2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义

2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》

咸丰一中数学组：青华

高考要求：

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点：

对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较

简单的函数的有关问题．

知识梳理

1．根式的概念 (1)根式

如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，

若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n

a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质

①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示．

②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根

______(_____(0)

||(_____(0)n n n a a a n a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩

为奇数）为偶数）

;)n

n a =__________（a n a . 00n =

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正整数指数幂：∈⋅⋅⋅=n a a a a n

(ΛN *).

n 个

②零指数幂：)0(10

≠=a a ③负整数指数幂：∈=

-p a

a p p (1

Q a ≠0，).

④正分数指数幂：a n

m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ⑤负分数指数幂：m n

a

-=

n

m a

1=

n

m

a

1

（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）

⑥0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂___________.

(2)有理指数幂的运算性质

①a r a s ＝________(a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝________(a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q )． （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

3．指数函数的图象与性质

a >1

0

图象

定义域 (1)____________________ 值域 (2)____________________

性质 (3)过定点________________

(4)当x >0时，__________；当x <0时，__________ (5)当x >0时，____________；

当x <0时，__________

(6)在(－∞，＋∞) 上是______________ (7)在(－∞，＋∞) 上是

______________

2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）； 3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x

x

a

y a y -==与的图象关于y 轴对称。

4）指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则

在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小； 在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小；

即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

探究点一 有理指数幂的化简与求值 例1（1） 1

1

2

632728----⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭()4131303342

7+0.064()2160.018---⎡⎤--+-++-⎣⎦

（2） .)2(248533233

23

233

2

3

134a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--

（3）已知112

2

3x x

-+=则=-+-+--8

4

22

1x x x x 。 指数幂化简与求值的原则和要求： (1) 化简原则：

①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序． (2)结果要求：

①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

探究点二 指数函数的图象及其应用 例2 （1）.已知函数2

2(0,1)x y a

a a +=->≠的图象恒过定点A （其坐标与a 无关），则

定点A 的坐标为 ．()2,1--

（2）若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取

值范围是__________.

（3）已知函数y ＝(1

3

)|x+1|.

①作出函数的图象(简图)； ②由图象指出其单调区间；

③由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．

4. y ＝2-x 的图像可以看成是由函数y ＝2-x+1＋3的图像平移后得到的，平移过程是 ( )

A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位

B ．向左平移1个单位，向下平移3个单位

C ．向右平移1个单位，向上平移3个单位

D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位

5.函数y ＝e x ＋e －

x

e x －e

－x 的图象大致为 ( )