面齿轮传动安装误差特性研究
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r
( 1) d
离啮合点越远离接触面距离越大 ,弹性变形越小 ,在 啮合域边界上弹性变形量为零 ,所以边界上 | h1 - h2 | = | δ 1 | +| δ 2 | =δ 因此可推得两齿面接触点压陷量 δ 与啮合域半 径平方和啮合点处诱导法曲率成正比 。面齿轮啮合 域为一椭圆 , 设其一半轴方向与直齿轮在啮合点处 ( 1) ( 1) 主曲率方向 eI 的夹角为 σ, eI 与面齿轮在啮合点 处主曲率方向 eI 的夹角为 σ′ 。因此啮合域两半轴 方向诱导法曲率 ka 和 kb 分别为
us ( 1)
可求得刀具与面齿轮啮合点处的相对速度在 S s 坐标系中为 γ γ - ys ( 1 - i2 s co s m ) - zs i 2 s sin m co s<s
vs2 = ωs
γ γ xs ( 1 - i2 s co s m ) + zs i 2 s sin m sin <s γ i2 s sin m ( xs co s<s - ys sin <s )
贺 鹏
摘 要 : 对渐开线直齿圆柱齿轮和面齿轮的啮合传动的安装误差范围进行了研究 。建立了面齿轮 齿面方程 ,应用微分几何和啮合原理形成了齿面啮合迹 ; 通过分析齿面啮合点处的弹性变形与其曲 率的关系 ,得到了面齿轮上的齿面啮合域 ; 最后分析了安装误差对传动误差和啮合域的影响 , 并确 定了满足设计啮合域要求的安装误差变动范围 。 关 键 词 : 面齿轮 ; 安装误差 ; 传动误差 ; 啮合迹 ; 啮合域 中图分类号 : TH13 文献标识码 : A 文章编号 : 1003 2 8728 ( 2008 ) 01 2 0092 2 04
Tooth Con tact Ana lysis of Face2gear M esh in g
He Peng, L iu Guanglei
( School of M echatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi′ an 710072 )
面齿轮传动是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮啮合的 [1] 齿轮传动 ,它有许多独特的优点 。美国将其应用 [2] 于航空动力传动装置中 , 发现它还能使装置重量 轻 ,振动小 ,噪音低 。我国目前对它的研究还远远不 够 ,投入实际应用的也不多 。本文从几何分析方面 对面齿轮齿面 、 啮合迹和啮合域的生成作了研究 ,通 过计算机辅助分析了安装误差对啮合域有何影响 , 得到了在给定齿面压陷量时各项安装误差变动范 围 ,以此来指导实际应用中如何控制面齿轮安装误 差 ,使啮合域处在一个良好的位置 。
收稿日期 : 2006 - 09 - 11 作者简介 : 贺 鹏 ( 1982 - ) ,男 ,硕士 , 研究方向为机械设计及理论 ,
hehepeng@56. com
图 1 加工面齿轮应用坐标系
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
0
γ - sin m sin <2 γ - sin m co s<2 γ co s m
0
0 0 0 1
( 6)
γ - sin <2 co s<s + co s m co s<2 sin <s γ sin m sin <s
0
2 啮合分析 211 点接触的形成
Leabharlann Baidu
在齿轮刀具加工面齿轮的过程中 , 可以看作是 刀具齿轮和面齿轮的啮合过程 。这时的啮合是线接 触的 ,接触线是沿齿面倾斜的 。我们用齿数略小于 刀具的圆柱齿轮和面齿轮啮合时 , 由于圆柱齿轮的 齿面的曲率大于刀具的曲率 , 我们可以假想刀具的 齿面夹在面齿轮齿面和圆柱齿轮齿面之间 , 可以把 整个的啮合假想成面齿轮和刀具的啮合与刀具和圆 柱齿轮的内啮合的合成 , 刀具和圆柱齿轮都是标准 渐开线齿轮 ,其啮合也是线接触的 ,但其与齿轮轴线 平行 ,这两种啮合线的交点就是面齿轮和圆柱齿轮 的啮合点 。 212 应用坐标系 啮合分析时选择 6 个坐标系 : 4 个固定坐标系 Sf 、 Sd 和 Sp 、 S e , 2 个动坐标系 S1 和 S2 。 当无安装误差时 , 固定坐标系 S f 和 S p 分别与 直齿轮和面齿轮的支架固连 , 由于刀具和直齿轮分 度圆半径不同 , 所以坐标原点 of 和 op 不重合 , op 和 zf 轴的距离为 B 。 当有安装误差时 , 固定坐标系 S d 和 S e 分别与 直齿轮和面齿轮的支架固连 , 此时所有固定坐标系 的位置关系如图 2。图 2 中 , 坐标系 S d 沿其 x 轴对 S f 的偏移 ΔE 为直齿轮的安装偏置距 , 直齿轮的轴
ka = kⅠ co sσ + kⅡ
( 2) ( 1) ( 2)
= - rb [ co s ( < 1 ) +θsin ( < 1 ) ] ′ +θ ′ +θ 0 +θ 0 +θ u ( 8) ) - co s ( < 1 ′ +θ 0 +θ n
rd n
( 2) ( 2) d
= M d 2 r2 (θ s , <s ) = L d 2 n2 (θ s , <s )
L d 2由 M d 2得出 , 其中
http://www.cnki.net
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
[5]
向误差对传动无影响 , 所以此处没有标出直齿轮的 轴向误差 , 坐标系 S e 和 S p 的 z轴的偏移 Δq为面齿 γ 轮的轴向安装误差 , 坐标系 S e 绕其 z 轴的转角 Δ 为轴交角误差 。
图 2 啮合分析应用坐标系
动坐标系 S1 和 S2 分别与直齿轮和面齿轮固 连 , 初始时它们分别与坐标系 S d 和 S e 重合 , 当面齿 轮转过 <2′ 角时 , 直齿轮转过 <1′ 。 213 啮合迹方程 在前面论述中已介绍了面齿轮齿面的生成 , 通 过以下方程将其和其法线从 S2 转换到 S d
1
γ) sin < 2 γ) co s< 2 γ) Δqco s γ - sin (γ ′- sin (γ ′ co s (γ t m - Δ m - Δ m - Δ m - B co γ
( 7)
直齿轮齿面和其法线在 S d 中为 ) -θ ) ] rb [ sin ( < 1 ′ +θ co s ( < 1 ′ +θ 0 +θ 0 +θ
ns = - sin (θ 0 s +θ s) ( 2)
因此得啮合方程为 γ f ( us ,θ = ns ・vs2 = ωs [ rbs ( 1 - i2 s co s s , <s ) m ) γ ( 4) us i2 s sin m co s ( <s +θ 0 s +θ s) ] = 0 通过坐标变换把啮合点的坐标由坐标系 S s 变 换到坐标系 S2 得齿面方程为 f ( us ,θ =0 s , <s ) ( 5) r2 = M 2 s ・ rs
http://www.cnki.net
第 1期
贺 鹏等 : 面齿轮传动安装误差特性研究
93
112 刀具齿轮齿面
113 产生面齿轮齿面
直齿轮刀具在坐标系 S s 中的 xs os ys 截面为渐开 线齿形 , 可得刀面在坐标系 S s 中的方程为 θ rbs [ sin (θ 0 s +θ s) - θ s co s ( 0 s +θ s) ] θ rs ( us ,θ - rbs [ co s (θ s) = 0 s +θ s ) +θ s sin ( 0 s +θ s) ]
2008 年 第 27 卷
1月 第 1期
机械科学与技术 M echanical Science and Technology for Aerospace Engineering
January 2008 Vol . 27 No. 1
面齿轮传动安装误差特性研究
贺 鹏 ,刘光磊
(西北工业大学 机电学院 ,西安 710072)
94 co s< 2 ′
M d 2 =M d fM f pM p eM e 2 =
机械科学与技术
第 27 卷
- sin < 2 ′
0
- ΔE
γ) sin < 2 γ) co s< 2 γ) co s (γ ′ co s (γ ′ sin (γ m - Δ m - Δ m - Δ
0 0 0
γ B +Δq sin m
S2 和 S p 重合 , 动坐标系 S s 和 S2 各绕其 z轴转动 , 转
角分别为 <s 和 <2 , <2 = i2 s ・ <s = <s ・N s /N 2 , N s 和 N 2 分别为刀具和面齿轮齿数 。
推导面齿轮齿面时选择了 4 个坐标系 : 两个固 定坐标系 Sm ( xm , ym , zm ) 和 S p ( xp , yp , zp ) , 两个动坐
Abstract: The scope of installation errors of a face 2gear drive w ith an involute spur p inion was studied. Equations for describing the tooth surface of a face 2gear were established, and the contact path was for m ed by differential ge2 om etry and m eshing theory . Contact ellip se was obtained through analysis of the relation of defor m ation and curva2 tures . The influence of installation errors on transm ission errors and contact ellip se was analyzed, and the scope of installation errors was determ ined w ith the contact area on the surface of the face 2gear p redeterm ined. Key words: face 2gear; installation error; trans m ission error; contact path; contact ellip se
( 3)
式中 : rbs为基圆半径 ;θ s 为渐开线参数 , 其取值范围为
[ rfs - rbs / rbs ,
2 2
ras - rbs / rbs ], rfs为齿根圆半径 , ras为齿
2
2
顶圆半径 , us 为 zs 轴方向的参数 ;θ 0s由齿宽在基圆上对 π α 应展角决定 ,θ - inv 0s = 0 ,α 0 为分度圆压力角。 2N s 通过上面得刀面的单位法线为 - co s (θ 0 s +θ s)
M 2 s为坐标系 S s 到坐标系 S2 的变换矩阵
[4 ]
[3]
0
γ co s<2 co s<s + co s m sin <2 sin <s
M 2s =
γ - co s<2 sin <s + co s m sin <2 co s<s γ sin <2 sin <s + co s m co s<2 co s<s γ sin m co s<s
1 面齿轮齿面生成 111 应用坐标系
标系 S s ( xs , ys , zs ) 和 S2 ( x2 , y2 , z2 ) 。 固定坐标系 Sm 和 S p 分别固连在刀具支架和面 齿轮支架上 , 它们的原点重合在刀具轴线和面齿轮 轴线的交点上 , 并且它们的 x 轴重合 。 动坐标系 S s 和 S2 分别与刀具和面齿轮固连 , zm 和 zp 轴交角 γ -γ 。初始时坐标系 S s 和 Sm 、 m = 180 °
( 1) d
离啮合点越远离接触面距离越大 ,弹性变形越小 ,在 啮合域边界上弹性变形量为零 ,所以边界上 | h1 - h2 | = | δ 1 | +| δ 2 | =δ 因此可推得两齿面接触点压陷量 δ 与啮合域半 径平方和啮合点处诱导法曲率成正比 。面齿轮啮合 域为一椭圆 , 设其一半轴方向与直齿轮在啮合点处 ( 1) ( 1) 主曲率方向 eI 的夹角为 σ, eI 与面齿轮在啮合点 处主曲率方向 eI 的夹角为 σ′ 。因此啮合域两半轴 方向诱导法曲率 ka 和 kb 分别为
us ( 1)
可求得刀具与面齿轮啮合点处的相对速度在 S s 坐标系中为 γ γ - ys ( 1 - i2 s co s m ) - zs i 2 s sin m co s<s
vs2 = ωs
γ γ xs ( 1 - i2 s co s m ) + zs i 2 s sin m sin <s γ i2 s sin m ( xs co s<s - ys sin <s )
贺 鹏
摘 要 : 对渐开线直齿圆柱齿轮和面齿轮的啮合传动的安装误差范围进行了研究 。建立了面齿轮 齿面方程 ,应用微分几何和啮合原理形成了齿面啮合迹 ; 通过分析齿面啮合点处的弹性变形与其曲 率的关系 ,得到了面齿轮上的齿面啮合域 ; 最后分析了安装误差对传动误差和啮合域的影响 , 并确 定了满足设计啮合域要求的安装误差变动范围 。 关 键 词 : 面齿轮 ; 安装误差 ; 传动误差 ; 啮合迹 ; 啮合域 中图分类号 : TH13 文献标识码 : A 文章编号 : 1003 2 8728 ( 2008 ) 01 2 0092 2 04
Tooth Con tact Ana lysis of Face2gear M esh in g
He Peng, L iu Guanglei
( School of M echatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi′ an 710072 )
面齿轮传动是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮啮合的 [1] 齿轮传动 ,它有许多独特的优点 。美国将其应用 [2] 于航空动力传动装置中 , 发现它还能使装置重量 轻 ,振动小 ,噪音低 。我国目前对它的研究还远远不 够 ,投入实际应用的也不多 。本文从几何分析方面 对面齿轮齿面 、 啮合迹和啮合域的生成作了研究 ,通 过计算机辅助分析了安装误差对啮合域有何影响 , 得到了在给定齿面压陷量时各项安装误差变动范 围 ,以此来指导实际应用中如何控制面齿轮安装误 差 ,使啮合域处在一个良好的位置 。
收稿日期 : 2006 - 09 - 11 作者简介 : 贺 鹏 ( 1982 - ) ,男 ,硕士 , 研究方向为机械设计及理论 ,
hehepeng@56. com
图 1 加工面齿轮应用坐标系
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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γ - sin m sin <2 γ - sin m co s<2 γ co s m
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0 0 0 1
( 6)
γ - sin <2 co s<s + co s m co s<2 sin <s γ sin m sin <s
0
2 啮合分析 211 点接触的形成
Leabharlann Baidu
在齿轮刀具加工面齿轮的过程中 , 可以看作是 刀具齿轮和面齿轮的啮合过程 。这时的啮合是线接 触的 ,接触线是沿齿面倾斜的 。我们用齿数略小于 刀具的圆柱齿轮和面齿轮啮合时 , 由于圆柱齿轮的 齿面的曲率大于刀具的曲率 , 我们可以假想刀具的 齿面夹在面齿轮齿面和圆柱齿轮齿面之间 , 可以把 整个的啮合假想成面齿轮和刀具的啮合与刀具和圆 柱齿轮的内啮合的合成 , 刀具和圆柱齿轮都是标准 渐开线齿轮 ,其啮合也是线接触的 ,但其与齿轮轴线 平行 ,这两种啮合线的交点就是面齿轮和圆柱齿轮 的啮合点 。 212 应用坐标系 啮合分析时选择 6 个坐标系 : 4 个固定坐标系 Sf 、 Sd 和 Sp 、 S e , 2 个动坐标系 S1 和 S2 。 当无安装误差时 , 固定坐标系 S f 和 S p 分别与 直齿轮和面齿轮的支架固连 , 由于刀具和直齿轮分 度圆半径不同 , 所以坐标原点 of 和 op 不重合 , op 和 zf 轴的距离为 B 。 当有安装误差时 , 固定坐标系 S d 和 S e 分别与 直齿轮和面齿轮的支架固连 , 此时所有固定坐标系 的位置关系如图 2。图 2 中 , 坐标系 S d 沿其 x 轴对 S f 的偏移 ΔE 为直齿轮的安装偏置距 , 直齿轮的轴
ka = kⅠ co sσ + kⅡ
( 2) ( 1) ( 2)
= - rb [ co s ( < 1 ) +θsin ( < 1 ) ] ′ +θ ′ +θ 0 +θ 0 +θ u ( 8) ) - co s ( < 1 ′ +θ 0 +θ n
rd n
( 2) ( 2) d
= M d 2 r2 (θ s , <s ) = L d 2 n2 (θ s , <s )
L d 2由 M d 2得出 , 其中
http://www.cnki.net
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
[5]
向误差对传动无影响 , 所以此处没有标出直齿轮的 轴向误差 , 坐标系 S e 和 S p 的 z轴的偏移 Δq为面齿 γ 轮的轴向安装误差 , 坐标系 S e 绕其 z 轴的转角 Δ 为轴交角误差 。
图 2 啮合分析应用坐标系
动坐标系 S1 和 S2 分别与直齿轮和面齿轮固 连 , 初始时它们分别与坐标系 S d 和 S e 重合 , 当面齿 轮转过 <2′ 角时 , 直齿轮转过 <1′ 。 213 啮合迹方程 在前面论述中已介绍了面齿轮齿面的生成 , 通 过以下方程将其和其法线从 S2 转换到 S d
1
γ) sin < 2 γ) co s< 2 γ) Δqco s γ - sin (γ ′- sin (γ ′ co s (γ t m - Δ m - Δ m - Δ m - B co γ
( 7)
直齿轮齿面和其法线在 S d 中为 ) -θ ) ] rb [ sin ( < 1 ′ +θ co s ( < 1 ′ +θ 0 +θ 0 +θ
ns = - sin (θ 0 s +θ s) ( 2)
因此得啮合方程为 γ f ( us ,θ = ns ・vs2 = ωs [ rbs ( 1 - i2 s co s s , <s ) m ) γ ( 4) us i2 s sin m co s ( <s +θ 0 s +θ s) ] = 0 通过坐标变换把啮合点的坐标由坐标系 S s 变 换到坐标系 S2 得齿面方程为 f ( us ,θ =0 s , <s ) ( 5) r2 = M 2 s ・ rs
http://www.cnki.net
第 1期
贺 鹏等 : 面齿轮传动安装误差特性研究
93
112 刀具齿轮齿面
113 产生面齿轮齿面
直齿轮刀具在坐标系 S s 中的 xs os ys 截面为渐开 线齿形 , 可得刀面在坐标系 S s 中的方程为 θ rbs [ sin (θ 0 s +θ s) - θ s co s ( 0 s +θ s) ] θ rs ( us ,θ - rbs [ co s (θ s) = 0 s +θ s ) +θ s sin ( 0 s +θ s) ]
2008 年 第 27 卷
1月 第 1期
机械科学与技术 M echanical Science and Technology for Aerospace Engineering
January 2008 Vol . 27 No. 1
面齿轮传动安装误差特性研究
贺 鹏 ,刘光磊
(西北工业大学 机电学院 ,西安 710072)
94 co s< 2 ′
M d 2 =M d fM f pM p eM e 2 =
机械科学与技术
第 27 卷
- sin < 2 ′
0
- ΔE
γ) sin < 2 γ) co s< 2 γ) co s (γ ′ co s (γ ′ sin (γ m - Δ m - Δ m - Δ
0 0 0
γ B +Δq sin m
S2 和 S p 重合 , 动坐标系 S s 和 S2 各绕其 z轴转动 , 转
角分别为 <s 和 <2 , <2 = i2 s ・ <s = <s ・N s /N 2 , N s 和 N 2 分别为刀具和面齿轮齿数 。
推导面齿轮齿面时选择了 4 个坐标系 : 两个固 定坐标系 Sm ( xm , ym , zm ) 和 S p ( xp , yp , zp ) , 两个动坐
Abstract: The scope of installation errors of a face 2gear drive w ith an involute spur p inion was studied. Equations for describing the tooth surface of a face 2gear were established, and the contact path was for m ed by differential ge2 om etry and m eshing theory . Contact ellip se was obtained through analysis of the relation of defor m ation and curva2 tures . The influence of installation errors on transm ission errors and contact ellip se was analyzed, and the scope of installation errors was determ ined w ith the contact area on the surface of the face 2gear p redeterm ined. Key words: face 2gear; installation error; trans m ission error; contact path; contact ellip se
( 3)
式中 : rbs为基圆半径 ;θ s 为渐开线参数 , 其取值范围为
[ rfs - rbs / rbs ,
2 2
ras - rbs / rbs ], rfs为齿根圆半径 , ras为齿
2
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顶圆半径 , us 为 zs 轴方向的参数 ;θ 0s由齿宽在基圆上对 π α 应展角决定 ,θ - inv 0s = 0 ,α 0 为分度圆压力角。 2N s 通过上面得刀面的单位法线为 - co s (θ 0 s +θ s)
M 2 s为坐标系 S s 到坐标系 S2 的变换矩阵
[4 ]
[3]
0
γ co s<2 co s<s + co s m sin <2 sin <s
M 2s =
γ - co s<2 sin <s + co s m sin <2 co s<s γ sin <2 sin <s + co s m co s<2 co s<s γ sin m co s<s
1 面齿轮齿面生成 111 应用坐标系
标系 S s ( xs , ys , zs ) 和 S2 ( x2 , y2 , z2 ) 。 固定坐标系 Sm 和 S p 分别固连在刀具支架和面 齿轮支架上 , 它们的原点重合在刀具轴线和面齿轮 轴线的交点上 , 并且它们的 x 轴重合 。 动坐标系 S s 和 S2 分别与刀具和面齿轮固连 , zm 和 zp 轴交角 γ -γ 。初始时坐标系 S s 和 Sm 、 m = 180 °