乌兰察布2018届高三数学上学期第二次月考试题理

2017—2018学年第一学期第二次月考
高三年级数学 (理) 试题
本试卷满分150分，考试时间为120分钟
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．已知集合{}
2|60A x x x =+-<，集合{}
1
|21x B x -=≥，则A B = ( )
A. [3,2)
B. (3,1]-
C. (1,2)
D. [1,2) 2．设复数z 满足(1)3i z i -=+，则z =( )
3．“1sin cos cos sin 2αβαβ+=
”是“26
k k Z π
αβπ+=+∈，”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线210ax y +-=的距离为1，则a = ( )
A. 23-
B. 43-
C. 32-
D. 3
4- 5．若12,e e 是两个单位向量，且()()
1212223e e e e +⊥-+ ，则122e e +=
( )
62 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
134π+ B. 14
π+ C. 1312π+ D. 112π+ 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151015192a a a a a ---+=，则19S 的值为( )
A. 38
B. 19-
C. 38-
D. 19
8．若将函数2sin 2y x =的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后图像的对称轴为( ) A. ()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=
-∈ D. ()212
k x k Z ππ=+∈ 9．变量,x y 满足条件10
11x y y x -+≤⎧⎪
≤⎨⎪>-⎩
，则22(2)x y -+的最小值为( )
5 D. 92
10．已知0a >，0b >且21a b +=，则
21
a b
+的最小值为( ) A. 8 B. 5 C. 4 D. 6
11．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若1PFQ ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率e 等于( )
1
1
2 12．设函数22,0
()log ,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨
>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，
4x ，且1234x x x x <<<，则3122
34
1
()x x x x x ++
的取值范围是( ) A. (3,)-+∞ B. (,3)-∞ C. [3,3)- D. (3,3]-
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，则满足(21)(5)f x f -<的x 的取值范围是 ．
14．一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆 的标准方程为 ．
15．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若棱长AB =3，则点B 到平面ACD 1的距离 为 ．
16．定义在R 上的连续函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 在R 上的导函数()1f x '<，则不等式()1f x x <+的解集为 ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 在ABC ∆中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足等式
()()
cos 2cos b C a c B π=+-.
（I ）求角B 的大小；
（II ）若b ABC S ∆=a c +.
18．(12分) 已知直线:3l y x =-+与椭圆22:1(0)C mx ny n m +=>>有且只有一个公共点(2,1)P ．
（I ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）若直线:l y x b '=-+交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为原点)，求b 的值．
19．(12分) 已知数列{}n a 满足122n
n n a a +=+ *(,)n N R λ∈∈，且11a =．
（I ）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20．(12分) 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF//AE ，
AB =AE =2．
（I ）求证：BD ⊥平面ACFE ；
（II ）当直线FO 与平面BDE 所成的角为45°时，求二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值．
21．(12分) 已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且5
4
QF PQ =． （I ）求抛物线的方程；
（II ）过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆22(1)1x y +-=相交于B ，C 两点（A ，
B 两点相邻），过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM
的面积之积的最小值．
22．(12分) 已知函数2
()1,2
x
x f x e ax x R =---∈ （I ）若1
2
a =
，求函数()f x 的单调区间； （II ）若对任意0x ≥都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数2
()()()2F x f x f x x =+-++，求
证:(
)1*2
(1)(2)()2,()n n
F F F n e n N +⋅⋅>+∈
高三数学（理）答案
【1-6】DCB AAD 【6-12】CBCACD
【13-16】 (,2)(3,)-∞-+∞ 2
232524x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭{}|1x x >
【17】解：(Ⅰ)由()()cos 2cos πb C a c B =+-，得()()s i n c o s 2s i n s i n c o s B C A C B ⋅=+
⋅-，
则sin 2sin cos A A B =-⋅，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =-
，因为0πB <<，所以2π
3
B =.
（Ⅱ）由1sin 2ABC S ac B ac ∆=
=⋅⋅=， 得3ac =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()2
22cos a c ac ac B =+--
且b =2π3B =
得()2113662a c ⎛⎫=+--⨯- ⎪⎝⎭
即()2
16a c +=，所以4a c +=.
【18】解：（I ）由P 在椭圆上，可得4m +n =1①， 由直线与椭圆有且只有一个公共点，则
22
31
y x mx ny =+⎧⎨+=⎩﹣，消去y 可得2)6910m n x nx n ++=（﹣﹣， 由题意可得2364(910n m n n =+= ﹣（）﹣），即为9mn m n =+②，
由①②，且0n m （＞＞），解得m
= ，n
= ，即有椭圆方程为22163
x y +=；
（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 22163y x b
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩﹣消去y ，可得2234260x bx b +=﹣﹣，
判别式2
2
2
1612268720b b b =+ ﹣（﹣）=-＞， 21212426
33
b b x x x x -+==
，， 22
121212126()()3
b y y x b x b x x b b x x -=--=++=-+（）+， 由OA ⊥OB ，即为12120OA OB x x y y ⋅==+ ,则222266312
0333
b b b ---+==
解得b =2或-2，代入判别式符合要求，则 b =2或-2．
【19】证明：（I ）由*
122n n n a a n N +=+∈（）,等式两端同时除以12n +得到
∴
111222n n n n a a ++=+，即111
222
n n n n a a ++-=， （II ）∵
11122a =，∴数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为12，公差为12的等差数列， ∴
11(1)2222
n n a n n =+-=， ∴12n n a n -=
∴数列{}n a 的前n 项和：
0121
123122232221222322n n n n S n S n =⋅+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅ ﹣，①
，②
②﹣①，得：
0121(22222n n n S n ++=-++⋅ ﹣)+，即2n n S n =1+
(-1). 【20】（I ）证明：在菱形ABCD 中，可得DB ⊥AC ， 又因为AE ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥AE ， 且AE ∩AC =A ，BD ⊥平面ACFE ；
（II ）解：取EF 的中点为M ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,0)B ，
(0,0)D ，(1,0,)F h -，(1,0,2)E
，则(0,0)DB =
，
(1,2)DE =
，设平面BDE 的法向量1(,,)n x y z = ，
由11020n DB n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取1(2,0,1)n = ①
则1cos ,n OF <>=
=
，解得h =3，故(1,0,3)F -
(1,2),(1,3)BE BF ==-
，设平面BFE 的法向量为2(,,)n a b c =
，
(1,2),(1,3)DE DF ==-
，设平面DFE 的法向量为3(,,)n a b c '''= ，
同理①可得23(5,5,n n =--=-
，则
231
cos ,4
n n <>=
= ，则二面角B -EF -D
的余弦值为．
【21】解：（I ）由题意可知40P （，），84,Q p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
8||2p QF p =+， 由5
||||4
QF PQ =，则85824p p p +=⨯，解得：p =2， ∴抛物线x 2=4y ；
（II ）
设l ：y =kx +1，A ()11x y ，，B ()22x y ，，
联立214y kx x y
=+=⎧⎨⎩，整理得：x 2﹣4kx ﹣4=0， 则124x x =-，
由y =
14x 2，求导y ′=2
x ， 直线MA ：211 24x x y x =-，同理求得MD ：2
22
24
x x y x =-，
则2
112
22 24
24
x x y x x x y x ⎧
⎪=-
=-⎪⎨⎪⎪⎩，解得： 2 1x k y ==-⎧⎨⎩
，则M （2k ，﹣1）， ∴M 到l
的距离2d ==
∴△ABM 与△CDM 的面积之积
()()2211
1144ABM CDM S S AB CD d AF DF d ⋅⋅⋅==
﹣﹣22
222121*********x x y y d d k =+=≥=， 当且仅当k =0时取等号，当k =0时，△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值1． 【22】（I ）f (x )在实数R 上单调递增
（II ）1a ≤ （Ⅲ）略。