2013-2014学年高中数学 3.2二倍角的三角函数(2)学案苏教版必修4

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《3.2二倍角的三角函数(二)》教学案

《3.2二倍角的三角函数（二）》教学案第2课时二倍角的三角函数的应用●三维目标 1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换． (3)会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．教学方案设计●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】由cos α＝1－2sin 2α2得sin 2α2＝1－cos α2， ∴sin α2＝± 1－cos α2. (1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式 ①sin α2＝± 1－cos α2； ②cos α2＝± 1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.课堂互动探究例1 【思路探究】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋θ＋2＋1＋θ－2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1. 规律方法1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．互动探究如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？【解】原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ ＝1－32cos 2θ＋32cos 2θ＝1.例2 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→f x＝Aωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x ) ＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ) ＝33＋4sin(π3－2x ) ＝33－4sin(2x －π3)， ∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4.∴sin(2x －π3)∈[12，22]． ∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增， ∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．规律方法1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )，化同名函数．变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5. 当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.例3 ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， P A ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠P AB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB ＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24. 规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】如图，连结OC ，设∠COB ＝θ，则0°＜θ＜45°，OC ＝1， ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－BC ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－π4)－12，当2θ－π4＝0，即θ＝π8时， S max ＝2－12(m 2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2. 【答案】2－12 m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例已知3π2＜α＜2π，化简12＋1212＋12cos α. 【错解】12＋1212＋12cos α＝12＋121＋cos α2＝12＋12cos 2α2＝ 12＋12cos α2＝ 1＋cos α22＝cos 2α4＝cos α4.【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】12＋1212＋12cos α＝12＋12 1＋cos α2 ＝ 12＋12cos 2α2＝12＋12|cos α2|.因为3π2＜α＜2π，所以3π4＜α2＜π，所以cos α2＜0，所以原式＝12－12cos α2＝1－cos α22＝sin 2α4＝|sin α4|.因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2，所以sin α4＞0，所以原式＝sin α4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2. (2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．当堂双基达标1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)， ∴sin α2＝1－cos α2＝13＝33.【答案】 332．已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________. 【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55.【答案】－553．已知tan α2＝3，则cos α＝________. 【解析】由tan α2＝1－cos α1＋cos α＝3可得：1－cos α1＋cos α＝9，则cos α＝－45. 【答案】－454．化简：＋sin θ＋cos θθ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】原式＝θ2cos θ2＋2cos 2θ2θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ22θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2cos θ|cos θ2|. ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0. ∴原式＝－cos θ. 课后知能检测一、填空题 1．sin π8＝________. 【解析】 sin π8＝ 1－cos π42＝1－222＝2－22. 【答案】2－222.－23＋43cos 2 15°＝________. 【解析】原式＝－23＋43×1＋cos 30°2 ＝－23＋23＋23cos 30°＝33. 【答案】 333．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a 2.【答案】－1－a 24．函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为________．【解析】 f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x＋π4)＋1.故最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π5.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】－2sin 46．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，则角B 的度数为________．【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，得4·1－A ＋C 2－2cos 2B ＋1＝72，∴4cos 2B －4cos B ＋1＝0.∴cos B ＝12，B ＝60°. 【答案】 60°7．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈(π2，π)，sin α≠0， ∴cos α＝－12.又∵α∈(π2，π)，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan(π＋π3)＝tan π3＝ 3. 【答案】38．设f (x )＝1＋cos 2x π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 【解析】 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.【答案】 ±3二、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2， ∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a 1－a 2. (2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1. (3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a2. 10．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0. ∴原式＝sin α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋sin α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|＝sin α2＋cos α22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α222sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 11．(2013·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin(2ωx －π3)．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin(2x －π3)≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.教师备课资源备选例题已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β.【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角θ，因此从已知条件中消去角θ，问题即得证．【自主解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＝sin θ＋cos θ， ①sin 2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得4sin 2α－2sin 2β＝1.变形为1－2sin 2β＝2－4sin 2α，则有cos 2β＝2cos 2α.规律方法对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想方法．备选变式已知cos θ＝cos α＋cos β1＋cos αcos β，求证：tan 2θ2＝tan 2α2tan 2β2.【证明】 ∵1－cos θ1＋cos θ＝2sin 2θ22cos 2θ2＝tan 2θ2，同理有1－cos α1＋cos α＝tan 2α2，1－cos β1＋cos β＝tan 2β2，∴tan 2θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－cos α＋cos β1＋cos αcos β1＋cos α＋cos β1＋cos αcos β＝1＋cos αcos β－cos α－cos β1＋cos αcos β＋cos α＋cos β ＝－cos α－cos β＋cos α＋cos β ＝tan 2α2tan 2β2.。

苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》word教案

第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

2013-2014学年苏教版必修四3.2二倍角的三角函数同步练习及答案解析

3.2 二倍角的三角函数（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋错误！未找到引用源。

)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 .4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 22x＋sin x 的最小正周期是________．6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分)7．（15分）求cos π7cos 2π7co s 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分) 已知f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R.(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.答案一、填空题1.43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 22tan 1tan xx-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号解析：∵sin α＝2sin2αcos2α，tan2α＝sin2cos2αα， ∴sin α与tan2α同号．3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13,原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－s in 50°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75.二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos7777π2sin7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos77π8sin7=8πsin 7π8sin 7=πsin7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ，∴212cos 1sin 13αα=--=-，∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-，cos 2α = 211912sin 169α-=，tan 2α = 119120-.。

高中数学 3.2二倍角的三角函数(1)(2)教学案苏教版必修4

[课题]：3.2二倍角的三角函数（1）[知识摘记]倍角公式：[例题解析]例1 已知sin α=1312，α∈),2(ππ，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

例2 求证：θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+例3 化简cos20o cos40o cos60o cos80o ;[练习与反思]反思：[课外作业]1.若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,135sin ，则α2tan 的值为 2.已知 sin （x －π4 ）= 35 ,则sin2x =3.若x = π12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为4.=+10sin 15.若24,412sin παπα<<=，则ααsin cos -的值等于 6.52cos 5cos ππ的值等于 7.计算tan π8 －cot π8 = ．8.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 9.已知：tan x = －2 2 ，求：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 4sin 21sin 2cos 22π的值．10.已知：()πααα<<=+033cos sin ，求：α2cos 的值．[课题]：3.2二倍角的三角函数（2）[知识摘记][例题解析]例1 化简.sin )6(sin )6(sin 222απαπα-++-例2 求证：1)10tan 31(50sin 00=+例3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？[练习与反思]反思：[课外作业]1.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π 2.已知4sin 25α= ,3cos 25α=- ,则角α是第象限角 3. 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为4.若534,,tan ,423x x ππ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则tan 2x =5.当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 6.计算：=+0050cos 350sin 1 ． 7.化简：1cos 2cos sin 2sin +++θθϑθ=__________． 8.求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.2.1 二倍角的三角函数》

二倍角的三角函数【学习目标】1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明【学习重点】：二倍角公式的推导;二倍角公式的简单应用【学习难点】：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数【学习过程】一、问题的探究sin 2__________α=；)(2αScos 2____________α=；)(2αCtan 2_____________α=；)(2αT二、问题的应用例1：求下列各式的值： 1 )125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ-+=________________ 22sin 2cos 44αα-=___________________ 3ααtan 11tan 11+-- =____________________ 4θθ2cos cos 212-+=_________________ 例2：已知12sin ,,132πααπ=<<求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值例3：已知)40(135)4sin(πθθπ<<=-，求)4cos(,2cos θπθ+的值三、当堂练习 1．co 275°＋co 215°＋co 75°co 15°＝________2．错误!＝________3 已知in α=则co 2πα- =________．4 设in 2α＝－in α，α∈错误!，则tan 2α＝5 已知co 错误!＝错误!，则in 2＝____________6 已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为________． 7 已知α∈错误!，in α＝错误!1求in 错误!的值；2求co 错误!的值8 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=，求2αβ+。

《原创》2013—2014学年高二数学必修四导学案3.2二倍角的三角

例1、化简。
例2 、求证：
例3、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
例4、已知，求的值
【学后反思】
课题:3.2二倍角的三角函数（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、化简：（1）（2）；
（3）（4）
2、证明：（1）
（2）
3、已知,且,都是锐角，求的值。
4、试说明图象之间有什么关系？
【课后巩固】
1、已知=，则的值等于______________.
2、若，则化简=
3、若，则的值_____________.
4、用表示。
5、求值：
6、求值
8、如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么的长度取决于角的大小，探求，之间的关系，并导出用表示的函数关系式。
课题:3.2二倍角的三角函数（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【_______________ ；；。
2、化简：=；=
=
【课堂研讨】
例1、化简。
例2 、求证：
例3、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
例4、已知，求的值
【学后反思】
课题:3.2二倍角的三角函数（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、化简：（1）（2）；
（3）（4）
2、证明：（1）
（2）
3、已知,且,都是锐角，求的值。
4、试说明图象之间有什么关系？
【课后巩固】
1、已知=，则的值等于______________.
2、若，则化简=
3、若，则的值_____________.
4、用表示。

《二倍角的三角函数二》教案苏教版

数学：3.2《二倍角的三角函数（二）》教案（苏教版必修4）第 7 课时：§3.2 二倍角的三角函数（二）【三维目标】：一、知识与技能1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系；揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。

3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。

二、过程与方法1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.三、情感、态度与价值观1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

2.培养用联系的观点看问题的观点。

【教学重点与难点】：重点：半角公式的推导与应用（求值、化简、证明）难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．复习：二倍角公式2.降幂公式：．【练习】化简：（1）；（2）．（（1）（2）两题答案：）．【总结】：一般地，．3．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。

高中数学 32二倍角的三角函数学案苏教版必修4 学案

3.2 二倍角的三角函数一、学习内容、要求及建议二、预习指导 1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用； (3)和差角公式、二倍角公式综合应用. 2. 预习提纲(1)阅读课本P105思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：sin 2=； cos 2===；tan 2=(所有tan 有意义)注意“倍角”的相对性.(2)阅读课本P107的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如P106例3的解法1)，阅读课本P107的例4，学会公式灵活运用.(3)探究：求sin10sin30sin50sin 70的值. 3. 典型例题 (1) 熟悉公式例1 已知1312cos -=α，)23,(ππα∈，求α2sin ，α2cos ，α2tan 的值. 分析：先利用同角三角函数的关系求出αsin ，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的X 围.解：∵1312cos -=α，)23,(ππα∈∴135)1312(1sin 2-=---=α. ∴169120)1312()135(2cos sin 22sin =-⋅-⋅==ααα 1691191)1312(21cos 22cos 22=--=-=αα，1191202cos 2sin 2tan ==ααα (2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等例2 已知21)tan(=-βα，71tan -=β，),0(,πβα∈，求βα-2.分析：先求αtan ，再求α2tan ，最后求)2tan(βα-，注意βα-2的X 围.解：∵βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-，∴)71(tan 1)71(tan 21-⋅+--=αα，解得31tan =α ∴43)31(1312tan 1tan 22tan 22=-⋅=-=ααα ∴1)71(431)71(43tan 2tan 1tan 2tan )2tan(=-⋅+--=+-=-βαβαβα ∵),0(,πβα∈，031tan >=α，071tan <-=β，∴),2(),2,0(ππβπα∈∈∴)2,(ππβ--∈- 又∵0432tan >=α∴)2,0(2πα∈，∴)0,(2πβα-∈-∴432πβα-=-.例3 已知xxx x x tan 1sin 22sin ,4745,53)4cos(2-+<<=+求πππ的值．分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“x x sin cos -”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“x 2sin ”用二倍角公式，注意“x x sin cos -”、 “x x sin cos +” 、“x x cos sin 2”这三者的关系. 解：由53)4cos(=+πx 得523sin cos =-x x ，两边平方得：2518cos sin 21=-x x ，∴257cos sin 2=x x ，∵4745ππ<<x ∴2)cos (sin sin cos x x x x +-=+=5242571cos sin 21-=+-=+-x x ∴xx x tan 1sin 22sin 2-+=xx x x x cos sin 1sin 2cos sin 22-+=x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+⋅=523)524(257-⋅=7528-. 例4 求值：(1)178cos 174cos 172cos17cosππππ； (2)sin 6sin 42sin 66sin 78；(3)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-.分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是4个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到20与40的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.解：(1)原式=17sin 2178cos 174cos 172cos17cos17sin244ππππππ=17sin16178cos174cos 172cos 172sin 23πππππ =17sin 16178cos 174cos 174sin 22ππππ=17sin 16178cos 178sin 2πππ=16sin1171616sin17ππ= (2)原式=sin 6cos 48cos 24cos12=442cos 6sin 6cos12cos 24cos 482cos 6=32sin12cos12cos 24cos 4816cos 6=sin 9616cos 6=sin 84116sin 8416= (3)原式=tan 70(cos103sin10)2cos 40+-=cos 202sin 402cos 40sin 20⋅-=cos 204sin 20cos 202cos 40sin 20⋅-=224cos 202(2cos 201)2--=(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=特点：降幂同时扩角，当遇到αα22cos ,sin 且不需要“平方”时，常考虑该公式.升幂公式αα2sin 22cos 1=-，αα2cos 22cos 1=+特点：升幂同时缩角，当遇到αcos 1±时，常考虑该公式.例5 化简：θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，(0,)∈分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与θsin 结合换成12cos 2sin22=+θθ同时对θsin 用二倍角公式；也可把“1”与θcos 结合用升幂公式同时对θsin 也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式=2cos 4)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin2(22θθθθθθ-+=2cos )2cos 2(sin 2cos 22θθθθ-=2coscos 2cos θθθ⋅-∵),0(πθ∈∴)2,0(2πθ∈∴02cos >θ∴原式=θcos - 例6 (1)已知21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求2cos 2βα-的值；(2)求函数1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y 的最大值．分析：(1)∵2)cos(12cos 2βαβα-+=-∴只要求)cos(βα-，将已知两等式平方相加即可；(2)∵12π不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开.解：(1)将21sin sin =+βα，31cos cos =+βα分别平方并相加得： 3613)cos cos sin (sin 22=++βαβα，即7259)cos(-=-βα. ∴144132725912)cos(12cos 2=-=-+=-βαβα.(2)1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y =12)62cos(12)62cos(1--+++-ππx x=)2sin 212cos 232sin 212cos 23(21x x x x +-+=x 2sin 21∴21max =y 4. 自我检测 (1)已知sin:sin8:52=，则cos 的值为______________．(2)等腰三角形的一个底角的正弦为53，则这个三角形的顶角的正切为_________． (3)不查表求值：=-125sin 1211sin 22ππ． (4)计算：13sin 50+=．(5)化简：sin 2sincos 2cos 1+++=__________．(6)求值：(1)24coscoscos 777πππ⋅⋅；(2))10tan 31(40cos+.(7)求证：函数222()cos cos ()cos ()33f x x x x =+++-是常数函数．三、课后巩固练习A 组1．已知sin 26cos 5x x =，则cos2x 的值等于___________． 2．已知1sin 2x =，则sin 2()4x π-=．3．已知02x π-<<，4cos 5x =，则tan 2x 等于_________． 4．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________．5．已知的值等于则x x 2sin ,135)4sin(-=-π__________． 6．求值：(1)224cos 1533-+︒； (2) 44sin 67.5cos 67.5- ； (3) 111tan151tan15-+-.7．已知sin()sin()44ππαα-+=，且α为锐角，求sin 2α的值．8．已知sin cos 3αα+=，0απ<<，求cos 2α的值． 9. 若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ=.10. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=.11(1sin cos )(sincos )αααα++-2παπ<<)．B 组121sin 20--为___________． 13．已知 ααα则角,532cos ,542sin-==是第____象限角. 14. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．15. 已知1cos 21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-=．16．求值：（1）=080cos 40cos 20cos ；（2）=+++167sin 165sin 163sin 4sin4444ππππ． 17．已知sin14cos14a=+，2142b =-2c =，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为．18．函数sin cos 1sin cos 1x x y x x +=-的值域是____________________．19．函数1sin cos sin 22x x x +-的值域为．20．函数11()cos 22cos 22f x x x =-+在区间2[,]3πθ-上的最大值为1，则θ的最小值是．21．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒(3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 23．设函数2()cos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期； (2) 设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .24. 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.25. 已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求cos 2(2)4πθ-的值． C 组26．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．27．已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2,2sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求tan A 的值. 28．设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期；(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．29．已知sin sin 1+=，cos cos 0+=，试求cos 2cos 2+的值．30．已知2244x y +=，求22441t x xy y =+-+的最大值和最小值．四、学习心得五、拓展视野课本112111=P 向我们介绍了正弦函数与余弦函数的叠加函数x B x A x f cos sin )(+=(A ，B 不全为0)，并指出该函数可以改写成)sin()(22θ++=x B A x f ，其中22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ，一般地，我们把公式xB x A cos sin +)sin(22θ++=x B A (22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ)称为辅助角公式.下面我们来看它的两个应用：例1 求函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值.解：23)20cos(521)20sin(5)20sin(300⋅++⋅+++=x x x y =)20cos(235)20sin(21100+++x x =)20sin()235()211(022θ+++x =)20sin(70θ++x (其中1411cos =θ，1435sin =θ)∴7max =y 例2 求函数xxy cos 2sin 3+=的值域.解：将xxy cos 2sin 3+=变形为y x y x 2cos sin 3=-，∴y x y 2)sin(32=++θ(其中233cos y+=θ，23sin yy +-=θ)即232)sin(yy x +=+θ，∵1sin(≤+θx ∴1322≤+yy ，解得11≤≤-y∴函数xxy cos 2sin 3+=的值域为[-1，1].。

苏教版数学高一学案 3.2 二倍角的三角函数

3.2 二倍角的三角函数导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(π4＋α)－(π4－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．推进新课新知探究进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．采用“cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．应用示例思路1例如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图1活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α.求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(x ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在Rt △OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.思路2例1已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan 2(α－β)＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan[2(α－β)]＋tan β1－tan[2(α－β)]tan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13<1，且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)， ∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α.若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．例2若α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝π2. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α＝cos2β，①3sin αcos α＝sin2β，②①÷②，得sin αcos α＝cos2βsin2β，即cos αcos2β－sin αsin2β＝0， ∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋2β<3π2.∴α＋2β＝π2. 点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．知能训练课本本节练习1.2.3.课堂小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．作业：课本习题3.210.12.设计感想本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．。

苏教版必修四 3.2.2二倍角的正弦、余弦、正切(2) 教案

3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；2.结合三角函数值域求函数值域问题。

三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。

2.结合三角函数求值域。

四、教学过程：（一）复习：1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2．练习： ①=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π． ②若tan 3θ=，求sin 2cos2θθ-的值。

（解答：2222222sin cos sin cos 2tan tan 17sin 2cos 2sin cos 1tan 5θθθθθθθθθθθ+-+--===++）．（二）新课讲解：例1：利用三角公式化简：)10tan 31(50sin +．解：原式 10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+=10cos 40sin 50sin 210cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2=+⋅= 110cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2===．例2：求证21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-．证明：原式等价于22tan 1sin 4cos 4(1sin 4cos 4)1tan θθθθθθ+-=++-，即：1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)θθθθθ+-=++ （*）而（*）式右边tan 2(1cos 4sin 4)θθθ=++2sin 2(2cos 2sin 2cos 2)cos 2θθθθθ=+ 22sin 2cos 22sin 2θθθ=+sin 41cos4θθ=+-=左边，所以，（*）式成立，原式得证。

苏教版数学高一必修4学案 3.2 二倍角的三角函数

3.2二倍角的三角函数1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)[基础·初探]教材整理倍角公式阅读教材P119～P120的全部内容，完成下列问题．(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．若sin α＝15，则cos 2α＝________.【解析】∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α＝1 5，∴cos 2α＝1－2×125＝23 25.【答案】23 252．若tan α＝3，则tan 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34. 【答案】－343．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________.【解析】 ∵sin 2α＝2sin αcos α，∴2sin αcos α＝－sin α，又sin α≠0，∴cos α＝－12.【答案】－12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：[小组合作型]直接应用二倍角公式求值已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．【精彩点拨】先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．【自主解答】由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为sin 2α＝513， cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：06460078】【解】∵sin α＋cos α＝13，∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝19.∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49＜0.∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＞0.∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝173.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－173＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.逆用二倍角公式化简求值化简：2cos 2 α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【精彩点拨】切化弦→逆用二倍角公式→化简，约分【自主解答】原式＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．[再练一题]2．求下列各式的值： (1)2sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π12cos 5π12.【解】 (1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. [探究共研型]活用“倍角”关系巧解题探究1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的值，如何求sin 2x 的值？【提示】可利用sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2π4－x －1求解．探究2 当题设条件中含有“π4±x ”及“2x ”这样的角时，如何快速解题？【提示】可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【精彩点拨】先由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 即可．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，又0＜x ＜π4，∴π4＜x ＋π4＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2413.当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有： (1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．[再练一题]3．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．【解】 ∵sin 2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×925＝725.[构建·体系]1．若sin α2＝33，则cos α＝________. 【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×13＝13. 【答案】 13 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.【解析】由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得，tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34.【答案】 343．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cosπ6＝32.【答案】 32 4.tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝________. 【导学号：06460079】【解析】原式＝12·2tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°) ＝12×3－11＋3＝12×(3－1)2(3＋1)(3－1)＝12×4－232＝2－32.【答案】2－325．已知cos 2θ＝725，π2＜θ＜π， (1)求tan θ；(2)求2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.【解】 (1)由cos 2θ＝725，得1－2sin 2θ＝725，sin 2θ＝925， ∵π2＜θ＜π，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. (2)2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ＋1－sin θsin θ＋cos θ＝2.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十七) 二倍角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________．【解析】 ∵75°＋15°＝90°，∴cos 75°＝sin 15°， ∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30° ＝1＋12×12 ＝54 【答案】 542．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________. 【解析】 cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝2×19－1＝－79. 【答案】－793．已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.【解析】 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α<0， cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－34＝－32.【答案】－324．(2016·南京高一检测)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝________.【解析】由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.【答案】 125．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________．【解析】 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 【答案】36．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan(α＋β)＝________.【导学号：06460080】【解析】 ∵tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝12－131＋12×13＝17，∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝2×171－149＝724. 【答案】 7247．(2016·苏州高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 【解析】 ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ∴sin 2x ＝2×2100－1＝－2425.【答案】－24258．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 【解析】 f (x )＝2tan x －－cos x 12sin x＝2sin x cos x ＋2cos x sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 x ＋cos 2 x sin x cos x ＝2sin x cos x ＝42sin x cos x ＝4sin 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】 8二、解答题9．若3π2<α<2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π. ∴原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2 α ＝12＋12cos α＝1＋cos α2＝cos 2 α2＝－cos α2. 10．已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55.∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得tan x ＝12∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝43＋11－43＝－7.[能力提升]1．(2016·扬州高一检测)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．【解析】 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32， ∴当t ＝12时，函数取得最大值32.【答案】 322．(2016·无锡高一检测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2×19－1＝－79.【答案】－793．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.【解析】由三角函数的定义可知tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35.【答案】－354．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【解】 (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－31010 ＝－1010.。

苏教版数学高一-必修4导学案 3.2二倍角的三角函数(2)学生版

课题：§3.2二倍角的三角函数（二）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】 1．继续加强二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解和掌握，并能灵活应用公式。

2．引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.【重点难点】学习重点：二倍角公式应用。

学习难点：公式的灵活应用和变式训练【学习过程】一、自主学习与交流反馈：默写倍角公式：1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=- 2．降幂公式：2221cos 21cos 21cos 2sin ,cos ,tan 221cos 2ααααααα-+-===+ 二、知识建构与应用：例1 化简απαπα222sin )6(sin )6(sin -++-例2 求证：1)10tan 31(50sin =+例3化简：（1）cos20cos40cos60cos80；（2）sin10sin30sin50sin70．例4 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形的面积最大？四、巩固练习1．化简：（1）2)15cos 15(sin += ；（2）2cos 2sinθθ= ；（3）αα44sin cos -= ；（4） 10sin 20cos 22-+= ；（5）θθtan 11tan 11+--= ；（6）1 - 2sin(π4 - α)cos(π4- α) = __________.2．证明：（1）B A B A B A 2cos 2cos )(sin )(cos 22=--+（2）θθθ2cos )tan 1(cos 22=-3．已知71tan =α，31tan =β,且βα,都是锐角，求βα2+的值。

高一数学 3.2《二倍角的三角函数》学案(苏教版必修4)

一、学习目标1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系；2、会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；3、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

二、学习重点倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。

三、学习难点倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。

四、学习过程问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？问题2：若β=α，结果会如何，你能得出什么结论？α2S ：α2C ：α2T ：问题3：你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗？总结：公式α2S 、α2C 、α2T 叫做，简称。

注意：（1）这里的“倍角”，实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不能省去。

（2）倍角公式是和角公式的特例。

（3）倍角公式中的“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的二倍角。

（4）倍角公式的公式特征：“倍角”与“二次”的关系。

试一试：不查表，求值：（1）sin 2230cos 2230''⋅= ；（2）=-π18cos 22；（3）=π-π8cos 8sin 22 ；（4）= 40cos 20cos 10sin 。

例1：已知)0,2(135cos παα-∈=且，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。

例2：化简απαπα222sin )3(cos )3(cos -++-。

例3：证明下列恒等式（1）θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+；（2）1)10tan 3(40sin =- 。

例4：求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期，以及最值。

例5：在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形面积最大？五、巩固练习1、化简（1；（2；（3 （4。

2、求值（1）sin15cos15= ；（2）(cos sin )(cos sin )12121212ππππ-+= ；（3）22cos 112π-= ；（4）22tan22.51tan 22.5-= ；（5）8sin cos cos cos 48482412ππππ= ；（6） 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ++= 。

苏教版高中数学必修4§3.2 二倍角的三角函数.docx

§3.2 二倍角的三角函数课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos 2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝________________，sin 2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________，1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.8．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________. 9.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. §3.2 二倍角的三角函数知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 2.18解析原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.8.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ，∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32，此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0，此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数教案苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

3.2 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数〞是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角〞关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具；通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想；因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验〞．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后找一个学生把这六个公式写在黑板上．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，假设sinα＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋c osαsinα＝2sinαcosα，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究从两角和的公式中推导出倍角公式，并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．活动：学生默写公式S (α＋β)、C (α＋β)、T (α＋β)，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α、β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入下一个问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化；教师再与学生一起订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin2α＝2sinαcosα(S 2α)； cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)； tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβtan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α)．这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读课本，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角〞专指“二倍角〞；点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．这时教师指出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)，倍角公式是和角公式的特例．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这组公式用途很广，与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角；二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．并引导学生观察思考并初步感性认识到：(1)这里的“倍角〞专指“二倍角〞，遇到“三倍角〞等名词时，“三〞字等不可省去；(2)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(4)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠12kπ＋π4和α≠kπ＋π2(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋π2，k∈Z 时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，3α是3α2的二倍，π2－2α是π4－α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等．本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α1－tan 2α等等．一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.假设sin2α＝2sin α，那么2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k∈Z )．假设cos2α＝2cos α，那么2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)．假设tan2α＝2tan α，那么2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k∈Z )．应用示例思路1例1课本本节例1.变式训练1．不查表：求值sin15°＋cos15°. 解：原式＝sin15°＋cos15°2＝sin 215°＋2sin15°cos15°＋cos 215°＝62. 点评：此题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．假设sin θ2＋cos θ2＝12，那么cos2θ＝________. 答案：－183．函数f(x)＝2sin 2(x 2＋π4)－1是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案：C4．假设cos2αsin α－π4＝－22，那么cosα＋sinα的值为( ) A ．－72 B ．－12C.12D.72答案：C5．以下各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°答案：B例2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ. 活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥自己的聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1〞的代换，对“1〞的妙用大家深有体会，这里可否在“1〞上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1〞的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左边＝sin2θ＋1－cos2θsin2θ＋1＋cos2θ＝2sinθcosθ＋1＋1－2cos 2θ2sinθcosθ＋1＋2cos 2θ－1＝sinθcosθ＋1－cos 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθcosθ＋sin 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθcosθ＋sinθcosθsinθ＋cosθ＝tanθ＝右边．所以原式成立．方法二：左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sinθsinθ＋cosθ2cosθsinθ＋cosθ＝tanθ＝右边．方法三：左边＝1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθcosθ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＋2sinθcosθ＋cos 2θ－sin 2θ＝sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθsinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ ＝sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθsinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ·2sinθsinθ＋cosθ·2cosθ＝tanθ＝右边．点评：课本上只给出了一种方法，教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法，以训练应用公式的灵活性．以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其是“1〞的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．此题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值．活动：此题结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π(0<A<π，0<B<π，0<C<π)，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解：方法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35，所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34，tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－342＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247×－43＝44117. 方法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34.又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝2tan A ＋B 1－tan 2A ＋B ＝2×－1121－－1122＝44117. 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αcos2α＋sin2α2sin2αsin2α＋cos2α＝cot2α.知能训练课本本节练习1、2、3、4.作业求值：tan70°cos10°(3tan20°－1)．解：原式＝2tan70°cos10°32sin20°－12cos20°cos20°＝2tan70°cos10°－sin10°cos20°＝sin70°cos70°·－sin20°cos20°＝－1. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练的运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分表达了“学生主体、主动探索、培养能力〞的新课改理念，表达“活动、开放、综合〞的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生的记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用〞的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．备课资料一、关于三角变换中的“一致代换〞法在三角变换中，“一致代换〞法是一种重要的方法，所谓“一致代换〞法，即在三角变换中，化“异角〞“异名〞“异次〞为“同角〞“同名〞“同次〞的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法〞；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cosαcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1.4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．假设cos(π4＋x)＝35，17π12<x<7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值． 6．cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°si n20°＝4. 2．解：原式＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，那么原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48° ＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x 1－tanx ＝2sinxcosx 1＋tanx 1－tanx ＝sin2xtan(π4＋x)． ∵17π12<x<7π4，∴5π3<π4＋x<2π.又cos(π4＋x)＝35，∴sin(π4＋x)＝－45，tan(π4＋x)＝－43.∴sin2x＝sin[2(π4＋x)－π2]＝－cos[2(π4＋x)]＝－[2cos 2(π4＋x)－1]＝725. 故原式＝725×(－43)＝－2875. 6．解：∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2，∴π2<α－β2<π.∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2，∴－π4<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(π4＋α)－(π4－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．推进新课新知探究进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．采用“cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2〞可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式〞，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．应用示例思路1例1课本本节例3.例2课本本节例4.例3课本本节例5.变式训练如图1，OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图1活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到S ＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sinα＝sinαcosα－33sin 2α. 求这种y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cosα，BC ＝sinα.在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sinα. 所以AB ＝OB －OA ＝cosα－33sinα. 设矩形ABCD 的面积为S ，那么S ＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sinα＝sinαcosα－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝asinx ＋bcosx 的函数转化为形如y ＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP＝α〞，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积〞，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x(1－x 2－33x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.思路2例1tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．活动：把所求的角用含其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角〞问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan[2α－β]＋tanβ1－tan[2α－β]tanβ＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tanβ1－tan α－βtanβ＝13<1，且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tanβ＝－17<0，且β∈(0，π)， ∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：此题通过变形转化为三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，假设α∈(0，π)，那么求cosα.假设α∈(－π2，π2)，那么求sinα等．例2假设α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝π2. 证明：两个等式可化为3sin 2α＝cos2β，①3sinαcosα＝sin2β，②①÷②，得sinαcosα＝cos2βsin2β，即cosαcos2β－sinαsin2β＝0， ∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋2β<3π2.∴α＋2β＝π2. 点评：由条件等式证明“角＋角＝角〞的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原那么是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．假设所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，假设是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果〞．作业课本习题3.2 10、12.设计感想本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂〞作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．备课资料备选习题1．x 为锐角，且sinx sin x 2＝85，那么cosx 等于( ) A.45 B.825 C.1225 D.7252.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos23．函数y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx 的最小值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 4．假设tanx ＝2，那么tan(π4＋2x)＝________. 5．化简2sin(45°＋α)sin(45°－α)＝________.6．化简：1＋cos2αcot α2－tan α2. 7．设α是第二象限角，sinα＝35，求sin(π6－2α)的值． 8．求证：sin 2α＋cosαcos(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值是与α无关的定值． 9．cos(α＋π4)＝35(π2≤α＜3π2)，求cos(2α＋π4)．参考答案：1. D2.A 〔提示：1－sin 22＋1＋cos4＝cos 22＋2cos 22＝－3cos2〕 3．B 〔提示：y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)≥－2〕 4．－17〔提示：由tanx ＝2得tan2x ＝－43，原式＝1＋tan2x 1－tan2x ＝－17〕 5．cos2α 6.12sin2α. 7．解：∵α是第二象限角，且sinα＝35，∴cosα＝－45. ∴sin2α＝－2425，cos2α＝725.∴sin(π6－2α)＝12cos2α－32sin2α＝7＋24350. 8．证明：原式＝12(1－cos2α)－12[1－cos(π3－2α)]＋cosαcos(π3＋α) ＝12[cos(π3－2α)－cos2α]＋cosα(cos π3cosα－sin π3sinα) ＝12(cos π3cos2α＋sin π3sin2α－cos2α)＋12cos 2α－32cosαsinα ＝14cos2α＋34sin2α－12cos2α＋14(1＋cos2α)－34sin2α＝14， ∴sin 2α＋cosαc os(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值与α无关． 9．分析：此题的解法很多，入口也较浅．为了求cos(2α＋π4)的值，可将cos(2α＋π4)适当变形，即进行三角式的恒等变形，以便与条件沟通起来．例如由于cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4，因此只需由条件求出cos2α及sin2α即可．又如由于cos(2α＋π4)＝cosαcos(α＋π4)－sinαsin(α＋π4)，因此只需由条件求出sin(α＋π4)及sinα、cosα同样也能获解．由此可见，灵活运用公式是关键．解：∵π2≤α＜3π2，cos(α＋π4)＝35＞0，∴7π4＞α＋π4＞3π2，得5π4＜α＜3π2. ∴5π2＜2α＜3π.从而sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725， cos2α＝－1－sin 22α＝－2425.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝－31230.。

【教案】高中数学32二倍角的三角函数1教案苏教版必修4

课题3.2 二倍角的三角函数(1) 课型新授教学目标： 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；了解化归思想在推导中的作用；2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力；4.结合三角函数值域求函数值域问题．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．教学难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）．教学过程备课札记一．问题情境 1．这里，三角函数值为特殊值，可以先求出角再求解．若不是特殊值呢？2．π5(,π),sin ,sin 2212ααα∈=设求． 3．那么如何由一些已知的条件来求sin 2α 呢？通过观察，我们可以发现2ααα=+ ，因此可以在前面所学的基础上来研究这个问题（板书课题）．二．建构数学因此，在这些公式中，我们只要令后，就可以得到角2α的三角函数值了．即在三角里面还有一个非常重要的等式，用这个等式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式：以上这些公式都叫做倍角公式，从上面的推导过程来看，倍角公式是和角公式的特例．注意点：①对“二倍角”的认识，如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是2α 的二倍，030是015的二倍，015的二倍是030等等．理解二倍角是相对的．②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程．βα=22sin cos 1αα+=③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．其次，在对二倍角公式理解、掌握的基础上讲解例题.三、数学运用1.例题．例1.5(,)sin ,sin 2,cos 2,tan2.213παπαααα∈= 设求的值说明在没有具体的知道角2α的终边所在的象限时，一般并不能惟一确定角2α的三角函数值，需要讨论．例2 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++．消除角的差异,把不同的角化为相同的角，在化简的过程中注意选取合适的公式．例3 ππ1πsin()sin(),(,π),sin 44462αααα-+=∈已知求的值. 这里，要求sin 4α的值，先得求出2α的三角函数值来．可以逆用公式来求或直接展开来求．因此，对于“二倍角”，应有广义的理解，如4α是2α的二倍角，3α是32α的二倍角．2．练习．（1）利用倍角公式求下列各式的值．① sin cos 88ππ ②22cos sin 88ππ- ③ 1－ 15sin 22 ④15tan 115tan 22- （2）已知08,0,,sin 2,cos 22πsin .αααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭求的值．（3）已知的值．求αα2tan ,21tan =（4）证明：①2sin()cos()sin 2ππααα+-= ②22cos cos 212=-+θθ ③αααsin 2sin 2cos 1=- ④A AA 2tan 2cos 12cos 1=+- 四、小结1．本节课主要学习了二倍角的几组公式：（1）αααcos sin 22sin =（2）ααα22sin cos 2cos -==1－α2sin 2=1cos 22-α．（3）22tan tan 21tan ααα=-． 2. 我们一起推导了二倍角的公式，明白了从一般到特殊的思想，并运用二倍角公式解题．在解题的时候要注意分析三角函数名称、角的关系，选择最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程的目的．教学反思：此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

苏教版高中数学必修四《二倍角的三角函数》教案2

二倍角的三角函数教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ当α＝β时，tan2α＝2tanα1－tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠π2 ＋kπ及α≠π4 ＋k π2 (k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2 ＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4 ＋k π2 ，k ∈Z 时tan2α的值不存在).当α＝π2 ＋kπ(k ∈Z )时,虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(π2 ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin π3 ＝32≠2sin π6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（513 ）2 ＝－1213∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513 ×(－1213 )＝－120169 ，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(513 )2＝119169 ，tan2α＝sin2αcos2α ＝－120169 ×169119 ＝－120119 .练习题：1.已知cos α＝m ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵cos α＝m ，α在第二象限.∴sin α＝1－cos 2α ＝1－m 2∴sin2α＝2sin αcos α＝21－m 2 ·m ＝2m 1－m 2cos2α＝2cos 2α－1＝2m 2－1tan2α＝sin2αcos2α ＝2m 1－m 2 2m 2－1或由tan α＝sin αcos α ＝1－m 2 mtan2α＝2tan α1－tan 2α ＝2m 1－m 2 2m 2－12.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ＝1＋cos[2(θ＋15°)]2 ＋1＋cos[2(θ－15°)]2 －32cos2θ＝1＋12 ［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－32cos2θ＝1＋12 ［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－32cos2θ＝1＋12 ×2cos2θcos30°－32cos2θ ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：sin 2α＝1－cos2α2 ，cos 2α＝1＋cos2α2 ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.［例2］若270°＜α＜360°，化简：12 ＋12 12 ＋12 cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1，cos α＝2cos 2α2 －1 ∴12 ＋12 12 ＋12 cos2α＝12 ＋12 12 ＋12 （2cos 2α－1）＝12 ＋12 cos 2α 又∵270°＜α＜360° 135°＜α2 ＜180°∴原式＝12 ＋12 cos α ＝12 ＋12 （2cos 2α2 －1）＝cos 2α2 ＝－cos α2［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°∴原式＝12 cos80°cos40°cos20°＝12 ×cos80°cos40°cos20°sin20°sin20° ＝12 ×cos80°cos40°sin40°×12 sin20°＝12 ×cos80°sin80°×12 ×12 sin20° ＝12 ×sin160°×12 ×12 ×12 sin20° ＝116［例4］求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8(cos 2θ)2＝8(1＋cos2θ2 )2＝2(cos 22θ＋2cos2θ＋1) ＝2(1＋cos4θ2)＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 Ⅲ.课堂练习课本1、2、3、4.Ⅳ.课时小结理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业课本习题 1、2、3、4。