力学综合计算题

24．（20分）

雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g 。

（1）质量为m 的雨滴由静止开始，下落高度h 时速度为u ，求这一过程中克服空气阻力

所做的功W 。

（2）将雨滴看作半径为r 的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力 f = kr 2v 2，

其中v 是雨滴的速度，k 是比例系数。

a ．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度v m 与半径r 的关系式；

b ．示意图中画出了半径为r 1、r 2（r 1> r 2）的雨滴在空气中无初速下落的v -t 图线，其中______对应半径为r 1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v -t 图线。

（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴

简化为垂直于运动方向面积为S 的圆盘，证明：圆盘以速度v 下落时受到的空气阻力f ∝2v （提示：设单位体积内空气分子数为n ，空气分子质量为m 0）。

22．（16分）

2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h = 10 m ，C 是半径R = 20 m 圆弧的最低点。质量m = 60 kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度a = 4.5 m/s 2，到达B 点时速度v B = 30 m/s 。取重力加速度210m/s g =。 （1）求长直助滑道AB 的长度L ；

（2）求运动员在AB 段所受合外力的冲量I 的大小； （3）若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力

图，并求其所受支持力N F 的大小。

B

h

C

A

24．（20分）

（1）动量定理可以表示为p F t ∆=∆，其中动量p 和力F 都是

矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂

直的x 、y 两个方向上分别研究。例如，质量为m 的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v ，如图1所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。

a ．分别求出碰撞前后x 、y 方向小球的动量变化x p ∆、y p ∆；

b ．分析说明小球对木板的作用力的方向。

（2）激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动。激光照射

到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用。光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒。

一束激光经S 点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图2所示。图中O 点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO 的夹角均为θ，出射时光束均与SO 平行。请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向。 a ．光束①和②强度相同； b ．光束①比②的强度大。

23．（18分）

如图所示，弹簧的一端固定,另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m ，在水平桌面上沿x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O ，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F = k x ，k 为常量。

（1）请画出F 随x 变化的示意图；并根据F -x 图

像求物块沿x 轴从O 点运动到位置x 的过程中弹力所做的功。

（2）物块由x 1向右运动到x 3，然后由x 3返回到x 2，在这个过程中，

a ．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；

b ．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。

图1

v

v

y

x

θ θ

θ

θ

图2

①

②

S

O

22．（16分）

如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B 分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ =0.2。取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）碰撞前瞬间A的速率v；

（2）碰撞后瞬间A和B整体的速率v'；

（3）A和B整体在桌面上滑动的距离l。