高中数学基本功大赛试题
高中数学比赛试题及答案
高中数学比赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)=x^2-2x+1,则f(-1)的值为:A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an},其中a1=3,公差d=2,求a5的值:A. 9B. 11C. 13D. 153. 计算下列极限:lim (x→0) [sin(x)/x] 的值为:A. 0B. 1C. 2D. 34. 圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0,圆心坐标为:A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算复数z=1+2i的模长:________。
6. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ,若α=30°,β=60°,则γ=________°。
7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,求f'(x)=________。
8. 一个等比数列的前三项依次为2,4,8,求此数列的第5项:________。
三、解答题(每题15分,共30分)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,求f(x)的单调区间。
10. 证明:对于任意实数x,不等式x^2-2x+2>0恒成立。
四、综合题(每题20分,共40分)11. 已知函数f(x)=x^2-2x+1,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
12. 解方程:x^3-3x^2+4x-4=0,并说明其根的性质。
答案:一、选择题1. B2. D3. B4. A二、填空题5. √56. 907. 3x^2-6x+28. 32三、解答题9. 函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。
令f'(x)>0,解得x<1或x>2,因此f(x)在区间(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增。
令f'(x)<0,解得1<x<2,因此f(x)在区间(1,2)上单调递减。
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \),求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \),\( a_{n+1} = a_n + 2n \),求\( a_3 \)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切,求圆心到直线的距离。
A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°,求\( \sin B \)的值。
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题(每题5分,共20分)5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \),\( a \)和\( b \)为正整数,求\( a + b \)的值。
6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2,公差为3,求第10项\( c_{10} \)的值。
7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \),求\( g(2) \)的值。
8. 若正六边形的边长为1,求其外接圆的半径。
三、解答题(每题15分,共60分)9. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 解不等式:\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。
11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题(每题5分,共30分)1. 若\( a \)和\( b \)是正整数,且\( a^3 + b^3 = 27 \),求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中,若两直角边长度分别为3和4,求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5,求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2,从第四项开始,每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \),求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少?A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题(每题5分,共20分)7. 一个数的平方根是4,这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加,结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2,公差是3,第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位,其表面积是_________平方单位。
三、解答题(每题15分,共50分)11. 证明:对于任意正整数\( n \),\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式:\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10,求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目,提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩!请注意,以上内容是虚构的,仅作为示例。
高二数学基本功竞赛第2期(答案)
高二第一学期数学基本功测试 第2期试卷设计:每小题4分,共25道,满分100分,测 试 时 间:第九周星期四晚7:45-8:30温馨提醒:请务必准确填涂10位数考号,本期填涂答题卡题号:26-50,试卷类型A 卷,科目涂数学,测试完上交答题卡,第二节即公布答案,答题卡循环使用,请再次校对自己的考号有没有填涂准确,注意妥善使用不能损坏。
1.设m ∈R ,则下列式子正确的是 ( A). A .3-2m >1-2m B .m 3>m 2C. 1m <m D .-2m >-3m2.已知集合P ={0,m },Q ={x |2x 2-5x <0,x ∈Z},若P ∩Q ≠∅,则m 等于 ( D). A .1 B .2C .1或25D .1或23、下列函数中,最小正周期为2π的是 ( B )A 、)32sin(π-=x y B 、)32tan(π-=x yC 、)62cos(π+=x yD 、)64tan(π+=x y4、函数是x x y 2cos 2sin 2=( A )A 、周期为2π的奇函数 B 、期为2π的偶函数C 、周期为4π的奇函数 D 、期为4π的偶函数5、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈=2,6x ,x cos y 的值域是 ( A )A 、[0,1]B 、[-1,1]C 、[0,23] D 、[-21,1]6、函数)62sin(3π+=x y 的图象是轴对称图形,其中它的一条对称轴可以是 ( C )A 、y 轴 B、直线12π-=x C 、直线6π=x D 、直线3π=x7.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1-a n +1=0(n ∈N +),则此数列的通项a n 等于 ( D ).A .n 2+1B .n +1C .1-nD .3-n8.在等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为 ( B ).A .81B .120C .168D .1929.在等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是 ( A ).A .15B .30C .31D .6410.在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则 ( B ).A .a 1=1B .a 3=1C .a 4=1D .a 5=111.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c =2a ,则cos B 等于 ( B ).A.14B.34C.24D.2312.下面给出的四个点中,满足约束条件10,10x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩的可行解是( C ) A.(0,2) B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)13.不等式-x 2-x +2≥0的解集是 ( C ).A .{x |x ≤-2或x ≥1}B .{x |-2<x <1}C .{x |-2≤x ≤1}D .∅14. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( A ) A .21- B .23- C .21D .2315. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( A) A .6 B .7C .8D .916. 记等差数列{}n a 的前项和为n s ,若103s s =,且公差0<d ,则当n s 取最大值时,n=( C )A .4或5B .5或6C .6或7D .7或817.在等比数列{a n }中,若a 1 + a 2 =30, a 3 + a 4 = 120 , 则 a 5 + a 6 = ( D )(A) 240; (B) 280; (C) 440; (D) 480。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数不是有理数?A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5,它的面积是多少?A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3,公差为2,求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根?A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题(每题4分,共20分)6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a,b,c是三角形的三边,且a^2 + b^2 = c^2,则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形,每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2,且θ在第一象限,则cosθ = ______。
三、解答题(每题10分,共65分)11. 证明:对于任意实数x,等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式:2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2,求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a > b > 0),求椭圆的焦点坐标。
四、附加题(10分)16. 一个圆内接正六边形的边长为a,求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明:设g(x) = e^x - (x + 1),则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时,g'(x) < 0,当x > 0时,g'(x) > 0。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数是无理数?A. 2B. πC. 0.5D. √4答案:B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案:A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7,求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案:A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知等比数列的公比为2,首项为1,求第5项的值。
答案:326. 已知向量a = (3, -4),向量b = (-2, 3),求向量a与向量b的点积。
答案:-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案:18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9,求圆心坐标。
答案:(2, 3)三、解答题(每题10分,共60分)9. 求证:对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明:设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2,其中k为整数。
当n = 3k时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1),能被3整除。
当n = 3k + 1时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2),能被3整除。
当n = 3k + 2时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4),能被3整除。
因此,对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x,求f(x)的单调区间。
解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \),则\( f(-1) \)的值为多少?A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5,圆心在原点,求圆上一点到原点的距离最远是多少?A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2,5,8,求这个数列的第20项是多少?A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边的长度?A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \),求\( \cos(\alpha) \)的值(假设\( \alpha \)在第一象限)?A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \),求\( g(-1) \)的值?A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题(每题5分,共20分)7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根,求\( a + b \)的值。
______(答案:-5)8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5,这个数列是斐波那契数列,求第10项的值。
______(答案:55)9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5,求这个三角形的面积。
______(答案:6)10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \),求\( \sin(\beta) \)的值。
______(答案:\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \))三、解答题(每题25分,共50分)11. 证明:对于任意实数\( x \),不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)
中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)1.数学课堂教学的目标是什么?它们分别是什么维度的?答:数学课堂教学的目标有三维,分别是知识与技能、过程与方法、情感与价值观。
2.谁被称为解析几何学的创始人?答:法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家______被称为解析几何学的创始人。
3.科学家们在探寻“外星人”方面曾借助哪个数学定理?答:数学家曾建议用勾股定理作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的语言。
4.数学危机中最重要的悖论是什么?答:数学危机中最重要的悖论是___悖论。
5.课程标准的支撑理论是什么?代表人物有哪些?答:课程标准的支撑理论是建构主义,代表人物有___、___、___。
6.数学的作用是什么?答:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。
7.教师的主要任务是什么?答:教师的主要任务是激发学生的研究积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助学生成为研究的主人。
8.初中阶段的数学内容分为哪些领域?答:初中阶段的数学内容分为数与代数、空间与图形、统计与概率和课题研究四个领域。
9.学生研究数学的重要方式有哪些?答:学生研究数学的重要方式有动手操作、自主探究、合作交流。
10.为什么教学要面向全体学生?如何才能实现这一目标?答:不同的人在数学上得到不同的发展,教学要面向全体学生,必须适应每一位学生的发展需要;实现这一目标需要承认差异、尊重差异。
11.义务教育阶段的数学课程标准应该体现哪些方面?答:义务教育阶段的数学课程标准应该体现基础性、普及性、发展性,使数学教育面向全体学生,实现人人学有价值的数学、人人获得必需的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。
12.在新课程理念下,教师的角色发生了什么变化?答:在新课程理念下,教师的角色已经由原来的主导者转变成了学生研究活动的组织者、学生探究发现的引导者、与学生共同研究的合作者。
13.举例适合课外学生数学活动的形式。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b,如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4,那么常数 a 和 b 的值分别是多少?A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中,点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少?A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项,且 a + b + c = 9,那么 a 的值是多少?A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8),那么常数a 和b 的值之和为多少?A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4,公比为 2,前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的?A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段,第一段比第二段长 2cm,第二段比第三段长4cm,三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案:第一段:12cm,第二段:14cm,第三段:24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数,并且 a × b = 147,那么 a 和 b 的值分别是多少?答案:a = 1,b = 147 或 a = 147,b = 15. 在平面直角坐标系中,顶点为 (0,0),椭圆的长轴在 x 轴上,短轴在 y 轴上,且长轴长为 8,短轴长为 6。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一:函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \),求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二:解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程,已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三:数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和,其中\( b_1 = 1 \),公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四:概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球,求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次,求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品,求从一批产品中随机抽取10个产品,至少有1个是次品的概率。
试题五:组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子,将球分配到盒子中,每个盒子至少有一个球,求不同的分配方法总数。
2. 证明:对于任意的正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5,那么x的值为:A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值,且有a>0,b>0,c>0,那么a+b+c的值是:A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm,圆心位于坐标系的原点,那么圆上一点(3,4)到圆心的距离是:A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°?A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列,且abc=8,a+b+c=6,那么b的值是:A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26,首项为2,公差为3,求该等差数列的第四项。
7. 已知一个圆的周长为4πcm,求该圆的面积(π取3.14)。
8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点,求该零点的值。
9. 一个直角三角形的斜边长为10cm,一条直角边长为6cm,求另一条直角边的长度。
10. 一个等比数列的前三项分别是2,6和18,求该数列的公比。
三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35,且第五项是首项的三倍。
求该等差数列的首项和公差。
12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A,且圆心到直线的距离为2√2cm。
若圆的半径为5cm,求圆心的坐标。
13. 证明:若n是正整数,且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数,则n 也是正整数。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm,腰长为x,且周长为30cm。
求x的值。
15. 一个等比数列的前五项之和为31,首项为2,求该等比数列的公比和最后一项的值。
请注意,以上题目仅供参考,实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。
在解答时,考生需要仔细审题,合理运用数学知识和解题技巧,力求准确、高效地完成题目。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3,直线l2过点(1,5)且与l1垂直,则l2的方程是:A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案:C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2},则A的值是: A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案:D二、填空题1.若a、b满足a+b=5,且ab=6,则a和b的值分别是____。
答案:2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V,且V>0,则该几何体的体积V的值为____。
答案:1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2 = an + 2n,求数列的通项公式。
解答:首先给出数列的前几项: a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到,第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2,求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答:对于任意x,有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0,可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6,当x = 1时,f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2,取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么?如何判断一个数列的极限存在?答:数列的极限是指当项数趋向无穷大时,数列的项的值趋向的一个确定的数。
高中数学青年教师基本功大赛笔试试题1
射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛笔试试题(一)(考试时间:90分钟;满分:120分)一、基础知识(共10小题,每题3分,计30分)1. 新课程提倡的学习方式有(请列举三个):(1)_____________________;(2)______________________; (3)______________________________,改变过去的那种单纯接受式的学习方式.2. 新课程的“三维目标体系”是指:(1)________________________;(2)_________________________; (3)_____________________________.3. 请连线:4. 我们常说要重视“数学思想方法”的教学,请列举三个常见的“数学思想”:(1)_________________________;(2)__________________________;(3)________________________.5.《江苏高考说明》的命题指导思想中提出“重视数学基本能力的综合能力的考查”,请你列举三个“数学基本能力”: (1)___________________;(2)_____________________;(3)____________________.6. 我们常说要“数学地思维”,而良好的思维品质是具有一些特性的,请列举其中的三个特性:(1)_______________________;(2)_________________________;(3)_________________________. 7. 数学史上的三次数学危机是指(不必太详细): (1)____________________________________________; (2)_______________________________________;(3)________________________________________. 8. 华罗庚先生在强调“数形结合”的重要性时曾说过的一句话是:“______________________________, ______________________________________.”9. 高中数学选修课程系列4包括10个专题,请列举其中的三个: (1)______________________________; (2)_____________________________________;(3)____________________________________. 10. 波利亚在“怎样解题”表中把数学题的求解过程分为四个阶段,即第一阶段:弄清问题;第二阶段:______________________;第三阶段:______________________;第四阶段:___________________.二、解题能力测试(共5题,每题18分,计90分)11.请建立适当的模型来推导“两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+”.12. 已知一个函数的解析式为2y x =,它的值域为[0,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数.欧几里德 勾股定理毕达哥拉斯 形式主义数学希尔伯特 《几何原本》学校:_________姓名:_________13.一半径为,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮按逆时针方向旋转,每分钟转动5圈.现在当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时.试探究:(Ⅰ)OP 旋转的角速度ω是多少?(单位:弧度/秒)(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设点P 距离水面的高度z (米)与时间t (秒)的函数关系为()sin()2z f t A t ωϕ==++,其中0A >,而(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边, 0OP 为终边的角.请写出函数()f t 的解析式;(Ⅲ)点P 第二次到达最高点需要的时间是多少秒?14. 设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足22222345a a a a +=+, 77S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (Ⅱ)试求所有的正整数m ,使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.15. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ,求直线l 的方程;(Ⅱ)求以点M 为圆心,且被直线21y x =-截得的弦长为 4的⊙M 的方程;(Ⅲ)设P 为(Ⅱ)中⊙M 上任一点,过点P 向⊙O 引切线,切点为Q . 试探究:平面内是否存在一定点R ,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应 的定值;若不存在,请说明理由.第15题第13题。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1,那么f(2)的值是多少?A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7,求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案:A3. 一个圆的直径为10cm,那么它的半径是多少?A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案:A4. 在直角坐标系中,点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少?A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算:\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案:56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm,那么它的周长是_______cm。
答案:187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求g(2)的值。
答案:-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17,设这个数为n,则n的值为______。
答案:3或-4三、解答题(每题10分,共60分)9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求函数的零点。
答案:函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且a > b > c,求证:长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案:证明略。
11. 已知数列{bn}满足:b1 = 2,bn+1 = 2bn + 1,求数列的前五项。
答案:2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上,且三角形的周长为12cm,求圆的半径。
答案:2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9,求函数的最小值。
答案:函数的最小值为0。
高级中学教学基本功大赛数学科试卷
茅村中学教学基本功大赛数学科试卷姓名 得分1. 高考数学命题的指导思想是 。
2. 数学基本能力主要包括: 这几个方面的能力。
3. 数学应用意识的考查,要求 。
4. 数学创新意识的考查,要求 。
5. 对只是的考查要求依次为 三个层次。
其中,掌握层次要求 。
6. 设z y x ,,为正实数,满足032=+-z y x ,则xzy 2的最小值为 。
(08江苏) 7. 设直线b x y +=21是曲线)0(ln x x y =的一条切线,则实数b 的值为 。
(08江苏)8. 设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=,若对于任意[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为 。
(08江苏)9. 在平面直角坐标系xoy 中,已知ABC ∆的顶点A (-4,0),C (4,0),顶点B 在椭圆1162522=+y x 上,则=+B C A sin sin sin 。
(07江苏) 10.设)12lg()(a xx f +-=为奇函数,则使0)( x f 的x 的取值范围是( ) A .(-1,0) B.(0,1) C.)0,(-∞ D.),1()0,(+∞⋃-∞ (07江苏)教学基本技能题:1. 徒手作出边长为20cm 左右的正方形.2. 徒手作出半径为20cm 左右的圆.3. 徒手作出边长为20cm 左右的正方体4. 徒手作出双曲线14922=-y x参考答案:1. 既考查中学数学的基础知识和方法,又考查学生进入高等学校继续学习所必需的基本能力2. 空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理3. 能够运用所学的数学知识和思想方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题化为数学问题并加以解决.4. 能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法创造性的解决问题。
5. 了解、理解、掌握。
系统的掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强或较为困难的问题6. 37. 12ln -8. 49. 45 10. A。
2020年高中数学竞赛试题
2020年高中数学竞赛试题一、选择题(每题3分,共30分)若函数f(x) = x^2 - 2x + a 有两个不相等的实数根,则a的取值范围是:A. a < 1B. a ≤ 1C. a > 1D. a ≥ 1下列关于向量的说法正确的是:A. 零向量与任意向量平行B. 单位向量的模为1C. 若向量a与b平行,则a与b的方向相同D. 向量a与-a的方向相反,模相等若直线l与平面α平行,点A在平面α内,则:A. l与经过点A的平面都平行B. l与经过点A的平面都相交C. l与经过点A且与α平行的平面平行D. l与经过点A且与α垂直的平面垂直二、填空题(每题4分,共20分)函数y = log₂(x - 1) 的定义域是_______.已知等差数列{an} 的前n项和为Sn,若a1 = 1, S3 = 9,则公差d = _______.在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cos A = (b² + c² - a²) / (2bc),则A = _______.已知向量a = (1, 2),向量b = (3, 4),则向量a与b的夹角余弦值为_______.若双曲线(x² / 9) - (y² / 16) = 1 的右焦点为F,点P在双曲线上,PF的垂直平分线与x轴交于点Q(6, 0),则点P的坐标为_______.三、解答题(共60分)(12分)已知函数f(x) = x³ - 3x² + ax + b 在x = 1 和x = 2 时取得极值,求a, b 的值,并讨论f(x) 的单调性。
(12分)设椭圆C: (x² / a²) + (y² / b²) = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F₁, F₂,点P 在椭圆 C 上,且|PF₁| = 4/3|PF₂|,△PF₁F₂ 的面积为4√3。
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数学试题一.填空题(共14小题,每题2分,共28分) 1.《普通高中数学课程标准(试验)》简称新课标中提出的三维目标是指:知识与技能、过 程与方法、 。
2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、 、基本思想。
3.高中数学课程要求把数学探究、 的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。
4.数学探究即数学探究性课题学习,是指学生围绕某个数学问题, 的过程。
5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括:空间想象、抽象概括、推理论证、运算求 解、 这五个能力。
6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应倡导_ _、 实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。
7.数学是研究_________和________的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = .9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。
10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ,则132+++x y x 的取值范围是_______________.11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点,则线段 PQ 长度的最小值为 。
12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ,且2=-a b ,则=k 13. 设2=+b a ,0>b ,则当a = 时 ,ba a ||||21+取得最小值。
14.函数122-+=x x x y 的值域是 二.解答题(共6题,每题10分,共60分)15.在等差数列{a n }中,已知,p q S q S p ==(p ≠q ),求p q S +的值.16.如图,正方形ABCD 的边长为4,PD ⊥平面ABCD ,PD =6,M 、N 分别是PB 、AB 的中点。
⑴求证:MN ⊥CD ;⑵求三棱锥P -DMN 的体积;⑶求二面角M -DN -C 的余弦值。
ABCDMNP17.已知函数()f x sin cos a x b x ωω=+(,,a b ω∈R ,且0ω>)的部分图象如图所示. (1)求,,a b ω的值;(2)若方程[]23()()0f x f x m -+= 在2(,)33x ππ∈-内有两个不同的解,求实数m 的取值范围.18.简述创设问题情境的目的是什么?19.高中数学新课程设置的原则是什么?20.某学校要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行文化长廊建设,阴影部分为一公共设施 建设不能占用,且要求用艺术栏栅隔开(艺术栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线)0(1)(2>-=a ax x f 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ,交曲线切于点P ,设(,())P t f t(Ⅰ)将OMN ∆(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数()S t ; (Ⅱ)若在12t =处,()S t 取得最小值,求此时a 的值及()S t三.论述题(本题共12分)21. 课堂教学设计是教师对教材的再创造的过程,体现了教师对授课内容的整体理解和把握,也从很大程度体现了教师对学情的把握,课堂设计的好坏,不仅关系到教学内容能否顺利落实,避免照本宣科,也关系到能否充分调动起学生的学习兴趣和学习积极性,提高课堂效率和教学效果.假如你是一位高一数学教师,明天要和学生一起学习“圆的一般方程”第一节,谈谈你对教材的分析,你想安排哪些学习内容,安排哪些类型例题练习(可以自己编写题目,题目只起说明作用,不要求完整有解),帮助学生学习哪些方法,打算进行怎样的教学设计?试用150字左右进行简述.数学试题答案一.1. 情感、态度和价值观2. 基本技能3. 数学建模4. 自主探究、学习5. 数据处理6. 自主探索 合作交流7. _现实世界_ _数量关系__ 8. 19. (,1),(2,)-∞+∞ 10. [3,9] 11.)2ln 1(22+ 12. 2 13. 2- 14. ),(∞+2115. 设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则11(1) 2(1) 2p q p p S a p d q q q S a q d p -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩①②①-②得221() 2p q p qa p q d q p --+-+=-. ∴11()()() 2p q a p q p q d q p --+-=+-.∵P ≠q ∴11()12p q a d +=+--. ∴P q S +=11()(())()2p q p q a d p q ++=++--.16. 法一:⑴证明:连结PA∵ PD ⊥平面ABCD CD ⊥AD ∴ PA ⊥CD (三垂线定理)∵ M 、N 分别是PB 、AB 的中点 ∴ MN ∥PA ∴ MN ⊥CD⑵解:设AC 、BD 交于点O∵ MO ∥PDABC DMN POE∴ MO ⊥底面ABCD ,且MO =21PD =3 ∵ M 是PB 的中点∴ BMD PMD S S ∆∆= ∴ BDN M BMD N PMD N DMN P V V V V ----=== ∴ 43422131=⨯⨯⨯⨯=-DMN P V ⑶过点O 作DN 的垂线OE ,垂足为E ,连结ME 。
∵ MO ⊥平面ABCD ∴ ME ⊥DN∴ ∠MEO 就是二面角M -DN -C 的平面角。
∵ △MOE 中,∠MOE =90°,MO =3,OE =52 ME=57 ∴ 72cos =∠MEO 即二面角M -DN -C 的余弦值为72。
法二:如图建立空间直角坐标系,则A(4,0,0) B(4,4,0) C(0,4,0) P(0,0,6) M(2,2,3) N(4,2,0)(1) )3,0,2(-=MN )0,4,0(-=CD0=⋅CD MN ∴ME ⊥CD(2)同法一(3) 设面MND 的法向量为),,(z y x n = )3,0,2(-=MN )0,2,4(=DN⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DN n MN n ∴⎩⎨⎧=+=-024032y x z x 令3=x 则面MND 的法向量为)2,6,3(-=n 面NDC 的法向量为)1,0,0(=m 所以二面角的余弦值为72436921cos =++⨯=θ17.(1)由图象易知函数()f x 的周期为4T =(67π23π-)=2π, ∴1ω=.上述函数的图象可由sin y x =的图象沿x 轴负方向平移3π个单位而得到,∴其解析式为()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.∴1,22a b == (2)2(,)33x ππ∈-∴(0,)3x ππ+∈,∴0sin()13x π<+≤.设()f x t =,问题等价于方程230t t m -+=在(0,1)仅有一根或有两个相等的根.方法一:∵- m = 3t 2 - t ,t ∈(0,1),作出曲线C :y = 3t 2 - t ,t ∈(0,1)与 直线l :y = - m 的图象如图所示.∵t =16时,y =112-;t = 0时,y = 0;t = 1时,y = 2. ∴当 - m =112-或0≤-m <2时,直线l 与曲线C 有且只有一个公共点.∴m 的取值范围是:20m -<≤或112m =方法二:当 230t t m -+=仅有一根在(0,1)时,令2()3g t t t m =-+ 则(0)(1)0g g <得到20m -<<或(0)0g =时0m =,或(1)0g =时2m =-(舍去)当两个等根同在(0,1)内时得到1120m ∆=-=,112m =综上所述,m 的取值范围是:20m -<≤或112m =18. 答:(1)激发学生的数学学习兴趣和学习动机; (2)培养学生将问题情境数学化的能力;(3)养成学生关注情境问题的数学本质和数学特性,用数学的眼光、数学的视角 关注问题、审视世界的思维习惯;(4)增强学生数学应用意识,感受数学与生活的联系。
19. 答:必修课内容确定的原则是:满足未来公民的基本数学需求,为学生进一步的学习提供必要的数学准备;选修课内容确定的原则是:满足学生的兴趣和对未来发展的需求,为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。
20.(1)2y ax '=-,切线的斜率为2at -,∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+= (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'==0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅21. 根据课标灵活作答。
《圆的一般方程》中,课标的具体要求是:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
课标对解析几何初步的要求:在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。