第七章 拉普拉斯变换
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−βt (β 函数f (t )， ≥ 0)的拉氏变换 就是 f (t )u (t )e ， > 0)的傅氏变换. (t
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•
0, t < 0 求单位阶跃函数u (t ) = ，符号函数 sgn t = 0, | t |= 0， 例1． 1, t > 0 −1, t < 0 f (t ) = 1 的拉氏变换.
复变函数
与积分变换
Hale Waihona Puke Baidu
参考用书
《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6
《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
0
计算很困难……
ɶ 例2中，L[e at ] =
1 , (Re( s ) > a ) s−a
1 jωt 由于 cos ωt = (e + e − jωt )，由线性性质得： 2
1 ɶ ɶ ɶ ⇒ L[cos ωt ] = ( L[e jωt ] + L[e − jωt ]), 2
1 1 1 s = [ + ]= 2 . 2 s − jω s + jω s +ω2
ɶ ɶ F [α f1 (t ) + β f 2 (t )] = α F1 (ω ) + β F2 (ω ), F −1[α F1 (ω ) + β F2 (ω )] = α f1 (t ) + β f 2 (t ),
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求函数 cos ωt的拉氏变换. • 例1．
ɶ[cos ωt ] = +∞ cos ωte − st dt 解：L ∫
1．线性性质
ɶ ɶ 设α , β 为常数，且有L[ f1 (t )] = F1 ( s )，L[ f 2 (t )] = F2 ( s)，则有：
ɶ L[α f1 (t ) + β f 2 (t )] = α F1 ( s) + β F2 ( s),
ɶ L−1[α F1 ( s ) + β F2 ( s )] = α f1 (t ) + β f 2 (t ).
ɶ[u (t )] = +∞ e − st dt = − 1 e− st 解： (1) L ∫0 s 1 ɶ 即：L[u (t )] = , Re( s ) > 0； s
+∞ 0
1,
t>0
1 = , Re( s ) > 0 s
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
+∞ 0
ɶ[sgn t ] = +∞ (sgn t )e − st dt = +∞ e − st dt = − 1 e − st (2) L ∫0 ∫0 s 1 ɶ 即：L[sgn t ] = , Re( s ) > 0； s
在s某一域内收敛，则称 F ( s ) = ∫0 f (t )e− st dt 为函数f (t )的拉普拉斯变换式，
ɶ 记为： ( s ) = L[ f (t )]. F
+∞
F ( s)称为函数f (t )的拉氏变换，f (t )称为函数F ( s)的拉氏逆变换，
ɶ 记为：f (t ) = L−1[ F ( s )].
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求指数函数f (t ) = e at的拉氏变换（a为实数） . • 例2．
ɶ[ f (t )] = +∞ e at ⋅ e − st dt = +∞ e − ( s − a ) t dt 解： L ∫ ∫
0 0
=−
1 −( s−a ) e s−a
+∞ 0
=
1 , R( s − a) > 0 s−a
ɶ 即：L[e at ] =
1 , (Re( s ) > a ). s−a
由上式可得：
1 ɶ L[e − at ] = , (Re( s ) > − a ), s+a
1 ɶ L[ect ] = , (Re( s ) > Re(c)). s−c
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第二节 拉氏变换的性质
一、线性与相似性质
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目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
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复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换
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第七章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了 重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它 仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号 分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东 西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们 针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这 些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的 刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介 绍的是后面这种情况．
ɶ 即：L[cos ωt ] =
s ɶ[sin ωt ] = ω . ，同理：L 2 2 s2 + ω 2 s +ω
w奇函数
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w偶函数
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•
已知 例2． F (s) =
5s − 1 ɶ ，求L−1[ F ( s )]. ( s + 1)( s − 2)
1 5s − 1 1 1 ɶ L[e at ] = F =2 +3 , 解： ( s) = s−a s +1 s−2 ( s + 1)( s − 2)
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第七章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换的概念 7.2 拉氏变换的性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉氏变换的应用及综合举例 本章小结 思考题
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第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
− st 定义1：设函数f (t )当t > 0时有定义，而积分∫0 f (t )e dt，(s为一个复参量) +∞
1 = , Re( s ) > 0 s
ɶ[1] = +∞ e − st dt = − 1 e − st (3) L ∫0 s
1 ɶ 即：L[1] = , Re( s ) > 0. s
+∞ 0
1 = , Re( s ) > 0 s
一般规定：在拉氏变换中f (t )均理解为：f (t ) = 0，t < 0.
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0, t < 0 求单位阶跃函数u (t ) = ，符号函数 sgn t = 0, | t |= 0， 例1． 1, t > 0 −1, t < 0 f (t ) = 1 的拉氏变换.
复变函数
与积分变换
Hale Waihona Puke Baidu
参考用书
《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6
《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
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计算很困难……
ɶ 例2中，L[e at ] =
1 , (Re( s ) > a ) s−a
1 jωt 由于 cos ωt = (e + e − jωt )，由线性性质得： 2
1 ɶ ɶ ɶ ⇒ L[cos ωt ] = ( L[e jωt ] + L[e − jωt ]), 2
1 1 1 s = [ + ]= 2 . 2 s − jω s + jω s +ω2
ɶ ɶ F [α f1 (t ) + β f 2 (t )] = α F1 (ω ) + β F2 (ω ), F −1[α F1 (ω ) + β F2 (ω )] = α f1 (t ) + β f 2 (t ),
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求函数 cos ωt的拉氏变换. • 例1．
ɶ[cos ωt ] = +∞ cos ωte − st dt 解：L ∫
1．线性性质
ɶ ɶ 设α , β 为常数，且有L[ f1 (t )] = F1 ( s )，L[ f 2 (t )] = F2 ( s)，则有：
ɶ L[α f1 (t ) + β f 2 (t )] = α F1 ( s) + β F2 ( s),
ɶ L−1[α F1 ( s ) + β F2 ( s )] = α f1 (t ) + β f 2 (t ).
ɶ[u (t )] = +∞ e − st dt = − 1 e− st 解： (1) L ∫0 s 1 ɶ 即：L[u (t )] = , Re( s ) > 0； s
+∞ 0
1,
t>0
1 = , Re( s ) > 0 s
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
+∞ 0
ɶ[sgn t ] = +∞ (sgn t )e − st dt = +∞ e − st dt = − 1 e − st (2) L ∫0 ∫0 s 1 ɶ 即：L[sgn t ] = , Re( s ) > 0； s
在s某一域内收敛，则称 F ( s ) = ∫0 f (t )e− st dt 为函数f (t )的拉普拉斯变换式，
ɶ 记为： ( s ) = L[ f (t )]. F
+∞
F ( s)称为函数f (t )的拉氏变换，f (t )称为函数F ( s)的拉氏逆变换，
ɶ 记为：f (t ) = L−1[ F ( s )].
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求指数函数f (t ) = e at的拉氏变换（a为实数） . • 例2．
ɶ[ f (t )] = +∞ e at ⋅ e − st dt = +∞ e − ( s − a ) t dt 解： L ∫ ∫
0 0
=−
1 −( s−a ) e s−a
+∞ 0
=
1 , R( s − a) > 0 s−a
ɶ 即：L[e at ] =
1 , (Re( s ) > a ). s−a
由上式可得：
1 ɶ L[e − at ] = , (Re( s ) > − a ), s+a
1 ɶ L[ect ] = , (Re( s ) > Re(c)). s−c
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第二节 拉氏变换的性质
一、线性与相似性质
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目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
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复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换
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第七章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了 重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它 仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号 分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东 西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们 针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这 些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的 刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介 绍的是后面这种情况．
ɶ 即：L[cos ωt ] =
s ɶ[sin ωt ] = ω . ，同理：L 2 2 s2 + ω 2 s +ω
w奇函数
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w偶函数
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已知 例2． F (s) =
5s − 1 ɶ ，求L−1[ F ( s )]. ( s + 1)( s − 2)
1 5s − 1 1 1 ɶ L[e at ] = F =2 +3 , 解： ( s) = s−a s +1 s−2 ( s + 1)( s − 2)
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第七章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换的概念 7.2 拉氏变换的性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉氏变换的应用及综合举例 本章小结 思考题
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第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
− st 定义1：设函数f (t )当t > 0时有定义，而积分∫0 f (t )e dt，(s为一个复参量) +∞
1 = , Re( s ) > 0 s
ɶ[1] = +∞ e − st dt = − 1 e − st (3) L ∫0 s
1 ɶ 即：L[1] = , Re( s ) > 0. s
+∞ 0
1 = , Re( s ) > 0 s
一般规定：在拉氏变换中f (t )均理解为：f (t ) = 0，t < 0.