最新高考数学重要考点练习卷：直线与圆锥曲线的位置关系简略答案

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直线与圆锥曲线测试题(含答案)

直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点；结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围．结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>，将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，，这也是双曲线的一个焦点，则1c =．又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=．又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。

高考数学试题含答案解析——直线与圆锥曲线

第7课时直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程f(x,y)=0.由消元,如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.a.Δ0时,直线与圆锥曲线相交于不同两点;b.Δ0时,直线与圆锥曲线相切于一点;c.Δ0时,直线与圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 或|P1P2|= .(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷.3.圆锥曲线的中点弦问题直线与椭圆和双曲线相交时,必有两个公共点;直线与抛物线相交时,则可能出现两种情况:一是有两个公共点;二是直线与抛物线的对称轴平行时,虽然是相交,但此时却只有一个公共点.考向一直线与圆锥曲线的位置关系【审题视点】本题考查求直线与圆锥曲线是否有交点.【方法总结】求直线与圆锥曲线的交点时,注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决.在解题时,应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况.考向二圆锥曲线中的相交弦问题【审题视点】本题考查直线与圆锥曲线的相交问题.【方法总结】1.当直线与圆锥曲线相交时,涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题,解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,设而不求,利用根与系数的关系解决问题.2.要灵活应用弦长公式和点差法.考向三圆锥曲线中的定值或定点问题例3(2013·安徽模拟)已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C.证明:(1)△ABC是直角三角形;(2)直线BC过定点,并求出定点坐标.【审题视点】本题考查圆锥曲线中的定点问题.【方法总结】1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.考向四圆锥曲线中的最值或范围问题【审题视点】本题考查圆锥曲线中的最值问题.【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值.提醒:求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.参考答案与解析。

直线与圆锥曲线的位置关系(附答案)

直线与圆锥曲线的位置关系一.选择题(1)与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x 2的切线方程是 ( )A 2x -y+3=0B 2x -y -3=0C 2x-y+1=0D 2x-y-1=0 (2) 椭圆22x+ y 2 = 1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF | =( ) A.23 B.3 C. －57 D. 4(3) 设双曲线12222=-by ax (0<a<b)的半焦距c, 直线l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线l的距离为43c, 则双曲线的离心率为( )A 2 B3 C 2 D332(4) 已知拋物线y=2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y=x+m 对称, 且x 1x 2=-21, 那么m的值等于 ( )A25 B23 C 2 D 3(5)过双曲线2x 2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若|AB|=4, 则这样的直线有 ( )A 4条B 3条C 2条D 1条 (6) 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与拋物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是（）A (134, +∞) B （- ∞,134） C （- ∞,-134） D （-134,134）(7) 设拋物线y 2= 8x 的准线与x 轴交点Q,若过点Q 的直线l 与拋物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A. [－21,21] B. [－2 , 2 ] C. [－1 , 1 ] D. [－4 , 4 ](8) 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点, 若|FA|=2|FB| 则椭圆的离心率是( )A23 B22 C32 D21(9) 已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P , 则点P 的轨迹是 ( )A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线(10) 对于拋物线C: y 2=4x, 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在拋物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在拋物线的内部, 则直线l : y 0y=2(x+ x 0)与 C ( )A 恰有一个公共点B 恰有二个公共点C 有一个公共点也可能有二个公共点D 没有公共点二.填空题(11)圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有个.(12)对任意实数k,直线y=kx+b 与椭圆⎩⎨⎧++,sin 41,cos 23θθ(0≤θ≤2π)恒有公共点,则b 的取值范围是 . (13)已知F 1、F 2是椭圆42x+y 2=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 . (14) 定长为l (l >ab22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为 . 三.解答题(15) 如图,拋物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上.(Ⅰ)写出该拋物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时, 求21y y +的值及直线AB 的斜率.(16) 设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（Ⅰ）动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）||NP 的最小值与最大值.(17) 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1. （Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.(18) 设椭圆1122=++ym x的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 2与直线PF 2垂直. （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若32||||22-=PF QF ，求直线PF 2的方程.第十三单元一选择题: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D二填空题: 11. 3, 12. [-1,3], 13. 4, 14. 222)2(ba a l a ++.三解答题(15)解(Ⅰ)由已知条件,可设拋物线的方程为.22px y = ∵点P(1,2)在拋物线上,∴,1222⋅=p 得p =2. 故所求拋物线的方程是,42x y =准线方程是x=--1. (Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在拋物线上,得,4121x y = ① ,4222x y = ② ∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y ∴.421-=+y y由①-②得直线AB 的斜率).21(1444211212x x y y x x y y k AB ≠-=-=+=--=(16) （Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解.将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x 解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦将⑦代入⑥并① ②整理得 .0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值，最大值为.621(17) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx 因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k k mk 即221111kkkm +=+=-.∵],3,33[∈k∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。

高考数学(理)一轮复习分层演练：8.9直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P180])1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13C.14D ．4C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜baD [解析] 由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜ba.3．过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B [解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B ．4．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．[解析] 过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. [答案] 2 65．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．[解析] 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．[答案] 3直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P181][典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组错误!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[学生用书P181][典例引领](2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．【解】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[注意] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．[解] (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|P A |＝|AM |＝8，所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k 2，同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k 2，所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2），设t ＝k 2＋1，则t >1，所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14，所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.中点弦问题[学生用书P182][典例引领](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，① x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.求M 的方程．[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.[学生用书P370(独立成册)]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C [解析] 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba>2，所以e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C [解析] 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条B [解析] 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝±2.所以这样的直线有两条．4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C [解析] 直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [解析] 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．(2017·江西五市八校二模)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327A [解析] 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－a b ，所以a b ＝－32，故选A.7．(2017·广州市高考模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为AF →＝2FB →，所以1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，所以x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.[答案] 948．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[解析] c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215. [答案] 32159．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AF ||BF |＝32p ＋12p 12p ＋16p ＝3. [答案] 310．(2017·辽宁沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．[解析] 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组错误!消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. [答案] 55311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ．若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB 的长．[解] 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0， Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝⎛⎭⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝⎛⎭⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．[解] (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.13．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12B ．－12C ．－14D ．－2B [解析] 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有错误!两式相减得错误!＝－错误!，整理得x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B ． 14．(2017·湖南四地联考)若抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m对称，且x 1x 2＝－12，则实数m 的值为________． [解析] 由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝2x 2得2x 2＋x －b ＝0，所以x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－12，所以b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，代入y 0＝－x 0＋1，得y 0＝54，则M ⎝⎛⎭⎫－14，54，又M ⎝⎛⎭⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m .所以m ＝32. [答案] 3215．(2017·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2. 因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由错误!⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4，设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 16．(2017·赣南五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝t OP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．[解] (1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*) 因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，所以k 2<12. 设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝t OP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k 1＋2k 2，所以x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2. 因为点P 在椭圆上，所以32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k 2，由k 2<12知，0<t 2<4，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得t ∈(－2，2)．。

高考数学(文科)- 直线与圆锥曲线的位置关系-专题练习(含答案与解析)

因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故所以0⋅=，OA OB212高考数学（文科）专题练习直线与圆锥曲线的位置关系解析1．解析：直线y=kx-k+1，即y-1=k(x-1)，恒过点A(1，1)．因为+<1，所以点A在椭圆内，故直线与椭圆相交，选A．2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=4，又p=1，所以x1+x2=3，所以点C的横坐标是=．3．解析：由解得A(，)，B(-，-)．故|AB|=|-(-)|=．而F(，0)，点F到直线y=x的距离d==．故△FAB的面积S=|AB|×d=××=．故选B．4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=-(x-)，与抛物线方程联立，消去y整理得x2-3px+=0，可得x1+x2=3p．根据中点坐标公式，有=3，p=2，因此抛物线的准线方程为x=-1．故选C．5．解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，两式相减，得+=0，所以=-，所以k==-．故选B．6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x=-2的垂线，垂足分别为D，E．因为|PA|=|AB|，所以又得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．选A．7．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，所以|FA|+|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1(y≠0)8．解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为y2=4x，所以抛物线的准线为x=-1，F(1，0)，又A到抛物线准线的距离为4，所以x A+1=4，所以x A=3，因为xAxB==1，所以xB=，所以|AB|=xA+xB+p=3++2=．答案：9．解：(1)由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得a=2，b=1．所以C1的标准方程为+y2=1．(2)依题意设直线l：y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0，判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-<t<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=．因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故OA⊥OB，所以·=0，即x1x2+y1y2=+=0，解得t=±，满足-<t<且t≠0，故所求直线l的方程为y=x+或y=x-．【能力提升】10．解析：因为△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆的半径为，所以△ABF2的面积为×4×5×=5，又因为△ABF2的面积为|y2-y1|×|F1F2|=3|y2-y1|，所以3|y2-y1|=5，所以|y2-y1|=，故选D．11．解析：圆心O到直线l的距离d==3，所以|AB|=2=2，由题知直线l的倾斜角为30°，所以|CD|===4．答案：412．略13．略14．略。

历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案体验高考1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k2|k |(1＋2k 2). 因为|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.2.如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy－4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. (1)解由已知，得a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.高考必会题型题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0，4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？解 (1)因为椭圆M 的离心率为22，所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0，4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交.②过点P (0，4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0. 因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交.点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1 (2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，过点E (a 2c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |. (1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB 的斜率.解 (1)由F 1A ∥F 2B ，且|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理，得a 2＝3c 2，故离心率e ＝33. (2)由(1)得b 2＝a 2－c 2＝2c 2，所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a 2c)，即y ＝k (x －3c ).由已知设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则它们的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3c )，2x 2＋3y 2＝6c 2消去y 并整理，得(2＋3k 2)x 2－18k 2cx ＋27k 2c2－6c 2＝0，依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－33<k <33， (*)而x 1＋x 2＝18k 2c2＋3k 2，① x 1x 2＝27k 2c 2－6c 22＋3k2，②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以x 1＋3c ＝2x 2，③联立①③解得x 1＝9k 2c －2c 2＋3k 2，x 2＝9k 2c ＋2c2＋3k 2，将x 1，x 2代入②中，解得k ＝±23满足(*)式，故所求k 的值是±23. 点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.变式训练2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求椭圆E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求椭圆E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2). 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0，所以k BM ＝1＝k DE . 所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行.2.(2016·课标全国甲)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值. 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，所以y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1 ＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时， |AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92. 4.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值. 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. ① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. ②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立. 所以，h 的最小值为1.。

届高考数学复习必备试题直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系一．【课标要求】1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题二．【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。

分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现三．【要点精讲】1．点M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。

因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。

则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +。

2023年高考分类题库考点40 直线与圆锥曲线的位置关系

考点40直线与圆锥曲线的位置关系
5.(2023·新高考Ⅱ卷·T5)已知椭圆C: 23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的2倍,则m=()
A.23B C D.-23
【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系.
【解题指导】首先联立直线方程与椭圆方程,利用Δ>0,求出m的范围,再根据三角形面积比得到关于m的方程,解出即可.
【解析】选C.将直线y=x+m +
+ 2=1,消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,
因为直线与椭圆相交于A,B点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2,
设F1到AB的距离为d1,F2到AB的距离为d2,易知F1(-2,0),F2(2,0),
则d1d22,
解得-32(舍去).
9.(2023·天津高考)双曲线 2 2- 2 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1
() A. 28- 24=1B. 24- 28=1
C. 24- 22=1
D. 22- 24=1
【解析】选D.因为过F2(c,0)作一条渐近线y= x的垂线,垂足为P,
则|PF
2,所以b=2①,
联立 = =− ( - ),可得x= 2 ,y= ,即P 2 , ,
因为直线PF1的斜率 2
+ =
整理得2(a2+c2)=4ab②,①②联立得,a=2,b=2,故双曲线方程为 22- 24=1.。

第16讲直线与圆锥曲线的位置关系(3大考点+强化训练)(习题版)

第16讲直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等．知识导图考点分类讲解考点一：弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．【例1】（22-23高三·全国·对口高考）通过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（）A ．B ．3CD ．6【变式1】（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线C ：22142-=y x ，则双曲线C 的渐近线方程是；直线1x =与双曲线相交于M ，N 两点，则MN =.【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知中心在坐标原点的椭圆 E 的一个焦点为)，且过点()4,0，过原点O 作两条互相垂直的射线交椭圆于 A 、 B 两点，则弦长 AB 的取值范围为．考点二：面积问题规律方法圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S ＝12×底×高．(2)正弦面积公式：S ＝12ab sin C .(3)铅锤水平面面积公式：①过x 轴上的定点：S ＝12a |y 1－y 2|(a 为x 轴上定长)；②过y 轴上的定点：S ＝12a |x 1－x 2|(a 为y 轴上定长)．【例2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若8AB =，则OBF 的面积为（）A B C D 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线1y x =+与椭圆22221x ya b+=()0a b >>交于A ，B 两点，点A关于x 轴的对称点记为P ，且OBP 的面积为2，则椭圆恒过定点（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．(D ．【变式2】（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知A 是左、右焦点分别为12,F F 的椭圆22:143x y E +=上异于左、右顶点的一点，C 是线段1AF 的中点，O 是坐标原点，过2F 作1AF 的平行线交直线CO 于B 点，则四边形12AF BF 的面积的最大值为（）A ．2B ．34C D【变式3】（2024·山东泰安·一模）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF 周长最小时，该三角形的面积为（）A ．B ．C ．D ．考点三：中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法【例3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且倾斜角为π3的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为W ，4||3FW =，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>分别交于A B 、两点，若线段AB 的中点横坐标是45m ，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【变式2】（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知,A B 为双曲线2219y x -=上两点，且线段AB 的中点坐标为()1,4--，则直线AB 的斜率为.【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线l 交抛物线2:28C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()2,11--，则直线l 的斜率为（）A ．114-B ．1114C ．17D ．17-强化训练一、单选题1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）将抛物线21:2(0)C y px p =>绕原点O 顺时针旋转90︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与抛物线2C 交于异于原点O 的点B ，记抛物线1C 与2C 的焦点分别为M 、N ，且四边形OMBN 的面积为8，则p =（）A ．4B ．2C ．22D 22．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A ，B 为双曲线221816x y -=上的两点，若线段AB 的中点为()1,2M ，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +-=B ．230x y +-=C ．10x y -+=D ．230x y -+=3．（2023高三·全国·专题练习）已知12,F F 分别为双曲线22:36C x y -=的左、右焦点，A 是双曲线C 右支上(顶点除外)任意一点，若12F AF ∠的角平分线与以1AF 为直径的圆交于点B ，则12BF F △的面积的最大值为（）A ．182B ．183C ．362D ．34．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C ：28y x =，过点()2,1P -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AP BP =，则直线l 的斜率是（）A ．4-B ．4C ．14-D ．145．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为e ．倾斜角为120︒的直线与C 交于,A B 两点，并且满足21AB AF BF e=-，则C 的离心率为（）A ．12B C D 6．（22-23高三上·江西·期末）如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x=C ．2y =D ．28y x=7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 经过点(且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．点P 为y 轴上一点且满足PA PB =，则22OP PA -=（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2023·河南·模拟预测）已知直线l 与椭圆221:12x C y +=相切于点P ，与圆222:4C x y +=交于A ，B 两点，圆2C 在点A ，B 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积的最大值为（）AB ．1C D ．2二、多选题1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线3x ty =+过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，则（）A ．3p =B ．6p =C ．MN 的最小值为6D ．MN 的最小值为122．（2024·云南昭通·模拟预测）已知椭圆22:143x y C +=，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率为12B ．椭圆的长轴长为2C ．若直线l 的方程为1y x =+，则右焦点到lD ．若直线l 过点()1,0，且与y 轴平行，则32AB =3．（2023·河北沧州·三模）已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12π3F PF ∠=，12F F =1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则（）A ．C 的实轴长为2B ．C 的离心率为C ．12F PF △的面积为D ．12F PF ∠10y --=三、填空题1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：26y x =的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，2OM OF =，若AF AM =，则AB =．2．（2023高三·全国·专题练习）过点(0,1)P 作斜率为1-的直线l 与椭圆22186x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为.3．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作C 的一条渐近线的垂线并交C 于,M N 两点，若34MN =，则1△MNF 的周长为.四、解答题1．（2023·河南·三模）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，圆22(1)1y x +-=经过抛物线C 的焦点.(1)求C 的方程；(2)若直线:40l mx y +-=与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP 面积的最小值.2．（2023高三·全国·专题练习）已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C ：2214y x -=交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．3．（2023高三·全国·专题练习）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OABE 的标准方程；4．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆C 的方程()222210x y a b a b+=>>，右焦点为()1,0F ，且离心率为12(1)求椭圆C 的方程；(2)设A B ，是椭圆C 的左、右顶点，过F 的直线l 交C 于D E ，两点（其中D 点在x 轴上方），求DBF 与AEF △的面积之比的取值范围.5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为1的直线1l 交抛物线()2:20E x py p =>于A 、B 两点，线段AB 的中点Q 的横坐标为2．(1)求抛物线E 的方程；(2)设抛物线E 的焦点为F ，过点F 的直线2l 与抛物线E 交于M 、N 两点，分别在点M 、N 处作抛物线E 的切线，两条切线交于点P ，则PMN 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．。

高考数学专题练习-直线与圆锥曲线的位置关系含解析

高考数学专题练习-直线与圆锥曲线的位置关系含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A. B. C.4 D.2.已知点P在抛物线y=x2上，点Q在圆（x-4）2+（y+）2=1上，则|PQ|的最小值为（）A.-1B.-1C.2-1D.-13.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线的渐近线上一点，满足MF1⊥MF2，如果以F2为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）经过点M，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.P为双曲线右支上一动点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和圆（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（）A.5B.6C.7D.45.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为（）A.[-，]B.[-，]C.[-，]D.[-，]6.方程表示的曲线为（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线7.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，则p的值为（）A.2B.2C.4D.28.已知圆F的方程是x2+y2-2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A.±arctanB.C.arctanD.arctan或π-arctan9.若椭圆的共同焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A.12B.14C.3D.2110.已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为（）A.2pB.C.D.3p11.方程+=10的化简结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=112.方程x2+y2cosα=1（α∈R）不能表示的曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆13.方程化简的结果是（）A. B. C.（x≤-2） D.（y）14.椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（）A.m-aB.m2-a2C.D.15.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处的切线平行于直线y=x-3，则抛物线方程为（）A.y=3x2-11x+9B.y=3x2+11x+9C.y=3x2-11x-9D.y=-3x2-11x+916.下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（）A.与y2=xB.y=x与C.y2-x2=0与|y|=|x|D.y=x0与y=117.抛物线x2=4y与直线x-2y+2=0交于A，B两点，且A，B关于直线y=-2x+m对称，则m的值为（）A.-6B.-8C.D.18.设函数f（x）=（x-a）2+（ln x2-2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤b 成立，则实数b的最小值为（）A. B. C. D.119.已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A. B. C.- D.-20.过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16，则p=（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，则真命题的个数有 ______ 个．22.已知双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，则双曲线C的渐近线方程为 ______ ．23.已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则= ______ ．24.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为 ______ ．25.点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为 ______ ．26.如果曲线2|x|-y-4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是 ______ ．27.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y=12x2的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ______ ．28.在抛物线y2=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是 ______ ．29.与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（-3，2）的椭圆方程为 ______ ．30.抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2+2x=0相切，则p= ______ ．31.椭圆（a＞b＞0）的长轴被圆x2+y2=b2与x轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是 ______ ．32.已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是 ______ ．33.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则△AFK的面积为 ______ ．34.若曲线y=与直线x+y-m=0有一个交点，则实数m的取值范围是 ______ ．35.在平面直角坐标系x O y中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C的方程为 ______ ．36.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为 ______ ．37.以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．其中真命题为 ______ （写出所以真命题的序号）．38.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ______ ．39.过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|= ______ ．40.若直线y=-x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是 ______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.已知椭圆的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．42.已知D（x0，y0）为圆O：x2+y2=12上一点，E（x0，0），动点P满足=+，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A1（-2，0），A2（2，0）分别作A1M⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A1MNA2的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．43.椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F2（c，0）垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点且|AB|=，又过左焦点F1（-c，0）任作直线l交椭圆于点M（1）求椭圆C的方程（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．44.已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足．（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为时，求p的值．45.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=-m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．46.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2=4x的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．47.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．48.已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．49.如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．50.如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．51.已知椭圆C：的上下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上动点，且满足|，△QF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=kx+m（m＞0）与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求的取值范围．52.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．53.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线l：y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若CD的垂直平分线过点（-1，0），求直线l的方程．54.已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|-|=4．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．55.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D （Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b=，2|AB|=|AC|时，求k的取值范围．56.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，，（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CN|=|DM|．求k的值；（3）在（2）的条件下，若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．57.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．58.已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量，，且，点P（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=时，求直线l的方程．59.在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-，三个内角A、B、C满足2sin B=．（1）求顶点B的轨迹方程；（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，时，求△APQ面积的最大值．60.已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上．【答案】1.B2.A3.C4.A5.C6.A7.C8.D9.A 10.C 11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.C 17.C 18.C 19.A 20.B21.322.23.24.．25.326.[-，0）27.28.8x-y-15=029.30.431.32.33.834.35.（x-3）2+（y-1）2=936.=137.②③④38.39.440.∴椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率不存在或为零时，丨AB丨+丨CD丨=3，当直线AB的斜率存在，且不为零，直线AB的方程y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），直线CD的方程：y=-x+1，，整理得：（k2+2）x2+2kx-1=0，则x1+x2=-，x1x2=-，则丨AB丨==，同理可得：丨CD丨=，则丨AB丨+丨CD丨=，令t=k2+1，则t＞1，则丨AB丨+丨CD丨==，2＜（2-）（1+）≤，∴≤丨AB丨+丨CD丨＜3，综上可知：≤丨AB丨+丨CD丨≤3，∴|AB|+|CD|的最小值．42.解：（1）由题意设P（x，y），则=+（x0，0）=．∴，y=，解得x0=x，y0=2y，又+=12，代入可得：3x2+4y2=12，化为：=1．（2）联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）=0，可得：m2=3+4k2．A1（-2，0）到l的距离d1=，A2（2，0）到l的距离d2=，则|MN|2=-=16-[+-]=16-=16-=16-=．= ++==．∴四边形A1MNA2的面积当k=0时，取等号．43.解：（1）由题意可知椭圆的通径丨AB丨==，①椭圆的离心率e===，则=，②由①②解得：a2=3，b2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：左焦点F1（-1，0），（k≠0）依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）则直线AB的方程为：y=-+b．A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得，（2k2+3）x2-6kmx+3k2m2-6k2=0，△=（6km）2-4×（2k2+3）（3k2m2-6k2）＞0，则m2k2-2k2-3＜0，x1+x2=，x1x2=，设AB的中点为C（x C，y C），则x C==，y C=．点C在直线l上，∴=k（+1），则m=-2k-，…②此时m2-2-=4k2++4＞0与①矛盾，故k≠0时不成立．当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，-y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面积s=×2y0×x0=x0y0．∵+=1≥2=x0y0，∴x0y0≤．∴△AOB面积的最大值为，当且仅当+=时取等号．△AOB面积的最大值．44.解：（Ⅰ）∵，∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）则x12=2py1，x22=2py2．经过A，B两点的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）．由，得．∵．令x=0，得，∴（*）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0，从而．∵x1x2≠0（否则，有一个为零向量），∴x1x2=-4p2．代入（*），得y=2p，∴AB始终经过定点（0，2p）．（Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2，∴4x2+8p2=4py，即．…①AB的中点到直线y-2x=0的距离．将①代入，得．因为d的最小值为，∴，∴p=2．45.解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4．∵=λ，=μ，∴=λ（-y1），=μ（-y2），∴λ+μ=-1--1-=-2-=-2-=-1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，-y0），R（-m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（-m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2-4ty-4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=-4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．46.解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，由题意知F（-1，0）．故设椭圆C的方程为．则由题意可得，解得．故椭圆C的方程为．（2）证明：∵直线的斜率为，且不过点，∴可设直线．联立方程组，消y得x2+mx+m2-3=0．又设A（x1，y1），B（x2，y2），故有，所以===，所以k1+k2为定值0．47.解：（1）由题设知，，，又a2-b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1-r2）k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．48.解：（1）∵椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，∴b=1，∴椭圆C的标准方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）由，消去y，得10x2+36x+27=0，∴，，∴，∵，∴弦AB的中点坐标为（，），==．49.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）且，（3分）解得a2=4．（4分）所以，椭圆C的方程是．（5分）（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．（8分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①（9分）因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②（10分）因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④（11分）将①代入④，整理得5m2-2m-3=0．（13分）解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．（14分）证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．（8分）解得x=0，或．（9分）设P（x1，y1），所以，，所以．（10分）以替换点P坐标中的k，可得．（11分）从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．（13分）在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．（14分）50.解：（I）过点A、B的直线方程为．，因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），故a2+4b2-4=0．又因为，即，所以a2=4b2．从而得，故所求的椭圆方程为．（II）由（I）得，故，从而．，由解得x1=x2=1，所以．因为，又，，得=，因此∠ATM=∠AF1T．51.解：（Ⅰ）由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆．（1分）当QF2⊥F1F2时△QF1F2面积最大，所以得：ac=2（2分）又可得a=2，c=1．（3分）所以Q点轨迹E的方程x2+（y+1）2=16，椭圆C的方程（5分）（Ⅱ）由得（3k2+4）x2+6kmx+3m2-12=0△=36k2m2-4（3k2+4）（3m2-12）=0化简得：3k2-m2+4=0（7分）所以，由及m＞0得，m≥2（8分）设圆心F2（0，-1）到直线MN的距离为d，则所以，弦长（9分）设点F1（0，1）到直线MN的距离为h，则（10分）所以，由m≥2，得：所以，的取值范围为．（12分）52.解：（Ⅰ）由，可知即椭圆方程为…..…．（2分）离心率为…．…．（4分）（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分），由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2，即，则…..（12分）53.解：（Ⅰ）由，可知，可得b=1，则椭圆方程为…．（2分）离心率是…．（4分）（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2）易知…（5分）由（k＞0）消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0由△＞0⇒4k2+m2+1＞0，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分），设CD的中点为H（x0，y0），则…．（10分）直线l的垂直平分线方程为过点（-1，0），解得此时直线l的方程为…．（12分）54.解：（1）由：|+|+|-|=4，=（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，∴c=，a=2，∴b=1，∴所求的方程为=1．（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0，∴x1=0，x2=-=x D，∵l1⊥l2，∴以-代k，得x E=∵△BDE是等腰直角三角形，∴|BD|=|BE|，∴=，∴|k|（k2+4）=1+4k2，①k＞0时①变为k3-4k2+4k-1=0，∴k=1或；k＜0时①变为k3+4k2+4k-1=0，k=-1或．∴使得△BDE是等腰直角三角形的直线共有3组．55.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线AB的方程为直线AC的方程为，令x=0，…（2分）…（3分）于是a2+b2=4b2，…（5分）（Ⅱ）直线AB的方程为y=k（x+a），联立并整理得，（3+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0解得x=-a或，…（7分）…（8分）…（9分）因为2|AB|=|AC|，整理得，．…（11分）因为椭圆E的焦点在x轴，所以a2＞3，即，…（13分）整理得，解得．…（14分）56.解：（1）由，可知，则b=1，即椭圆方程为…..…..（4分）（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分）（3），由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2．即，则…（11分）．所以…..（12分）．57.解：（Ⅰ）由题意，得c=1，所以a2=b2+1．因为点在椭圆C上，所以，可解得a2=4，b2=3．则椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．因为△=48（4k2-1）＞0，所以，由根与系数的关系，得．因为∠AOB为锐角，所以，即x1x2+y1y2＞0．所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．58.解：（1）由已知，（2分）∵，∴（4分）即所求曲线C的方程是：（6分）（2）由（1）求得点M（0，1）．显然直线l与x轴不垂直．故可设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）（8分）由，消去y得：（1+2k2）x2+4kx=0，解得．（10分）由|MN|=，解得：k=±1（12分）∴所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-1=0．（14分）59.解：（1）因为2sin B=，根据正弦定理得2b=又b=2，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为（2）设PQ方程为y=tanθ（x+），θ∈（0，由得（1+4tan2θ）x2+8xtan2θ+12tan2θ-4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，又|PQ|=，点A到PQ的距离d=，θ∈（0，S△ABC=≤2当且仅当时取等号，△APQ的最大面积为2．60.解：（1）由得或∴椭圆C的方程为或．（2）不妨取椭圆C的方程为，A1（-2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，即．代入，得，即．∴=，则=．即P（，）．同理MA2的方程为，即．代入，得，即．∴=．则=．即Q（，）．∵P，Q，B三点共线，∴k PB=k QB，即．∴．即．由题意，y0≠0，∴．3（x0+1）（x0-1）2-（x0+1）y02=（x0-1）（x0+1）2-3（x0-1）y02．∴（2x0-4）（x02+y02-1）=0．则2x0-4=0或x02+y02=1．若x02+y02=1，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．∴2x0-4=0，点M始终在定直线x=2上．【解析】1. 解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）=（+×）2∴+≤故选：B．根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．2. 解：∵点P在抛物线y=x2上，∴设P（t，t2），∵圆（x-4）2+（y+）2=1的圆心C（4，-），半径r=1，∴|PC|2=（4-t）2+（-t2）2=t4+2t2-8t+16+，令y=|PC|2=t4+2t2-8t+16+，y′=4t3+4t-8=0，可得t3+t-2=0，解得t=1，当t＜1时，y′＜0，当t＞1，y′＞0，可知函数在t=1时取得最小值，|PC|2min=|PQ|的最小值=．故选：A．设P（t，t2），求出|PC|2=t4+2t2-8t+16+，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题．3. 解：设M（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），由MF1⊥MF2可知，又点M（x0，y0）在直线上，所以解得，于是根据抛物线的定义可知，所以，即c2-4ac-a2=0，e2-4e-1=0，，则双曲线的离心率为．故选：C．设M（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），由MF1⊥MF2以及点M（x0，y0）在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后最后求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4. 解：圆（x+4）2+y2=4的圆心是（-4，0），圆（x-4）2+y2=1的圆心是（4，0），由双曲线定义知，连接P与左焦点F1与下半圆交于M点，PF2交上半圆于N点，显然PM-PN=（PF1+2）-（PF2-1）=2a+3=5是最大值．故选A．注意两个圆的圆心分别是焦点，利用双曲线定义做，连接P与左焦点F1与下半圆交于M 点，PF2交上半圆于N点，显然PM-PN=（PF1+2）-（PF2-1）=2a+3是最大值．本题考查双曲线的定义及其应用，解题时要注意圆的性质的合理运用．5. 解：∵z=x+y，x2+2xy+4y2=6，∴z2+3y2=6，解得-＜x+y＜，故x+y的取值范围为[-，]由题意可得z2+3y2=6，解得-＜x+y＜，解关于x+y的不等式可得．本题考查不等式的综合应用，整体凑出x+y的形式是解决问题的关键，属中档题．6. 解：设P（x，y），由方程得：点P到点F（2，0）的距离等于点P到直线3x-4y+2=0的距离，∵点F不在直线3x-4y+2=0上，由抛物线的定义得：曲线为抛物线．故选：A．根据两点间距离公式与点到直线的距离公式，可得动点到点F（2，0）的距离等于点P 到直线3x-4y+2=0的距离，再根据抛物线的定义判定可得答案．本题考查了抛物线的定义，特别要注意条件：点不在直线上．7. 解：双曲线-=1的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，可得p=4．故选：C．求出双曲线的焦点坐标，然后求解抛物线的焦点坐标，即可求解p．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8. 解：∵圆F x2+y2-2y=0即x2+（y-1）2=1∴F（0，1），r=1∵抛物线以F点为焦点=1∴抛物线方程为：x2=4y过F点的直线与抛物线相交于A、D两点，BC为圆F的直径|BC|=2∵|AB|，|BC|，|CD|成等差数列∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4∴|AD|=6∵直线l过F（0，1）则设直线解析式为：y=kx+1A、D两点是过F点的直线与抛物线交点设A（x1，y1）D（x2，y2）则|AD|==6联立y=kx+1和x2=4y，得x2-4kx-4=0∴x1x2=-4 x1+x2=4k∴|AD|=====6∴1+k2=∴k=±∴α的值为：arctan或π-arctan故选D．根据抛物线的焦点是圆心F，求出p，进而求出抛物线的解析式；据|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出AD的长度，A、D两点是抛物线和直线的交点，联立抛物线和直线，利用两点间距离公式即可求出结果．本题主要综合考查直线与圆、抛物线以及数列的相关知识，关键是利用两点间的距离公式；同时注意运用数形结合的方法解决此类问题．9. 解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=8，|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=6，|PF2|=2，∴|PF1|•|PF2|=12．设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|PF1|•|PF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．10. 解：由题意可得抛物线的准线l：x=-分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=，由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=≥=2p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为=．故选：C．l：x=-，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y 轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-即可求解．本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11. 解：方程+=10表示（x，y）与（4，0），（-4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（-4，0）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3，所以椭圆方程为+=1，故选：C．方程+=10表示（x，y）与（4，0），（-4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（-4，0）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，可得结论．本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，比较基础．12. 解：当α=0°时，cos0°=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；当90°＞α＞0°或360°＞α＞270°时，1＞cosα＞0，方程x2+y2cosα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；当α=90°时，cos90°=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；当270°＞α＞90°时，cosα＜0，方程x2+y2cosα=1表示焦点在x轴上的双曲线；当α=180°时，cos180°=-1，方程x2-y2=1表示焦点在x轴上的等轴双曲线；当α=270°时，cos270°=0，方程x2=1表示直线．故选；C．根据cosα符号，对角α分类讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．13. 解：根据题意，根式表示点（x，y）与点（3，0）之间的距离，根式表示点（x，y）与点（-3，0）之间的距离，设P（x，y），F1（-3，0），F2（3，0），则|F1F2|=6，则方程表示|PF2|-|PF1|=4的点的轨迹，则P的轨迹是以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，其中b==5，则其方程为：-=1（x≤-2）；即方程化简的结果为-=1（x≤-2）；故选：C．根据题意，分析根式和的几何意义，可得方程表示|PF2|-|PF1|=4的点的轨迹，由双曲线的定义分析可得P的轨迹是以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，结合题意求出双曲线的标准方程，即可得答案．本题考查双曲线的定义，关键是分析题目中根式的意义，进而结合双曲线的定义进行分析．14. 解：由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a∴|PF1|=m+a，|PF2|=m-a∴|PF1|•|PF2|=m2-a2故选B．不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a，由此即可求得|PF1|•|PF2|的值．本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于基础题．15. 解：∵y′=2ax+b，∴抛物线在点Q（2，-1）处的切线斜率为：4a+b；根据条件知抛物线过P，Q点，过Q的切线斜率为1；∴；解得；∴抛物线方程为y=3x2-11x+9．故选：A．先求导数y′=2ax+b，而根据条件知抛物线过点P（1，1），Q（2，-1），以及在Q点的切线斜率为1，这样便可得出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c便可得出抛物线的方程．考查函数在某点的导数和过该点切线斜率的关系，以及平行直线的斜率关系，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系．16. 解：对于A，定义域不相同，不符合；对于B，方程中y≠0，不符合；对于C，定义域相同，解析式相同，符合；对于D，y=x0中x≠0，不符合故选C．分析方程中，x，y的取值，解析式是否相同，即可得出结论．本题考查曲线方程，考查纯粹性与完备性，比较基础．17. 解：如图，联立，得x2-2x-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，．∴，．∵A，B关于直线y=-2x+m对称，∴AB的中点在直线y=-2x+m上，即，解得m=．故选：C．联立给出的直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系求出A，B的横坐标与纵坐标的和，得到AB中点的坐标，由A，B关于直线y=-2x+m对称，把AB中点的坐标代入该直线方程求得m的值．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．18. 解：函数f（x）可以看作动点P（x，ln x2）与点Q（a，2a）的距离的平方，点P 在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得y′=，令y′=2，解得x=1，此时y=2ln1=0，则M （1，0），所以点M（1，0）到直线y=2x的距离d==即为直线与曲线之间最小的距离，故f（x）min=d2=．由于存在x0使得f（x0）≤b，则f（x）min≤b，即b≥，故选：C．转化条件为：点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，利用导数转化求解直线与曲线之间最小的距离，通过存在x0使得f（x0）≤b，推出f（x）min≤b，求解即可．本题考查转化思想的应用，曲线与方程的应用，函数的导数以及函数的最值的求法，难度比较大．19. 解：抛物线x2=2y的焦点（0，）与椭圆+=1的一个焦点（0，）重合，可得=，解得m=．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，椭圆的焦点坐标重合，求解m即可．本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．20. 解：过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16，可得弦长的坐标横坐标为：3，圆的半径为：4．直线结果抛物线的焦点坐标，所以x1+x2=6，x1+x2+p=8，可得p=2．故选：B．求出圆的圆心坐标，利用抛物线的性质求解p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力．21. 解：设P（x，y）是曲线上一点，则P关于x轴的对称点（x，-y）显然也在曲线C上，∴曲线C关于x轴对称，同理可得曲线C关于y轴对称，关于原点对称，故①正确；∵x2=1-y4=（1-y2）•（1+y2）≥（1-y2），∴x2+y2≥1，即≥1．∴曲线上任意一点到原点的距离最小值为1，（当且仅当y=0时，x等于1）故②错误；由②可得，曲线C所上的点在单位圆x2+y2=1的外部或圆上，∴S＞π，由x2+y4=1可得|x|≤1，|y|≤1，（不能同时取1）∴曲线C上的点在以2为边长的正方形ABCD内部或边上，∴S＜4，故④正确；设曲线C的上顶点为M，右顶点为N，则MN=，由两点之间线段最短可知曲线C在第一象限内的长度大于，同理曲线C在每一象限内的长都大于，故l＞4，故③正确．故答案为：3．由曲线C的方程可得x2+y2≥1，|x|≤1，|y|≤1，从而可得出曲线C的大体范围，结合图形推导结论．本题考查曲线的性质，命题的真假判断，注意运用不等式的性质和数形结合的思想方法，考查推理能力和判断能力，属于中档题．22. 解：双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，可得（a，0）到直线bx-ay=0的距离，解得：，双曲线的渐近线方程为：．给答案为：．利用双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，考查方程然后求解即可．本题主要考查点到直线距离及双曲线的几何性质的应用，考查计算能力．。

2024全国高考真题数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系

2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系一、多选题1．（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQC ．当||2PB 时，PA ABD ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题2．（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2214xy 只有一个公共点，则k 的一个取值为．三、解答题3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024上海高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e 时，求b 的值．(2)若2b MA P△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P，求b 的取值范围．参考答案1．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，由24PP y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，此时切线长PQ ，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1P x ，此时244P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42201PA k ，4220(1)AB k，不满足1PA AB k k ；当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)601PA k ，4(2)60(1)AB k，不满足1PA AB k k ；于是PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22，AF 中垂线的斜率为114AF k，于是AF 的中垂线方程为：2158x y，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，214t ，整理得216300t t ，2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．12（或12，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22143x y y k x，化简并整理得： 222214243640k x k x k ，由题意得2140k 或 2222Δ244364140k k k ，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12（或12，答案不唯一）.3．(1)2221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为2e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)b(2) 2,P(3)【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21c ce a，则2c，b （2）当b 时，双曲线22Γ:183y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2222318(2)9y x x y ,联立解得2311x y或2311x y10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 2200220019183x y y x，解得002x y，即 2,P ．综上所述： 2,P .（3）由题知 121,0,1,0A A ，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P，不合题意，则0l k ，则设直线:2l x my ，设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，联立有22221x my y x b222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，其中 22222422Δ44134120mb b m b b m b ，2122241b my y b m ①，2122231b y y b m ②，1222111,,1,A R x y A P x y，则 122112111A R A P x x y y，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my ，222x my ，即 2112331my my y y ，即 2121213100y y m y y m ，将①②代入有 2222222341310011b b mm m b m b m ，即 2222231341010b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以22103m b,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b，解得2103b ，又因为0b ，则21003b ，综上知， 2100,33,3b，b．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。

高三复习数学(文)_专题22_直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)

(文)_专题22 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）1. （湖南六校4月联考）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)，直线l:y =√3(x −1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB|=163，则p =（）A.1B.2C.4D.82. （武汉2月调研）已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2=2px 于A ，B 两点，若直线OA ，AB 的斜率分别为2和6，则直线OB 的斜率为（） A.3 B.2 C.−2 D.−33. （石家庄一模）已知抛物线y 2=2px (p >0)过点A (12,√2)，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB →=λAB →，则实数λ为（） A.13 B.12C.3D.24. （哈尔滨第三中学一模）过双曲线x 2−y 24=1的右焦点且斜率为k 的直线与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k 的范围为（） A.(−∞,−2]∪[2,+∞) B.[0,2] C.[−√2,√2] D.[−2,2]5. （武汉4月调研）已知双曲线C 1:x 2−y 2=a 2(a >0)关于直线y =x −2对称的曲线为C 2，若直线2x +3y =6与C 2相切，则实数a 的值为（） A.2√55B.85C.45D.8√556. （山西、内蒙古六校四联）已知倾斜角为135∘的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2, −1)，则C 的离心率是（） A.√3 B.√2C.√62D.√527. （太原模拟一）已知抛物线y 2=4x 的焦点为点F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB|=6，则△AOB 的面积为（）A.√6B.2√2C.2√3D.48. （合肥三次质检）已知椭圆C:x 22+y 2=1，若一组斜率为14的平行直线被椭圆C 所截线段的中点均在直线l 上，则l 的斜率为（） A.−2 B.2C.−12D.129. （合肥三次质检）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点，若M 为AF 的中点，且|AF →|=6，则双曲线C 的方程为（） A.y 22−x 28=1B.y 28−x 22=1 C.y 2−x 24=1D.y 24−x 2=110. （重庆巴属中学月考四）已知抛物线y =x 2，AB 是过抛物线焦点F 的一条长度为2的弦，若点D 是AB 的垂直平分线与y 轴的交点，则点D 到原点O 的距离|OD|=（） A.32 B.43C.54D.6511. （石家庄模拟一）已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1,△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1=2r 2，则直线l 的斜率为（） A.1B.√2C.2D.2√2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（山西、内蒙古六校四联）已知抛物线C:x 2=8y ，直线l:y =x +2与C 交于M ，N 两点，则|MN|=________．（银川一中一模）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60∘的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF||BF|的值等于________．（江西重点中学协作体一联）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (2,0)，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足AF →⋅BF →=0，若直线AB 的斜率为√3，则双曲线的离心率为________．（石家庄二中模拟）若焦点为F，准线为l的抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A（点A 在第一象限），过点A作直线AA1⊥l，垂足为A1，三角形AA1F是等边三角形，且三角形AA1F的面积为4√3．过点A作倾斜角互补的直线AM，AN分别交抛物线C于M，N两点，则直线MN斜率为________．已知点P(0,1)，椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP→=2PB→，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．三、解答题（本大题共4小题，共40分）如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．求p的值；若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．（合肥二次质检）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(−√3,12)，椭圆E的一个焦点为(√3,0)．求椭圆E的方程；若直线l过点M(0,√2)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．（广东华南师大附中综测三）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.求该抛物线C的方程；已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．（河南豫南九校一联）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，且|OP|=√62．求椭圆C的方程；过点Q(0,2)的直线l交椭圆C于A，B两点，当S△AOB=√22时，求直线l的方程．参考答案与试题解析(文)_专题22 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1.【答案】 B【考点】抛物线的应用抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，联立{y =√3(x −1)，y 2=2px ，整理得3x 2−(6+2p )x +3=0，则x 1+x 2=6+2p 3,x 1x 2=1，则|AB|=√1+(√3)2⋅|x 1−x 2|=2√(6+2p 3)2−4=163,p >0，解得p =2（负舍），故选B ．【知识总结】若直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的相交弦所在直线的斜率存在，则弦长的公式是|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2（k 是直线AB 的斜率，x 1,x 2是两个交点A ，B 的横坐标）．本题考查直线与抛物线的位置关系． 2.【答案】 D【考点】抛物线的性质直线与抛物线的位置关系抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】由题可知直线OA 的方程为y =2x ．由{y =2x ，y 2=2px 得A (p2,p)，所以直线AB 的方程为y −p =6(x −p 2)，即y =6x −2p ．由{y =6x −2p ，y 2=2px 得B (2p 9,−2p3)，所以直线OB 的斜率为k OB =−2p 32p 9=−3，故选D ．根据条件分别求出点A ，B 的坐标是解答本题的关键．本题考查直线与抛物线的位置关系． 3. 【答案】 D【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】把点A (12,√2)代入抛物线方程，得2=2p ×12，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ，则B (−1,0)．设M (y M24,y M )，则AB →=(−32,−√2)， MB →=(−1−y M24,−y M )．由MB →=λAB →，得{−1−y M24=−32λ,−y M =−√2λ,解得λ=2或λ=1（舍去），故选D ．【举一反三】求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．本题考查直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算． 4.【答案】 D【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】因为双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为y =±2x ，要使该直线与双曲线的右支只有一个公共点，只需满足−2≤k ≤2，故选D ．本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系． 5. 【答案】 D【考点】双曲线的特性直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】双曲线x 2−y 2=a 2关于直线y =x −2对称的曲线C 2的方程为(y +2)2−(x −2)2=a 2，与2x +3y =6联立，消去y 得59x 2+−43x +a 2−12=0，则由Δ=(43)2−4×59×(a 2−12)=0，解得a =8√55，故选D ．【一题多解】由条件知直线2x +3y =6关于y =x −2的对称直线2(y +2)+3(x −2)=6．即3x +2y −8=0与双曲线x 2−y 2=a 2(a >0)相切，因此消去y 得54x 2−12x +a 2+16=0，则由Δ=122−4×54×(a 2+16)=0，解得a =8√55，故选D．本题考查直线与双曲线的位置关系．6.【答案】C【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则由题意，知x1+x22=2，y1+y22=−1．又{x12a2−y12b2=1，x22a2−y22b2=1，两式相减，得b2(x1+x2)(x1−x2)−a2(y1+y2)(y1−y2)=0，即4b2(x1−x2)+2a2(y1−y2)=0，所以y1−y2x1−x2=−2b2a2=tan135∘=−1，所以b2a2=12，所以C的离心率e=ca =√1+(ba)2=√62，故选C．【归纳总结】对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为（1）设点：即设出弦的两端点坐标；（2）代入：即代入圆锥曲线的方程；（3）作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；（4）整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式然后求解．7.【答案】A【考点】抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=k(x−1)(k≠0)，与抛物线方程联立，得y2−4k y−4=0，所以y1+y2=4k，y1y2=−4,|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√1+1k2．由弦长公式可得|AB|=√1+1k2×|y1−y2|=4(1+1k2)=6，解得k2=2，∴|y1−y2|=2√6，所以三角形的面积S=1 2×|OF|×|y1−y2|=12×1×2√6=√6，故选A．【规律总结】直线与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2−p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式．本题考查直线与抛物线的位置关系．8.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】设一组平行直线的方程为y =14x +m ，代入椭圆方程并整理得98x 2+mx +2m 2−2=0，则x 1+x 2=−8m 9，可得y 1+y 2=14(x 1+x 2)+2m =16m 9，则弦的中点坐标为(−4m 9,8m 9)，当m ≠0时，直线l 的斜率为k =8m 9−4m 9=−2，此时直线l 的方程为y −8m 9=−2(x +4m 9)，即y =−2x ．当m =0时，直线y =14x 被椭圆C 所截线段的中点为(0,0)，易知点(0,0)在直线y =−2x 上，所以直线l 的斜率为−2，故选A ．结合直线与椭圆的位置关系加以转化，利用中点坐标公式与直线的斜率公式求解．本题考查直线与椭圆的位置关系． 9.【答案】 C【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】不妨取M 为双曲线虚轴正半轴上的端点，则M (b,0)，b >0，而F (0,c )，又M 为AF 的中点，可得|FM|=3，即b 2+c 2=9，过A 作AE ⊥y 轴于点E ，则E 是双曲线的另一个焦点，且有|AE|=2b ，结合双曲线的定义有6−2b =2a ，再结合c 2=a 2+b 2，可解得a =1,b =2,c =√5，则双曲线C 的方程为y 2−x 24=1，故选C ．本题考查双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系． 10.【答案】 C【考点】抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】由抛物线方程y =x 2可知其焦点坐标为F (0,14)，准线方程为y =−14，设抛物线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则AB 的中点C (x 1+x 22,y 1+y 22),|AB|=|AF|+|BF|=y 1+14+y 2+14=2，化简得y 1+y 2=32，又由A ，B 点在抛物线上，所以y 1=x 12,y 2=x 22，而k AB =y 2−y 1x 2−x 1=x 1+x 2，所以k CD =−1x1+x 2，即直线CD:y −y 1+y 22=−1x1+x 2(x −x 1+x 22)，令x =0，得y =12+y 1+y 22=54，即点D (0,54)，所以|OD|=54，故选C ．【规律总结】抛物线的定义就是抛物线上一点到焦点的距离与其到准线的距离相等，因此对于过抛物线焦点的弦的问题通常需要利用这一性质进行计算．此外，垂直平分线涉及垂直关系与平分关系，垂直关系可得两直线的斜率的乘积为−1，平分关系可得线段的中点，这些隐含条件可使问题简单化．本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质． 11.【答案】 D【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】设△AF 1F 2与△BF 1F 2的内切圆圆心分别为I 1,I 2，边AF 1,AF 2,F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知I 1，E 的横坐标相等，且|AM|=|AN|,|F 1M|=|F 1E|,|F 2N|=|F 2E|．由双曲线的定义知|AF 1|−|AF 2|=2a ，即|AM|+|MF 1|−(|AN|+|NF 2|)=2a ，得|MF 1|−|NF 2|=2a ，即|F 1E|−|F 2E|=2a ．记点I 1的横坐标为x 0，则E(x 0,0)，所以x 0+c −(c −x 0)=2a ，即x 0=a ．同理，内心I 2的横坐标也为a ，则有I 1I 2⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ(0∘<θ<90∘)，则∠OF 2I 2=θ2,∠I 1F 2O =90∘−θ2，则tan θ2=r 2|F 2E|,tan ∠I 1F 2O =tan (90∘−θ2)=−1tanθ2=r 1|F 2E|．因为r 1=2r 2，所以tan 2θ2=12，即tan θ2=√22，所以tan θ=2tan −θ21−tan 2θ2=2√2，故选D ．本题考查双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）【答案】 16【考点】抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】由{x 2=8y ，y =x +2消去x ，得y 2−12y +4=0．设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 1+y 2=12．因为抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2)，且直线l 经过该焦点，所以由抛物线的定义，知|MN|=y 1+y 2+4=16．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系．【答案】 3【考点】抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 12=2px 1,y 22=2px 2,|AB|=x 1+x 2+p =2p sin 260∘=83p ，即有x 1+x 2=53p ，由直线l 倾斜角为60∘，则直线l 的方程为y −0=√3(x −p2)，即y =√3x −√32p ，联立抛物线方程，消去y 并整理得12x 2−20px +3p 2=0，则x 1x 2=p 24，可得x 1=32p,x 2=16p ，则|AF||BF|=32p+12p 12p+16p =3．巧妙通过抛物线的焦点弦长公式|AB|=x 1+x 2+p =2p sin 2θ来转化，可以大大减少运算量，提高解题速度．本题考查直线的倾斜角、抛物线的几何性质．【答案】 √3+1 【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】设点A(x 0,y 0)(x 0>0)，则B (−x 0,−y 0)，则由AF →⋅BF →=0得(2−x 0,−y 0)⋅(2+x 0,y 0)=4−x 02−y 02=0，即x 2+y 02=4①，又因为直线AB 的斜率为√3，所以y0x 0=√3 ②，联立①②解得{x 0=1,y 0=√3,即A(1,√3)，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，则F 1(−2,0),2a =AF 1−AF =√[1−(−2)]2+(√3)2−√(1−2)2+(√3)2=2√3−2，所以a =√3−1，则双曲线的离心率e =c a=√3−1=√3+1．【方法归纳】求解双曲线的离心率问题通常是根据题中的条件求出a ，c 的值求解或得出关于a ，c 齐次式，通过解方程求解离心率．本题考查双曲线的概念和性质．【答案】 −√3【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】由等边三角形AA 1F 的面积为4√3，可知AF =AA 1=FA 1=4，而∠A 1FO =60∘，则p =FA 1cos 60∘=2，则抛物线C:x 2=4y,F (0,1)，可得A(2√3,3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由于直线AM ，AN 是过点A 作的倾斜角互补的直线，则有k AM =−k AN ，则有12√3−x =22√3−x ，将y 1=x 124,y 2=x 224代入，整理得2√3+x 1=−(2√3+x 2)，可得x 1+x 2=−4√3，那么直线MN 的斜率为k MN =x 224−x 124x2−x 1=x 1+x 24=−√3．本题考查抛物线的定义、方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系．【答案】 5【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】因为直线AB 过点P (0,1)，且AP →=2PB →，所以直线AB 的斜率不为0，则不妨设直线AB 的方程为x =k (y −1)，与椭圆方程x 24+y 2=m 联立，消去x ，化简得(k 2+4)y 2−2k 2y +k 2−4m =0，则y A +y B =2k 2k 2+4，则x A +x B =k(y A −1)+k(y B −1)=k(y A +y B −2)=−8kk 2+4，又由AP →=2PB →得x A =−2x B ，所以x A +x B =−2x B +x B =−8k k 2+4，即x B =8k k 2+4，则|x B |=|8k|k 2+4=8|k|+4|k|≤2，当且仅当|k|=2时，等号成立，则不妨取x B =2,k =2，此时直线AB 的方程为x =2(y −1)，则点B 的坐标为(2,2)，代入椭圆方程得224+22=m ，即m =5．联立直线与椭圆方程结合韦达定理求解是解题的关键．本题考查直线与椭圆的位置关系、平面向量的运算．三、解答题（本大题共4小题，共40分）【答案】 p =2(−∞, 0)∪(2, +∞) 【考点】直线与椭圆的位置关系抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x =−1的距离，由抛物线定义得，p2=1，即p =2．【名师指导】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法．利用抛物线的定义，即可得关于p 的方程，解方程，求出p 的值；由（Ⅰ）得，抛物线方程为y 2=4x ，F(1, 0)，可设(t 2, 2t)，t ≠0，t ≠±1，因为AF 不垂直y 轴，可设直线AF:x =sy +1(s ≠0)，由{y 2=4x ，x =sy +1消去x 得y 2−4sy −4=0，故y 1y 2=−4，所以B (1t 2,−2t )．又直线AB 的斜率为2t t 2−1，故直线FN 的斜率为−t 2−12t．从而得直线FN:y =−t 2−12t(x −1)，直线BN:y =−2t ．则N (t 2+3t 2−1,−2t )．设M(m, 0)，由A 、M 、N 三点共线，得2tt 2−m=2t+2t t 2−t 2+3t 2−1，于是m =2t 2t 2−1．所以m <0或m >2．经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围为(−∞, 0)∪(2, +∞)．【名师指导】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法．设点A ，M 的坐标，对直线AF 是否与x 轴垂直进行分类讨论．直线AF 的方程与抛物线方程联立，求出点B 的坐标，再求出点N 的坐标，利用点A ，M ，N 三点共线，求解点M 的横坐标的取值范围．【答案】 x 24+y 2=1 5√66【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)．则|PF 1|+|PF 2|=12+√(2√3)2+(−12)2=4=2a ，∴ a =2，c =√3，∴ b 2=1， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．【名师指导】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系．设直线l 的方程时，注意讨论直线l 垂直于x 轴与斜存在两种情况．根据椭圆的定义求解即可；当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +√2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =kx +√2，x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2+8√2kx +4=0．由Δ>0得4k2>1．由x1+x2=−8√2k1+4k2，x1x2=41+4k2得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=2√−6(11+4k2)2+11+4k2+1．设t=11+4k2，则0<t<12，∴|AB|=2√−6t2+t+1=2√−6(t−112)2+2524≤5√66．当t=112时，等号成立．当直线l的斜率不存在时，|AB|=2<5√66，∴|AB|的最大值为5√66．【答案】y2=4x由（Ⅰ）可得点M(4,4)，由题易知直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x=ky+ n，联立{x=ky+n，y2=4x，得y2−4ky−4n=0，则Δ=16k2+16n>0，①设D(x1,y1),E(x2,y2)，则y1+y2=4k,y1y2=−4n．∵MD⊥ME，∴MD→⋅ME→=(x1−4,y1−4)⋅(x2−4,y2−4)=x1x2−4(x1+x2)+16+y1y2−4(y1+y2)+16=y124⋅y224−4(y124+y224)+16+y1y2−4(y1+y2)+16=(y1y2)216−(y1+y2)2+3y1y2−4(y1+y2)+32=n2−16k2−12n+32−16k=0，即n2−12n+32=16k2+16k，∴(n−6)2=4(2k+1)2，∴n−6=±2(2k+1)，即n=4k+8或n=−4k+4，当n=4k+8时代入①式检验得Δ>0，当n=−4k+4时，直线DE过点M，不合题意，舍去．∴直线DE的方程为x=ky+4k+8=k(y+4)+8．∴直线DE过定点(8,−4)．【考点】圆锥曲线的综合问题抛物线的求解抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意设抛物线C的方程为y2=2px，p>0，其准线方程为x=−p2，∴4+p2=5，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．【名师指导】本题考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．先设抛物线方程为y2=2px，即可利用抛物线的定义求解p的值，即可求得抛物线的标准方程；【名师指导】本题考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．设出直线DE的方程，与抛物线方程联立，利用判别式、韦达定理、平面向量数量积的坐标运算建立方程即可求解．【答案】x22+y2=1直线l的方程为y=±√142x+2．【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设F1(−c,0),F2(c,0)，则P(c,b2a )，∵|OP|=√62，∴c2+b4a2=32．①∵e=√22，∴ca=√22．②联立①②及a2=b2+c2得，c=1,b=1,a=√2，∴椭圆C的方程为x22+y2=1．【名师指导】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系．利用椭圆的几何性质求解基本量得标准方程；显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+2，A点坐标为（x1,y1），B点坐标为(x2,y2)．联立{y=kx+2，x22+y2=1，得(1+2k2)x2+8kx+6=0，令Δ>0得，k2>32，∴x1+x2=−8k1+2k2,x1x2=61+2k2，由弦长公式得，|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2 =√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(−8k1+2k2)2−241+2k2]=√(1+k2)⋅16k2−24(1+2k2)2．点O到直线AB的距离d=√1+k2，S△AOB=12|AB|⋅d=12√(1+k2)⋅16k2−24(1+2k2)2√1+k2=√22，解得k2=72，∴k=±√142．∴直线l的方程为y=±√142x+2．【名师指导】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系．设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式建立方程求解．。

高考真题与模拟训练专题24 直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

专题24 直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类1．（2021·重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A令x c =-221y b =，解得2b y a =±22b a =,故选：A.2．（2021·C P ，Q 为C 上关于坐标原________．【答案】8，所以四边形12PFQF为矩形，故答案为：8.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1（2）若点9,1010M⎛⎫⎪⎪⎝⎭的内部，过点M的直线交椭圆C于两点，M为线段①②.【答案】（1）证明见解析；（221 y=.【解析】（1（2）①由（1222213x yb b+=，即22233x y b+=，设点()11,P x y、()22,Q x y，则121222x xy y+⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩91010y x⎛⎫⎫--=-⎪⎪⎪⎭⎝⎭②由韦达定理可得12x x+=2129310bx x-=，))() 12121212121211433 OP OQ x x y y x x x x x x x x∴⋅=+=--=-++合乎题意，故2233a b ==，4．（2021·()2210y a b b =>>的右焦点为，上顶点为B，离心率为（1）求椭圆的方程；（2MN ，过N 与BF．若//MP BF ，求直线【答案】（121y =；（2【解析】（1()0,B b21y =；（2先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，并整理得220020x x x x -+=，，在直线MN 的方程中，令1yy=10,Ny⎛⎫⎪⎝⎭，12BFbkc=-=-12y xy=+，12xy=-因为2000021212y yx yxy==++22200615xy y+==，y∴>，故5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN 与曲线M，N，F三点共线的【答案】（121y=；（2）证明见解析.【解析】（1（2）由（1当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F0kx y -=，221(0)x y x +=>==,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN与曲线221(0)x y x +=>，所以221b k =+，=M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F6．（2021·C .（1（2上，过T、B 两点和TA TB TP TQ ⋅=⋅的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（21F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，22a =()221116y x x -=≥；（2，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线1112y k x t k =+-，y设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >()()2212112112*********x x TA TB k x x k x x +⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪⎝⎭()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，TA TB TP TQ⋅=⋅=，整理可得2212k k=，与直线PQ 的斜率之和为7．（2021·上点的距离的最小值为4．（1（2在M 是C【答案】（12【解析】（142pFM=+，（2的方程为24x y=，即y=()1112xy y x x-=-的方程为22220x x y y--=，10102020220220x x y yx x y y--=⎧⎨--=⎩，，1204x x y=，到直线AB的距离为d=321202⨯=8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（12）18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-当y =0a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==所以△AMN9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1∴()11,0F -,()21,0F（2）设()0,0P x∵∵，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅（3，点M 到直线的距离为d .∴∵3511439x y -+=①∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.第二部分模拟训练一、单选题1的直线交抛物线于A ，A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C3 p=129y y=-，因为13||2AF x=+，23||2BF x=+故选：C2F的直线与抛物线交于A，BO为坐标原点)的面积为（）A BC．3D【答案】D设直线AB因为2AF FB=，可得122y y=-，280y--=或22y=，14y=14y=-，可得故选：D.3B，则A．3BC．5D．6【答案】C()212k==--解得4t=（舍去2），故选：C．4．已知点()15,0F-，()25,0F．设点PA．7B．8C．9D．10【答案】CP2F为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲由题意知M在圆()221:54F x y++=上，N在圆()222:51F x y-+=上，当M是1PF延长线与圆1F的交点，N是2PF与圆2F的交点时取等号．故选：C ．5．已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，值范围是（）AB C ．()(),22,-∞-+∞ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AP故选：A.6上一点，MF 轴于点N .，则抛物线C 的方程为（）A B C D 【答案】B2p x =-，轴交y 轴于点13OF MA =32422p pp =+==，所以抛物线C 故选：B.二、填空题7的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且8．已知抛物线C ：y 2＝x ，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点．弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．2104y ky --=，设()()1122,,,A x y B x y ，得1k =±，12122y y+=，所以AB则AB54；AB的中垂线与x9的右顶点为A，与x则双曲线的离心率是______．()2,0D a，不妨设点在第一象限，联立()222x a y aby xax⎧-+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩322222,a a bBc c⎛⎫⎪⎝⎭，根据点C()2210,0ya bb=>>上，得10()2,0AP，记OE 的斜率为轴、y轴负半轴上2，则三角形COD面积的最大值是______.2221yb+=，则212OEbk ka⋅=-，2a=，，1b=.n>2，又B为上顶点，)()212m n++=(2112322S mn=≤=-.。