【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：2-11-1导数与函数的单调性(含答案解析)

配餐作业(十四) 导数与函数的单调性

一、选择题

1．(2016·福州模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()

A

B

C

D

解析：由函数f(x)的图象可知， f(x)在(－∞，0)上单调递增， f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以在(－∞，0)上f′(x)＞0， 在(0，＋∞)上f′(x)＜0。 选项D 满足，故选D 。 答案：D

2．(2016·厦门模拟)函数f(x)＝xlnx ，则( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1

e 上递增 D ．在⎝⎛⎭

⎫0，1

e 上递减 解析：因为函数f(x)＝xlnx ，

所以f′(x)＝lnx ＋1，f′(x)＞0，解得x ＞1

e ，

则函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞， 又f′(x)＜0，解得0＜x ＜1

e

，

则函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1

e ，故选D 。 答案：D

3．(2016·苏中八校联考)函数f(x)＝x －lnx 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：函数的定义域是(0，＋∞)， 且f′(x)＝1－1x ＝x －1

x ，令f′(x)＜0，

解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0,1)。 答案：A

4．(2016·长春调研)已知函数f(x)＝1

2

x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f(x)在R 上单调递增”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：f′(x)＝3

2x 2＋a ，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a ＞0”是“f(x)在R 上单调递增”的充

分不必要条件。

答案：A

5．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π

2时，f(x)＝e x ＋sinx ，则( ) A ．f(1)＜f(2)＜f(3) B ．f(2)＜f(3)＜f(1) C ．f(3)＜f(2)＜f(1) D ．f(3)＜f(1)＜f(2)

解析：由f(x)＝f(π－x)得函数f(x)的图象关于x ＝π

2

对称。由f(x)＝e x ＋sinx 得函数在

⎝⎛⎭

⎫－π2，π2上单调递增，由f(x)＝f(π－x)得， f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，又1，π－2，π－3均属于⎝⎛⎭⎫－π2，π

2，∴f(π－2)＞f(1)＞f(π－3)，

∴f(2)＞f(1)＞f(3)。 答案：D

6．(2016·湛江模拟)若函数f(x)＝x ＋b

x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下

列区间上单调递增的是( )

A ．(－2,0)

B ．(0,1)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－2)

解析：由题意知，f′(x)＝1－b

x

2，

∵函数f(x)＝x ＋b

x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，

∴当1－b

x 2＝0时，b ＝x 2，

又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)，

令f′(x)＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－b)，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，

∴(－∞，－2)符合题意，故选D 。 答案：D 二、填空题

7．函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________。

解析：由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)。

答案：(－1,11)

8．(2016·成都一诊)已知函数f(x)＝3x

a －2x 2＋lnx(a ＞0)。若函数f(x)在[1,2]上为单调函

数，则a 的取值范围是________。

解析：f′(x)＝3a －4x ＋1

x ，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，

则f′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0或f′(x)＝3a －4x ＋1

x ≤0在[1,2]上恒成立，

即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1

x 在[1,2]上恒成立。 令h(x)＝4x －1

x ，则h(x)在[1,2]上单调递增，

所以3a ≥h(2)或3a ≤h(1)，即3a ≥152或3

a ≤3，

又a ＞0，所以0＜a≤2

5或a≥1。

答案：⎝⎛⎦

⎤0，2

5∪[1，＋∞) 9．设f′(x)为函数f(x)的导函数，若定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式f(x)＞3

e

x ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为________。

解析：不等式f(x)＞3

e x ＋1可化为e x f(x)－e x －3＞0。令g(x)＝e x f(x)－e x －3，

则g′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x ＝ e x [f(x)＋f′(x)－1]。

∵f(x)＋f′(x)＞1，∴f(x)＋f′(x)－1＞0， ∴g′(x)＝e x [f(x)＋f′(x)－1]＞0， ∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增。 又∵g(0)＝f(0)－4＝0， ∴当x ＞0时，g(x)＞g(0)＝0， ∴e x f(x)－e x －3＞0的解集为(0，＋∞)，

∴不等式f(x)＞3

e

x ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为(0，＋∞)。