2019-2020学年湖南省长沙市浏阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市浏阳市高一上学期期末数学试
题
一、单选题
1．若集合{}{|1
},|22A x x B x x =>-=-<<，则A B U 等于 A ．{|2}x x >- B ．{|1}x x >- C ．{|21}
x x -<-
D ．{|12}x x -<<
【答案】A
【解析】利用并集的定义，求得A B U . 【详解】
因为{}{|1
},|22A x x B x x =>-=-<< 所以A B =U {|2}x x >-. 【点睛】
本题考查并集的求法，解题时细心观察，注意不等式性质的合理运用. 2．用二分法研究函数()3
21f x x x =+-的零点时，第一次经计算()00f <，
()0.50f >，可得其中一个零点0x ∈ ，第二次应计算 ，以上横线应填的内
容依次为（ ） A ．()()0,0.5,0.25f B ．()()0,1,0.25f C ．()()0.5,1,0.75f D ．()()0,0.5,0.125f
【答案】A
【解析】首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答． 【详解】
由题意可知：对函数3
()21f x x x =+-，(0)0f <Q ，(0.5)0>f ，且函数在区间
(0,0.5)上连续，可得其中一个零点0(0,0.5)x ∈，使得0()0f x =，
根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算(0.25)f ， 所以答案为：(0,0.5)，(0.25)f ．
故选：A ． 【点睛】
本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思． 3．若0m n >>，则下列结论正确的是（ ） A ．33m n < B ．1133m n
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．
113
3
log log m n >
D ．33log log m n >
【答案】D
【解析】利用指数函数的图象和性质判断选项A,B 正误，利用对数函数的图象和性质判断选项C,D 的正误. 【详解】
A. 因为函数3x y =单调递增，所以33m n >，所以该选项错误；
B. 因为函数1()3x y =单调递减，所以1133m n
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以该选项错误；
C. 因为函数13
log y x =单调递减，所以1133
log log m n <，所以该选项错误；
D. 因为函数3log y x =单调递增，所以33log log m n >，所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查指数函数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()0,0,3A ，()0,4,3B ，()3,4,3C ，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三形
D ．直角三形
【答案】D
【解析】根据空间向量的坐标表示，写出AB u u u r 、AC u u u
r 、BC uuu r 的坐标，得到0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，
即可判断得解． 【详解】
在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(0A ，0，3)，(0B ，4，3)，(3C ，4，3)，
∴(0AB =u u u r ，4，0)，(3AC =u u u r ，4，0)，(3BC =u u u r
，0，0)，
且0340000AB BC ⋅=⨯+⨯+⨯=u u u r u u u r
，
∴AB BC ⊥u u u r u u u r ，
ABC ∆∴为直角三角形；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的应用问题，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：
A ．224cm π，
B ．215cm π，
C ．224cm π，
D ．以上都不正确．
【答案】A 【解析】【详解】
由三视图可得该几何体为圆锥，
且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=9π 侧面积S 侧面=π•r•l=15π
故几何体的表面积S=9π+15π=24π， 又由圆锥的高h 2= l 2-r 2=16 故V=
1
3
•S 底面•h=12π 故选A
6．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角B´-AD-C ，此时∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【答案】A
【解析】设等腰直角△ABC 中AB =AC =a ，则BC =2a ，
∴B ′D =CD =
2
a ，
∵等腰直角△ABC 斜边BC 上的高是AD=2
2
a ， ∴B ′D ⊥AD ，CD ⊥AD ，
∴∠B ′DC 是二面角B ′−AD −C 的平面角。

连结B ′，C ，∵∠B ′AC =60°，∴B ′C =a ， ∴B ′D 2+CD 2=B ′C 2， ∴∠B ′DC =90°.
∴二面角B ′−AD −C 的大小是90°. 故选：A.
点睛：本题考察了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
7．下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x ，y 都满足()()()f x y f x f y +=⋅，且在定义域内为单调递减函数的是（ ） A ．()13
log f x x =
B ．()3log f x x =
C ．()13x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．()3x
f x =
【答案】C
【解析】利用指数函数的性质以及有理数指数幂的运算性质即可求解． 【详解】
Q 函数在定义域内为单调递减函数，∴排除选项B ，D ，
又111()()()333x y x y
+=⋅Q ，∴函数1()()3
x f x =满足题意，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了指数函数的性质和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
8．若圆22240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为（ ） A ．-31 B ．-4
C ．-2
D ．-1
【答案】B
【解析】先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果. 【详解】
2222240(1)(2)5x y x y m x y m +-++=∴-++=-Q
因为圆2
2
240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6， 所以2
2
6
5()()42
2
m m -=+∴=- 故选：B 【点睛】
本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是
A ．m ⊥α，n
β，m ⊥n
α⊥β B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β
m ⊥n
C ．α⊥β，m ⊥α，n ∥βm ⊥n
D ．α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n
n ⊥β
【答案】B
【解析】因为α∥β，m ⊥α，所以m β⊥,过n 作一个平面γ，使l γβ⋂=,因为n ∥β，
//n l ,,m l m n ∴⊥∴⊥.
10．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100C ︒，水温(C)y ︒与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度
(C)y ︒与时间(min)t 近似满足函数的关系式为 10
1802t a y b -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
（,a b 为常数）, 通
常这种热饮在40C ︒时，口感最佳，某天室温为20C ︒时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A ．35min
B ．30min
C ．25min
D ．20min
【答案】C
【解析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足10
1802t a y b -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，且过点（5，100）和点（15，60）
，代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间． 【详解】
由题意，当0≤t ≤5时，函数图象是一个线段，当t ≥5时，函数的解析式为
10
1802t a y b -⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
，
点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
有510
1510
1100802160802a
a
b
b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 解得a ＝5,b=20，
故函数的解析式为5
10
180202t y -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，t ≥5．令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min ． 故选C. 【点睛】
本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．
11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，若6AB =，则点B 到平面ACE 的距离等于（ ）
A ．5
B 6
C 36
D ．3
【答案】B
【解析】由已知求得三角形ACE 的面积，再由等积法求点B 到平面ACE 的距离． 【详解】
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，E 是1BB 的中点， 则3BE =，226335AE CE =+=，62AC =
∴221
62(35)(32)962
ACE S ∆=⨯-
设点B 到平面ACE 的距离为h ，
由E ABC B ACE V V --=，得111
66396323
h ⨯⨯⨯⨯=⨯，
解得6h = 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．已知()ln ,0
0,0
x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()2
0af x bf x c ++=（a ，b ，c
为常数）恰好有7个实数根，则有（ ） A ．0ab >且0c = B ．0ac <且0b ≠ C ．240b ac -≥且0a < D ．0ab <且0c =
【答案】D
【解析】判断函数的奇偶性，结合函数的图象，转化求解即可． 【详解】
由题得函数||,0()0,0
ln x x f x x ⎧≠=⎨
=⎩是偶函数，函数的图象如图：
关于()f x 的方程2()()0af x bf x c ++=，必须有两个实数解， 即一个()0f x =，另一个()0f x >， 所以0c =，0b
a
->，即0ab <， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
二、填空题
13．已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．
【答案】1
2x 亦可）
【解析】设出幂函数解析式，根据点(求得幂函数的解析式. 【详解】
由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将(代入得1
22
α
α=
=，所以
()12f x x
=.
故答案为12x 【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.
14．两条平行直线l ：344x y +=与m ：3490x y +-=之间的距离d =______. 【答案】1.
【解析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果． 【详解】
两条平行直线:34404l x y +-=与:3490m x y +-=之间的距离
1d ==．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查两平行线间的距离公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角大小等于______. 【答案】60°
. 【解析】连接1A D ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角，连接BD 后，解三角形1BA D 即可得到异面直线
1A B 与1B C 所成的角．
【详解】
连接1A D ，由正方体的几何特征可得：11//A D B C ， 则1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角， 连接BD ，易得11BD A D A B == 故160BA D ∠=︒ 故答案为：60︒ 【点睛】
本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或者其补角，是解答本题的关键．
16．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，函数()()1
,221,x x A x x B
f x ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩.
（1）56f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
______； （2）若()f f t A ∈⎡⎤⎣⎦，则t 的取值范围是______. 【答案】
56 15,48⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得5
()6
f 的值，进而计算可得答案；（2）
根据题意，按t 的取值范围分情况讨论，分析()f t 的取值范围，求出[()]f f t 的解析式，据此分析[()]f f t A ∈的解集，即可得答案． 【详解】
（1）根据题意，1,()2
2(1),x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，即11,022
()12(1),12x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
…剟，
则551()2(1)663f =-=，
则51115[()]()63326
f f f ==+=；
（2）根据题意，分2种情况讨论： ①、当t A ∈时，1
()2
f t t =+
，则有1()12f t <…，此时
1
[()]2(1())22()122
f f t f t t t =-=-+=-，
若[()]f f t A ∈，即10122t -<
…，解可得：1142
t <…， 此时t 的取值范围为1
(4，1]2
；
②、当t B ∈时，()2(1)f t t =-，则有0()2(1)1f t t =-剟
， 其中当314t 剟时，10()2f t 剟，此时15
[()]()222f f t f t t =+=-，若[()]f f t A ∈，即510222t -剟，解可得：5
14
t 剟，舍去 当1324t <…时，1
()12f t <…，此时[()]222(1)42f f t t t =-⨯-=-，若[()]f f t A ∈，即10422t -<
…，解可得：15
28
t <…， 此时t 的取值为1[2
，5
)8；
综合可得：t 的取值范围为1(4，5
)8
．
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，分类讨论是解决本题的关键.
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点. （1）求点P 的坐标；
（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)；（2）2340x y -+=
【解析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线方程为230x y m -+=，代入点P 的坐标求得m 的值，可写出l 的方程． 【详解】
（1）由直线20x y -=与直线30x y +-=组成方程组，
得20
30
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩，
解得12x y =⎧⎨=⎩
，
所以点P 的坐标为(1,2)；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线l 的方程为230x y m -+=， 又直线l 过点(1,2)P ，所以260m -+=，解得4m =， 直线l 的方程为2340x y -+=． 【点睛】
本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
18．已知C e 经过点()0,0O 和()8,4A -，且圆心C 在直线l ：70x y --=上，求C e 的方程.
【答案】2
2
680x y x y +-+=
【解析】由题意设圆心坐标，再由到圆上点的距离等于半径可得参数的值，进而求出半径，求出圆的方程． 【详解】
由题意设圆心坐标为(,7)a a -，由题意则22OC AC =， 所以2222(7)(8)(74)a a a a +-=-+-+，解得3a =，
所以圆心(3,4)-，半径5r =， 所以圆C 的方程为22
2(3)(4)5x y +=-+．
所以C e 的方程为22
680x y x y +-+=.
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 19．已知函数()2
1
ax b
f x x +=+的定义域为[]1,1-，且满足以下两个条件：①是奇函数；②()112
f -=-
（1）求常数a ，b 的值；
（2）求证：函数()f x 在[]1,1-上是增函数； （3）若()3
110
f t ->
，求t 的取值范围. 【答案】（1）1a =，0b =（2）证明见解析（3）
4
23
t <≤ 【解析】（1）由题意可得，(0)0f b ==，1
(1)2
f -=-
，代入即可求解a ，b ；（2）由（1）可求()f x ，然后结合单调性的定义即可判断；（3）由13()310
f =，结合（2）的单
调性即可求解． 【详解】
（1）由题意可得，(0)0f b ==，1
(1)22
a f --==-， 故1a =，0
b =， （2）由（1）可得2()1
x
f x x =+， 设1211x x -<剟
， 则2121212122221221()(1)
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 因为1211x x -<剟
， 所以120x x -<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>， 故
21121222()(1)
0(1)(1)
x x x x x x --<++，即12()()f x f x <，
故函数在[1-，1]上单调递增； （3）由13
()310
f =，
故原不等式可转化为1
13t ->，且111t --剟
， 解可得4
23
t >…
． 故原不等式的解集4
(3
，2]．
【点睛】
本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．
20．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，2AB BC CD ==，
60ABC ∠=o ，M 是线段AB 的中点.
（1）求证：CM ⊥平面PAB ；
（2）已知点N 是线段PB 的中点，试判断直线CN 与平面PAD 的位置关系，并证明你的判断.
【答案】（1）证明见解析（2）//CN 平面P AD ；证明见解析
【解析】（1）证明CM AB ⊥，PA CM ⊥，即得CM ⊥平面P AB ；（2）判断//CN 平面P AD ，取线段P A 的中点F ，连结FN ，DF ，证明//CN DF ，//CN 平面PAD 即得证. 【详解】
（1）∵AB BC =，60ABC ∠=o ， ∴ABC ∆是等边三角形，M 是线段AB 的中点 ∴CM AB ⊥，
又∵PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ， ∴PA CM ⊥，
又∵PA AB A =I ，,PA AB ⊂平面PAB
∴CM ⊥平面P AB. （2）判断//CN 平面P AD.
证明：取线段P A 的中点F ，连结FN ，DF ， ∴11
//
,22
FN AB FN AB =， ∵M 是线段AB 的中点，2,//AB BC CD AB CD ==， ∴//,FN CD FN CD =， ∴CDPN 是平行四边形， ∴//CN DF ，
又∵DF ⊂平面P AD ，CN ⊄平面P AD ， ∴//CN 平面P AD. 【点睛】
本题主要考查线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知函数()()0.5log 1f x x =+，()322x g x =- （1）解不等式()1f x >；
（2）设()()()F x f x g x k =++（k 为常数）
①求()F x 的定义域，并判断()F x 的单调性（无需证明）； ②若()F x 在[]0,3上有零点，求k 的取值范围. 【答案】（1）11,2⎛
⎫
--
⎪⎝⎭
（2）①定义域是(]1,5-，()F x 在定义域(]1,5-上单调递减②31,226⎡⎤--⎣⎦
【解析】（1）列出不等式即可解出解集；（2）①根据解析式可得10
3220x
x +>⎧⎨-⎩
…，解出即
可，根据复合函数单调性可得()F x 为减函数；②利用函数的单调性得到
()()()()min max ,f x g x f x g x ++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即得解.
【详解】
（1）由()()0.5log 11f x x =+>得1
012
x <+<
， 解得112x -<<-
，故解集为11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
（2）①由10
3220x
x +>⎧⎨-≥⎩
解得：15x -<≤， ∴()F x 的定义域是(]1,5-，
判断：()F x 在定义域(]1,5-上单调递减.
②()F x 在[]0,3上有零点，即方程()0F x =在[]0,3上有解，
即()0.5log 1k x -=++[]0,3上有解， ∵()(),f x g x 在[]0,3上是减函数， ∴()()f x g x +在[]0,3上是减函数，
∴()()()()min 332f x g x f g +=+=⎡⎤⎣⎦，
()()()()
max 00f x g x f g +=+=⎡⎤⎣⎦
∴k 的取值范围是：2⎡-⎣.
【点睛】
本题主要考查求函数的定义域，考查对数不等式的解法，考查函数单调性的应用和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P 落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量M （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示：
第t 天 6 13 20 27
M （万股） 34 27 20 13
（1）根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式P =______；
（2）根据表中数据，写出日交易量M （万股）与时间t （天）的一次函数关系式：
M =______；
（3）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？
【答案】（1）()()1
20205
18203010
t t t t ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩（t N ∈）（2）40t -+，（030,t t N <≤∈）（3）
()2
1604010
y t =
--；在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元 【解析】（1）利用待定系数法，分段求函数解析式即可；（2）利用待定系数法即可求出结果；（3）分段求出y 的最大值，再比较即可． 【详解】
（1）当020t <≤时，设函数解析式为P at b =+，
把点(0,2)和(10,4)代入得：2104b a b =⎧⎨+=⎩，解得：152
a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，∴1
25P t =+.
当20t =时，6P =.
当2030t <…时，设函数解析式为P mt n =+，
把点(20,6)和(30,5)代入得：206305m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：1108m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴1
810P t =-+，
1
2,020,5
().18,203010
t t P t N t t ⎧+<≤⎪⎪∴=∈⎨⎪-+<⎪⎩，…
（2）设M ct d =+，(0)c ≠，
把点(6,34)和点(13,27)代入得634
1327c d c d +=⎧⎨
+=⎩
，解得140c d =-⎧⎨=⎩，
40M t ∴=-+，（030,t t N <≤∈）.
（3）()()()()124002051840203010
t t t y t t t ⎧⎛⎫
+-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（t N ∈）
①当020t <≤时，()2
1
124068055
y t t t t ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭
，
当
6
1525
t =-
=-时，max 125y =（万元）； ②当20t 30<≤时，∵()2
2111232060401010
y t t t =
-+=--， ∴函数y 在(]20,30是单调减函数， ∴50120y ≤<，
综合①和②，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元. 【点睛】
本题主要考查了函数的实际运用，考查函数的解析式的求法和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。