中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试理科数学试卷(一卷)
新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断测试数学(理)试题扫描版含答案
2018年高三年级学业水平学科能力第一次诊断测试理科数学（问卷）（卷面分a ：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1・本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答題卡）的指定位逻上. 2 •答卷前■先将答卷密封埃内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第I 卷（选择题共60分）一•迭择J8：本大B!共12小題■每小JS 5分•在每小題给出的四个选项中■只有一项是符合10目要求的.1・设全集 C/ = R,集合 4«|%lz>I|.B=|xk 2-2x-3>0| 侧 二 A. -IIB ・ khWl}C ・ |xl -1 <xCl|D ・(xll <%<3|2.复数二的共毙复数足3.下列函数中，既趕偶函数乂在（-8 ,0）上承调递增的函数是 A.y = ? B ・厂2皿 C.y-lofcy-TD ・y“2 4•若变盘机）满足釣束条件则3爲十2丿的最大值是 3“y -4w0. A.OB.2C.5D.65. 一个直三梭柱的三视图如图所示■其中傅视图是1E A卑B"C.220山年离三邻flMhk 水平力划一次诊《J8B 试理科效学・F+« «1M （ JU JDA. 1 -iD.4正6. 函数/{x)=(e则不等式/{X )>1的解集为l-log 3(x-l) («>2)tA. (1,2) B ・(-8,却 C ・(lD. [2.令8)7. 执行如图所示的程序IS 图，则輸出S 的值为 A.4 097 B.9 217D. 20 481&甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛•其中只有一位获奖。
冇同学走访这四位同学•甲说: “是乙或丙获奖”，乙说:■甲、丙都未获奖"■丙说广我获奖了"•丁说:“是乙获奖了”。
若四 位同学中只有两人说的话是对的■则获奖的冋学是D.T10.过球面上一点P 作球的互相垂宜的三条弦/M. PB. PC •已知PA = PR"念PC J.则球的 半径为A ・lB-fC ・2D 号H ・已知抛物线/«2px(p>0)与圆F ： x 2 ■芦・0■过点F 作直我2,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则下列关于MBI • ICDI 的值的说法中•正确的是 A •等于今 C.最小值为hD ・最大值为h 12•设函数/(兀)之・(2-3“3)若不等式/(x)^0有解•則实数a 的最小值为A. —-1B.2-2.C.l +2e 2201晖离三年级学•水平学科能力知一次诊醮测试理科数学•何卷®2ft(共4 JD(W ) I 耳3C.9 729B •等于4p‘D.lA.甲B ・乙C •丙第n卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，毎个试題考生都必须作答•第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大題共4小题.每小題5分.13.法）'的展开式中•箴数項为_______ ・（用数字填写答案）14.两条渐近线所成的说角为60。
2018年高三年级第三次诊断性测验理科数学
22018年高三年级第三次诊断性测验理科数学(卷面分值：150分考试时间：120分钟)第I 卷选择题共60分12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 x 1} , B {x|0 x 2}，则集合 A BA. B. C. D.1C. (0,1) (e, )D.(0,e ) (1,))( )的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于y2 6轴对称，则函数 f(x)在 —，一 上的最小值为12 2八 占 c 11由A. B. — C. — D.——2 2 2、选择题：本大题共 1.若集合A {x| 2C.{x| 2x2} 2.i 为虚数单位，则复数1 2i2 iA. 1B. 1C. iD. i3. 设 p: 0 x 1;q:2x1，贝U p 是q的4 2 4 2 22 A.B.C.D.——3 333… cos225. 若则 sin 2cos 4 2A 3 3小3 3 A. B.C.D.4884S 值是 4，则输入的S 。
为A.2B. 8C.26D.587.已知f(x)是R 上的偶函数，且在［0,)上单调递减，则不等式 f (ln x) f (1)的解集1 1A. (e ,1)B.(e ,e)8.将函数 f (x) cos(2xA.{x| 1 x 1}B.{x| 2 x 1} D.{x|0 x 1}A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某几何体三视图如图所示，俯视图右侧是半圆，则该几何体的体积为6.执行右图所示程序框图，若输入的是所在直线的距离的最大值是11.椭圆的离心率为，F 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与 F 关于直线y x 4对2称，则椭圆的标准方程为A.2x2y_ 1 B.2x 2y118 99 182 2 222 2 2 2C. xy 1或— y1D xy1 或xy189 918844812.若函数 xef (x) 2kx 有极大值， 则实数 k 的取值范围是xA.B. (0,)C .(,0) D.( ,0) (0,)第n 卷非选择题共90分二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分2x y 413. 设x, y 满足 x y 1 ,则z x y 的取值范围为 ________________x 2y 214. 已知向量m,n 夹角为60，且m 1, 2m n v'10，贝U n __________ 15. 双曲线的渐近线经过点 (1,2)，双曲线经过点(2、2,4)，则双曲线的离心率为*1 QQ Q16.设正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n , 4.2 1 , —— 亠1」一，则S na n 1 2n 1三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.在厶 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,且 acosC (c 3b) cos A 0 (i)求tanA 的值9.已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 ai D 1， a n 1 a n仏 2，n N *，则数列b n{S}的前10项和为A ｝ 1)哺(410 1)1)D.0 1)10.圆锥底面半径为-..5，高为2,SA 是一条母线, P 点是底面圆周上的一点，则P 点至U SAA. ◎ B 口 C.333D.4(□)若厶ABC的面积为2，且b c 2,求a的值PA=PD=AB=1 PB=PC= 2 , E、F 分另U是18.如图，四棱锥P-ABCD底面ABCD是正方形,PB CD中点(I)求证：AB丄EF(H) 求二面角B—EF- C的余弦值19.小明和他的一些同学住在同一个小区，他们上学、放学坐公交在路上的时间X (分钟) 只与路况畅通情况有关(上学、放学时的路况是一样的) ，小明在一年中随机的记录了200次上学(放学)在路上的时间，其频数统计如下表所示X (分钟) 15202530频数(次) 50506040(H)小明和他的另外两名同学4月23日彼此独立地从小区到学校去，设他们三人中所用时间不超过EX的人数为Y,求Y的分布列和数学期望(川)小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过40分钟的概率是多少?20.抛物线c： y2 2px(p 0)的焦点是F,直线y 2与C的交点到F的距离等于2(I)求抛物线C的方程I I 2 2(n) M是圆x y 6x 1 0上的一点，过点M作FM的垂线交C于A、B两点，求证:2MF MA MB21.设函数h(x) xlnx , f (x) h(x a)―h(x)，其中a是非零常数x a(I)当a 1时，求f(x)的极值(n)是否存在a使得f (x) a恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在请说明理由选做题：10分，二选22.选修4 — 4:坐标系与参数方程x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2 2Si n() 4(I) 写出直线I 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程23.选修4—5:不等式选讲 设函数 f(x) x 41 a x Ja (I)当a 0时，解不等式f (x)(n)若对于任意 a [0,1]，关于x 的不等式f(x)在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为，(t 为参数)，以o 为极点，以 2t(n)若直线与曲线C 交于o 、P 两点，直线勺与曲线C 交于°、Q 两点，且直线PQ 于I 垂直，求直线I 与PQ 的交点坐标b 有解，求实数b 的取值范围2018年高二年级学业水、卜学科能力第三次诊断测试理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试理科综合-物理参考答案(一卷)政治答案
中学生标准学术能力诊断性测试2018 年11 月测试政治参考答案一、选择题。
（每小题4 分）38．意义：生态文明建设有利于实现人与自然和谐发展，满足人民群众日益增长的美好生活需要，开创社会主义生态文明新时代，建设美丽中国。
(每点1分，答出3点可得4分) 启示：①贯彻创新、绿色、共享新发展理念，坚持市场调节与宏观调控相结合，走生态与经济并重的中国特色生态建设之路。
②突出政府在生态文明建设中的主导作用，锐意改革、科学调控，凝聚社会各界动力，共同致力于生态文明建设。
③充分发挥企业的市场主体和科技创新主体作用，企业积极承担社会责任，走产业化经营道路，开发新技术，延伸产业链。
④大力彰显劳动者在生产过程中的主导作用，让广大人民成为生态文明建设的主力军，大力发展生态经济，践行绿色消费。
⑤坚持开放共享，引进来与走出去相结合，向世界提供生态文明建设的中国经验和中国方案。
（每点2 分，共10 分）39．①中国特色社会主义最本质的特征是中国共产党领导，党的领导是顺利推进改革开放的根本保证。
②党在改革开放中科学的顶层设计，避免了改革开放犯方向性、颠覆性错误。
③党的领导确保为改革开放创造稳定、和谐的社会环境。
党代表最广大人民的根本利益，党的领导能够让改革开放成果惠及全体人民，使社会保持和谐稳定。
④党的领导能最广泛、最充分地调动一切积极因素，汇聚起推动改革开放的各方力量，凝聚起推动改革开放的磅礴伟力。
（每点3 分，共12 分）40. （1）社会存在决定社会意识，随着社会生活的变迁，诞生于农耕社会的传统节日由于其习俗与社会生活不合拍而渐受冷落，甚至消失。
（3 分）社会意识反作用于社会存在，先进的社会意识、正确的价值观对社会发展起积极的推动作用，面对西方节日文化的冲击，许多有识之士对传统节日文化的价值肯定推动了传统节日文化的回归。
（3 分）价值判断和价值选择具有社会历史性特征，通过将传统节日纳入假日体系，非遗名录等举措，努力寻找传统节日与现代社会、时代精神的契合点这样的价值选择，让包括七夕节在内的很多传统节日在今天重新焕发出光彩与活力。
2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(11月)数学(理)试卷及答案
2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(11月试卷 )数学(理)第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}2|ln 32M x y x x==+-，集合{}2|4x N y y -==，则图中阴影部分表示的集合为A. (][)1,03,-+∞UB. [)0,3C. ()0,3D. (]()1,03,-+∞U 2.已知命题p ：若8k <，则方程221358x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：在ABC ∆中，若sin sin A B <，则A B <，则下列命题为真命题的是A. q ⌝B.()()p q ⌝∧⌝C. p q ∧D.()p q ∧⌝3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不能割，则与圆周合体而无所失矣。
”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++L 中的“…”代表无限次重复，设121211x =++L ，则可利用方程121x x=+求得x 555=L A. 3 B. 5 C. 7 D. 94.如图，在矩形OABC 中的曲线分别是()sin ,cos ,,0,0,12y x y x A C π⎛⎫== ⎪⎝⎭，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 A. )431π B. )421π C. )431π D. )421π5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
若输入,a b 的分别为98和63，执行该程序框图后，输出a 的值6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱为 1922 C.5 D. 277.数列{}n a 中，11a =且()1122n n n a a n ---=≥，则数列112n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 A. 1121n -- B. 11121n +-- C. 11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 8.已知双曲线()2221054x y a a -=>的左、右顶点分别为12,A A ，虚轴的两个端点分别为12,B B ，若四边形1122A B A B 的内切圆的面积为18π，则双曲线的离心率为 2359.已知函数()313sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则12n x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A. -20B. 20C. -15D. 1510.将函数sin 221y x x =++的图象向左平移12π个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则下面关于函数()y g x =的叙述不正确的是A.函数()g x 的周期为2π B. 函数()g x 的一个对称中心为,08π⎛⎫-⎪⎝⎭ C.函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 D.当()42k x k z ππ=+∈时，函数()g x 有最小值-1 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()42,sin 2f x f x g x x π=--+=+，若函数()f x 的图象与函数()g x 图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，则()1ni i i x y =+=∑A. nB. 2nC. 3nD.4n12.设点()()()()1122,,,M x f x N x g x 分别是函数()21ln 2f x x x =+和()26g x x =-图象上的点，121,1x x ≥≥，若直线//MN x 轴，则,M N 两点间距离的最小值为 A.54 B.94 C. 52 D.92二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知,a b r r 的夹角为4π，且b =r ，则2b a -r r 与a r 的夹角的正切值为 .14.已知变量,x y 满足431,1x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，则225x xy y xy ++的取值范围为 . 15. 已知正四面体ABCD 的棱长为，四个顶点都在球心O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .16.过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 与抛物线交于A,B 两点，记抛物线在A,B 两点处的切线12,l l 的交点为P,则ABP ∆面积的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C 所对的边分别为())22,,,2sin sin 3sin .a b c R A C a b B -=-， （1）求角C; （2）若()222sin sin sin ,4S A B C a =--=⎝⎭，求c 及ABC ∆的面积18.（本题满分12分）如图，多面体A PCBE -中，四边形PCBE 是直角梯形，且,//PC BC PE BC ⊥，平面PCBE ⊥平面,,ABC AC BE M ⊥是AE 的中点，N 是PA 上的点.（1）若//MN 平面ABC ，求证：N 是PA 中点；（2）若13PE BC =，且AC BC PC ==，求二面角E AB C --的余弦值.19.（本题满分12分）某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试文科数学(
C．2π，2 - 2 = 1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线方程为y = 2x，则C的离心率为（A．30 B． 45 C． 60A．(0, ) B．( ,1)中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试8．函数f ( x) = sin 2 x + sin x cos x - 12的最小正周期和振幅分别是（）文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。
A． π，2 B．2π，222D． π，2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）1．已知集合A = {1,3}，B = {2,3,4}，则（）A．6 +92( 11 + 3)A．A = B B．A B ≠ ∅C．A ⊆ B2．已知a ∈ R，i是虚数单位．若z = a + 2i，z ⋅ z = 5，则a =（）D．B ⊆ AB．6 +92( 11 - 3)A．3或 - 3B．7或 - 7C．3D． - 73．某网络购物平台对某周每天顾客的投诉的次数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是（）C．6 +D．6 +7272( 11 + 3)( 11 - 3)第9 题A．43,51B．43,4210．已知cos α =17, cos(α - β ) =1314，且0 < β < α <π2，则cos β =（）C．42,43D．42,51第 3 题A．33B．32C．12D．664．已知双曲线C：x 2a 2y 2b）11．如图，已知三棱锥P - ABC，PA ⊥平面ABC，D是棱BC上的动点．记PD与平面ABC所成的角为 α，A．B．55C．52D．5与直线BC所成的角为 β，则 α与 β的大小关系是（A． α = β）5．若S n是数列{a n}的前n项和，S n = 2n 2，则{a n}是（）B． α < βA．等比数列，但不是等差数列C．等差数列，而且也是等比数列B．等差数列，但不是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列C． α > βD．不能确定第11 题6．设函数f ( x) = x ⋅ ln x，则曲线y = f ( x)在点(1,0)处的切线方程为（）12 ．已知函数y = f ( x)为定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)单调递减，当x + y = 2019时，恒有A．y = - x -1 B．y = x + 1 C．y = - x + 1 D．y = x -1f ( x) + f ( 2019) > f ( y)成立，则x的取值范围是（）7．在 ∆ABC中，AC= 2，BC = 1，则∠A的最大值是（）D．901212C．(-∞,0) D．(1,+∞)第1页共4页第2页共4页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f ( x) = ⎨3，若f (8) = 3 f (a)，则a = ___________．⎧ x - y ≥ 0⎪⎪a ≤ x ≤ a + 1是___________．且PA = PB = PC = 2．（1）求证：平面ABC ⊥平面BPC；2B两点．AC，求三棱锥D - APB的体积．第19 题2 2a b切，则椭圆的方程为____________．若AP = x AB + y AC，则x + y的最大值是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12 分）已知等比数列 {a n }各项都是正数，S n为其前n项和，a3 = 8，S3 = 14．（1）当AB的最小值为 4 时，求抛物线C的方程；p23（1）当a = -1时，求函数f (x)的单调区间；（2）若f (x) ≥ 0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（1）求数列{a n}的通项公式；⎛⎝π ⎫4 ⎭（2）设 {a n - b n}是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列 {b n }的通项公式及其前n项和T n．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；18．（12 分）某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70 ⎧x = 2 - 2t⎩ y = 4 + 2t（t为参数）的距离的最大值．的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100 件进行检测，其结果如下：23．（10 分）已知不等式2x + 4 + x -1 ≥ m的解集为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a, b满足22a + b+ 1a + 3b= n时，求17a + 11b的最小值．（1）根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率；（2）若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品，再从这 5 件甲产品中随机抽取 2 件，求这 2 件产品全是合格品的概率．第3页15. x + y =1 = 8,S 3 = 14 ，可列方程组 ⎨ 1 由于{a n }各项都是正数，∴q > 0，可得 ⎨(1+ n )n + 2n = 2n +1 3 n 2 + n 2 ............12 分 （1）甲产品的不合格率为P 1 = P 2 = = 30% ............6 分 中学生标准学术能力测试诊断性测试 11 月测试文科数学（一卷）答案一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.B 2.A 3.B4.A5.B6.D7.B8.D9.A10.C11.B12.C二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 2 14. 102 2 9 416. 1+2 21 9三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分. 17.（12 分）（1）等比数列{a n }中， a 3⎧a q 2 = 8⎩a 1 + a 1q = 6............3 分⎧a 1 = 2 ⎩q = 2............5 分∴a n = 2n ............6 分（2）2n − b n = 1+(n −1)3，∴b n = 2n 3n + 2 ............8 分∴T n = 21 + 22 + + 2n 3⨯ (1+ 2 + + n ) + 2n= 3⨯1 2 2 2 218. （12 分）9 + 21 1007 +13 100= 20% ，乙产品的不合格率为（2）由题意，若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品，则其中恰有 1 件次品，4 件合格品，因而可设这 5 件甲产品分别为 a,b,c,d,E ，其中小写字母代表合格品，E 代表次 品，从中随机抽取 2 件，则所有可能的情况为 ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE ，共 10第 1 页 共 4 页= ............12 分 在 ∆PHA 中，AH = 2 ， PH = 2 ， PA = 4 ，V C APB = V A PBC = ⨯ ⨯ S ∆PBC ⨯ AH =（1）当直线 l 的斜率不存在时， A ,p ⎪,B , p ⎪ ，此时 AB = 2 p ............2 分当直线 l 的斜率存在时，设为 k ，此时 l:y = k x ⎪ ，与抛物线方程联立：⎪ y = k x ⎪2 ⎭ ，消去 y ，可得： k 2 x 2 (k 2 p + 2 p )x + k p = 0 ............4 分 ⎩k= p + 2 ∴ AB = x 1 + x 2 + p = 2 p 1+ 2 ⎪ > 2 p ............6 分种，设“这 2 件产品全是合格品”为事件 M ，则事件 M 所包含的情况为 ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共 6 种. 由古典概型的概率计算公式，得P (M ) =19.（12 分） 6 10 35（1）PA = PB = PC = 2，又 ∠APC = ∠APB = 60 ，APB 和 ∆APC 都是等边三角形， AB = AC = 2 .取 BC 中点 H ，连接 AH ，∴ AH ∞ BC .∴ AH 2 = AC 2 CH 2 = 2............3 分∠BPC = 90 ，BC = 2 2 ， PH = 22 2 2 ∴ PA 2 = PH 2 + AH 2 ，∴ AH ∞ PH ， PH ⋂ BC = H∴ AH ∞ 平面PBC .AH ⊂ 平面ABC ，平面ABC ⊥ 平面BPC ............6 分第 19 题（2） V D APB = 2 3 2 2 1 3 3 39............12 分20．（12 分）⎛ p ⎝ 2 ⎫ ⎛ p ⎭ ⎝ 2 ⎫⎭⎛ ⎝ p ⎫2 ⎭⎧ ⎛ ⎨ ⎝ ⎪ y 2 = 2 pxp ⎫ 2 24设 A (x 1 ,y 1),B (x 2,y 2 )，根据韦达定理， x 1 + x 2 = k 2 p + 2 p 22 pk⎛ 1 ⎫⎝ k ⎭第 2 页 共 4 页k， N , ⎪ ............9 分 = ，由于 - ⎪ ⋅ k = 1，∴直线 F N ∞ l ............12 分 f (x ) = x 3-x 2 ln x (x > 0)， f ' (x ) = 3x 2 1 = g (x ) = 2x 2∴ AB min = 2 p = 4 ，则抛物线 C 的方程为： y 2 = 4x ............7 分（如果直接写出AB min = 2 p = 4，没有讨论直线 l 的斜率存在时的情况，只给 3 分）（2）当直线 l 的斜率不存在时，结论显然成立............8 分 当直线 l 的斜率存在时，y 1 + y 2 = kx 1kp 2 + kx 2 kp 2= k (x 1 + x 2 ) kp ，将 x 1 + x 2 = p + 2 p 2 代入可得， y 1 + y 2 =2 pk ⎛ p p ⎫ ⎝ 2 k ⎭k NFp k p 2p 21 ⎛ 1 ⎫ k ⎝ k ⎭ 21．（12 分）（1）当 a = -1时，2 x 3x3 x 2 x......2 分f' (x ) = (x 1)(3x 2 + 3x + 2) ............3 分x3x 2 + 3x + 2 > 0恒成立，∴所以当 x ∈(1, + ∞)时， f '(x ) > 0 ， y = f (x ) 单调递增； 当x ∈(0,1)时， f '(x ) < 0 ， y = f (x ) 单调递减............4 分 （2）f (x ) = x 3 + ax 2 ln x ≥ 0 在 (0，+ ∞)上恒成立，∴当 x ∈(0，+ ∞)时，g (x ) = x 2 + a 2 ln xx≥ 0 恒成立............6 分'(ln x )' ⋅ x ln x ⋅ x ' x 2= 2 x 3 + ln x 1 x ............7 分 令 h (x ) = x3 + ln x 1 ，可得 h (x )在 (0，+ ∞)上单调递增，且 h (1) = 0 ∴ x ∈(0,1)时， h (x ) < 0, g ' (x ) < 0, 即 y = g (x ) 单调递减∴ x ∈(1,+ ∞)， h (x ) > 0, g ' (x ) > 0, 即 y = g (x ) 单调递增............10 分 ∴ g (x )min = g (1) = 1+ a ≥ 0 ，可得： a ≥ 1 ............12 分（其它方法酌情给分）第 3 页 共 4 页（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．【选修4−4：坐标系与参数方程】（10 分）2 2直线l:x+ y 6 = 0 ............6 分⎛⎝52⎫⎭则点M 到直线l 的距离为d = cosθ + sin θ292=⎛⎝2⎪4 ⎭ 2............8 分当θ = 2kπ 34π(k ∈ Z )时，最大距离为1 + 9 24............10 分23．【选修4−5：不等式选讲】（10 分）⎧3x + 3, x ≥ 1⎪⎪ 3x 3, x ≤ 2由不等式2x + 4 + x 1 ≥ m的解集为R 可知，m ≤ 3 ............5 分（2）n = 3，22a + b+1a + 3b= 3当a,b > 0时，17a +11b = 1 ⎛ 23 ⎝ 2a + b+1 ⎫a + 3b ⎭= 31 ⎡2(a + 3b) 8(2a + b) ⎤ 1 25⎧ 2 1当且仅当 ⎨ 2a + b a + 3b⎪⎩a + 3b = 2(2a + b) 25............10 分3 ，即a =1612⎧log 2 x, x > 0⎩ x , x < 014．已知x, y ∈ R，且满足 ⎨ x + y ≥ 0 (a > 0)，当由不等式组确定的可行域的面积为4 时，z = 3x - y的最大值19．12 分）在三棱锥A - PCB中，其中 ∠BPC = 90，∠APC = ∠APB = 60，（（2）D为线段AC上一点，且AD =2320．（12 分）设抛物线C：y = 2 px ( p > 0)，过焦点F的直线l与C交于A，⎩x y15．已知F ( 5 ,0)是椭圆2 + 2 = 1 (a > b > 0)的右焦点，过点F作斜率为2 的直线l使它与圆x 2 + y 2 = b2相的垂线，垂足为N，求证：直线FN ⊥ l．（2）设AB的中点为M，过M作直线x = -16．在 ∆ABC中，AB = 1，AC = 3， ∠A = 60，点P是以C为圆心，1 为半径的圆上的动点，21．（12 分）已知函数f (x) = x + ax - 2 ln x．3 2，- ⎪，曲线C的极坐标方程为ρ 2-4ρ cosθ - 2ρ sinθ +1 = 0．（2）若Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l:⎨ （1）P(3，3)，C： (x 2) + (y 1) = 4 ............4 分（2）设Q(2cosθ + 2,2sin θ +1)，则PQ 的中点M cosθ + ,sinθ 1⎪2 sin θ +（1）f (x) = 2x + 4 + x 1 = ⎨x + 5, 2 < x < 1，所以f (x)的值域为 [3， ∞)，+⎩⎪[8(2a + b) + (a + 3b)]( )⎢⎣16 + 2a + b + a + 3b +1⎥⎦ ≥ 3 17 + 2 2 ⨯8 = 3 ............8 分第 4页共4 页共4页。
2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3,设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
2018年11月浙江省高中学业水平考试数学试题
2018年11月浙江省高中学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则A B =（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,4}D.{1,3}【答案】D【解析】因为{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，所以{1,3}A B =.2.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A.4π B.2πC.πD.2π【答案】C【解析】()cos 2f x x =，因为2ω=，所以22T ππ==. 3.计算129()4=（ ）A.8116B.32C.98D.23【答案】B【解析】1293()42==.4.直线210x y +-=经过点（ ） A.(1,0) B.(0,1)C.11(,)22D.1(1,)2【答案】A【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程210x y +-=中，可知选项A 可使等式成立.5.函数2()log f x x 的定义域是（ ） A.(0,2] B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)【答案】A【解析】20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故函数()f x 的定义域为(0,2]. 6.对于空间向量(1,2,3)a =，(,4,6)b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D【解析】因为//a b，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=.7.渐近线方程为43y x=±的双曲线方程是（）A.221169x y-= B.221916x y-=C.22134x y-= D.22143x y-=【答案】B【解析】依题可设双曲线方程为22221x ya b-=，因为渐进线方程为43y x=±，所以43ba=，即22169ba=，只有B选项221 916x y-=符合.8.若实数x，y满足101010xx yx y-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由约束条件101010xx yx y-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，作出可行域如图，由图易知y的最大值为2.9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A.18B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为2444S ===3h =，所以体积V Sh ==10.关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ） A.(,1]-∞- B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞-+∞D.[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，1132x x x x x +-=+-≥⇒≥； 当11x -<<时，1113x x x x x +-=+-=≥⇒无解； 当1x ≤时，1131x x x x x +-=--+≥⇒≤-； 综上可得，2x ≥或1x ≤-. 11.下列命题为假命题的是（ ） A.垂直于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一平面的两条直线平行 C.平行于同一直线的两条直线平行 D.平行于同一平面的两条直线平行 【答案】D【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.12.等差数列{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（ ） A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵10a >，0d <，∴n a 是递减数列.又∵3993987654763()0S S S S a a a a a a a a =⇒-=+++++=+=，∴760a a +=，67a a >，∴60a >，70a <，∴max 6()n S S =.13.对于实数a 、b ，则“0a b <<”是“1ba<”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由0a b <<，得01ba<<，故充分性成立； 必要性：由1ba <，得0ab a >⎧⎨<⎩或0a b a<⎧⎨>⎩，故必要性不成立. 所以“0a b <<”是“1ba<”的充分不必要条件. 14.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A.2()1y f x =+ B.(21)y f x =+ C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B【解析】分析四个选项可知只有(21)y f x =+是由()y f x =的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12之后再将图像向左平移12个单位得到，故(21)y f x =+和()y f x =的值域是相同的. 15.函数2()()af x x a R x=+∈的图象不可能是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】当0a =时，函数22()(0)af x x x x x=+=≠，函数图象可以是B. 当1a =时，函数221()a f x x x x x=+=+，函数可以类似于D. 当1a =-时，221()a f x x x x x =+=-，0x >时，210x x-=只有一个实数根1x =，图象可以是C. 所以函数图象不可能是A.16.若实数a ，b 满足0ab >，则2214a b ab++的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因为0ab >，所以2211444a b ab ab ab ++≥+≥=， 当且仅当214a bab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1a =，12b =时取等号，所以最小值为4.17.如图，在同一平面内，A ，B 是两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径为r ，射线AB 交圆于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当1()2r r AB ≥变化时，l 与圆B 的公共的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【答案】D【解析】设直线l 与圆B 的交点为M ，过点M 作与过点A 平行于l 的直线的垂线，垂足为N ，易知MN PA MB r ===，即点M 到定直线AN 的距离等于其到定点B 的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.18.如图，四边形ABCD 是矩形，沿AC 将ADC ∆翻折成AD C '∆，设二面角D AB C '--的平面角为θ，直线AD '与直线BC 所成角为1θ，直线AD '与平面ABC 所成的角为2θ，当θ为锐角时，有（ ）A.21θθθ≤≤B.21θθθ≤≤C.12θθθ≤≤D.21θθθ≤≤【答案】B【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A ，B 选项中产生. 下面比较1θ和θ的大小关系即可.过D '作平面ABC 垂线，垂足为O ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，连结D E '，则D EO θ'=∠可以认为是OE 与平面AD E '所成的线面角，1θ可以认为是OE 与平面AD E '内的AD '所成的线线角，所以1θθ≤，综上，21θθθ≤≤.二、填空题19.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -= ，(1)f = .【答案】0，2【解析】因为10-<，故(1)110f -=-+=；又10>，故(1)2f =.20.已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若OB OF =，则该椭圆的离心率是 .【答案】2【解析】因为B，F为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点和右焦点，故设OB b=，OF c=，又OB OF=，所以b c=，因为a a===，所以椭圆的离心率2c bea a====.21.已知数列{}()na n N*∈满足：11a=，12nn na a+⋅=，则2018a=.【答案】10092【解析】1122nn na a+++=，12nn na a+=，22nnaa+=，数列21{}na-和2{}na均为等比数列，且公比均为2，首项分别是121,2a a==，所以数列{}na的通项为1222()2(n)nn nna-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，故100920182a=.22.如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点(1,0)A-，(1,0)B，点P，Q分别从点A，B同时出发，在圆O上按逆时针方向运动，若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，AP AQ⋅的最大值为.【答案】2【解析】设(cos,sin)([0,])Qθθθπ∈，由P点的速度是点Q的两倍，即(cos2,sin2)Pθθ--，(cos21,sin2)(cos1,sin)AP AQθθθθ⋅=-+-⋅+(cos21)(cos1)(sin2)sinθθθθ=-+++-cos2cos cos cos21sin2sinθθθθθθ=-+-+-cos(2)cos cos21θθθθ=--+-+cos21θ=-+22sin2θ=≤.三、解答题23.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b a c ac =+-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a c ==，求ABC ∆的面积； （Ⅲ）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）60︒2. 【解析】（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac+-=，可知1cos 2B =，所以60B =︒.（Ⅱ）由（Ⅰ）得60B ∠=︒，又2a c ==，所以11sin 22sin 6022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=（Ⅲ）由题意得3sin sin sin sin(120)sin 30)22A C A A A A A +=+︒-=+=+︒，因为0120A ︒<<︒，所以3030150A ︒<+︒<︒，即30)2A <+︒≤. 24.已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l . （Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）(1,0)F ，1x =-; （Ⅱ）略.【解析】（Ⅰ）因为抛物线24y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，所以2p =，所以焦点为(1,0)F .准线方程为1x =-.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （16y ≠±且26y ≠±），AB 直线方程为1x my =+（m 是实数），代入24y x =，得2440y my --=，于是124y y m +=，124y y ⋅=-.由(9,6)P ，得146PA k y =+，直线PA 的方程为146(9)6y x y -=-+，令1x =-，得1164(1,)6y M y --+，同理可得2264(1,)6y N y --+，所以12121296()41(6)(6)F N F M MF NF F M F N y y y y y y y y k k x x x x y y ---++⋅=⋅==---++，故MF NF ⊥.25.已知函数()()af x x a R x=+∈. （Ⅰ）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间（不需写出推证过程）；（Ⅱ）当0x >时，若直线4y =与函数()f x 的图象相交于A ，B 两点，记()AB g a =，求()g a 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()4f x ax =+在区间(1,2)上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）[1,0)-，[1,)+∞， （Ⅱ）4，（Ⅲ）5)2-. 【解析】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为[1,0)-，[1,)+∞ （Ⅱ）因为0x >，所以（ⅰ）当4a >时，()y f x =的图象与直线4y =没有交点；（ⅱ）当4a =或0a =时，()y f x =的图象与直线4y =只有一个交点； （ⅲ）当04a <<时，0()4g a <<； （ⅳ）当0a <时，由4ax x+=，得240x x a -+=，解得2A x =由4ax x+=-，得240x x a ++=，解得2B x =-所以()4A B g a x x =-=，故()g a 的最大值是4.（Ⅲ）要使关于方程4(12)()ax ax x x+=+<<*有两个不同的实数根1x ，2x ，则0a ≠，且1a ≠±.（ⅰ）当1a >时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，所以1201ax x a =-<-，不符合题意； （ⅱ）当01a <<时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，其对称轴221x a=>-，不符合题意； （ⅲ）当0a <，且1a ≠-时，由()*得2(1)40a x x a +++=，又因为1201ax x a =>+，所以1a <-.所以函数ay x x=+在(0,)+∞是增函数.要使直线4y ax =+与函数ay x x=+图象在(1,2)内有两个交点，则(1)11f a a =+=--，只需14164(1)0a a a a -->+⎧⎨-+>⎩52a <<-.综上所述，实数a 的取值的范围为5)2-.。
【7A版】2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(11月)数学(理)试卷及答案
中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}2|ln 32M x y x x ==+-，集合{}2|4x N y y -==，则图中阴影部分表示的集合为A.(][)1,03,-+∞ B.[)0,3C.()0,3D.(]()1,03,-+∞2.已知命题p ：若8k <，则方程221358x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：在ABC ∆中，若sin sin A B <，则A B <，则下列命题为真命题的是 A.q ⌝ B.()()p q ⌝∧⌝ C.p q ∧ D.()p q ∧⌝3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不能割，则与圆周合体而无所失矣。
”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++，则可利用方程121x x =+求得x ，=A.3B.5C.7D.94.如图，在矩形OABC 中的曲线分别是()sin ,cos ,,0,0,12y x y x A C π⎛⎫== ⎪⎝⎭，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.)41πB.)41πC.)41πD.)41π5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
若输入,a b 的分别为98和63，执行该程序框图后，输出a 的值6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱为112n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的7.数列{}n a 中，11a =且()1122n n n a a n ---=≥，则数列前n 项和为 A.1121n -- B.11121n +--C.11122n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭8.已知双曲线()2221054x y a a -=>的左、右顶点分别为12,A A ，虚轴的两个端点分别为12,B B ，若四边形1122A B A B 的内切圆的面积为18π，则双曲线的离心率为9.已知函数()313sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则12nx x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 A.-20B.20C.-15D.1510.将函数sin 21y x x =+的图象向左平移12π个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则下面关于函数()y g x =的叙述不正确的是 A.函数()g x 的周期为2πB.函数()g x 的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 D.当()42k x k z ππ=+∈时，函数()g x 有最小值-1 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()42,sin 2f x f x g x x π=--+=+，若函数()f x 的图象与函数()g x 图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，则()1ni i i x y =+=∑A.nB.2nC.3nD.4n12.设点()()()()1122,,,M x f x N x g x 分别是函数()21ln 2f x x x =+和()26g x x =-图象上的点，121,1x x ≥≥，若直线//MN x 轴，则,M N 两点间距离的最小值为A.54B.94C.52D.92二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知,a b 的夹角为4π，且2b a =，则2b a -与a 的夹角的正切值为 . 14.已知变量,x y 满足431,1x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，则225x xy y xy ++的取值范围为 .15.已知正四面体ABCD 的棱长为，四个顶点都在球心O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .16.过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 与抛物线交于A,B 两点，记抛物线在A,B 两点处的切线12,l l 的交点为P,则ABP ∆面积的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C 所对的边分别为())22,,,2sin sin sin .a b c R A C b B -=-，（1）求角C;（2）若()222sin sin sin ,4A B C a =--=⎝⎭，求c 及ABC ∆的面积 18.（本题满分12分）如图，多面体A PCBE -中，四边形PCBE 是直角梯形，且,//PC BC PE BC ⊥，平面PCBE ⊥平面,,ABC AC BE M ⊥是AE 的中点，N 是PA 上的点.（1）若//MN 平面ABC ，求证：N 是PA 中点；（2）若13PE BC =，且AC BC PC ==，求二面角E AB C --的余弦值.19.（本题满分12分）某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。
THUSSAT中学生学术能力测试2018年11月理科综合测试试卷及答案
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于细胞内所含有的“骨架”说法错误的是： A．“细胞的蓝图—DNA”的骨架是磷酸和脱氧核糖交替连接构成的 B．多糖、蛋白质、核酸等生物大分子都以碳链为骨架 C．单糖、氨基酸、核苷酸等单体也以若干个相连的碳原子构成的碳链为基本骨架 D．真核细胞中维持细胞形态的细胞骨架是由蛋白质和磷脂构成的网架结构 2．右图是物质进出细胞的运输方式示意图，以下有关说法正确的 是： A．胰岛素通过丁图所示过程进入细胞发挥作用 B．通过丙图出细胞的物质并不一定是大分子 C．甲图所示跨膜方式使膜两侧离子趋于平衡 D．乙图所示过程与小肠绒毛上皮细胞吸收葡萄糖的方式相同 3．自 2017 年 7 月以来，宫颈癌疫苗（HPV 疫苗）在国内得到推广。该疫苗是 HPV（DNA 病毒，宿主细胞为上皮 细胞）灭活纯化制备，接种三针可预防宫颈癌症的发生，下列说法错误的是： A．HPV 的核酸彻底水解后可以获得 6 种化合物 B．若想用 32P 标记 DNA 可把 HPV 培养在含 32P 的磷酸盐溶液里 C．若想验证 HPV 遗传物质是 DNA，可用含有同位素标记的 T 或 U 的上皮细胞来培养病毒，观察其子代病毒的 放射性 D．HPV 侵入人体后，大多数情况下人体可以通过体液免疫和细胞免疫来清除病毒 4．美国生物学家发现 1-甲基环丙烯（1-MCP）可作为保鲜剂用于储存果蔬。科学家用适宜浓度 1-MCP 对柿子果实 的细胞呼吸速率和乙烯产生量的影响进行了研究，结果如图。请据图选出错误的是： A．培育牡蛎的原理是染色体变异，次级卵母细胞中的全部染色体构成一个染色体组 B．若卵原细胞的基因型为 AaBb，则初级卵母细胞的基因组成为 AAaaBBbb C．若卵原细胞的基因型为 AaBb，次级卵母细胞含有 2 个 A 基因，且不会同时含 B 和 b 基因 D．若方法二获得的是杂合二倍体，则原因可能是发生了基因突变或交叉互换 7．化学知识渗透到人类生活的各个方面，下列叙述合理的是： A．红色的牵牛花在中午变成蓝色，与光的照射角度有关 B．钛铁合金能大量吸收 H2 形成金属氢化物，可作储氢材料 C．食品包装中常见的抗氧化剂成分为：还原性铁粉、氯化钠、炭粉等，其脱氧原理与钢铁的吸氧腐蚀不相同。 D．“地沟油”虽然含酯类的纯度比花生油高，但禁止食用，也不可以回收利用。 8．下列说法正确的是：
湖北省2018届高三上学期11月统测数学试卷(理科)Word版含解析
湖北省2018届高三上学期11月统测试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．已知向量，且，则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2或1 D．﹣24．设复数z满足（1+i）•z=1﹣2i3（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个6．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．117．若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A． B．﹣2 C． D．28．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确9．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）A．B．C．D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A．B．C．D．11．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．①若=，则MN∥面SCD；②若=，则MN∥面SCB；③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是．14．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：（参考公式==， =﹣，，表示样本均值）则y对x的线性回归方程为．15．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= ．16．已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC 的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．19．新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7﹣10分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名，以如表格记录了他们的评分情况．（1）现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，PA=PC，PD⊥PB，AC∩BD=E，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°．（1）证明：AC⊥PB；（2）求二面角E﹣PD﹣C的余弦值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（Ⅰ）当m=﹣1，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）求f（x）的最小值．湖北省2018届高三上学期11月统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．已知向量，且，则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2或1 D．﹣2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由，可得=0，解得a．【解答】解：∵，∴=a+2（1﹣a）=0，解得a=2．故选：B．4．设复数z满足（1+i）•z=1﹣2i3（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标，即可判断选项．【解答】解：复数z满足（1+i）•z=1﹣2i3，可得z===，复数对应点的坐标（）在第一象限．故选：A．5．原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【考点】四种命题的真假关系．【分析】∵a＞b，∴关键是c是否为0，由等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．【解答】解：原命题：若c=0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选C6．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图；茎叶图．【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选：C．7．若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A． B．﹣2 C． D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．8．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确【考点】独立性检验的应用．【分析】由独立性检验知，概率值是指我们认为我的下的结论正确的概率，从而对四个命题判断．【解答】解：若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故不正确；从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指吸烟与患肺病有关系的概率，而不是吸烟人就有99%的可能患有肺病，故不正确；若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误，正确；故选C．9．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．而将五球放到4盒共有×=240种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率P==故选：C10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，进而可得体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，∵侧视图的面积S==8，棱柱的高为5，切去的两个棱锥高均为1，故组合体的体积V=5×8﹣2××8×1=，故选：C．11．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y=9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y=m上，∴m=1，故选：A12．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．①若=，则MN∥面SCD；②若=，则MN∥面SCB；③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在①和②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，由条件能推导出平面MNH∥平面SDC，从而得到MN∥面SCD；在③中，由面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，得到SD⊥面ABCD．【解答】解：在①中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点， =，∴NH∥CD，∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN⊂平面MNH，SD，CD⊂平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN⊂平面MNH，∴MN∥面SCD，故①正确；在②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点， =，∴∴NH∥CD，∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN⊂平面MNH，SD，CD⊂平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN⊂平面MNH，∴MN∥面SCD，故②正确；在③中，∵面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，∴SD⊥面ABCD，故③正确．故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】把所给的式子按照二项式定理展开，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（1+2）3（1﹣）5=（+++）•（++…+），故展开式中x的系数为 1×（﹣）+×4×1=2，故答案为 2．14．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：（参考公式==， =﹣，，表示样本均值）则y对x的线性回归方程为．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的数据计算出x，y的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程．【解答】解：∵176， =176，∴样本组数据的样本中心点是，==， =﹣=88，∴回归直线方程为．故答案为15．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=10 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1016．已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．则= [（a+1）+（b+1）] =≥==，当且仅当a=，b=．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据直方图求出x的值即可；（Ⅱ）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅲ）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）由（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5．（Ⅱ）理科综合分数的众数是=230，∵（0.002+0.009 5+0.011）×20=0.45＜0.5，∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a﹣220）=0.5，解得a=224，即中位数为224．（Ⅲ）理科综合分数在[220，240）的学生有0.012 5×20×100=25（位），同理可求理科综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位，故抽取比为=，∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×=5人．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC 的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB中点M，连结AM，MN，证明：四边形AMND是平行四边形，得出ND∥AM，即可证明ND∥面PAB；（Ⅱ）在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角，即可求AN与面PND所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN．∵MN是△BCP的中位线，∴MN平行且等于BC．依题意得，AD平行且等于BC，则有AD平行且等于MN∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM∵ND⊄面PAB，AM⊂面PAB，∴ND∥面PAB（Ⅱ）解：取BC的中点E，则，所以四边形AECD是平行四边形，所以CD∥AE，又因为AB=AC，所以AE⊥BC，所以CD⊥BC，又BC∥AD，所以CD⊥ADPA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD又PA∩AD=A，所以CD⊥面PAD．在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角．在Rt△ANF中，，，，所以AN与面PND所成角的正弦值为19．新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7﹣10分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名，以如表格记录了他们的评分情况．（1）现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，可得结论；（2）确定变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．表示所抽取3名中有i名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不【解答】解：（1）设A1低于9分记为事件A，则．（2）由表格数据知，从本市年度新生儿中任选1名评分不低于的概率为，则由题意知X 的可能取值为0，1，2，3．；；；．所以X的分布列为由表格得．（或）20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，所以利润W=5x+6y+3=2x+3y+300（x，y∈N）．（2）约束条件为整理得目标函数为W=2x+3y+300，如图所示，作出可行域．初始直线l：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．由得最优解为A（50，50），所以W=550（元）．max答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，PA=PC，PD⊥PB，AC∩BD=E，二面角P﹣AC﹣B的大小为60°．（1）证明：AC⊥PB；（2）求二面角E﹣PD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出AC⊥PE，AC⊥BD，由此能证明AC⊥PB．（2）推导出CE⊥PD，过E作EH⊥PD于H，连接CH，则PD⊥面CEH，∠CHE是二面角E﹣PD﹣C的平面角．由此能求出二面角E﹣PD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵E是AC的中点，PA=PC，∴AC⊥PE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PE∩BD=E，∴AC⊥面PDB，又PB⊂面PDB，∴AC⊥PB．解：（2）由（1）CE⊥面PDB，PD⊂面PDB，∴CE⊥PD，过E作EH⊥PD于H，连接CH，则PD⊥面CEH，又CH⊂面CEH，则PD⊥CH，∴∠CHE是二面角E﹣PD﹣C的平面角．由（1）知∠PEB是二面角P﹣AC﹣B的平面角，所以∠PEB=60°，设AB=a，在Rt△PDB中，，△PBE是等边三角形，，EH是△PBD的中位线，则，，CH==，∴，即二面角E﹣PD﹣C的余弦值为．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，∴x 2+y 2=4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2=4，由（t 为参数）消去t 得：．所以直线l 的普通方程为．（2）把代入x 2+y 2=4x 得：t 2﹣3t+5=0．设其两根分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=3，t 1t 2=5．所以|PQ|=|t 1﹣t 2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x+m|+|2x+1|． （Ⅰ）当m=﹣1，解不等式f （x ）≤3；（Ⅱ）求f （x ）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）当m=﹣1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f （x ）≤3；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当m=﹣1时，不等式f （x ）≤3，可化为|x ﹣1|+|2x+1|≤3．当时，﹣x+1﹣2x ﹣1≤3，∴x ≥﹣1，∴；当时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x ≤1，∴；当x ≥1时，x ﹣1+2x+1≤3，∴x ≤1，∴x=1；综上所得，﹣1≤x ≤1．（Ⅱ）=，当且仅当时等号成立．又因为，当且仅当时，等号成立．所以，当时，f（x）取得最小值．。
清华中学生标准学术能力测试理数(一卷)试卷及答案THUSSAT2018.11
A． −2a2
B． − 3 a2 2
C． − 4 a2 3
D． −a2
9．设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1 上一点， M, N 分别是两圆： (x 12)2 y2 1 和 (x 12)2 y2 1 上的点，则 169 25
PM PN 的最小值、最大值分别为（ ）
A．18，24
B．16，22
C．24，28
28、30(km)，它们出现的概率依次是 0.1、0.2、0.3、0.1、 t 、 2t ．
（1）求这一天中梁某一次行驶路程 X 的分布列，并求 X 的均值和方差； （2）网约车计费细则如下：起步价为 5 元，行驶路程不超过 3 km 时，租车费为 5 元，若行驶路程超过 3 km，则 按每超出 1 km（不足 1 km 也按 1 km 计程）收费 3 元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和 方差．
A． − 1 2
B． 1 2
）
C． − 3 2
D． 3 2
2．全集U R ，集合 A {x y log2018 (x 1)} ，集合 B {y y x2 4x 8} ，则 A (CUB) =（ ）
A．[1,2]
B．[1,2)
C．(1,2]
D．(1,2)
3．设 p ：角 是钝角，设 q ：角 满足 ，则 p 是 q 的（ ）
取值范围是（ ）
A．(2,3]
B．[ 2 + 3 ,4)
C．(4,5]
D．[5,6)
12．点 A, B,C, D 在同一个球的球面上， AB BC
球的表面积为（ ）
A． 125 16
B． 8
2 ， AC 2 ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 4 ,则这个 3
【数学】中学生标准学术能力诊断性测试(11月)试卷 理科数学(PDF版)
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19．(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球．
（1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
a2 b2 c2 （2） + + 3 ．
bca
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1
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 11 月测试
理科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B A DDCABDD
18．（1）取 PC 的中点 F，连接 DF，EF，
∵ E 是 PB 的中点，
∴ EF//BC，且 BC=2EF，
又 AD//BC，BC=2AD
∴ AD//EF 且 AD=EF， ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形，
………………………………2 分
∴ AE//DF，又 DF⊂平面 PDC, AE 平面PCD ， ……………………………… 4 分
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3 8
14． 4 3 3
15． (−,7]
16． 14 2
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
21．（12 分）已知函数 f (x) = ln x − ax ， a R ．
中学生标准学术能力诊断性测试(THUSSAT)2023-2024学年高三上学期11月测试数学试卷(高
一、单选题1. 已知正方体的棱长为2，P 为正方形ABCD 内的一动点（包含边界），E 、F 分别是棱、棱的中点．若平面BEF ，则AP 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 设不是直角三角形，则“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 直线，直线，给出下列命题：①，使得； ②，使得；③，与都相交；④，使得原点到的距离为.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④4. 函数的部分图象大致是A．B．C．D．5. 已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（ ）A．B．C．D．6. 如图，直三棱柱的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（）A．B．C．D．7. 某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100中学生标准学术能力诊断性测试（THUSSAT）2023-2024学年高三上学期11月测试数学试卷(高频考点中学生标准学术能力诊断性测试（THUSSAT）2023-2024学年高三上学期11月测试数学试卷(高频考点二、多选题三、填空题四、解答题人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．按性别分层抽样C ．随机数法D ．按地区分层抽样8. 已知圆锥的母线长为2，并且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的体积为（ ）A．B．C ．2D．9. 已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）A ．1是的极大值，也是的极大值B ．1是的极大值，也是的极小值C ．1是的极小值，也是的极小值D ．1是的极小值，也是的极大值10. 若，则（ ）A．B．C．D．11. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）A ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元12.已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．13.函数的图象在点处的切线的斜率为______．14. 已知复数z 满足，则复数对应的点在复平面的第________象限；15.的内角的对边分别为，若，且，则__________．16. 在等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项，公差及前n 项和．17. 在中，角，，的对边分别为，，，，三边，，成等比数列，且面积为，在等差数列中，，公差为.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，设为数列的前项和，求.18. 已知等比数列{a n}的前n项和S n＝﹣m.(1)求m的值，并求出数列{a n}的通项公式；(2)令，设T n为数列{b n}的前n项和，求T2n.19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，，点D在边BC上，且，求线段AD的长．20. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.(1)求的方程；(2)设直线的斜率分别为，若，求点的坐标.21. 为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．(1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．(2)若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT12月测试高考资料高考复习资料中考资料
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知函数()ln(3)f x a x =-的定义域为A ，若4A ∈，5A ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．（12,15）B ． [12,15)C ．（12,15]D ．[12,15]2．已知变量,x y 满足约束条件02060x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则221x y z x ++=+的取值范围是（ ）A ．[24，]B ．[114,4]C ．[3,5]D ．[32,52]3．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（ ）A ．13BCD4．直线l 过拋物线22(0)y px p =>的焦点F ，与该拋物线及其准线依次交于A 、B 、C 三点（其中B 在A 、C 之间），若||3||BC BF =，||3AF =，则p =（ ） A ．2B．C ．3D ．45．定义1231nk n k a a a a a ==∏，若20191[1(21)]k k x =+-∏展开式中x 一次项的系数为m ，则m i 等于（i 为虚数单位）（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-6．函数2()f x =的大致图象是（ ）ABCD7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若37=T T ，则53ln ln a a =（ ） A ．5:3B ．3:5C ．5:1D ．1:58．在△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若120A =︒，1a =，则23b c +的最大值为（ ）A ．3B．3C．D．29．已知0a b >>， 有下列命题：1=，则1a b -<； ②若221a b -=，则1a b -<； ③若331a b -=，则1a b -<；④若441a b -=，则1a b -<；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为R的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（ ） A ．12R B ．23R C．2R D．3R 11．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，左焦点为F ，若△ABF 外接圆的圆心在直线y x =的右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B．2C ．1(0,)2D．(212．已知函数3()||f x x a a x=--+()R a ∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A．(1 B．(1,1(13,)-++∞C ．(,1-∞D ．(,1(13,3)-∞+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数3()log |1|f x ax =+图象的对称轴是2x =，则非零实数a 的值为 ．14．已知(1,1)A ，(0,1)B ，(1,0)C ，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，若MA BC ⋅≥MB MC ⋅，则实数λ的取值范围是．1（第3题图）15．设1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，M 是双曲线上任意一点，过1F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是 ．16．若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“M 函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()3g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[1,2]上的“M 函数”，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（12分）已知函数π()4sin sin()6f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足sin cos 2cos a B b A b A +=，求()f B 的取值范围．18．（12分）如图，正方形ADEF 与□ABCD 所在的平面互相垂直，且22AB AD a ==，60BAD ∠=︒,G 为BD 的中点．（Ⅰ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求平面CGE 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数x ，样本方差2s （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(185.03229.94)P Z <<；（ii ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记X 表示这100件螺帽中质量指标值位于区间(185.03, 229.94)的件数，利用（i ）的结果，求()E X ．14.97． 若2(,)ZN μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．20．（12分）已知,A B 是x 轴正半轴上两点（A 在B 的左侧），且||(0)AB a a =>，过,A B 作x 轴的垂线，与抛物线22(0)y px p =>在第一象限分别交于,D C 两点.（Ⅰ）若a p =，点A 与抛物线22y px =的焦点重合，求直线CD 的斜率； （Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求12S S 的取值范围. 21．（12分）已知函数()(1)e x f x ax =+, a ∈R ． （Ⅰ）当0a >时，证明：()0eaf x +>； （Ⅱ）当12a =-时，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +<．选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程选讲]（10分）已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）、P Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+的值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||21|f x x a x =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若存在R x ∈，使得不等式()f x a >成立，求a 的取值范围．GCEFBAD （第18题图）0.0050.006 0.010 0.012 0.0190.018 0.030频率组距。
中学生标准学术能力测试诊断性2018年11月测试文科数学试卷(一卷)
中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试文科数学试卷(一卷)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则（）A．A＝B B．A∩B≠∅C．A⊆B D．B⊆A2．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a i，z•5，则a＝（）A．或B．或C．D．3．某网络购物平台对某周每天顾客的投诉的次数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示）则该样本的中位数、众数分别是（）A．43，51 B．43，42 C．42，43 D．42，514．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．若S n是数列{a n}的前n项和，S n＝2n2，则{a n}是（）A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列6．设函数f（x）＝x•lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣17．在△ABC中，AC，BC＝1，则∠A的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．函数f（x）＝sin2x+sin x cos x的最小正周期和振幅分别是（（）A．B．2πC．2πD．π9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．6（）B．6（）C．6（）D．6（）10．已知cosα，cos（α﹣β），且0＜β＜α＜，则cosβ＝（）A．B．C．D．11．如图，已知三棱锥P﹣ABC，P A⊥平面ABC，D是棱BC上的动点，记PD与平面ABC所成的角为α，与直线BC所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不能确定12．已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，当x+y＝2019时．恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，则x的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x），＞，＜，若f（8）＝3f（a），则a＝14．已知x，y∈R，且满足a＞0），当由不等式组确定的可行域的面积为4时，z＝3x﹣y的最大值15．（5分）已知F是椭圆1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x2+y2＝b2相切，则椭圆离心率是．16．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若x y，则x+y的最大值是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题: 60分.17．已知等比数列{a n}各项都是正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n﹣b n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70 的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：（1）根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率．（2）若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，再从这5件甲产品中随机抽取2件，求这2件产品全是合格品的概率．19．在三棱锥A﹣PCB中，其中∠BPC＝90°，∠APC＝∠APB＝60°且P A＝PB＝PC＝2．（1）求证：平面ABC⊥平面BPC．（2）D为线段AC上一点，且AD AC，求三棱锥D﹣APB的体积．20．设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线l与C交于A，B两点．（1）当|AB|的最小值为4时，求抛物线C的方程．（2）设AB的中点为M，过M作直线x的垂线，垂足为N，求证：直线FN⊥l．21．已知函数f（x）＝x3+ax﹣2lnx．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3，），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l：（t为参数）的距离的最大值．23．已知不等式|2x+4|+|x﹣1|≥m的解集为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足n时，求17a+11b的最小值．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B2．A3．B4．B5B6．D7．B8．D9．A10．C11．C12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．f（8）＝log28＝3，若f（8）＝3f（a），得3＝3f（a），得f（a）＝1，若a＞0，由log2a＝1，得a＝2，若a＜0，由a3＝1，得a＝1，不成立，综上a＝2，14．根据题意，可得a是一个正数，由此作出x，y∈R，且满足表示的平面区域得到如图的ABCD及其内部，其中A（a，﹣a），B（a+1，﹣a﹣1），C（a+1，a+1），D（a，a）∴平面区域的面积S，解之得a（舍负）．设z＝F（x，y）＝3x﹣y，将直线l：z＝3x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）＝310，15．设椭圆的右焦点为F（﹣c，0），c，∵直线PF的斜率为2，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣c），即2x﹣y﹣2c＝0．再根据直线l与圆x2+y2＝b2相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，即b，求得b2c2．再根据a2﹣b2＝c2，可得a2c2＝c2，求得．16．以A为原点，AC所在方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，∵AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，∴A（0，0），B（，），C（3，0），由点P是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，设P的坐标为（3，），则，，，，，，∵x y，∴，，，，∴x，，∴x+y，（其中tanφ），∴当sin（x+φ）＝1时，x+y的最大值为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（1）由a3＝8，S3＝14．得，解得q＝2或（舍去），a1＝2．∴数列{a n}的通项公式为2n；（2）∵{a n﹣b n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴a n﹣b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，即b n＝2n﹣3n+2．故T n＝（21+22+23+…+2n）﹣3（1+2+…+n）+2n．18．（1）在分别抽取的100件产品中，合格品的元件甲有：40+32+8＝80（件）合格品的元件乙有：40+24+6＝70（件）所以元件甲、乙为合格品的频率分别为：，，根据频率可估计元件甲、乙为不合格品的概率分别为：和．（2）若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，其中不合格的1件，合格的4件．设5件产品分别为a，b，c，d，E，大写代表不合格，再从这5件甲产品中随机抽取2件，可能情况为：ab，ac，ad，bc，cd，bd，aE，bE，cE，dE，10种情况，这2件产品全是合格品有ab，ac，ad，bc，cd，bd，6种情况，所以P．19．（1）证明：取BC中点M，连结AM、PM，∵P A＝PB，∠APB＝60°，∴△P AB为正三角形．同理△P AC为正三角形．在Rt△BPC中，PB＝PC＝2，BC，∴PM，在△ABC中，AM，∵AM2+PM2＝2+2＝4＝AP2，∴△APM为直角三角形，即AM⊥MP，又∵AM⊥BC，∴AM⊥平面PBC，∴平面ABC⊥平面PBC；（2）解：由（1）知，AM⊥平面BPC，且AM，∴多面体P﹣ABC的体积V．∵AD AC，∴．20．（1）设直线l的方程为my＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：y2﹣2pmy﹣p2＝0．∴y1+y2＝2pm．∴|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2pm2+2p≥2p＝4，当且仅当m＝0时取等号．∴p＝2．∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）证明：设直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．联立，化为：y2﹣2pmy﹣p2＝0．∴y1+y2＝2pm．∴y0pm．∴x0＝my0pm2．∴N（，pm）．k FP•1，可得NF⊥l．设直线l的斜率为0时，显然成立．综上可得：NF⊥l．21．（1）当a＝﹣1时，f′（x），（x＞0），∵3x2+3x+2＞0恒成立，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上可得，函数的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间（0，1），（2）令g（x）x2+a，∵x＞0，由f（x）≥0在定义域内恒成立可得，g（x）≥0恒成立，∵g′（x），令h（x）＝x3+lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增且h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞））时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝1+a≥0，∴a≥﹣1，故a的范围[﹣1，+∞）．22．（1）点P的直角坐标为（3，3），由ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4（2）由消去t得x+y﹣6＝0，设Q（2+2cosθ，1+2sinθ），则M（cosθ，2+sinθ），M到直线x+y﹣6＝0的距离d，所以sin（）＝﹣1时，d取得最大值1．23．（1）|2x+4|+|x﹣1|＝|x+2|+|x+2|+|x﹣1|≥|﹣2﹣1|＝3，∵不等式|2x+4|+|x﹣1|≥m的解集为R，∴m≤3，∴m的取值范围为：（﹣∞，3]；（2）由（1）知，n＝3，则n＝3，17a+11b＝8（2a+b）+（a+3b）．当且仅当，时取等号．。
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月理科数学试题(解析版)
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数的解析式求出定义域，再结合题意即可求出结果.【详解】由函数可得，因，，所以有且，解得，故选C.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题型2.已知变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式组作出平面区域，将目标函数转化为求斜率的问题即可求解.【详解】由不等式组作出如图所示的图像，因为令，则表示平面区域内的点与定点联系的斜率，由图像可知，，由点，所以，故.【点睛】本题主要考查简单的线性规范，属于基础题型.3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，得该几何体是正四棱锥，再由公式球体积即可.【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥，所以该几何体的体积为.【点睛】本题主要考查几何体的体积，属于基础题型.4.直线过抛物线的焦点，与该抛物线及其准线从上向下依次交于、、三点，若，，则（）A. 2B.C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线，利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p的值.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线交准线于、,设,则,,所以,在直角三角形中，因为,所以,所以，即，因为，所以,，解得.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.5.定义，若展开式中一次项的系数为，则等于（为虚数单位）（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先将按定义写出，进而求出m,再由复数的运算求出结果即可.【详解】由定义可得，因此其展开式中一次项是由每一个括号内的的一次项与其余括号内的常数项相乘再相加得到.括号内的一次项系数依次为，其余括号内的常数项都是1，所以展开式中一次项的系数为,所以.【点睛】本题主要考查复数的运算，属于基础题型.6.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由得,即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C.【点睛】本题主要考查函数的图像，属于基础题型.7.已知正项等比数列的公比不为1，为其前项积，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由先得，从而用公比表示出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q,因为为正项等比数列的前项积，，所以，所以，所以,因此,故,所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算，属于基础题型.8.在中，、、的对边分别是、、.若，，则的最大值为（）A. 3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理先将边化为角的正弦值，再由三角函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.所以.【点睛】本题主要考查解三角形的问题，属于常考题型.9.已知，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】借助平方差公式，立方差公式，结合题中条件，依次判断即可.【详解】①取,则，但,故①错；②因,所以,因此；即②正确；③因,所以，故③正确；④因，由，得,所以,故④正确.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设圆锥与圆柱的底面圆半径和高，由题意得到四者之间关系，用圆锥与圆柱的面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为h,设圆锥的底面圆半径为，高为H,则有，又圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,且，所以,所以，故圆柱的表面积为;又圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,由题意，即,解得.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于基础题型.11.椭圆的右顶点为，下顶点为，左焦点为，若外接圆的圆心在直线的右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得的坐标，设出外接圆方程，将的坐标代入圆的方程，求出圆心，坐标，再根据圆心在直线的右下方，即可求出结果.【详解】由题意，,设外接圆方程为所以有，解之得,，所以圆心坐标为，又圆心在直线的右下方，所以有,整理得：即，所以,所以，因此椭圆的离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于中档试题.12.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.【详解】由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，难度较大.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数图像的对称轴是，则非零实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用含绝对值符号函数的对称性即可求解.【详解】因为，其对称轴为，由得.【点睛】本题主要考查函数的对称性，属于基础题型.14.已知，，，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据可表示出,，的坐标，再由数量积的坐标表示即可求出结果.【详解】因为，所以，,,所以，所以，解得，因点M是线段BC上的一个动点,所以，即满足条件的实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，属于中档试题.15.设、是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是__________．【答案】【解析】【分析】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，由双曲线定义可得故，再由OQ是的中位线，可推出为定值，从而可求出结果.【详解】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，故，又OQ 是的中位线，故,点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，属于中档试题.16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“函数”，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】在区间上分及两种情况考虑即可.【详解】由题意可得，在区间上恒成立，即，当时，函数的图像为一条线段，于是,解得，另一方面，在上恒成立.令,则,因为，所以,于是函数为增函数，从而,所以，则函数为上的增函数，所以,即；综上所述，实数k的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的综合应用，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将函数解析式化简整理成正弦型复合函数的形式，即可求解；(2)由正弦定理和题中条件，先求出，结合三角函数的图像和性质即可求出结果.【详解】（Ⅰ）所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意，由正弦定理，.因为在三角形中，所以.即，当时，，；当时，两边平方得，故，，. 由于锐角三角形，所以.则.又，，.所以.又，所以.由，则的取值范围.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于常考题型.18.如图，正方形与所在的平面互相垂直，且，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理即可证明结论成立；(2)可用立体几何法以及空间向量法两种方法求二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）∵，，∴在中，，，∴，，又为正方形，∴，又，∴，，又面，面，，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）方法一：平面平面，，∴平面，，即、、两两垂直，以、、分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，取平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，，则、、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，，则由平面平面，平面平面，，且面，∴平面，即平面，又为正方形，为的中点，∴，∴.∴是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（Ⅰ）可得，，，在中，.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求法，属于常考题型.19.为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间的件数，利用（ⅰ）的结果，求.附：.若，则，.【答案】（1）；（2）（ⅰ）（ⅱ）.【解析】【分析】(1)频率分布直方图中每一组的中间值可作为该组的平均数，再由公式即可求出平均数和方差；(2)根据正态分布的性质即可求出第一问，由二项分布即可求出第二小问.【详解】（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而，，，，，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的特征，以及正态分布和二项分布，属于常考题型.20.已知，是轴正半轴上两点（在的左侧），且，过，作轴的垂线，与抛物线在第一象限分别交于，两点.（Ⅰ）若，点与抛物线的焦点重合，求直线的斜率；（Ⅱ）若为坐标原点，记的面积为，梯形的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先由题意得出点坐标，进而可得，，点坐标，再由斜率公式即可求出结果;(2)先设直线的方程为：，，，再联立直线与抛物线方程吗，根据根与系数关系和弦长公式表示出，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，从而可表示出，，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）由，则，，则，又，所以.（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，由，得，所以，得，又，，由，，可知，，由，点到直线的距离为，所以.又，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线位置关系，属于中档试题.21.已知函数，.（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当时，如果，且，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，用导数的方法判断出函数的单调性，进而可证明结论成立;(2)根据，判断出函数的单调性，再构造函数，根据单调性，再设，即可判断出结果.【详解】（Ⅰ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴时，取得极小值，即最小值.当时，，，∵，∴，即.（Ⅱ）证明：当时，，则，∴时，，单调递减，时，，单调递增，令，则，∴，当时，，，，∴，单调递减，∴，即，∴当时，.又在内是增函数，在内是减函数.，且，∴，不再同一单调区间内，不妨设，由上可知：，∵，∴.∵，，又在内是增函数，∴，即.【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，难度较大.选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ），为曲线上两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由曲线C的参数方程先求出曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程即可.(2)先设点P和点Q的极坐标，结合题意即可求出结果.【详解】（Ⅰ）由，得到曲线的普通方程是：，又，，代入得，，即（也可得分）.（Ⅱ）因为，所以，由，故，设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，所以.【点睛】本题主要考查极坐标与参数方程的问题，属于基础题型.23.已知函数，.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由化简不等式，解化简后的不等式即可;(2)由题意可得：存在，使得不等式成立，只需成立即可，然后求最大值即可.【详解】（Ⅰ）当时，由，即，两边平方，得：，即，解得：，所以不等式的解集为：.（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，即成立，所以存在，使得成立，令，只需即可.又函数，当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；可知函数，所以.【点睛】本题主要考查不等式的解法以及不等式成立问题，属于常考题型.。
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月理科数学试题(解析版)
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数的解析式求出定义域，再结合题意即可求出结果.【详解】由函数可得，因，，所以有且，解得，故选C.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题型2.已知变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式组作出平面区域，将目标函数转化为求斜率的问题即可求解.【详解】由不等式组作出如图所示的图像，因为令，则表示平面区域内的点与定点联系的斜率，由图像可知，，由点，所以，故.【点睛】本题主要考查简单的线性规范，属于基础题型.3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，得该几何体是正四棱锥，再由公式球体积即可.【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥，所以该几何体的体积为.【点睛】本题主要考查几何体的体积，属于基础题型.4.直线过抛物线的焦点，与该抛物线及其准线从上向下依次交于、、三点，若，，则（）A. 2B.C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线，利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p的值.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线交准线于、,设,则,,所以,在直角三角形中，因为,所以,所以，即，因为，所以,，解得.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.5.定义，若展开式中一次项的系数为，则等于（为虚数单位）（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先将按定义写出，进而求出m,再由复数的运算求出结果即可.【详解】由定义可得，因此其展开式中一次项是由每一个括号内的的一次项与其余括号内的常数项相乘再相加得到.括号内的一次项系数依次为，其余括号内的常数项都是1，所以展开式中一次项的系数为,所以.【点睛】本题主要考查复数的运算，属于基础题型.6.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由得,即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C.【点睛】本题主要考查函数的图像，属于基础题型.7.已知正项等比数列的公比不为1，为其前项积，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由先得，从而用公比表示出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q,因为为正项等比数列的前项积，，所以，所以，所以,因此,故,所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算，属于基础题型.8.在中，、、的对边分别是、、.若，，则的最大值为（）A. 3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理先将边化为角的正弦值，再由三角函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.所以.【点睛】本题主要考查解三角形的问题，属于常考题型.9.已知，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】借助平方差公式，立方差公式，结合题中条件，依次判断即可.【详解】①取,则，但,故①错；②因,所以,因此；即②正确；③因,所以，故③正确；④因，由，得,所以,故④正确.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设圆锥与圆柱的底面圆半径和高，由题意得到四者之间关系，用圆锥与圆柱的面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为h,设圆锥的底面圆半径为，高为H,则有，又圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,且，所以,所以，故圆柱的表面积为;又圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,由题意，即,解得.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于基础题型.11.椭圆的右顶点为，下顶点为，左焦点为，若外接圆的圆心在直线的右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得的坐标，设出外接圆方程，将的坐标代入圆的方程，求出圆心，坐标，再根据圆心在直线的右下方，即可求出结果.【详解】由题意，,设外接圆方程为所以有，解之得,，所以圆心坐标为，又圆心在直线的右下方，所以有,整理得：即，所以,所以，因此椭圆的离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于中档试题.12.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.【详解】由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数图像的对称轴是，则非零实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用含绝对值符号函数的对称性即可求解.【详解】因为，其对称轴为，由得.【点睛】本题主要考查函数的对称性，属于基础题型.14.已知，，，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据可表示出,，的坐标，再由数量积的坐标表示即可求出结果.【详解】因为，所以，,,所以，所以，解得，因点M是线段BC上的一个动点,所以，即满足条件的实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，属于中档试题.15.设、是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是__________．【答案】【解析】【分析】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，由双曲线定义可得故，再由OQ是的中位线，可推出为定值，从而可求出结果.【详解】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，故，又OQ是的中位线，故,点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，属于中档试题.16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“函数”，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】在区间上分及两种情况考虑即可.【详解】由题意可得，在区间上恒成立，即，当时，函数的图像为一条线段，于是,解得，另一方面，在上恒成立.令,则,因为，所以,于是函数为增函数，从而,所以，则函数为上的增函数，所以,即；综上所述，实数k的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的综合应用，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将函数解析式化简整理成正弦型复合函数的形式，即可求解；(2)由正弦定理和题中条件，先求出，结合三角函数的图像和性质即可求出结果.【详解】（Ⅰ）所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意，由正弦定理，.因为在三角形中，所以.即，当时，，；当时，两边平方得，故，，.由于锐角三角形，所以.则.又，，.所以.又，所以.由，则的取值范围.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于常考题型.18.如图，正方形与所在的平面互相垂直，且，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理即可证明结论成立；(2)可用立体几何法以及空间向量法两种方法求二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）∵，，∴在中，，，∴，，又为正方形，∴，又，∴，，又面，面，，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）方法一：平面平面，，∴平面，，即、、两两垂直，以、、分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，取平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，，则、、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，，则由平面平面，平面平面，，且面，∴平面，即平面，又为正方形，为的中点，∴，∴.∴是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（Ⅰ）可得，，，在中，.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求法，属于常考题型.19.为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间的件数，利用（ⅰ）的结果，求.附：.若，则，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)频率分布直方图中每一组的中间值可作为该组的平均数，再由公式即可求出平均数和方差；(Ⅱ)根据正态分布的性质即可求出第一问，由二项分布即可求出第二小问.【详解】（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：. （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而，，，，， （ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的特征，以及正态分布和二项分布，属于常考题型. 20.已知，是轴正半轴上两点（在的左侧），且，过，作轴的垂线，与抛物线在第一象限分别交于，两点. （Ⅰ）若，点与抛物线的焦点重合，求直线的斜率；（Ⅱ）若为坐标原点，记的面积为，梯形的面积为，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.【解析】 【分析】(Ⅰ)先由题意得出点坐标，进而可得，，点坐标，再由斜率公式即可求出结果; (Ⅱ)先设直线的方程为：，，，再联立直线与抛物线方程吗，根据根与系数关系和弦长公式表示出，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，从而可表示出，，进而可求出结果. 【详解】（Ⅰ）由，则，，则，又，所以.（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，由，得，所以，得，又，，由，，可知，，由，点到直线的距离为，所以.又，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线位置关系，属于中档试题.21.已知函数，.（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当时，如果，且，证明：.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，用导数的方法判断出函数的单调性，进而可证明结论成立;(Ⅱ)根据，判断出函数的单调性，再构造函数，根据单调性，再设，即可判断出结果.【详解】（Ⅰ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴时，取得极小值，即最小值.当时，，，∵，∴，即.（Ⅱ）证明：当时，，则，∴时，，单调递减，时，，单调递增，令，则，∴，当时，，，，∴，单调递减，∴，即，∴当时，.又在内是增函数，在内是减函数.，且，∴，不再同一单调区间内，不妨设，由上可知：，∵，∴.∵，，又在内是增函数，∴，即.【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，难度较大.选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ），为曲线上两点，若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由曲线C的参数方程先求出曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程即可.(Ⅱ)先设点P和点Q的极坐标，结合题意即可求出结果.【详解】（Ⅰ）由，得到曲线的普通方程是：，又，，代入得，，即（也可得分）.（Ⅱ）因为，所以，由，故，设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，所以.【点睛】本题主要考查极坐标与参数方程的问题，属于基础题型.23.已知函数，.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由化简不等式，解化简后的不等式即可;(Ⅱ)由题意可得：存在，使得不等式成立，只需成立即可，然后求最大值即可. 【详解】（Ⅰ）当时，由，即，两边平方，得：，即，解得：，所以不等式的解集为：.（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，即成立，所以存在，使得成立，令，只需即可.又函数，当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；可知函数，所以.【点睛】本题主要考查不等式的解法以及不等式成立问题，属于常考题型.。
理科数学(一卷)答案THUSSAT12月测试高考资料高考复习资料中考资料
你永远是最棒的中学生标准学术能力诊断性测试2018 年12 月测试理科数学试卷（一卷）一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C AD A B A D B C C B D二. 填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.−12214．[1−,1]215．x2 +y2 =a216．[0,2]三、解答题：共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．12分解: （Ⅰ）f (x) 4sin x sin(x ) 3 =x x +x −=+−4sin ( 3 sin 1 cos ) 36 2 2=2 3 sin x +2sin x cos x − 3 =3(1−cos 2x) +sin 2x − 32π=sin 2x − 3 cos2x =2sin(2x −) …………………………3 分3所以函数f (x) 的最小正周期为π. …………………………4 分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin A sin B +sin B cos 2A =sin B cos A .……………………5 分因为在三角形中sinB 0 ，所以cos 2A =cos A −sin A.即(cos A −sin A)(cos A +sin A −1) =0 ，…………………………7 分当cos A −sin A =0 时，tan A=1，A=；…………………………8 分4当cos A +sin A =1时，两边平方得1+2sin A cos A =1，故sin A cos A =0 ，cos A=0 ，A=.2由于△ABC 锐角三角形，所以 A =.…………………………9 分43， 3 则，0 C C =−B .B +C =.又 0 B42 2 4，…………………………10 分所以 B4 2第 1 页 共 6 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的−，所以 1 sin(2 ) 1又 2BB− .63323由 f (B ) = 2sin(2B − ) ，3则 f (B ) 的取值范围 (1,2]. …………………………12 分18．12分证明：（Ⅰ）∵ AB = 2AD = 2a ， BAD = 60 ，∴在△ ABD 中， BD 2 = 4a 2 + a 2 − 22a a cos60 = 3a 2 ， BD 2 + AD 2 = AB 2 ，∴ ADB = 90， BD ⊥ AD ，…………………………2 分z E又 ADEF 为正方形，∴ AD ⊥ DE ，F又 AD ∥BC ，∴ BC ⊥ DE ， BC ⊥ BD ，D又 BD 面 BDE ， DE 面 BDE ， BD ，CG∴ BC ⊥ 平面 BDE ，………………………………5 分yx AB又 BC 平面 BCE ，∴平面 BDE ⊥ 平面 BCE . ……………………………6 分（Ⅱ）方法一：平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，ED ⊥ AD ，∴ ED ⊥ 平面 ABCD ，ED ⊥ DB ， 即 D A 、DB 、DE 两两垂直，……………………………7 分以 D A 、DB 、DE 分别为 x , y , z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 A (a ,0,0) ， (0, 3 ,0)G a ， C (−a , 3a ,0) ， E (0, 0,a ) ，2EG =a −a ， ( , 3 ,0) (0,, ) GC = −a a ，…………………………8 分3 22取平面 ADEF 的法向量为 m = (0,1, 0) ，设平面 CGE 的法向量为 n = (x , y , z )，则nnGC=，即−= 3 0 ay az2，令 y =1，则 x = 3 ，3z = ，22 − +3 = 0ax ay 2故( 3 ,1, 3)n=，……………………………10 分2 2设平面CGE与平面ADEF所成锐二面角为，则cos=| m n| =10| m|| n| 5. …………12 分方法二：连接AG，AE，则A、G、C共线，AE是平面CGE与平面ADEF的交线，E取AE的中点为H，连接HG，HD，则由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，FHBD⊥AD，且BD面ABCD∴BD⊥平面ADEF，D CG即GD⊥平面ADEF，……………………………8 分AB又ADEF为正方形，H为AE的中点，∴DH⊥AE，∴GH⊥AE.∴GHD是平面CGE与平面ADEF所成锐二面角的平面角，…………………………10 分第 2 页共6 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的GD=a，DH= 2 a，在R t △GHD中，cos 103 DHGHD==.由（Ⅰ）可得，2 2 GH 5∴平面CGE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为105. …………………………12 分19．12分解：（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数x和样本方差s2 分别为：x=1700.05+1800.12+1900.18+2000.30+2100.19++=………………………3 分220 0.10 230 0.06 200s2 =(−30)2 0.05 +(−20)2 0.12 +(−10)2 0.18 +00.30+10 0.19 +20 0.10 +30 0.06 =224 ，……………6 分2 2 2（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，Z~ N(200,224) ，从而P(200 −14.97 Z200 +14.97) =2P(185.03Z200) =0.6826，P(185.03 Z200) =0.3413，P(200 −29.94 Z200 +29.94) =2P(200 Z229.94) =0.9544 ，P(200 Z229.94) =0.4772，P(185.03 Z229.94) =P(185.03 Z200) +P(200 Z229.94) =0.8185 ，………10 分（ii）由（i）知，一件螺帽的质量指标值位于区间(185.03, 229.94) 的概率为0.8185 ，依题意知X.8185) ，所以E(X) =1000.8185 =81.85 . ……………………12 分20．12 分p p p p解（Ⅰ）由A( ,0) ，则B( +a,0) ，D( , p) ，则C( +a, p2 +2pa) ，…………2 分2 2 2 2又a=p，所以 3 3 1k==−. …………………4 分p−pCD 3p p−2 2（Ⅱ）设直线CD的方程为：y=kx+b(k0) ，设C(x, y) ，D(x, y)，1 12 2由y=kx+b，得ky2 −2py+2pb=0 ， (5)分y2 =2pxp所以=4p2 −8pkb 0 ，得kb ，……………………6 分2又2py+y=，1 2ky y1 22pb=，由k2py+y=0，1 2ky y1 22pb=，可知k 0 ，b0 ，k由 2 2| CD|=1+k| x−x|=a1+k，……………………7 分1 2第 3 页共6 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的点O到直线CD的距离为d=|b|1+k21 | b| 1，所以S=a1+k 2 =ab1 2. ………8 分2 1+k 21 1 2p ap又S=(y+y )| x−x|=a=，……………………10 分2 1 2 1 22 2 k kS kb所以 1 =，……………………11 分S2p2 因为0p S 1kb ，所以0 1. ……………………12 分2 S 4221．12分解（Ⅰ）当a0 时，f (x) =a e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x，………………………1 分a+1由f (x ) 0 ，得−，xaa 1 1+a+∴f(x) 在(,−) 上单调递减，在(−,) 上单调递增．……………………2 分a a∴xa+1=−时，f(x) 取得极小值，即最小值aa+1−−a e ． (3)分a当a 0 时，a 1 1 ++=+，a 1 11 1 −−，a a aa+1 1−，∴∵0<eaea+1a a a−−a e −，即f(x) +0 ．……………………………5 分e e（Ⅱ）证明：当a=−1 时，( ) ( 1 1)ef x=−x+x，a=−1 时，( ) ( 1 1)e2 2则1f x=−x，∴x(1,) 时，f (x ) 0，f(x) 单调递减，x(,1) 时，f (x ) 0 ，( ) (1 )e xx2f(x) 单调递增，…………6 分令F(x) =f(x) −f(2 −x) ，则( ) ( 1 1)e 1 e2F x=−x+x−x−x，2 2∴( ) 1 (1 )(e e2 )F x=−x−−，x x2当x (1,) 时，1−x0 ，x 2 −x，e x−e2−x0 ，∴F(x ) 0 ，F(x) 单调递减，……………………8 分∴F(x ) F(1) =f(1) −f(1) =0 ，即f(x) −f(2 −x ) 0 ，∴当x (1,) 时，f(x ) f(2 −x) . ………………………9 分又f(x) 在(,1) 内是增函数，在(1,) 内是减函数. x x，且1 2 f(x) =f(x) ，∴1 2x x不1, 2在同一单调区间内，第 4 页共 6 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的不妨设 x 1 1x 2 ，由上可知：f (x ) f (2− x ) ， (10)分22∵ f (x ) = f (x ) ，∴ 1 2f (x )f (2−x ) .12∵ x 1 1， 2 − x1，又 f (x ) 在 (,1) 内是增函数，2∴ x 12 − x 2 ，即 x 1 + x 22 .……………………12 分（如果考生证明过程与参考答案不完全一致，但思路正确，逻辑严密，阅题老师可酌情给 分）22．10 分x = 解：（Ⅰ）由= y10 2 cossin，得到曲线 C 的普通方程是： 2x 2 5+ 2= ，…………2 分 y 15又 x =cos ， y = sin ，代入得，52sin 2 + 22cos 2= 5 ，即 2 = 3sin + 225（2= 也可得分）．………………………5 分5sin+2cos22512cos2（Ⅱ）因为2== + ， ………………………6 分，所以sin 2 5sin 2 + 2cos 225由 OP OQ = 0，故OP ⊥ OQ ，π 设点 P 的极坐标为， ………………………7 分(,)，则点Q 的极坐标可设为 ( ,) 122所以|111 | OP || OQ | ++| OP || OQ |221 11 5 = = == ．………………………10 分11 sin2coscos 2sin1 2227+2++2++52 25 51 223．10 分解：（Ⅰ）当a=1时，由f(x ) 0 ，即| x+2|| 2x−1| ，两边平方，得：x2 +4x+4 4x2 −4x+1，即3x2 −8x−3 0 ，………………………2 分解得：1−x3，31所以不等式f(x ) 0 的解集为：x−x. ………………………4 分{ | 3}3（Ⅱ）若存在x R ，使得不等式f(x ) a成立，即| x+2|−a| 2x−1|a成立，所以存在x R ，使得| 2|ax+| 2x−1|+1 成立，令g(x) =| x+2|| 2x−1|+1，只需max ( )a g x即可.第 5 页共6 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的又函数 + −1 3 , x 2−2 2(x 1)| x 2| 1 31+g (x ) , 2 x= = − − −| 2x 1| 1 2 2(x 1)2− + − 1 1 1+ , x2 x 2，………………………6 分 1当 x −2 时， g (x ) 单调递减， 0 g (x ) ；21 5当 2 x 0 g (x ) ； 2 2 −时， g (x ) 单调递增，1 1 5当 g (x ) ； 2 2 2 x 时， g (x ) 单调递减，1 5可知函数 g (x ) = g ( ) = ，………………………9 分 max2 2所以 5a .………………………10 分2第 6 页共6 页自信是迈向成功的第一步。