2021年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测三十九直线与方程

2021年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测三十九直线与方
程
1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．
解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－
33，设倾斜角为α，则tan α＝－33
，所以α＝5π
6
.
答案：5π6
2．(xx·常州期中)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．
解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋72＝1，
b ＋1
2＝－1，
解得a ＝－5，b
＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－1
3
.
答案：－1
3
3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________．
解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.
答案：x －2y －1＝0
4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14
－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之
间的距离d ＝|－3－7|
32＋4
2
＝2. 答案：2
5．(xx·徐州高三月考)已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果
这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值集合________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的取值集合为{0,1,2}．
答案：{0,1,2}
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2
a
＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.
答案：－2或1
2．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R), l 在两坐标轴上截距相等，则l 的方程为________．
解析：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2
a ＋1
，∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.
答案：3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0
3．(xx·无锡一中高三模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为_____________．
解析：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x 1，y 1)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2·x 1
－12－3·y 1
＋52＋6＝0，y 1－5x 1
＋1＝－32，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2x 1－3y 1－5＝0，
3x 1＋2y 1－7＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝31
13
，
y 1
＝－1
13
，即A ′⎝
⎛⎭⎪⎫3113
，－113，
∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A ′点在直线BC 上． ∴直线BC 的方程为y ＝－1
13
－(－1)3113
－0x －1，
整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0
4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是________．
解析：由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|
2
＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2.
答案：5 2
5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的
中点为P ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．
解析：依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y
2＝0，
2x ＋y
2＝5，
解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2
＝10.
答案：10
6．(xx·南通期中)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2
y ＝2a 2
＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a 的值为________．
解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，
因为0＜a ＜2，所以当a ＝1
2
时，面积最小．
答案：12
7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．
解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋3
2，
即直线l 2的斜率为1
2
.
答案：12
8．(xx·苏州模拟)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，
当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．
解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2(x
－1)，即x ＋2y －3＝0.
答案：x ＋2y －3＝0
9．(x x·泰州期初)若直线l ：x a ＋y
b
＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．
解析：由直线经过点(1,2)得1a ＋2b
＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a
＋
2a
b
≥2
b a ×2a b ＝22⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2.
答案：3＋2 2
10.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD ＞kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞) 二、解答题
11．(xx·启东中学高三周练)已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．
(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，
∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴
|10＋5λ－5|(2＋λ)2
＋(1－2λ)
2
＝3，
即2λ2
－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12
，
∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l
的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．
∴d max ＝PA ＝(5－2)2
＋(0－1)2
＝10. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋2＝0，1－y ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝1.
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，
要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ≤－2，
1＋2k ≥1，
解得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意， 故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，
得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0,1＋2k )．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，
1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∵S ＝12·OA ·OB ＝12· ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2
k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
当且仅当k ＝1
2
时等号成立，
∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。