【2012优化方案】数学(苏教版必修3)第3章3.1.2知能优化训练

合集下载

2012年苏教数学必修5：第3章3.4.1知能优化训练

1．a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是________．(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析：由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①，④，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52.可知③可能成立．答案：③2．(2011年镇江调研)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．下列结论正确的是________． ①当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 ②当x >0时，x ＋1x ≥2 ③当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：①中，当x >0且x ≠1时，lg x 不一定是正数；③中，当x ≥2时，x ＋1x ≥2x ×1x ＝2中的等号不成立；④中，当0<x ≤2时，可以证明y ＝x －1x 是增函数，则其最大值为f (2)＝32. 答案：②4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，则a 2＋b 2________22(a ＋b )．(填“>”“＝”或“<”) 解析：由不等式a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞)，可得a 2＋b 2≥22(a ＋b )，又∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>22(a ＋b )．答案：>一、填空题1．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)．答案：(a －b )(b －c )≤a －c 2 2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2，则P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R3．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________．解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：104．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab2，即ab ≤1，由①知成立．答案：①③⑤5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)6．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，取等号．答案：37．已知a >0，b >0，1a ＋2b1，则a ＋2b 的最小值为________．解析：a ＋2b ＝(a ＋2b )(1a ＋2b )＝1＋2a b ＋2b a ＋4≥5＋22a b ×2b a＝9，当且仅当⎩⎨⎧2a b ＝2b a 1a ＋2b＝1，即a ＝b ＝3时，取“＝”．答案：98．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ；2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．答案：q ≤a ＋b 29．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2， ∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵够用且浪费最少，∴应选③.答案：③二、解答题10．判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12； (2)x ＞0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x ，所以当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值； (3)x ＞0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2. 解：(1)错误．∵x 的正负不知，∴应分x ＞0与x ＜0两种情况进行讨论．当x ＞0时，f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12，当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x ＞0时，f (x )有最小值12.当x ＜0时，f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]．∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x)·(－3x )＝12， ∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立，∴当x ＜0时，f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)，不能运用基本不等式． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x，即(x ＋1x )2＝1时成立，又x ＞0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x＞2.11．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．已知函数f (x )＝lg x ，若a >0，b >0，试判断12[f (a )＋f (b )]与f (a ＋b 2的大小，并加以证明．解：12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)． ∵f (a )＋f (b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )，f (a ＋b 2)＝lg a ＋b 2. 又∵a ，b >0，∴a ＋b 2≥ab >0. 而函数f (x )＝lg x 在定义域内单调递增，∴lg a ＋b 2≥lg ab ＝12lg(ab ) ＝12(lg a ＋lg b )，即12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．。

2012年苏教数学必修5：第3章3.1知能优化训练

1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，用不等式表示为________．解析：“不少于”即“≥”，故f ≥2.5%.答案：f ≥2.5%2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >453．(2011年无锡高二检测)设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式： (1)a 2<b 2；(2)ab 2<a 2b ；(3)1ab 2<1a 2b；(4)b a <a b . 其中成立的是________．解析：由a ，b 非零，知a 2b 2>0，又a <b ，则两边同乘以1a 2b 2，解得1ab 2<1a 2b. 答案：(3)4．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则M 与N 的大小关系为________．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5＞－5＝N ，∴M ＞N .答案：M ＞N一、填空题1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 在什么范围内________．解析：“限速”指的是“不超过”．答案：v ≤402．观察右图，用不等式表示出图中函数图象之间的关系为：________. 解析：g (x )的图象恒在f (x )的图象上方，即g (x )＝x 2＋1的函数值总是大于f (x )＝x 2的函数值，故不等关系为x 2＋1>x 2. 答案：x 2＋1>x 23．某班学生合影留念，冲洗胶片需22.5元，冲洗一张照片需2.5元，如果每人冲洗一张照片并且每人付款不超过3元，那么这个班至少有________名学生．解析：设这个班有x 名学生，依题意，得22.5＋2.5x ≤3x .解得x ≥45.答案：454．若m ≠3，且n ≠－2，则M ＝m 2＋n 2－9m ＋4n 的值与－13的大小关系为________．解析：∵m ≠3，且n ≠－2，∴M ＝(m －3)2＋(n ＋2)2－13>－13.答案：M >－135．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则满足条件的不等式组为________．解析：设铅笔买x 支，练习本买y 本，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，y ≥6，0.6x ＋0.7y ≤10，x ，y ∈N *. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x ＋0.7y ≤10x ，y ∈N *6．(2010年高考江苏卷)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．解析：由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 答案：277．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4.解析：∵x 2＋y 2＋z 2－[2(x ＋y ＋z )－4]＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋1>0，∴x 2＋y 2＋z 2>2(x ＋y ＋z )－4.答案：>8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式是________．答案：a ＋m b ＋m >a b9．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则x 1，x 2与x 3的大小关系为：________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝50＋(x 3－55)x 2＝30＋(x 1－20)x 3＝30＋(x 2－35)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3－5x 2＝x 1＋10x 3＝x 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 3<0x 2－x 1>0x 3－x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2 答案：x 2>x 3>x 1二、解答题10．2010年春节期间，某夫妇打算利用年终奖进行外出旅游，丈夫的假期为20天，年终奖2.8万元；妻子的假期为25天，年终奖2.3万元．两人向旅行社咨询得知：去一个非洲国家平均要6天，1.5万元；去一个欧洲国家平均要花5天，1.2万元．若两个人在春节假期共去了x 个非洲国家，y 个欧洲国家，且足迹遍及两大洲，写出所有满足上述不等关系的不等式．解：用关于x 、 y 的不等式表示题中的不等式关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤201.5x ＋1.2y ≤2.8＋2.31≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤205x ＋4y ≤171≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N .11．已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．解：M －N ＝a ＋1－a 1－a －a －11＝(a ＋1)2－(a )2a ＋1＋a －(a )2－(a －1)2a ＋a －1＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1). ∵a ≥1，∴a ＋1＋a >0，a ＋a －1>0，又a －1－a ＋1<0，∴M －N <0.∴M <N .12．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解：f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1(1)当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )<f (b )．(2)当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.(3)当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )>f (b )．。

【优化方案】2012高中数学第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2-1

的中心，的中点，求下列各式中，，的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值．的值． → → → → (1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA； → → → → (2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.
思路点拨】【思路点拨】解答本题需准确画图，解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出、的值即可的值即可．根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可．
(4)用上述结论证明或判断三点 A、B、C 共线时，只需证用上述结论证明(或判断用上述结论证明或判断)三点、、共线时， → → → → 即可．也可用“ 明存在实数 λ，使AB＝λBC或AB＝µAC即可．也可用“对， → → → 空间任意一点 O，有OB＝tOA＋(1－t)OC”来证明三点共，－线． 2．对向量共面的充要条件的理解． (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有空间一点 → → → 序实数对(x，使 y)，序实数对，， MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
→ → → ∴EF＝A1F－A1E 4 2 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)．－－＝－－． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－ b－c＋a＝a－ b－c，－＋＝－－， 3 3 → 2→ 所以，，三点共线． ∴EF＝ EB.所以 E，F，B 三点共线． 5

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章本章优化总结

(2)当事件与事件互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋当事件A与事件互斥时，当事件与事件B互斥时＋＝＋ P(B)，当事件A与事件对立时，P(A＋B)＝P(A) ，当事件与事件对立时，与事件B对立时＋＝＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．＝，＝－． (3)应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一应用互斥事件的概率的加法公式解题时，应用互斥事件的概率的加法公式解题时定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，求出各事件分别发生的概率，再求和．求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
章末综合检测
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放点此进入课件目录
谢谢使用
几何概型
若试验同时具有：基本事件的无限性；若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型， m 由于其结果的无限性，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A)＝ n 求＝故需转化为几何度量(如长度面积、体积等) 如长度、解，故需转化为几何度量如长度、面积、体积等的比值求解．的比值求解．几何概型同古典概型一样，几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．
【解】 (1)因为 C＝A＋B， A 与 B 不会同时发因为＝＋，且是互斥事件，生，所以 A 与 B 是互斥事件，根据概率的加法公式，得 1 P(C)＝P(A)＋P(B)＝ . ＝＋＝ 2 (2)C 与 D 也是互斥事件，又由于 C＋D 为必然事也是互斥事件，＋互为对立事件，件，所以 C 与 D 互为对立事件，所以 P(D)＝1－＝－ 1 P(C)＝ . ＝ 2 1 1 即取到红色牌的概率是，取到黑色牌的概率是 . 2 2

2012年苏教数学必修5：第3章3.4.2知能优化训练

1．已知a ＋b ＝0，则2a ＋2b 的最小值是________．解析：2a ＋2b ≥2·2a ＋b ＝220＝2(当且仅当a ＝b ＝0时，取“＝”)答案：2 2．已知x >0，则3＋3x ＋3x的最小值为________．解析：∵x >0， ∴3＋3x ＋3x ≥3＋23x ·3x ＝3＋2×3＝9. 当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时取“＝”．答案：93．(2011年徐州调研)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4________．解析：f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥12·2 (x －2)·1(x －2)＝1，当且仅当x －2＝1x －2且x ≥52，即x ＝3时取得最小值1. 答案：14．若一个圆的半径为1，则其内接矩形面积的最大值为________．解析：设矩形的两边分别为a ，b ，由题意知a 2＋b 2＝4，∴4＝a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”)∴ab ≤2，即圆内接矩形面积的最大值为2.答案：2一、填空题1．如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是________．解析：∵log 3m ＋log 3n ＝4，∴mn ＝34，∴m ＋n ≥2mn ＝234＝2×32＝18(当且仅当m ＝n ＝9时，取“＝”)．答案：182．函数3x 2＋6x 2＋1的最小值是________．解析：3x 2＋6x 2＋1＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥62－3.当且仅当3(x 2＋1)＝6x 2＋1，即x ＝±2－1时，取“＝”．答案：62－33．y ＝x ＋1x(x ≠0)的值域为________．解析：当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立．当x <0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1(－x )]，∵－x >0，∴(－x )＋1(－x )2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．∴y ＝x ＋1x≤－2. 综上，函数y ＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．已知5x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则x ·y 的最小值是________．答案：155．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析：∵x ＋3y －2＝0，∴x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥2 3x ·33y ＋1＝2 3x ＋3y ＋1＝232＋1＝7，当且仅当x ＝1，y ＝13时等号成立．答案：76．(2010年高考浙江卷)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－2 2 xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：187．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n________．解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即定点A 的坐标为(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8，当m ＝14，n ＝12时取等号， ∴1m ＋2n的最小值为8. 答案：88．(2010年高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：∵t >0， ∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2. 答案：－29．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为________．解析：设直线l 为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有关系2a ＋1b ＝1.对2a ＋1b＝1应用二元均值不等式，得1＝2a ＋1b≥2 2a ·1b ＝22ab，即ab ≥8.当且仅当2a ＝1b 即a ＝4，b ＝2时，取“＝”．于是S △OAB ＝12ab ≥4. 答案：4二、解答题 10．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．解：1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝1＋b a ＋2a b＋2 ≥3＋22ba ab ＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b，即a ＝2－1，b ＝2－2时取“＝”．故1a ＋2b的最小值是3＋2 2. 11．求函数f (x )＝1x －2＋x 的值域．解：f (x )＝1x －2＋x ＝1x －2＋x －2＋2. 若x >2，则x －2>0，∴f (x )＝1x －2＋x －2＋2 ≥21x －2·(x －2)＋2＝4. 当且仅当1x －2＝x －2，即x ＝3时等号成立．若x <2，则2－x >0，－f (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x －2＋x －2＋2＝12－x ＋2－x －2， ∴－f (x )＝12－x＋2－x －2 ≥212－x·(2－x )－2＝0. ∴f (x )≤0.当且仅当12－x＝2－x ，即x ＝1时等号成立．∴f (x )＝1x －2＋x 的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 12．现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)由题意，每小时燃料费用为0.6x 2(0<x ≤45)，全程所用的时间为500x小时，则全程运输成本y ＝0.6x 2·500x ＋960·500x ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ，x ∈(0,45]．故所求的函数为y ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ，x ∈(0,45]． (2)y ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ≥300×2x ×1600x ＝24000，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，取等号．故当轮船以速度为40海里/时行驶时所需成本最小．。

【优化方案】2012高中数学第3章3.1.2第一课时不等式的性质课件新人教B版必修5

3．1.2 ．
不等式的性质
学习目标 1.认识并掌握不等式的性质及其推论．认识并掌握不等式的性质及其推论．认识并掌握不等式的性质及其推论 2．重点是不等式的性质．．重点是不等式的性质． 3．难点是不等式性质的证明．．难点是不等式性质的证明．
第一课时
课前自主学案第一课时
课堂互动讲练
【分析】依据不等式的性质、实数运算的符分析】依据不等式的性质、号法则进行推理或举例说明．号法则进行推理或举例说明．
【解】 (1)由于 c 的正、负或是否为零未知，因而由于的正、负或是否为零未知，的大小缺乏依据，故该命题是假命题．判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该命题是假命题． (2)由 ac2＞bc2 知 c≠0，c2＞0，所以 a＞b，该命题由 ≠ ，，＞，为真命题．为真命题． a＜b ＜ (3)由由 ⇒a2＞ab；；＜ a＜0
2
2
解析：解析：当 c＝ 0 时，①假；当 c<0 时，②假；＝同向不等式不能相减，同向不等式不能相减，如 3>1,1>－ 8，而 3－－，－ 1<1－ (－ 8)，③假；当 a>b>0 时，④假；－－，当 c<0， a>b>0， d>0 时，⑤假；，，当 a<0， |a|>|b|时，⑥假；，时当 b<a<0，c 为正偶数时，⑦假．，为正偶数时，故假命题的个数为 7.
【证明】 ∵ a＞ b＞ c，∴ a－ c＞ b－ c＞ 0，证明】＞＞，－＞－＞， 1 1 ∴ ＜， a－ c b－ c －－又 ∵ f(b)＝ logab， f(c)＝ loga c， a＞ 1， ∴ f(b) ＝，＝，＞，＞ f(c)，，又∵ 1＞ b＞ c＞ 0，∴f(b)＜ 0，f(c)＜ 0，＞＞＞，＜，＜， ∴ 0＜－＜－f(c)，又 b＞ c＞ 0，＜－f(b)＜－，＞＞，＜－＜－ ∴ b－ f(c)＞ c－f(b)＞ 0，－＞－＞， b－ f( c) c－ f( b) －( ) －( ) 1 1 . 又＞＞ 0，∴ ，＞ b－ c a－ c b－ c a－ c －－－－

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章3.3

1 解：因为赢的概率为， 5 1 所以所占角度为周角的， 5 360° 即 P1＝＝72°. 5 1 360° 同理，同理，蓝色占周角的，即 P2＝＝120°，， 3 3 所以绿色扇形的圆心角为 P3＝360°－120°－72°＝－－＝ 168°. 分成四等份，将 P3 分成四等份，得 P3÷4＝168°÷4＝42°. ＝＝即每个绿色扇形的圆心角为 42°.
名师点评】【名师点评】
(1)在解答本题的过程中，易出在解答本题的过程中，在解答本题的过程中
现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程．件的形成过程． (2)解决此类问题的关键是事件在区域角度内是解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是解决此类问题的关键是事件均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
(2)如图所示，当 t 落在 TT2 上时，候车时间不如图所示，上时，如图所示分钟，故所求概率为：超过 10 分钟，故所求概率为： TT2 13 P＝＝＝ . T1T2 15 (3)如图所示， t 落在 T0T2 上时，如图所示，上时，如图所示当乘客立即上 T 0T 2 3 1 车，故所求概率 P＝＝＝＝ . T1T2 15 5
在转盘游戏中，假设有三种颜色红、自我挑战 2 在转盘游戏中，假设有三种颜色红、在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿、．蓝在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成 1 四块，不同颜色相同排列，四块，不同颜色相同排列，要使赢的概率为， 5 1 输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少 3 度？(假设转盘停止位置都是等可能的假设转盘停止位置都是等可能的) 假设转盘停止位置都是等可能的

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章3.1.2

自我挑战2 自我挑战表所示：表所示：
抽取球数 n 优等品数 m m 优等品的频率 n
某批乒乓球产品质量检查结果如下
50 45
100 92
200 194
500 470
1000 954
2000 1902
(1)计算表中乒乓球优等品的频率结果保留到小计算表中乒乓球优等品的频率(结果保留到小计算表中乒乓球优等品的频率数点后三位)；数点后三位； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优从这批乒乓球产品中任取一个，从这批乒乓球产品中任取一个等品的概率是多少？等品的概率是多少？根据题意可计算出优等品的频率依次为：解：(1)根据题意可计算出优等品的频率依次为：根据题意可计算出优等品的频率依次为 0.900，0.920，0.970,0.940,0.954,0.951. ，， (2)由(1)可知计算出优等品的频率虽不相同，但都可知计算出优等品的频率虽不相同，由可知计算出优等品的频率虽不相同是在0.950处摆动，且随抽取个数增加摆动幅度越处摆动，是在处摆动来越小，因此从中任取一个，来越小，因此从中任取一个，质量检查为优等品的概率约为0.950. 的概率约为
名师点评】统计表明，【名师点评】 (1)统计表明，不论哪一个国家、统计表明不论哪一个国家、哪一个民族，也不论是何时的统计资料，哪一个民族，也不论是何时的统计资料，正常情况下，男婴出生率都比女婴稍大一些；况下，男婴出生率都比女婴稍大一些；男婴出生 22 0.5116，本例结果基本符合这一规律．率为 ≈0.5116，本例结果基本符合这一规律． 43 (2)解决此类问题，关键是要理解概率的定义，分解决此类问题，解决此类问题关键是要理解概率的定义，清频率与概率的关系．清频率与概率的关系．

【优化方案】2020高中数学第3章3.1.2知能优化训练苏教版必修3

1．下面给出了四种现象：①若x ∈R ，则x 2＜0；②某地2月3日下雪；③若平面α∩β＝m ，n ∥α，n ∥β，则m ∥n .其中是确定性现象的是________．解析：①因x ∈R ，x 2≥0，所以①是不可能事件，属于确定性现象．②因为某地2月3日下雪可能发生也可能不发生，所以②是随机现象．③是对的，是确定性现象．答案：①③2．下列5个事件中，随机事件的个数是______．①如果a >b >0，则a b >1；②某校对高一学生进行体检，每个学生的体重都超过100 kg ；③某次考试的及格率是95%；④从100个灯泡中，取出5个，这5个灯泡都是次品(这100个灯泡中有95个正品，5个次品)．解析：①是必然事件，②是不可能事件；③④是随机事件．答案：23．某校高一(1)班共有46人，其中男生13人，从中任意抽取1人，是女生的概率为________．解析：共46人，则女生有33人，抽到女生有33次机会，所以概率为3346. 答案：33464．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．解析：设总体中的个体数为x ，则10x ＝112， ∴x ＝120.答案：120一、填空题1．下面给出了三个事件：①明天天晴；②在常温下，焊锡熔化；③自由下落的物体做匀速直线运动．其中随机事件为________．解析：由事件的定义可判断①是随机事件，②③是不可能事件．答案：①2．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本，下列是必然事件的是________．①3本都是语文书 ②至少有一本是数学书③3本都是数学书 ④至少有一本是语文书解析：必然事件是一定会发生的事件．答案：④3．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下列解释正确的是________．①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨③明天本地降雨的机率是80%④以上说法均不正确解析：本题主要考查对概率的意义的理解．选项①，②显然不正确，因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机率是80%.答案：③4．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的频率是________．解析：打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为910＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是310＝0.3. 答案：0.9 0.35．(2020年南京质检)在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”；③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”；④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．解析：①是随机事件；因为200件产品中只有8件二级品，不可能选出9件，所以②是不可能事件；③是随机事件；④是必然事件．答案：④ ② ①③6．某同学在阅览室陈列的5本科技杂志和6本文娱杂志中任选一本阅读，他选中科技杂志的概率是________．解析：由于选中科技杂志的可能性为5次．随意抽取的可能性为11次．故抽中的概率为511. 答案：5117．(2020年南通调研)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是________．解析：从甲、乙、丙三人中任选2人的可能情况有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种，故甲被选中的概率为P ＝23. 答案：238．样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的概率约为________．解析：由于组距为4，因此在[6,10)内的概率为0.08×4＝0.32，其频数为0.32×200＝64.落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：64 0.49．某市统计近几年新生儿出生数及其男婴数(单位：人)如下：(1)0.001)．(2)该市男婴出生的概率约为________．解析：(1)2020年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2020年、2020年和2020年男婴出生的频率分别为0.521，0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.52.答案：(1)0.524,0.521,0.512,0.513 (2)0.52二、解答题10．盒中装有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球，判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？ (1)取出的球是黄球；(2)取出的球是白球；(3)取出的球是白球或黑球．解：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件．(2)“取出的球是白球”是随机事件．(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然发生，因此，它是必然事件． 11．掷一枚硬币，对出现正面与出现反面的机会多少问题的研究，历史上有不少人做过(1)(2)掷一枚硬币出现正面的概率约是多少？(3)掷一枚硬币出现反面的概率约是多少？解：(1)频率分别为蒲丰20484040≈0.5069，艾尔逊601912000≈0.5016，皮尔逊1201224000＝0.5005. (2)出现正面向上的概率约为0.5.(3)出现反面向上的概率约为0.5.12．(2020年高考天津卷)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35. (2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．6 15＝25.所以P(B)＝。

【优化方案】2012高中数学第2章2.3.1知能优化训练苏教版必修3

1．频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对应的数字特征是________．解析：众数是出现次数最多的数据，其频率最大．答案：众数2则选手的平均成绩是解析：x ＝1×6＋2×7＋4×8＋6×9＋7×1020＝8.8.答案：8.83．1,2,3，x 1，x 2，x 3的平均数是8，那么x 1，x 2，x 3的平均数是________．解析：由题意1＋2＋3＋x 1＋x 2＋x 36＝8.∴x 1＋x 2＋x 3＝42. ∴x 1＋x 2＋x 33＝14.答案：144．从观测所得到的数据中取出m 个a ，n 个b ，p 个c 组成一个样本，那么这个样本的平均数是________．解析：样本中个体数为m ＋n ＋p ，数据总和为ma ＋nb ＋pc ，故平均数为ma ＋nb ＋pcm ＋n ＋p.答案：ma ＋nb ＋pc m ＋n ＋p一、填空题1．某医院的急诊中心的记录表明，以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下：解析：x ＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5. 答案：9.5 2．有六个数4，x ，－1，y ，z,6，它们的平均数为5，则x ，y ，z 三个数的平均数为________．解析：4＋x ＋－＋y ＋z ＋66＝5，∴x ＋y ＋z ＝21，∴x ＋y ＋z3＝7.答案：73．(2010年高考浙江卷)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.解析：甲组数据为：28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位数为45.乙组数据为：29,34,35,42,46,48,53,55,67，中位数为46.答案：45 464．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．解析：少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.答案：－35．甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，x 甲，x 乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则x 甲______x 乙，________比________稳定.解析：x 甲＝15(74＋82＋88＋91＋95)＝86，x 乙＝5(77＋77＋78＋86＋92)＝82，x甲>x乙．甲比乙稳定．答案：> 甲乙6．某天10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有a ，b ，c 的大小关系为________．解析：总和为147，a ＝14.7；样本数据17分布最广，即频率最大，所以众数c ＝17；从小到大排列数据，中间两位的平均数为中位数，即b ＝15.答案：c >b >a 7．(2010年高考福建卷改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________．解析：将这组数据从小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5，中位数为91＋922＝91.5.答案：91.5 91.58．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________．解析：＋＋5×2＋20×0.550＝25＋10＋1050＝4550＝0.9. 答案：0.99(1)餐厅所有员工的平均工资是________． (2)所有员工工资的中位数是________．(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.解析：(1)平均工资为(3000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.(2)由表格可知中位数为450.(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．答案：(1)810 (2)450 (3)中位数 (4)445 能二、解答题10．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分钟)80 70 70 70 60 60 80 60 60 70在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是多少？解：法一：观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2＋4＋4＝10， ∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为： 2×80＋4×60＋4×702＋4＋4＝68(分钟)．法二：观察数据知所有数据均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据： 10,0,0,0，－10，－10,10，－10，－10,0 这组新数据的平均数为： 2×10＋4×0＋－2＋4＋4＝－2，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为： 70＋(－2)＝68(分钟)．11．某班4个小组的人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．解：该组数据的平均数x ＝14(28＋x )，中位数一定是其中两个数的平均数．分类讨论如下：当x ≤8时，原始数据按从小到大的顺序排列为：x,8,10,10.则中位数为12(10＋8)＝9.因为这组数据的中位数与平均数相等，所以x ＝14(28＋x )＝9.解之得x ＝8，符合题意．当8＜x ≤10时，原始数据按从小到大的顺序排列为：8，x,10,10.则中位数为12(10＋x )．因为这组数据的中位数与平均数相等，所以x ＝14(28＋x )＝12(10＋x )．解之得x ＝8.又8＜x ≤10，所以x ＝8不符合题意，舍去．当x ＞10时，原始数据按从小到大的顺序排列为：8,10,10，x .则中位数为12(10＋10)＝10.因为这组数据的中位数与平均数相等，所以x ＝14(28＋x )＝10.解之得x ＝12，符合题意．综上所述，当x ＝8时，这组数据的中位数为9；当x ＝12时，这组数据的中位数为10.12．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的众数、中位数、平均数各是多少？解：(1)由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1，故第四小组频率为1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2. (2)第一小组的频数为5，频率为0.1，故总人数为50.1＝50(人)．(3)众数为112，中位数为99.5＋14×(124.5－99.5)≈105.8，平均数为62×0.1＋87×0.3＋112×0.4＋137×0.2＝104.5.。

2012年苏教数学必修5：第3章3.3.3知能优化训练

1．有5辆6吨汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．解析：目标函数的关键是正确地设出相关的变元，设6吨汽车x 辆，4吨汽车y 辆，则z ＝6x ＋4y .答案：z ＝6x ＋4y2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域，然后画出一组与2x ＋y ＝0平行的直线，经过平移即可得到对应的最优解．因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可．答案：33．(2011年无锡高二检测)在△ABC 中，三顶点A (2,4)、B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：先作出△ABC ，如图所示．对z ＝x －y ，可看成y ＝x －z ，求z 的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC 区域时纵截距的有关最值．易知，直线经过C 、B 点，纵截距－z 分别取最小值－1及最大值3，从而z 分别得到最大值1及最小值－3. 答案：14．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．解析：画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 答案：10一、填空题1．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1表示的平面区域，则D 中点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10距离的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，当P 点为(1,1)时，P 到直线x ＋y ＝10的距离最大，即d ＝|1＋1－10|1＋1＝4 2.答案：4 22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ≤4y ≤5，则s ＝y －x 的最小值为________．解析：如图，当x ＝4，y ＝－2时，s ＝y －x ＝－2－4＝－6为最小值．答案：－63．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值为________．解析：点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，画出可行域，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值即为圆上的点到直线y ＝12的距离，即圆心(0，－2)到直线y ＝12的距离减去半径1，得32.答案：324．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0,0)，B (0,1)，C (－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：15．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：906．(2010年高考陕西卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．解析：先画出可行域，如图.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，x ＋y ＝1，最优解为A (1,0)．∴z max ＝5.答案：57．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1，x ＋y ≤m 如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．解析：可行域如图中阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m 可得：A ＝(m ＋13，2m －13)．又∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .当y ＝x －z 过点A 时，z 最小． ∴m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.答案：58．(2010年高考辽宁卷)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3得平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．答案：(3,8)9．在如图所示的可行域内(阴影部分含边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a________．解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a.∴a ＝－1，y x －a P (－1,0)连线的斜率．显然k max ＝k OC ＝25.答案：25二、解答题10．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤sy ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s y ＝2s －4交点为B (4－s,2s －4)，其他各交点分别为A (2,0)，C (0，s )，C ′(0,4)．(1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8；(2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．解：作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. MN 2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72．12．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )，即z ＝716－0.5x －0.8y .x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260x ＋y ≤280x ＋y ≥100.作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．∵点M的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．。

【优化方案】2012高中数学第3章3.1.2第二课时课件新人教B版必修5

3≤ a＋ b≤ 4. ≤ ＋ ≤
n使得－＝设存在实数 m，使得 4a－ 2b＝m(a＋ b)＋n(a ，＋＋－ b)，，即 4a－ 2b＝(m＋ n)a＋ (m－n)b. －＝＋＋－
m＋ n＝ 4，＋＝，所以解之得 m＝ 1， n＝ 3. ＝，＝ m－ n＝－＝－2. －＝－
设甲、【解】设甲、乙两人第一次购粮的价格为 a 元/千克，第二次购粮的价格为 b 元 /千克；千克，千克；千克千克千克，甲两次的平均价格为 x 元 /千克，乙两次的平千克千克．均价格为 y 元/千克．千克 100( a＋ b) ( ＋ ) 200 依题意有 x＝＝， y＝＝， 200 100 100 ＋ a b
1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围． ≤ ≤ 的取值范围． ≤ ，－的取值范围【分析】分析】 f(－2)．－．设出二次函数，设出二次函数，用f(－1)和f(1)表示出－和表示出
法一：的图象过原点，【解】法一：因为二次函数 y＝f(x)的图象过原点，＝的图象过原点所以设 f(x)＝ax2＋ bx(a≠0)．＝ ≠ ． a＝1[f(1)＋ f(－ 1)]，＝ ( ) ( )， f(－ 1)＝ a－b， ( ) －， 2 所以所以 1 ( ) ＋ f(1)＝a＋b. ＝ ( ) ( ) b＝2[f(1)－ f(－ 1)]. 因为 f(－2)＝4a－2b＝f(1)＋3f(－1)，－＝－＝＋－，又 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ≤ － ≤ ≤ ≤ ，所以 3＋3×1≤f(－2)≤4＋3×2，即 6≤f(－2)≤10. ＋ × ≤ － ≤ ＋ × ， ≤ － ≤

2012年苏教数学必修5：第3章3.3.2知能优化训练

1．不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的________．解析：将(0,0)代入2x －y －6＝－6<0，由于(0,0)在直线2x －y －6＝0的左上方，则不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的左上方．答案：左上方2．在已知五个点A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，O (0,0)中，位于直线x －2y ＋1＝0上方(不含边界)的点的个数是________．解析：位于直线x －2y ＋1＝0上方的点坐标满足不等式x －2y ＋1＜0，将上述五个点的坐标分别代入式子x －2y ＋1中知，点B 的坐标满足不等式x －2y ＋1＜0.答案：13．(2011年南通质检)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．(填序号)解析：法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≤0x ＋y －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x ＋y －3≤0两不等式表示的平面区域，合并起来即是原不等式表示的平面区域．法二：采用特例筛选法可以快速得到解决，如取适合题意的点(1,10)⇒①、②、④错误，填③.答案：③4．已知点(1,1)和(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________．解析：∵(1,1)与(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，∴(1＋1＋n )(－1＋2＋n )>0，即(n ＋2)(n ＋1)>0，∴n <－2或n >－1.答案：n <－2，或n >－1一、填空题1．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是________．(填序号)解析：取测试点(1,0)，排除①③；由边界线x －2y ＝0可排除②.答案：④2．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的有________．①(0,0) ②(－1,1) ③(－1,3) ④(2，－3)解析：把点(1,2)代入x ＋y －1＝1＋2－1＝2>0，然后把选项中的点的坐标逐个代入检验，只有③能使x ＋y －1>0.答案：③3．若函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为________．(填序号)解析：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4a 2>0，∴(2a －b )(2a ＋b )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b >02a ＋b <0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <02a ＋b >0. 取测试点(0,1)和(0，－1)，可排除①②④.答案：③4．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________．解析：图中两直线方程分别为x ＋y －1＝0和x －2y ＋2＝0.阴影部分在x ＋y －1＝0的右上方，x －2y ＋2＝0的右下方，所以x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 5．(2010年高考北京卷)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：∵d ＝|4m －9＋1|42＋32＝|4m －8|5＝4，∴m ＝7或m ＝－3. 又由题意知P (m,3)满足不等式2x ＋y <3，即2m ＋3<3，∴m <0，∴m ＝－3.答案：－36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：作出可行域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝03x ＋y －4＝0可得A (1,1)，又B (0,4)，C (0，43)， ∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A | ＝12×(4－43)×1＝43. 答案：437．如果点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为________．解析：由题意知(6×5－8b ＋1)·(3×5－4b ＋5)<0，解得318<b <5， ∵b 为整数，∴b ＝4.答案：48．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为________．解析：边界所在的直线方程为y ＝－2，x ＝0,2x －y ＋2＝0，根据平面区域与边界的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥09．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2,7)，用平行于x 轴的直线y ＝a 截梯形得到三角形，则a 的取值范围是5≤a <7.答案：[5,7)二、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＞2yy ≥0所表示的平面区域．解：先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示． 11．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，∴3a ＋4－3>0，∴a >－13. 又∵点P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离为25，∴|a －8＋2|5＝25， ∴|a －6|＝10，∴a ＝16或－4.又∵a >－13， ∴a ＝16，∴P (16,4)．12．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M ，N 关于直线x＋y ＝0对称，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0所表示的平面区域的面积．解：∵M ，N 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，∴MN ⊥l .∴k MN ＝－1k l ＝－1－1＝1. 而M ，N 在直线y ＝kx ＋1上，故k ＝1.同时可得圆的圆心(－k 2，－m 2在直线x ＋y ＝0上，故m ＝－1.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，作出平面区域，如图所示．由图可知，该不等式组所表示的平面区域为△AOB .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，得顶点A (－12，12)． ∴S △AOB ＝12×1×12＝14.。

【优化方案】高中数学第3章3.3 知能优化训练苏教版选修12

[学生用书 P 44]1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为________．解析：由题意知m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.答案：4或－12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．解析：|z |＝a 2＋1，∵0<a <2，∴0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.答案：(1，5)3．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于第________象限．解析：复数z 在复平面上对应的点为Z (3m －2，m －1)．由于23＜m ＜1，得3m －2＞0，m －1＜0，所以点Z 位于第四象限．答案：四 4．若z ＋|z |＝2，则复数z ＝________.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＋|z |＝a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2， ∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝0，∴a ＝1，b ＝0，∴z ＝1.答案：1一、填空题1．若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a 满足________．解析：由题意知，a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.答案：a ＝0或a ＝22．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于第________象限．解析：i 1＋i ＝i 2(1－i)＝12＋i 2，以x 轴为实轴，y 轴为虚轴，则对应坐标为(12，12)，在第一象限．答案：一3．(2011年高考辽宁卷改编)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i|＝2，则a ＝________. 解析：|a ＋i i|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝± 3.而a 是正实数，∴a ＝ 3. 答案： 34．已知复数z ＝3＋i－32，则|z |等于________．解析：z ＝3＋i 1＋3i 2－23i ＝－3＋i 2＋23i＝－12×23－2i 4＝i －34，|z |＝12.答案：125．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________．解析：A (6,5)，B (－2,3)，C (2,4)，∴C 对应的复数为2＋4i.答案：2＋4i6．(2011年高考山东卷改编)复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为________．解析：∵z ＝2－i 2＋i ＝－2＋－＝4－4i －15＝35－45i ， ∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．答案：第四象限7．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：由题意知A (－1，－2)，则B (2,1)，故向量OB →对应的复数为2＋i.答案：2＋i8．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是________．解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知AB →＝DC →，又AB →对应的复数为1－i ，DC →对应的复数为(－2－x )＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1.所以x ＝－3，y ＝－2.所以点D 对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i9．已知z 1，z 2为复数，且|z 1|＝1，若z 1＋z 2＝2i ，则|z 1－z 2|的最大值是________．解析：由z 1＋z 2＝2i 得z 1＝2i －z 2，代入|z 1|＝1得|2i －z 2|＝1，∴|z 2－2i|＝1，即z 2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图)．又z 1轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，则|z 1－z 2|为两圆上点的距离，最大值为4.答案：4二、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3，即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2，即当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414，即当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 11．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z 1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一：∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝θ－2＋θ＋2＝ 9＋42θ－π4. 当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|2取得最大值9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)， ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，由图可知|z －z 1|max ＝22＋1.12．设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．解：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )．∵|z |＝5，∴a 2＋b 2＝25.而(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又∵(3＋4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上， ∴3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a .∴a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±(22＋722i)． ∴2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2.当2z＝－(1＋7i)时，同理，可得m＝0或m＝－2.。

【优化方案】2012高中数学第3章3.2第一课时知能优化训练新人教B版必修5

ba
1
4．下面四个命题：①若 a， b∈ R，则 a＋ b≥2；②若 x∈ (0 ， π ) ，则 sin x＋ sin x≥2；
③若 a， b∈ R＋，则 lg a＋ lg b≥2·
4 lg a·lg b；④若 x∈R，则 | x＋ | ≥4，其中正确命题的
x
序号是 ________．解析：①只有在 ab>0 时成立；②∵ x∈ (0 ，π ) ，∴ sin x∈(0,1] ，∴②成立；③只有在
a＋b D． b>a> 2 > ab
a＋ b 解析：选 C. 因为 b>a>0，所以 b> > ab>a.
2
2．已知 a， b∈R，下列不等式不成立的是 ( )
A． a＋b≥２ ab
B． a2＋ b2≥２ab
C．
a＋ ab≤（
b )
2
2
D． | a| ＋ | b| ≥２ | ab|
解析：选 A. 当 a＜ 0， b＜0 时， A 显然不成立．
| a| － | b| ＝1－ 2＝－ 1≠｜a－b| ＝ 1，所以 D 不正确．
7．已知
a，
b∈
＋
R
，则
a＋ 2
b ________
a＋
b－ 1( 填“≤”或“≥” ) ．
a＋ b 解析： 2 － ( a＋ b－ 1)
a＋ b－2 a－ 2 b＋ 2
＝
2
＝
a－ 2＋ 2
b－ 2 ≥0.
答案：≥ 8．当 x∈ (1,2) 时，不等式 x2＋ mx＋4<0 恒成立，则 m的取值范围是 __________ ．解析：当 x∈ (1,2) 时，不等式 x2＋ mx＋ 4<0 恒成立，

【优化方案】2012高中数学第3章3.2 知能优化训练苏教版选修1-2

[学生用书 P 41]1．计算(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝________.解析：(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝(6＋3－5)＋(6－1＋3)i ＝4＋8i.答案：4＋8i2．复数z ＝i 2(1＋i)的虚部为________．解析：z ＝i 2(1＋i)＝(－1)·(1＋i)＝－1－i ，∴虚部为－1.答案：－13．复数z ＝－1＋2i ，则复数z 的虚部是________．解析：∵z ＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i ，∴虚部为－2.答案：－24．复数i 3(1＋i)2＝________.解析：i 3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i 2＝2.答案：2一、填空题1．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________.解析：由题知z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i2．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，a ，b ∈R ，则实数对(a ，b )的值为________．解析：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，∴z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b＝(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴a ＋b ＝1且a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.答案：(－3,4)3．(2011年高考某某卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：14．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i＝________. 解析：5－i 1＋i ＝5－i 1－i 2＝4－6i 2＝2－3i. 答案：2－3i5．(2011年高考某某卷改编)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝________.解析：(1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.答案：3－i6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则a ＝________，b ＝________. 解析：由1＋2i a ＋b i＝1＋i ，可得1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，由对应项相等可以得到⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1a ＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12. 答案：32127．(2011年高考课标全国卷改编)复数5i 1－2i＝________. 解析：5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 1＋2i 5＝－2＋i. 答案：－2＋i8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋21＋i 1－i 1＋i＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i 2＝－b ＋2＋b ＋2i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i9．(2011年高考课标全国卷改编)复数2＋i 1－2i的共轭复数是________．解析：∵2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 答案：－i二、解答题 10．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i. (2)(3＋2i)＋(3－2)i＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.11．(2011年高考某某卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．设z ∈C ，求满足z 2＝z 的复数z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.又z ＝x －y i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝x ，2xy ＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±32，x ＝－12.因此所求复数z 为0或1或－12＋32i 或－12－32i.。

【优化方案】2012高中数学第1章1.3.2知能优化训练苏教版必修3

1．在输入语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符为________．答案：逗号2．已知下列输入、输出语句①Read a；b；c②Read ax2＋bx＋c③Print x←5④Print 2,3－2其中正确的是________．解析：输入语句Read可以给多个变量赋值，但中间用逗号隔开，只能输入变量，而不能是代数式，故①②都不正确；Print语句不能起赋值作用，因此在Print语句中不能出现“←”，Print语句可以输出常量或表达式的值，所以③不正确，④正确．答案：④3．下列给出的赋值语句正确的是________．①6←N②A←－A③5＋c←a④x2－9←(x＋3)(x－3)解析：按照赋值语句的要求，变量的值不能赋给常量，左边只能是变量，不能是表达式，不能进行代数式的演算，所以②正确．答案：②4．程序语句：Read a，bm←aa←bb←mPrint a，bEnd若输入2,5，则输出结果为________．解析：通过阅读程序可知该程序的算法功能是交换两个变量的值，故由已知输入2,5可知输出结果5,2.答案：5,2一、填空题1．下列给出的输入、输出语句正确的是________．①输入语句Read a＝；a②输入语句Read x＝3③输出语句Print A＝4 ④输出语句Print 20,3×2解析：Read语句提示语言应为双引号，故①错误；Read语句中只能是变量，而不是表达式，故②错误；Print语句中不能再加上赋值式，故③错误；Print语句可以输出常量、表达式的值，因此④正确．答案：④2．下列赋值语句的写法正确的有________．①x←2×y＋z②x←3，y←4，z←5，w←7③x＋y←7④y←3.14×5⑤y←x＋z←3＋4解析：不能给表达式赋值，也不能连续赋值，所以③⑤错误．答案：①②④3．(2011年镇江调研)已知下列输入，输出语句Read “How old are you”；xPrint “I am”；x如果你16岁了，则输出的结果是________．解析：由输出语句的特点知输出的结果是I am 16.答案：I am 164．以下程序运行后输出的结果是________．A ←3B ←A ×AA ←A ＋BB ←B ＋APrint A ，B解析：由B ←A ×A ，得B ←3×3＝9，所以A ←3＋9＝12，B ←9＋12＝21.答案：12,215．已知算法：Read a ，ba ←a ＋bb ←a －ba ←a －bPrint a ，b若输入a ＝1，b ＝2，则输出的a ，b 分别是________．解析：第一次赋值后a ＝3，第二次赋值后b ＝1，第三次赋值后a ＝2，∴输出的a ，b 分别为2,1.答案：2,16．将两个数a ＝2009，b ＝2010交换，使得a ＝2010，b ＝2009，下列语句正确的一组是________．①⎩⎪⎨⎪⎧ a ←b b ←a ②⎩⎪⎨⎪⎧ c ←b b ←a a ←c ③⎩⎪⎨⎪⎧ b ←a a ←b ④⎩⎪⎨⎪⎧ a ←c c ←b b ←a解析：实现a ，b 值的交换需借助第三个量，作为周转空间，故排除①③，而④中的变量没有赋值周转，故④错，应选择②.答案：②7．给出下列程序： Read “实数”；x 1，y 1，x 2，y 2a ＝x 1－x 2m ＝a 2b ＝y 1－y 2n ＝b 2s ＝m ＋nd ＝sPrint dEnd此程序的功能为________．解析：输入的四个实数可作为两个点的坐标，程序中的a 、b 分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m ，n 分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s 是横、纵坐标之差的平方和，d 是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．答案：求两点之间的距离8．下面的算法的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果为3.46，试据此将算法补充完整．Read x 1，x 2x 1←1.1x 2←________S ←________Print S解析：由于算法的功能是求所输入的两个数的平方和，所以，S ＝x 21＋x 22；又由于最后输出的结果是3.46，所以3.46＝1.12＋x 22，解得x 22＝2.25，又x2是正数，所以x2＝1.5.答案：1.5 x21＋x229．已知方程x2－3x＋2＝0，现已给出运用公式法求方程的根的程序的一部分，试在横线上填上适当的语句，把程序补充完整：Read “a＝，b＝，c＝”；a，b，c①____②____x1←q＋px2←q－pPrint x1x2End解析：根据求根公式，并结合程序知p＝b2－4ac 2a，q＝－b2a.答案：p←b2－4ac2aq←－b2a二、解答题10．写出下列算法的结果：(1)a←1(2)a←2b←2 b←3c←b－a c←4b←b－c a←a＋bPrint a，b，c b←a*cc←b*aPrint c解：(1)执行过程为：a＝1，b＝2，c＝b－a＝2－1＝1，b＝b－c＝2－1＝1.∴输出的为1,1,1(2)执行过程为：a＝2，b＝3，c＝4，a＝2＋3＝5，b＝5×4＝20，c＝20×5＝100，∴输出c为100.11．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝3x＋5，用算法语句表示求f[g(2)]＋g[f(3)]的值的程序．解：程序为x←2g←3x＋5f←g2－1y1←fx←3f←x2－1g←3f＋5y2←gy←y1＋y2Print yEnd12．某中学期中考试共考了语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理、政治九门课程，试设计计算每个同学的平均分的算法．解：程序为：Read“Chinese＝”；aRead“math＝”；bRead“English＝”；cRead“physics＝”；dRead“Chemistry＝”；eRead“biology＝”；fRead“history＝”；gRead“geography＝”；hRead“politics＝”；iA←a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋iM←A/9Print M。

【优化方案】2012高中数学第1章1.3.3知能优化训练苏教版必修3

1．下列对条件语句的说法不正确的是________．①条件语句是程序语言的最基本语句；②算法中的选择结构与条件语句相对应；③当计算机执行条件语句时，首先对If 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then 后的语句，否则执行Else 后的语句；④条件语句在某些情况下也可以使用If －Then 语句．解析：在一个程序中可以只包含赋值、输入、输出语句，而不需要进行条件判断，故不能说条件语句是程序语言的最基本语句，也就是说一个程序中可以没有条件语句，所以①错误．在算法中条件语句与程序框图中的选择结构相对应，它一般分为两种语句格式，一种是If －Then －Else －End If 格式，另一种是If －Then －End If 格式．在If －Then －Else －End If 格式中，计算机执行此格式时，首先判断条件的真假，如果条件为真，则执行Then 后的语句体，否则执行Else 后的语句体，执行完毕后，转到End If 后面，继续执行End If 后面的语句，故②③④正确．答案：①2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，x ＋2，x <0，的函数值； ③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a ，b ，c 中的最大数．其中不需要用条件语句来描述其算法的有________．解析：③不需要用条件语句，因为正方形的面积一定时，其周长也一定．答案：③3．已知下列伪代码：如果输入a ＝2，b ＝3，则输出的a ，b 分别为________．解析：∵2<3，∴t ＝2，a ＝3，b ＝2，∴输出的a ，b 分别为3,2.答案：3,24.上述伪代码当x ＝2时，运行后输出的结果为________．解析：∵x ＝2>0，∴y ＝2＋3＝5.答案：5一、填空题 1．在求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >2，x －1，－2<x ≤2，6x －6，x ≤－2.在x ＝x 0时的值的算法中，下列语句不可能用的为________．①输入语句 ②条件语句 ③输出语句 ④循环语句解析：本题是求当x ＝x 0时，分段函数f (x )的函数值，故应用到条件语句，同时输入、输出语句也是必不可少的．答案：④2．在下面这个伪代码中，If a >10 Thenb ←a /10＋a Mod 10Else b ←aEnd IfPrint bEnd若输入a ＝35，则输出的b ＝________.解析：a ＝35>10，故执行b ＝a /10＋a Mod 10，即b ＝35/10＋35 Mod 10＝3＋5＝8.答案：83．(2010年高考湖南卷)如图，是求实数x 的绝对值的算法程序框图(即流程图)，则判断框①中可填________．解析：由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≥0，－x ，x ＜0或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ＞0，－x ，x ≤0，故根据所给的程序框图，易知可填x >0或x ≥0.答案：x >0或x ≥04．运行下面的伪代码，若输入x 的值为5，则输出的y 值为________．Read x ；If x <0 Theny ←(x ＋1)×(x －1)Elsey ←(x －1)×(x －1)End IfPrint y解析：∵x ＝5>0，∴y ＝(5－1)×(5－1)＝16.答案：165．下面是求一个函数的函数值的伪代码．若执行此伪代码，输出的结果为3，那么输入的x 值为________．解析：此伪代码是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x ≤0，0， 0<x ≤1，x －1， x >1，的值．若输出结果为3，则可能是x －1＝3，或－x ＝3，即x ＝4或x ＝－3.答案：4或－36．阅读下面的伪代码：If x <0 Theny ←x ＋3ElseIf x >0 Theny ←x ＋5 Elsey ←0End IfEnd IfPrint yEnd如果输入x ＝－2，则输出的结果y 为________．解析：本伪代码是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3， x <00， x ＝0的值.x ＋5， x >0输入x ＝－2时，输出y ＝－2＋3＝1.答案：17．伪代码：Read xIf 9<x And x <100 Thena ←x /10b ←x Mod10x ←10b ＋aPrint xEnd IfEnd上述伪代码如果输入的值是51，则运行结果是________．解析：∵x ＝51，∴9<x <100，∴a ＝51/10＝5，b ＝51 Mod 10＝1，∴10b ＋a ＝10×1＋5＝15.即输出结果为15.答案：158．(2010年高考北京卷)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x ＜2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图(即流程图)．①处应填写__________；②处应填写________．解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x <2，②就是函数的另一段表达式y ＝log 2x .答案：x <2 y ＝log 2x9．某算法的伪代码如下，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的值是________．答案：－12或4 二、解答题10．给出如下伪代码．(其中x 满足：0<x<12)(1)该伪代码的功能是求什么函数的函数值？(2)画出这个伪代码的流程图．.(2)流程图11．输入一个自然数N ，求其被3除得到的余数，并输出相应的信息．解：任何一个自然数N 被3除后余数有三种情况0,1,2；故可应用条件语句即可写出程序．伪代码如下：12．已知方程(ax ＋b )(cx ＋d )＝0(abcd ≠0)，试设计伪代码，对任意输入的a ，b ，c ，d(abcd ≠0)的值，输出方程的根.解：伪代码为。

【优化方案】高中数学第3章3.2.2知能优化训练苏教版选修2-1

1．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为__________．解析：∵u ·v ＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋4＝0， ∴u ⊥v .∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是__________．解析：∵u ＝－2a ，∴直线l 与平面α的法向量平行，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．解析：由题意知，向量(1，－2,2)与向量(2，λ，4)共线， ∴21＝λ－2＝42，∴λ＝－4. 答案：－44．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 1与平面AD 1C 的位置关系是__________；A 1B 与平面DD 1C 1C 的位置关系是__________．解析：A 1B 1与平面AD 1C 相交．由A 1B ∥CD 1，又A 1B ⊄平面DD 1C 1C ，CD 1⊂平面DD 1C 1C ，∴A 1B ∥平面DD 1C 1C .答案：相交平行一、填空题1．给定下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，且向量a 与平面α共面，则a ·n ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是__________．解析：①③④正确，②中由α∥β⇒n 1∥n 2. 答案：32．已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n ＝(2,4,1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是__________．解析：因为v ·n ＝2－4＋2＝0，所以v ⊥n ，又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α3．已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1,3)，且过点A (0，y,3)和B (－1,2，z )两点，则y －z ＝__________.解析：由已知得BA →＝(1，y －2,3－z )，依题意BA →∥v ，所以12＝y －2－1＝3－z 3.所以y ＝32，z ＝32，得y －z ＝0. 答案：04．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1,2)，DE →＝(x ，－3,6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝__________.解析：若DE ∥平面ABC ，则存在实数对λ、μ，使得DE →＝λAB →＋μBC →.即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝x 5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2x ＝5.答案：55．若直线l 的方向向量为v ＝(2,2,2)，向量m ＝(1，－1,0)及n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则l 与α的位置关系为__________．解析：因为v ·m ＝2－2＋0＝0，v ·n ＝0＋2－2＝0，所以v ⊥m ，且v ⊥n ，又m 、n 不平行，所以v ⊥a ，即l ⊥α.答案：l ⊥α6．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，则满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是__________．解析：M 构成的图形是经过点A ，且以n 为法向量的平面．答案：经过点A ，且n 为法向量的平面7．若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为v 1＝(1,1，－1)和v 2＝(2，－3,2)，又a 与b 的公垂线的方向向量为v ＝(x ，y,5)，则x ＋y ＝__________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧v ·v 1＝x ＋y －5＝0v ·v 2＝2x －3y ＋10＝0，所以x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.答案：58．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是__________．解析：要判断MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系，只需求出平面BB 1C 1C 的法向量与MN →的关系．如图建立空间直角坐标系，易知A 1(a ，a,0)，B (a,0，a )，C (0,0，a )，A (a ，a ，a )，则M (a ，23a ，13a )，N (23a ，23a ，a )． ∴MN →＝(－a 3，0，23a )．而平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， ∴MN →·n ＝0.∴MN →⊥n . ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：平行二、解答题 9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F .证明：(1)直线PA ∥平面EDB ； (2)直线PB ⊥平面EFD .证明：以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝2，则得下列各点的坐标D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)．(1)∵E 是PC 的中点，∴E (0,1,1)， ∵AP →＝(－2,0,2)，DE →＝(0,1,1)， BE →＝(－2，－1,1)，∴AP →＝DE →＋BE →. 又PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)∵BP →＝(－2，－2,2)，又BP →·DE →＝(－2，－2,2)·(0,1,1)＝0， ∴BP →⊥DE →，∴BP ⊥DE .又BP ⊥EF ，且EF ∩DE ＝E ，∴直线PB ⊥平面EFD . 10.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0,0,0)，E (1,1，12)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，G (1，12，0)，F (0，12，0)．∴AE →＝(0,1，12)，A 1G →＝(0，12，－1)，GF →＝(－1,0,0)．∴AE →·A 1G →＝0＋12－12＝0，AE →·GF →＝0＋0＋0＝0.∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面A 1GF .11．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C .证明：把正四棱柱如图放置在坐标系中，则各点坐标为A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，3)，D 1(0,0，3)，E (2，22，32)，F (22，2，32)．假设平面AB 1C 的法向量为n 1＝(1，λ1，u 1)，则n 1应垂直于AC →和AB 1→，而AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，3)，∴n 1·AC →＝－2＋2λ1＝0，n 1·AB 1→＝2λ1＋3u 1＝0.∴λ1＝1，u 1＝－63.∴n 1＝(1,1，－63)．再设平面D 1EF 的法向量为n 2＝(1，λ2，u 2)，则n 2应垂直于D 1E →、D 1F →.而D 1E →＝(2，22，－32)，D 1F →＝(22，2，－32)， n 2·D 1E →＝2＋22λ2－32u 2＝0， ∴n 2·D 1F →＝22＋2λ2－32u 2＝0.∴λ2＝1，u 2＝ 6.∴n2＝(1,1，6)．由于n1·n2＝1＋1－63·6＝0，∴n1⊥n2.∴平面D1EF⊥平面AB1C.。

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)第3章3.1.2知能优化训练

2012年苏教数学必修5：第3章3.4.1知能优化训练

2012年苏教数学必修5：第3章3.1知能优化训练

【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修2-1

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章本章优化总结

2012年苏教数学必修5：第3章3.4.2知能优化训练

【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2第一课时不等式的性质课件 新人教B版必修5

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章3.3

【2012优化方案】数学(苏教版必修3)课件精品：第3章3.1.2

【优化方案】2020高中数学 第3章3.1.2知能优化训练 苏教版必修3

【优化方案】2012高中数学 第2章2.3.1知能优化训练 苏教版必修3

2012年苏教数学必修5：第3章3.3.3知能优化训练

【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2第二课时课件 新人教B版必修5