从而命题得证．二、如图所示，在等腰 ABC 中，AB =AC ，边AC 上一点D 及BC 延长线上一点E 满足AD DC =BC 2CE ，以AB 为直径的圆w 与线段DE 交于一点F ．证明：B,C,F,D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）解析如图，取BC 中点H ，则由AB =AC 知AH ⊥BC ，故H 在圆w 上．延长F D 至G ，使得AG BC ，结合已知条件得，AG CE =AD DC =BC 2CE ，故AG =12BC =BH =HC ，从而AGBH 为矩形，AGHC 为平行四边形．由AGBH 为矩形知，G 亦在圆w 上．故∠HGF =∠HBF ．又AGHC 为平行四边形，由AC GH ，得∠CDF =∠HGF ．所以∠CDF =∠HBF =∠CBF ，故B,C,F,D 四点共圆．三、设集合A ={1,2,···,n }，X,Y 均为A 的非空子集（允许X =Y ）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为max X,min Y ．求满足max X >min Y 的有序集合对(X,Y )的数目．解析先计算满足max X min Y 的有序集合对(X,Y )的数目．对给定的m =max X ，集合X 是集合{1,2,···,m −1}的任意一个子集与{m }的并，故并有2m −1种取法．又min Y M ，故Y 是{m,m +1,···,n }的任意一个非空子集，共有2n +1−m −1种取法．因此，满足max X min Y 的有序集合对(X,Y )的数目是n m =12m −1(2n +1−m −1)=n m =12n −n m =12m −1=n ·2n −2n +1．由于有序集合对(X,Y )有(2n−1)·(2n−1)=(2n−1)2个，于是满足max X>min Y的有序集合对(X,Y)的数目是(2n−1)2−n·2n+2n−1=22n−2n(n+1)．四、给定整数a 2．证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数a k+1,a k+2,···,a k+n均是合数．解析设i1<i2<···<i r是1,2,···,n中与a互素的全体整数，则对1 i n,i∈{i1,i2,···,i r}，无论正整数k如何取值，a k+i均与a不互素且大于a，故a k+i为合数．对任意j=1,2,···,r，因a+i j>1，故a+i j有素因子p j．我们有(p j,a)=1（否则，因p j是素数，故p j|a，但p j|a+i j，从而p j|i j，故a,i j 不互素，与i j的取法矛盾）．因此，由费马小定理知，a p j−1≡1(mod p j)．现取k= (p1−1)(p2−1)···(p r−1)+1．对任意j=1,2,···,r，注意到k≡1(mod p j)−1，故有a k+i j≡a+i j≡0(mod p j)．又a k+i j>a+i j p j，故a k+i j为合数．综上所述，当k=(p1−1)(p2−1)···(p r−1)+1时，a k+1,a k+2,···,a k+n均是合数．。

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2022年全国高中数学联赛加试B卷参考答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，设,,,A B C D 四点在圆上顺次排列，其中AC 经过的圆心O ．线段BD 上一点P 满足APC BPC ，线段AP 上两点,X Y 满足,,,A O X B 四点共圆，,,,A Y O D 四点共圆．证明：2BD XY ．ωY XDBCOAP证明：根据条件，可知OXA OBA CAB CDB ， OYP ODA CAD CBD ，所以OXY CDB ∽． ………………10分设OM AP 于点M ，CK AP 于点K （K 在圆上），CL BD 于点L ．由O 为AC 的中点，得2CK OM ．由APC BPC ，得CK CL ． ………………20分考虑到,OM CL 是相似三角形,OXY CDB 的对应边,XY DB 上的高，从而12XY OM OM BD CL CK ，即有2BD XY ． ………………40分ωM LK Y X DBCPAO二．（本题满分40分）给定正实数,a b ，a b ．设[]122022,,,,x x x a b ∈ ，求12232021202220221122022x x x x x x x x x x x的最大值．解：首先证明：当[],,x y a b ∈时，有()b ax y x y a b−−≤++． ① ………………10分不妨设a x y b ≤≤≤，则1a xb y≤≤，于是1111x a x y y x b a y b x a x y y x b ay b−−−−−==≤=+++++，故①得证． ………………20分于是12232021202220221x x x x x x x x −+−++−+−()122320221()()()b ax x x x x x a b −≤+++++++ 1220222()()b a x x x a b−++++ ，故122320212022202211220222()x x x x x x x x b a x x x a b−+−++−+−−≤++++ ， ………………30分当132021242022,x x x a x x x b ======== 时，等号成立．因此，所求的最大值为2()b a a b−+． ………………40分三．（本题满分50分）设正整数,a b 都恰有(3)m m 个正约数，其中12,a a 3,,m a a 是a 的所有正约数的一个排列．问112231,,,,m m a a a a a a a 是否可能恰好是b 的所有正约数的一个排列？证明你的结论．解：答案是否定的．用反证法．假设题述情形发生，记123{,,,,}m A a a a a ，112231{,,,,}m m B a a a a a a a ．显然13(1,2,,1)i i a a i m ，而1B ，故11a ．又知2B ，故b 是奇数． ………………10分所以12a a 为奇数，得2a 为偶数，又2a A ，故a 是偶数．………………20分易知A 中最大的两个元素为,2aa ．显然B 中每个元素都不超过322a a a．特别地，有32b a ． ………………30分设,2i j aa a a ，其中,2i j （因为a 有(3)m m 个正约数，而11a ）．于是B 中存在两个元素11,i i j j a a a a ，它们都大于2a ，进而都大于3b，且均为b的约数．这表明2|b ，与b 为奇数矛盾．因此题述情形不可能发生． ………………50分四．（本题满分50分）圆周上依次有100个点12100,,,P P P （其中100P 与1P相邻）．现有5种颜色，要求12100,,,P P P 中每个点染5种颜色之一，每种颜色至少染一个点．若对任意这样的染色方式，12100,,,P P P 中总存在t 个连续的点含有至少3种颜色，求t 的最小值．解法1：首先，让255075100,,,P P P P 分别染颜色1,2,3,4，其余点染颜色5．此时12100,,,P P P 中任意25个连续的点只含有两种颜色，不符合要求．从而t 至少为26． ………………10分以下假设有一种染色方式，使得任意26个连续的点含有至多两种颜色．对该染色方式，在12100,,,P P P 中选取尽可能多的连续的点，使这些点中不含全部5种颜色，从而恰好含有4种颜色（否则可再添入这些连续的点的一个相邻点，仍不含全部5种颜色）．不妨设选出的点是12100,,,k k P P P ，且这100k 个点不含颜色1．由极端性，可知1P 与k P 均染有颜色1． ………………20分对1,2,3,4,5i ，用i x 表示染有颜色i 的点的最大下标，则1x k ．由对称性，可不妨设2345x x x x ，则5100x ，且易知2x k ．对每个2,3,4,5i ，我们证明125i i x x ． ………………30分事实上，假如124i i x x ，考虑26个连续的点111125,,,i i i x x x P P P （下标模100理解，下同），其中1i x P 染有颜色1i ，i x P 染有颜色i ，而1i x P 所染的颜色j 异于1i 和i （当2,3,4i 时，必有15i j ；当5i 时，由于511011x P P P ，故1{4,5}j ），即这些点中含有至少3种颜色，与假设矛盾．从而有55112()1425100i i i x x x x ，这与5100x 矛盾．以上表明，对任意符合要求的染色方式，12100,,,P P P 中总存在26个连续的点含有至少3种颜色．综上，所求t 的最小值为26． ………………50分解法2：首先，让255075100,,,P P P P 分别染颜色1,2,3,4，其余点染颜色5．此时12100,,,P P P 中任意25个连续的点只含有两种颜色，不符合要求．从而t 至少为26． ………………10分以下证明26t 符合要求．考虑任何一种染色方式，对1,2,3,4,5i ，用i n 表示12100,,,P P P 中染颜色i 的点的个数，其中125100n n n ．考虑含有颜色1的弧段 125(1,2,,100)k k k k P P P k 的数目1s ，其中下标模100理解．若任意26个连续的点都含有颜色1，则1100s ．若存在26个连续的点不含颜色1，不妨设染为颜色1的所有1n 个点分别为121112,,,(27100)n i i i n P P P i i i ，则11112125241,,,,,,,n i i i i i i 是125n 个两两不同的弧段，从而1125s n ．这表明 11min 25,100s n ． ………………20分同理，对于2,3,4,5i ，含有颜色i 的弧段(1,2,,100)k k 的数目i s 满足min 25,100i i s n ．所以125s s s S ，其中记 51min 25,100i i S n ．若(15)i n i 中存在一个数不小于75，不妨设175n ，则52100(125)200i S ．若(15)i n i 都小于75，则51251(25)100525200i i s s s n ．所以125201s s s S ． ………………40分由抽屉原理，必存在一个弧段被至少2013100种颜色对应到，该弧段所覆盖的26个点含有至少3种颜色．综上，所求t 的最小值为26． ………………50分。

2019年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2019 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x} 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．2. 若平面向量a = (2m , -1) 与b = (2m -1, 2m+1 ) 垂直，其中m 为实数，则a 的模为．3. 设a, b ∈ (0, p) ，cos a, cos b 是方程5x2 -3x -1= 0 的两根，则sin a s in b 的值为．4. 设三棱锥P - ABC 满足PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为．5. 将5 个数2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0），则产生的不同的8 位数的个数为．6. 设整数n > 4，(1)nx+的展开式中x n-4 与xy 两项的系数相等,则n的值为．7. 在平面直角坐标系中，若以(r +1, 0) 为圆心、r 为半径的圆上存在一点(a, b) 满足b2 ≥ 4a ，则r 的最小值为．8. 设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1= 2019 ，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得a1+ a2++ an= am．这样的数列{an} 的个数为．⎨ n +1 n n +1 n 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆 Γ 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足⎧⎪lg a + log b c = 3, ⎪⎩lg b + log a c= 4.求 lg a ⋅ lg c 的最大值．11. （本题满分 20 分）设复数数列{z n } 满足： z 1 = 1 ，且对任意正整数 n ，均有 4z 2 + 2z z + z 2 = 0 ．证明：对任意正整数m ，均有 z 1 + z 2 ++ z m < ． 32019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分 40 分）设正实数 a 1, a 2 , , a 100 满足 a i ≥ a 101-i (i = 1, 2, , 50) ．记 111(1,2,,99)k k nka x k a a a +==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.证明：29912991x x x ⋅⋅⋅≤.二、（本题满分 40 分）求满足以下条件的所有正整数 n ：(1) n 至少有 4 个正约数；(2) 若 d 1 < d 2 < < d k 是 n 的所有正约数，则 d 2 - d 1, d 3 - d 2 , , d k - d k -1 构成等比数列．三、（本题满分 50 分）如图，点 A , B , C , D , E 在一条直线上顺次排列，满足BC=CD P 在该直线外，满足PB = PD ．点K, L 分别在线段PB, PD 上，满足KC 平分∠BKE ，LC 平分∠ALD ．证明：A, K, L, E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50 分）将一个凸2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673 条．证明：可作这个凸2019 边形的2016 条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．。

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的方程为\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \)，求圆心到直线\( x + 2y - 5 = 0 \)的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 若\( a, b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 2023 \)，求\( a + b \)的可能值。

A. 44B. 45C. 46D. 474. 已知\( \sin A = \frac{3}{5} \)，\( \cos A = -\frac{4}{5} \)，求\( \tan A \)的值。

A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/35. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共30分）6. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，且\( a,b > 0 \)，求\( a + b \)的最小值。

7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)。

8. 若\( \log_{2}3 = m \)，求\( \log_{3}2 \)的值。

9. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求其第4项。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。

12. 已知函数\( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)，求其极值点，并判断其单调性。

2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为．答案：5．解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为．答案：3．解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---．因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø．当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<．证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå．综上，结论获证． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设正实数12100,,,a a a 满足101(1,2,,50)i i a a i -³=．记112(1,2,,99)k k kka x k a a a +==+++．证明：29912991x x x £．证明：注意到12100,,,0a a a >．对1,2,,99k =，由平均值不等式知121210kk k k a a a a a a æöç<£çç+++èø， ……………10分从而有9999299112991111212kk k k k k k k ka k x x x a a a a a a a ++==æö÷ç÷=£ç÷÷ç+++èø ． ①………………20分记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分母中的次数为100i -．从而10121005050210121012(101)101101101111ii i i i i i i i i i ia T a a a a -------===æö÷ç÷===ç÷ç÷èø ．………………30分又1010(1,2,,50)i i a a i -<£=，故1T £，结合①得29912991x x x T ££． ………………40分二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n ：(1) n 至少有4个正约数；(2) 若12k d d d <<< 是n 的所有正约数，则21321,,,k k d d d d d d ---- 构成等比数列．解：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--． ………………10分易知112231,,,k k k n nd d n d d d d --====，代入上式得3222231n n d d d n n d d d --=--，化简得223223()(1)d d d d -=-． ………………20分由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30分从而序列21321,,,k k d d d d d d ---- 为23212,1,,,k k p p p p p p p ------ ，即123,,,,k d d d d 为21,1,,,k p p p - ，而此时相应的n 为1k p -．综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥． ………………40分三、（本题满分50分）如图，点,,,,A B C D E在一条直线上顺次排列，满足BC CD ==，点P 在该直线外，满足PB PD =．点,K L 分别在线段,PB PD 上，满足KC 平分BKE ，LC 平分ALD ．证明：,,,A K L E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：令1,(0)AB BC CD t ===>，由条件知2DE t =．注意到180BKE ABK PDE DEK < = < - ，可在CB 延长线上取一点A ¢，使得A KE ABK A BK ¢¢ = = ． ………………10分此时有A BK A KE ∽¢¢D D ，故A B A K BKA K A E KE¢¢==¢¢． ………………20分又KC 平分BKE ，故211BK BC t KE CE t t t===++．于是有 22112A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AEæö¢¢¢÷ç=⋅===÷ç÷ç¢¢¢èø++． …………30分由上式两端减1，得BE BEA E AE=¢，从而A A ¢=．因此AKE A KE ABK ¢ = = ．同理可得ALE EDL = ．而ABK EDL = ，所以AKE ALE = ．因此,,,A K L E 四点共圆． ………………50分四、（本题满分50分）将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染AA (为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．证明：我们对5n ≥归纳证明加强的命题：如果将凸n 边形的边染为三种颜色,,a b c ，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分． ………………10分当5n =时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．………………20分假设结论对(5)n n ≥成立，考虑1n +的情形，将凸1n +边形记为121n A A A + ．情形1：有两种颜色的边各只有一条．不妨设,a b 色边各只有一条．由于16n +≥，故存在连续两条边均为c 色，不妨设是111,n n n A A A A ++．作对角线1n A A ，并将1n A A 染为c 色，则三角形11n n A A A +的三边全部同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．………………30分情形2：某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条．不妨设a 色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a 色，不妨设111,n n n A A A A ++均不是a 色，作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分． ………………40分情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知1n +的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证． ………………50分。

2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

3 22 s-1
=
¥ k=s+1
3 22k-1
¥
=
k=s+1
z2k-1 + z2k
，
故
å å z1 + z2 ++ zm
£
æçççè
k
s =1
z2k-1 + z2k ÷ö÷÷ø+
z2 s+1
¥
<
k =1
z2k-1 + z2k
=
2
3 3
．
综上，结论获证．
…………………20 分
2019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准
3. 设 a, b Î (0, p) ，cosa, cosb 是方程 5x2 -3x -1= 0 的两根，则 sin asin b 的
值为
．
答案：
7 5
．
解：由条件知 cosa + cosb = 3 , cosa cos b = -1 ，从而
5
5
(sin a sin b)2 = (1-cos2a)(1- cos2 b) = 1- cos2a - cos2 b + cos2a cos2 b
=
(-1)n-32n(n -1)(n
- 2)
．
因此有
n(n
-1)(n 24
2)(n
-
3)
=
(-1)n-3
2n(n
-1)(n
-
2)
．注意到
n
>
4
，化简得
n -3 = (-1)n-3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51．

2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

2
o 二二 f(x ）三1 仲！（却一6）三 f(x ）三／（4－的，
（用含有r的式子表示〉．
z, ＝一，Z2 ＝一，Z3 =-,
因此 W= Z1 �2 ＋毛毛＋勾引·于是
2
Z1
Z2
Z3
r = (z1 十Z2 + Z3 ）（王＋三十三） =lz.1 十lzJ + lz3 l + w十二＝3+2Rew,
2 2
解得Rew＝三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤． 9. （本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α，＝7，满足 a. >4
川生土L =
的最小正整数 n.
2
α
a，，十2 , n = 1, 2, 3, · · · .求
故。”＝2 3烛
解：由生土L ＝ α，，＋2可知 G川＋1＝（α，，＋ 1) .因此 α，2 时 ”I 3x2"-1, α，，＋l=(a1 +1)2 ＝82 = 2
AD BC ，以 AB 为直径的圆与线段 DE 交于一点 F． DC 2CE
A
证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
E
三、（本题满分 50 分）设集合 A {1, 2,
, n} ，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y）．X
中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX > minY 的有序集合对（X , Y）的数目．
四、（本题满分 50 分）给定整数 a 2 . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个数 ak 1， ak 2 ，， a k n 均是合数．

高中数学竞赛B卷试题(含参考答案及评分标准)

高中数学竞赛B 卷试题（含参考答案及评分标准）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知函数)(1x f y -=的图象过点（1,0），则)231(-x f 的反函数一定过点（）A 、（1,6）B 、（6,1）C 、（0,6）D 、（6,0）2、已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AC BC AB ++的模等于（） A 、0 B 、5 C 、13 D 、2133、已知57cos sin =+αα，且tan α>1，则cos α＝（） A 、－53 B 、－54 C 、53 D 、544、在等差数列}{n a 中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－21a 8的值为（）A 、4B 、6C 、8D 、105、)120tan 3(10cos 70tan -︒︒︒等于（） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－26、设函数)10()9||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则（） A 、f （－2）＞f （－1） B 、f （－1）＞f （－2） C 、f （1）＞f （2） D 、f （－2）＞f （2）7、已知)1,(k =，)3,2(=，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的一个值是（） A 、23B 、1－2C 、1－3D 、－5 8、已知)2,2(,-∈y x ，且xy ＝1，则224422y x -+-的最小值是（） A 、720 B 、712 C 、72416+ D 、72416- 9、四边形各顶点位于一长为1的正方形的各边上，若四条边的平方和为t ，则t 的取值区间是（）A 、[1，2]B 、[2，4]C 、[1，3]D 、[3，6]10、朝阳电器厂和红星电器厂2005年元月份的产值相等，朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，红星电器厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知2006年元月份两厂的产值又相同，则2005年7月份，产值高的工厂是（） A 、朝阳电器厂 B 、红星电器厂 C 、两厂一样 D 、无法确定二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上） 11、若△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 相交于点M ，则++＝ 12、对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1（n ∈N ＋）时，规定[x]＝n ，则不等式045][36][42<+-x x 的解集为13、在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则 2005200620072S S S +-的值为14、在△ABC 中，AB ＝30，AC ＝6，BC ＝15，有一个点D 使得AD 平分BC 并且∠ADB 是直角，比值ABCADB S S ∆∆能写成n m的形式，这里m,n 是互质的正整数，则m ＋n ＝三、解答题（本大量题共5小题，共66分，要求解答有必要的过程） 15、（本大题12分）在△ABC 中，怭B A C C A s i n 232co s s i n 2co s s i n 22=+在，求2s i n 22co sBC A --的值16、（本大题12分）已知函数xax x x f ++=42)(2，x ∈(1,＋∞]（1）当a ＝2时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈(1,＋∞]，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围17、（本大题12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a = ，)2sin ,2(cos x x b -= ，且]23,2[ππ∈x（1）求||b a+的取值范围；（2）求函数||)(b a b a x f+-⋅=的最小值，并求此时x 的值18、（本大题15分）设}{n a 是正数数列，其前n 项和S n 满足)3)(1(41+-=n n n a a S （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令nn S b 1=，试求}{n b 的前n 项和T n19、（本大题15分）2006年8月中旬，湖南省资兴市遇到了百年不遇的洪水灾害。

2020年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)与答案

算步骤.
9. 在椭圆 Γ 中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F1, F2 为两个焦
点.
若
#» AF1 ·
#» AF2 +
#» BF1 ·
#» BF2
=
0，求
tan ∠ABF1
·
tan ∠ABF2
的值.
解答
设 A(a, 0), B(0, b), F1(−c, 0), F2(c, 0)，则
A 中所有元素的一个排列，满足 |z1| ⩽ |z2| ⩽ · · · ⩽ |z9|，则这样的排列 α 的个
数为
.
解答
依题意，|z1| < |z2| = |z3| < |z4| < |z5| = |z6| < |z7| = |z8| < |z9|，于是
z2, z3; z5, z6; z7, z8 的位置均可以调换，所以这样的排列 α 的个数为 2×2×2 = 8.
2r
=
√ 2 5.
3. 设集合 X = {1, 2, · · · , 20}，A 是 X 的子集，A 的元素个数至少是 2，且 A 的
所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合 A 的个数为
.
解答
若 |A| = 2，则集合 A 有 19 个；若 |A| = 3，则集合 A 有 18 个；· · · ；
2×5×6 4
于是 cos2 A = 1 + cos A = 7, sin2 A = 1 − cos A = 1.
2
2
82
2
8
所以
sin6
A 2
+
cos6
A 2
=
73 + 83

2014年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

10. 设 x1, x2, x3 是多项式方程 x3 − 10x + 11 = 0 的三个根.
( 1 ) 已知 x1, x2, x3 都落在区间 (−5, 5) 之中，求这三个根的整数部分；
(2)
证明：arctan x1 + arctan x2 + arctan x3
=
π. 4
11. 如下图，椭圆 Γ : x2 + y2 = 1，A(−2, 0), B(0, −1) 是椭圆 Γ 上的两点. 直线 4
轴所围成图形的面积是
.
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. 设数列 {an} 的前 n 项和 Sn 组成的数列满足 Sn + Sn+1 + Sn+2 = 6n2 + 9n + 7
(n ⩾ 1). 已知 a1 = 1, a2 = 5，求数列 {an} 的通项公式.
(用反三角函数表示). 1,
3. 对于实数集 R 的任意子集 U ，我们在 R 上定义函数 fU (x) = 0,
x∈U .
x ∈/ U
如果 A, B 是实数集 R 的两个子集，则 fA(x) + fB(x) ≡ 1 的充分必要条件是
.
4. 如果三角形 △ABC 的三个内角 A, B, C 的余切 cot A, cot B, cot C 依次成等差
如果
△P F1F2
的面积为
1，tan ∠P F1F2
=
1 2
,
tan
∠P
F2F1
=
−2.
则
a
=
.
7. 将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的 52 张牌中随机地抽取 5 张，其中至