5.6几何证明举例(2)
沪教版八年级-几何证明综合(二),带答案
主题几何证明综合（二）教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明；2．认识等腰直角三角形，熟练运用等腰直角三角形性质解决综合问题。
（以提问的形式回顾）等腰直角三角形具有哪些性质？请尽可能多的列举。
两个底角相等均为45°；两腰相等；斜边上的中线等于斜边的一半；“三线合一”：顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；练习：1.如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是．（填一个条件）2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是．3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是．答案：∠D=∠A或∠E=∠ACB或DE=AC或BD=AB；1；45°第2题图ABCDE第1题图第3题图（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：我们知道在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，其证明全等的条件是“边边角”，那么符合“边边角”条件的两个三角形，是否可以全等呢？ 为了解决案例1，我们先看看问题1；问题1：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为锐角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。
问题2：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为钝角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。
通过以上两个问题，概括出例1的结论。
答案：问题1：不成立；如下图所示问题2：成立；证明如下；分别过点A 、D 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，DH ⊥FE 交FE 的延长线于点H . ∵∠ABC=∠DEF ∴∠ABG=∠DEH 而∠G=∠H=90°，AB=DE∴△ABG ≌△DEH （AAS ） ∴AG=DH ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）∴∠C=∠F∴△ABC ≌△DEF （SAS ）例1：当“边边角”中所给的相等角为直角或钝角时，可以证明两三角形全等； 当“边边角”中所给的相等角为锐角时，不可以证明两三角形全等例2：如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 中点，联结OA ； 问题1：如图1，OA=OB=OC 成立吗？请说明理由；问题2：如图2，如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM ；请判断△OMN 的形状，并说明理DE FH AB C DE FAB CG由；问题3：如图3，若点M，N分别在线段BA、AC的延长线上移动，仍保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由。
几何证明举例第6节第5课时
5.6.5几何证明举例---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。
教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。
教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。
教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。
（五）课堂练习1、判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.（六）当堂检测1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思。
5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
A
性质：线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等。
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别 在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
BB=120º ，AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
当点P不在线段AB上时
P
当点P在线段AB上时
A
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到一条线段两个端点的 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
5.6几何证明举例(1)
，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再见
2021/6/20
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
2021/6/20
5
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
B(E)
F A
C
O Dபைடு நூலகம்
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
.
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
【青岛版八年级数学上册教案】5.6几何证明举例
5.6 几何证明举例学习目标1．熟练掌握AAS，HL 判判定理，等腰三角形 , 等边三角形性质与判判定理，并会运用这些定理进行证明相关题目；2．经过独立思虑，合作研究，研究出综合法证明几何问题的方法。
3.倾尽全力，达成目标，享受几何证明的多样性之美。
自主研究（一）直角三角形全等的判判定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（ HL 定理）【典型例题】AEFB D C例 1. 已知如图， D是△ ABC的边 BC的中点， DE⊥ AC,DF⊥ AB，垂足分别是点E，F，DE=DF.求证：△ ABC是等腰三角形 .（二）等腰三角形的性质和判断命题一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的均分线重合.已知：求证：证明：命题二：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：求证：证明：（三）角均分线与垂直均分线的性质与判断三角形全等的运用1. 已知，如图， AB=BC,AD=CD,求证：∠ A=∠C.CD BA2. 如图，已知AB=DC，∠ ABC=∠DCB，OE均分∠ BOC交 BC于点 E. 求证： OE垂直均分BC.ADOB E C3.已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，D 是 AB 上一点， DE⊥ BC，垂足是 E，交 CA的延长线于点 F，求证： AD=AF.FADB E C能力提高4. 在△ ABC中， D 为 BC的中点， DE⊥ BC交∠ BAC的均分线 AE于 E,EF⊥AB 于 F，EG⊥ AC交 AC的延长线于点 G，求证： BF=CG.AFD CBGE。
5.6几何证明举例(5)经典
,,, , 如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C和∠C都是直角， ,, ,,, ,, AB=AB,AC=AC,能判定RtABC与RtABC全等吗？
,,, , 如图，在Rt△ABC和RtABC中，∠C和∠C都是直角， ,, ,, ,,, AB=AB,AC=AC,能判定RtABC与RtABC全等吗？
例4 已知一直角边和斜边作直角三角形
已知：线段L，m. 求作：Rt△ABC，使它的直角边AC和斜边AB分别等于L,m
L
m
10分
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BF=DE
B
？
A F E C
？
D
10分
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD平分EF
B
A
E
？ G？
F
C
D
10分
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想想：BD平分EF吗?
B
A
F
？ ？
G
E
C
D
1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一 般三角形的判定全等的方法，而且还有直角三 角形特殊的判定方法----“HL” 2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含 条件，所以只须找两个条件即可（两个条件中 至少有一个条件是一对对应边相等）
5、尺规作图：过点P作直线L的垂线。 L 保留作图痕迹
,,, , 如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C和∠C都是直角， ,, ,,, ,, AB=AB,AC=AC,能判定RtABC与RtABC全等吗？ , A A gg
zh
xh
C B C
,
B
,
,,, , 如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C和∠C都是直角， ,, ,,, ,, AB=AB,AC=AC,能判定RtABC与RtABC全等吗？ , 2 2 2 证明： ∵BC =AB -AC A A ,, ,, 2 ,, 2 2 BC =AB -AC （勾股定理） ,, ,, 又∵AB=ABAC=AC（已知） ,, ∴BC=BC（等量代换） , , B C C B ,,, 在Rt△ABC和RtABC中， ,, AB=AB（已知） ,, ∴ △ABC≌△ABC（SSS) AC=AC（已知） ,, BC=BC（已证）
《几何证明举例》教案 (公开课获奖)
§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。
3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。
4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。
教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。
教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。
青岛版初中数学课本(新目录)
青岛版初中数学课本(新目录)青岛版初中数学教材总目录七年级上册第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界1.2几何图形1.3线段、射线和直线1.4线段的比较与作法第2章有理数2.1有理数2.2数轴2.3相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法3.2有理数的乘法与除法3.3有理数的乘方3.4有理数的混合运算3.5利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1普查和抽样调查4.2简单随机抽样4.3数据的整理4.4扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1用字母表示数5.2代数式5.3代数式的值5.4生活中的常量与变量5.5函数的初步认识第6章整式的加减6.1单项式与多项式6.2同类项6.3去括号6.4整式的加减第7章一元一次方程7.1等式的基本性质7.2一元一次方程7.3一元一次方程的解法7.4一元一次方程的应用七年级下册第8章角8.1角的表示8.2角的比较8.3角的度量8.4对顶角8.5垂直第9章平行线9.1同位角、内错角、同旁内角9.2平行线和它的画法9.3平行线的性质9.4平行线的断定第10章一次方程组10.1熟悉二元一次方程组10.2二元一次方程组的解法10.3三元一次方程组10.4列方程组解应用题第11章整式的乘法11.1同底数幂的乘法11.2积的乘方与幂的乘方11.3单项式的乘法11.4多项式乘多项式11.5同底数幂的除法11.6零指数幂与负整数指数幂第12章乘法公式与因式分解12.1平方差公式12.2完整平方公式12.3用提公因式法进行因式分解12.4用公式法举行因式分化第13章平面图形的认识13.1三角形13.2多边形13.3圆第14章位置与坐标14.1用有序数对透露表现位置14.2平面直角坐标系14.3用偏向和距离描绘两个物体的相对位置八年级上册第1章全等三角形1.1全等三角形1.2如何断定三角形全等1.3尺规作图第2章图形的轴对称2.1图形的的轴对称2.2轴对称的根本性子2.3轴对称图形2.4线段的垂直平分线2.5角平分线的性质2.6等腰三角形第3章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法与除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7可化为一元一次方程的分式方程第4章数据阐发4.1加权平均数4.2中位数4.3众数4.4数据的离散程度4.5方差4.6用计算器计算平均数和方差第5章几何证明初步5.1界说与命题5.2为甚么要证明5.3甚么是几何证明5.4平行线的性子定理和断定定理5.5三角形的内角和定理5.6几何证明举例八年级下册第6章平行四边形1.1平行四边形及其性质1.2平行四边形的断定1.3特殊的平行四边形1.4中位线定理第7章实数5.1算术平方根5.2勾股定理5.32是有理数吗5.4由边长断定直角三角形5.5平方根5.6立方根5.7用计算器求平方根和立方根5.8实数第8章一元一次不等式8.1不等式的基本性质8.2一元一次不等式8.3列一元一次不等式解应用题8.4一元一次不等式组第9章二次根式7.1二次根式及其性质7.2二次根式的加减法7.3二次根式的乘除法第十章一次函数10.1函数的图像10.2一次函数和它的图像10.3一次函数的性子10.4一次函数与二元一次方程10.5一次函数与一元一次不等式10.6一次函数的应用第十一章图形的平移与旋转11.1图形的平移11.2图形的旋转11.3图形的中央对称九年级上册（待更改）第1章特殊四边形1.1平行四边形及其性子1.2平行四边形的判定1.3非凡的平行四边形1.4图形的中心对称1.5梯形1.6中位线定理第2章图形变换2.1图形的平移2.2图形的旋转2.3图形的位似第3章一元二次方程3.1一元二次方程3.2用配办法解一元二次方程3.3用公式法解一元二次方程3.4用因式分解法解一元二次方程3.5一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1圆的对称性4.2肯定圆的前提4.3圆周角4.4直线与圆的位置关系4.5三角形的内切圆4.6圆与圆的位置干系4.7弧长及扇形面积的计算九年级下册（待更改）第5章对函数的再探索5.1函数与它的表示法5.2一次函数与一元一次不等式5.3反比例函数5.4二次函数5.5二次函数y ax2的图象和性质5.6二次函数y ax2bx c的图象和性质5.7确定二次函数的解析式5.8二次函数的使用5.9用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1频数与频率6.2频数分布直方图6.3用频率估计概率6.4用树状图计较几率课题进修质数的漫衍第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体7.2棱柱的侧面睁开图7.3圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1从不同的方向看物体8.2盲区8.3影子和投影8.4正投影。
青岛版数学八年级上册 5.6几何证明举例第1课时课件(共12张PPT)
第1课时
一、预习诊断
1.具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（ ） （A）有两边一角对应相等 （B） 三边对应相等 （C）两角一边对应相等 （D）有两直角边对应相等的两个直角 三角形 2.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。 其中正确命题的个数有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
（根据图形结合题意写出已直和求证，给出证明）
这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS， ASA，SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的 对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的 有关线段或角相等。
例1：已知：如图，AB=CB，AD=CD。
求证：∠A=∠C。
分析：要证∠A=∠C，只要证明它们所在的两个三角形 全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝 试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这 两个全等三角形的对应角或对应边。
A
A
A
B D C B D C
A
B D C B D C A
B D C B D C
三、系统总结
1.判定两个三角形全等的基本事实有： SAS，ASA，SSS，判定定理是AAS。 2.证明两个角或两条线段相等时，可以 考察它们是否在给出的两个全等三角形 中。如果没有，应尝试通过添加辅助线 构造两个全等三角形，使待证的角或线 段分别是两个全等三角形的对应角或对 应边。
你学会了吗？
1.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证： ∠A=∠C
思考：怎样添加辅 助线才能使∠A与∠C 存在于两个全等三角形 中而且是两个三角形的 对应角呢？
青岛版八年级数学上册同步练习附答案5.6 几何证明举例
5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB 边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE 并延长交AD于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ， ∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3.证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE .∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE .∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。
青岛版数学八年级上册.5直角三角形全等的证明课件
D C
3.已知：如下图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E， DF⊥AC于点F，且DB=DC. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC(已知)， ∴ ∠AED=∠CFD=90°(垂直的定义). ∴ △BDE与△CDF是直角三角形. ∵ BE=CF，BD=CD (已知) ， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF ( HL ).
直角是时，它们全等.
注意：
(1)“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方 法，只适用于直角三角形全等的判定，对于一 般三角形不适用，而前面学习的一般三角形全 等的四种判定方法都可以在直角三角形中使用.
(2)在用一般方法证明时，由于两个直角三角形 中已具备一对直角相等这一条件，故只需找到另
外两个条件即可.
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第5课时 直角三角形全等的证明
学习目标 进一步熟悉证明题的题型，根据三角形全等推导“HL”
定理； 熟练应用“斜边、直角边”定理及其它三角形全等的判
定方法进行证明；
增强合作意识，提高逻辑思维能力.
复习导入
要判定两个三角形全等，你有哪些方法？
边角边 角边角 边边边 角角边
课堂练习 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D， BC=BD，若AC=8 cm，则AE+DE=____8____cm.
分析：由 DE⊥AB知，∠BDE=90°， 所以∠BDE=∠C，又BC=BD， 所以△ BDE ≌△BCE（HL）. 故DE=CE，AE+DE=AE+CE=AC=8 cm.
简称 “SAS” 简称 “ASA” 简称 “SSS” 简称 “AAS”
探究新知
要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？
【最新】青岛版八年级数学上册教学工作计划(及进度表)
青岛版八年级数学上册教学计划（及进度表）一、指导思想：为全面推进素质教育，培养新世纪需要的高素质人才，教育部制定了全日制义务教育各科课程新标准。
以新的教育理念，优化课堂教学结构。
在教学设计过程中，突出教师活动和学生活动，体现“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学基础理念。
培养学生的创新精神和综合实践能力。
二、学情分析：经过七年级的数学学习，大部分学生已经初步掌握了基本的数学知识和方法，具备了一定的思维能力和运算能力。
但仍有部分学生对数学学习存在畏难情绪，基础知识掌握不牢固，解题能力较弱。
在八年级的教学中，要关注学生的个体差异，采取分层教学和个别辅导，激发学生的学习兴趣，提高整体教学质量。
三、教材分析：青岛版八年级上册数学教材包括“全等三角形”“图形的轴对称”“分式”“数据分析”“二次根式”等内容。
教材注重知识的系统性和逻辑性，通过丰富的实例和数学活动，引导学生探索数学规律，培养数学思维能力。
四、教学重点难点：教学重点：1.全等三角形的判定和性质。
2.分式的运算和分式方程。
3.二次根式的运算。
4.数据分析的方法和应用。
教学难点：1. 全等三角形的综合应用。
2. 分式方程的增根问题。
3. 二次根式的混合运算。
4. 用数据分析解决实际问题。
五、教学目标:（一）. 知识与技能目标：1. 掌握全等三角形的判定和性质，能熟练运用全等三角形解决问题。
2. 理解图形轴对称的性质，能作出简单图形的轴对称图形。
3. 掌握分式的概念、性质和运算，能解决分式方程的实际问题。
4. 学会数据分析的基本方法，能根据数据进行合理的推断和决策。
5. 理解二次根式的概念、性质和运算，能进行二次根式的化简和计算。
（二）. 过程与方法目标：1.经历观察、操作、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
2.通过数学建模和解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。
（三）. 情感态度与价值观目标：1.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
精选2019-2020年数学八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例青岛版巩固辅导第三篇
精选2019-2020年数学八年级上册第5章几何证明初步5.6 几何证明举例青岛版巩固辅导第三篇第1题【单选题】某学生在暑假期间观察了x天的天气情况，其结果是：①共有7天上午是晴天；②共有5天下午是晴天；③共下了8次雨；④下午下雨的那天，上午是晴天．则x=( )A、8B、9C、10D、11【答案】：【解析】：第2题【单选题】气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天．则x等于( )A、7B、8C、9D、10【答案】：【解析】：第3题【单选题】A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是( )A、B，A，C，DB、B，C，A，DC、D，B，A，CD、B，A，D，C【答案】：【解析】：第4题【单选题】成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是( )A、90B、45C、88D、44【答案】：【解析】：第5题【单选题】一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。
则n最小为( )A、7B、9C、10D、11.【答案】：【解析】：第6题【单选题】如图是一个风景区，A，B，C，D，E，F是这一风景区内的五个主要景点，现观光者聚于A点．假若你是导游，要带领游客欣赏这五个景点后再回到A点，但又不想多走“冤枉路”（不能走重复的路线和经过同一个景点），你认为可选择行走路线有( )种．?A、4B、5C、6D、7【答案】：【解析】：第7题【填空题】一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于______度时，就可判定此零件不合格？【答案】：【解析】：第8题【填空题】在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0 ，b0 ，c0 ，记为G0=（a0 ，b0 ，c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G0=（a0 ，b0 ，c0）．（1）若G0=（4，7，10），则第______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2015=______【答案】：【解析】：第9题【填空题】我市教研室对2008年嘉兴市中考数学试题的选择题作了错题分析统计，受污损的下表记录了n位同学的错题分布情况：已知这n人中，平均每题有11人答错，同时第6题答错的人数恰好是第5题答错人数的1.5倍，且第2题有80%的同学答对．则第5题有______人答对．?【答案】：【解析】：第10题【填空题】有100个人，其中至少有1人说假话，又知这100人里任意2人总有个说真话，则说真话的有______人．【答案】：【解析】：第11题【填空题】甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了______场．【答案】：【解析】：第12题【解答题】在学习中，小明发现：命题“当n＝1，2，3时，n^2－6n的值都是负数”是真命题．于是小明判断：“当n为任意正整数时，n^2－6n的值都是负数”这个命题也是真命题．小明的判断正确吗？请简要说明你的理由．【答案】：【解析】：第13题【解答题】甲、乙、丙、丁四人比赛象棋，每两人都比一盘，结果乙胜丁，并且甲、乙、丙胜的盘数相同，问丁胜了几盘？【答案】：【解析】：第14题【解答题】某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．【答案】：【解析】：第15题【解答题】有一座三层楼房不幸起火，一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子，当他爬到梯子正中1级时，二楼窗口喷出了火，他就往下退了3级，等到火过了，他又爬了7级，这时屋顶有两块杂物掉下来，他又往下退了2级，幸好没有打中他．他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有1级，问这个梯子共有几级？【答案】：【解析】：。
青岛版八年级上册数学《几何证明举例》(第2课时)
20
3．求证：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：∠ABC＝∠ACB＝∠BAC．
求证：△ABC是等边三角形．
A
证明：∵∠ABC＝∠ACB（已知），
B
C
∴AB＝AC（有两个角相等的三角形是等腰三角形）．
同理可证：AB＝BC．
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC是等边三角形（有三条边相等的三角形是等边
小莹的证法正确． ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）． 4
2．在上面的图形中，如果AD
是底边的中线，能证出“等腰三角 形的两个底角相等”吗？如果AD是 底边上的高呢？
B
A
D
C
5
答：如果AD是底边的中线： 证明：取BC的中点D，连接AD． 在△ABD和△ACD中 ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD（中点的定义）． ∵AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∵∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共边）．
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．
13
已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
A
方法二：作∠A的平分线AD，与BC交于点D．
在△ABD和△ACD中
B C
∵∠B＝∠C（已知），
∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
17
探究三：等边三角形的性质及判定
1．等边三角形的定义：______________________．
18
2．求证：等边三角形的每个内角都等于60°．
已知：如图，△ABC是等边三角形．
A
求证：∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°． ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC（等边三角形的定义）．
八年级数学上册 5.6 几何证明举例 例题分析 几何证明选讲(拓展)素材 (新版)青岛版
例题分析：几何证明选讲例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AF DF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC ∽Rt△BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt△ABD ∽Rt△CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴AD BD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②， 由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得． 证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1， .3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3． ∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧． 例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BF BD AF AB ，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ． 例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FE FC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．。
青岛版初二数学八年级上册5.6几何证明举例(1)
小
结
AAS：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证 明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中，再 证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角形， 可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段（或 角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3）如果 没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线构造 全等三角形。
两角分别相等且其中一组等角的对边
也相等的两个三角形全等(AAS)
从基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS 出发可以判定两个三角形全等。
进一步推证两个全等三角形的有关线段或 角相等。
例2 . 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
在证明两个角相等或两条 线段相等时，可考察它们 是否在给出的两个全等三 角形中.如果不在，可以尝 试通过添加辅助线，构造 两个全等三角形，使待证 的角或线段分别是这两个 全等三角形的对应角或对 应边.
B (E )
F O A
第2 题
C
D
△AOF≌△DOC理由是：
证明：∵ △ABC≌△DEF(已知） ∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等) AB=DE BC=EF(全等三角形的对应边相等） ∴AB-EF=DE-BC(等式的性质） 即AF=CD(等量代换） 又∵ ∠AOF=∠DOC(对顶角相等） ∴ △AOF≌△DOC(AAS)
作 业
187页 习题5.6 复习与巩固
第 1题 , 第 2题 , 第 3题 .
∴ △ABD≌△ACD（S.S.S）.
八年级数学上册 第五章 几何证明初步 5.6.5 几何证明举例同步练习 (新版)青岛版
5.6.5 几何证明举例1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对12ABC D3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.A C =EF ,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )A.5对;B.4对;C.3对;D.2对6.如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP=CP ，请增加一个条件，使△ABP ≌△CDP （不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________7.如图，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AB=DC ，∠A=∠D=90°，AC 与BD 交于点O ，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第6题图 第7题图 第8题图8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC=_______9. 如图 AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．参考答案1.D 2.B 3.B 4.B 5.C6. BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．7.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. 8. 45°9.（1）证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠AD C=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE，∴AD=AE．（2）互相垂直，在Rt△ADO与△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分线，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．。
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例2：已知：在△ABC中， AB=AC，D是AB上的一点， DE ⊥BC，交BC于点E，交 CA的延长线于点F。 求证：AD=AF
分析：从已知出发先由已知AB=AC利 用“等边对等角”推得∠B=∠C ，再 由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进 而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对 等边”推出AD=AF
∟
D
∟
∥
C
交流与发现
你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底 角等”的逆命题吗？如何证明这个逆命题 是正确的？ • 如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C.
求证： AB=AC
• 分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形 分成两个全等的三角形呢?试试看。 B
A
B
D
C
通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角 相等是真命题。可以作为证明其他命题的 依据。
等腰三角形的性质定理1:等腰 三角形的两个底角相等。 符号表示：
A
在△ABC中， B ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角）
C
交流与发现
根据以上证明，我们还可以得到结论：等 腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶 角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得
三、系统总结
1.等腰三角形的判定方法有下列两种： ①定义，②判定定理 2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 条件和结论刚好相反 3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意 在同一个三角形中
四、当堂达标
（见综合能力训练）
A
D
C
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
符号表示：
在△ABC中， ∵∠B=∠C （已知） ∴ AC=AB（等角对等边）
ABΒιβλιοθήκη C学以致用利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：
1、等边三角形的每个内角都是 60°
2、三个角都相等的三角形是等边三 角形。
交流与发现
思考：“等边三角形的每个内角都等于600”的逆 命题是什么？这个逆命题是真命题吗？
如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三角 形是等边三角形。 这个逆命题是真命题
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？
1.当等腰三角形的一个底角等于600角时
2.当等腰三角形的顶角是600时
二、精讲点拨
证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角）
已知：如图,在△ABC中,AB=AC. 求证：∠B=∠C 分析：常见辅助线做法（1）作底边上的高 （2）作顶角的平分线 （3）作底边上的中线 通过添加辅助线把三角形ABC分成两个 全等的三角形，只要证得被分成的两个 三角形全等即可得∠B=∠C
性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线﹑
底边上的中线﹑底上的高互相重合(简称 “三线合一”).
性质定理2符号语言的应用
A
1
2
A
1
2
A
1
2
图⑴ ∟
D
图⑵
C B
图⑶
B
∥
D
∥
C
B
∥
⑴∵AB=AC, ∠1=∠2, ∴AD⊥BC, BD=CD.
⑵∵AB=AC, BD=CD, ∴AD⊥BC ∠1=∠2.
⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2.
练一练
1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且 DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, A 求证：AB=AC
D B C
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交 于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． 请说明DE=BD+EC．
3.如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至E， 使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？ 为什么？
教学目标
1.进一步掌握证明的基本步 骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证 明的定理”为依据，证明等 腰三角形的性质定理和判定 定理。
回顾与思考 1.什么叫等腰三角形？ 2.根据本册第二章的学习你知道等 腰三角形的哪些性质？ 3.这些性质你是怎样得到的？这些 性质都是真命题吗？你能用逻辑 推理的方法对它们进行证明吗？
第五章 几何证明初步
5.6几何证明举例（2）
一、预习诊断
1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 为4cm,则它的周长是 ； 2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 为8cm,则它的周长是 。 3.等腰三角形一个角为110°,它的另外 两个角为____ ___。等腰三角形一 个角为80°，它的另外两个角是 ————