南京市金陵中学高二年级数学备课组(精)
江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题 百度文库
一、等差数列选择题1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝24．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2206．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2407．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．8010．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1613．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．30二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，()21212n n a a -=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．题目文件丢失！26．题目文件丢失！27．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 28．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝029．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =， 故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 7．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 8．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．C【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 20．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.22．AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.23．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC24．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.25．无26．无27．ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x f x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD【点睛】 本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.28．ABD【分析】 对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 29．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.30．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。
我和金陵中学的40位老师
我和金陵中学的40位老师许萌君离开金中已经快四年了，我的大学本科生涯也行将结束，这两天的南京冬雨绵绵，突然非常地怀念金中，先回忆下金中的老师们吧！今天大概想了一下在，金中的三年高中里，一共有约四十位老师曾经站在我前面的讲台上向我传授知识，以下按科目逐一回忆。
语文：1.程军：高一刚入校，感觉这个老师明显很有文化底蕴，说话有点文绉绉的感觉，一般不批评学生，也不会直接的指出学生的错误而是比较委婉，虽然据说程老师曾经是个很严厉的人。
程老师年纪也不小了，一次脚受伤了还坚持来上课，给我留下了深刻的印象。
不过我的语文一直不怎么好，也没给程老师留下过什么好印象，感觉挺对不住程老师的。
记得很清楚，程老师曾经批过秦牧的《雄关赋》，认为大文人这篇文章并不特别初中但是自我感觉非常得意，所以语文课本也给面子加以收录。
2.喻旭初：金陵中学几大特级教师之一，在实验班教过我，第一堂课就讲做人，不但文学功底相当的好，而且给人感觉一身正气，频频指责社会反面现象但同时也不失风趣幽默，这样的老师实在难得。
深刻印象：“我永远拥有一颗十八岁的心”。
3.王芳：在实验班教过我，记得那时王老师还不到30岁，颇有个性，经常带着小孩来玩，不过对学生要求也比较严格。
上课时常也崩出南京话，同学生很好的打成一片，对我也挺不错。
印象话语：“学校举行青年教师讲课比赛，结果我一不留神讲了个第一”。
数学：4.金立建：初来乍到金中，一上数学课，天，进来的胖老头居然经常在报纸上看到，特级教师啊！结果经金老师说才知道特级教师也必须“下基层体验生活”，只教一个月，得，认了吧！不过金老师教的的确很棒，闲暇时还给我们说他如何擅长修理自行车，呵呵！5.史济芬：金老师结束体验生活后，史老师成了我们班的数学老师，按她的话说十八岁就在金陵中学任教直到退休被返聘，的确史老师这么多年教学经验相当的丰富，理论扎实，也善于和学生沟通。
不巧的是史老师和本人住在一个小区，弄得我都不敢经常闲逛，毕竟在路上遇见老师有点……记得史老师曾经推销一种塑料尺子，全班同学被史老师人格魅力感染踊跃购买，结果尺子质量并不好~6.陶兆龙：史老师后面就是他了，刚调来时曾经有同学说此人看上去缺乏灵气，上课也缺乏些激情。
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二上学期期初学情调研数学试卷
江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高二上学期期初学情调研数学试卷一、单选题1．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是 A ．0B ．43-C ．0或43-D ．12-或232．已知圆22:40M x y y +-=，则()()22:111N x y -+-=，则圆M 与圆N 的公切线条数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．过点(3,2)-且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ）A ．221225100x y +=B ．2211510x y +=C ．221225100y x +=D ．2211510y x +=4．已知P 是边长为BC 上的一点，且P 到AB 的距离等于2，则P 到AC 的距离为（ ）A．12B C ．1 D 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．0B ．12C D 6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60o 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知实数a ，b 满足22122a b a b ++=+，则()2341a b +-的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．168．设椭圆2222:1x y C a b+=的左右两个焦点分别为12,F F ，右顶点为,A M 为椭圆上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D二、多选题9．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则（ ）A ．7sin cos 5αα-=B ．1sin cos 5αα+=C ．πtan 74α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．24sin 225α=10．在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上.若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 任一点，则下列结论中正确．．的是A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAC ⊥平面PBC12．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |三、填空题13．若()sin 2cos πθθ=-，则πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为.14．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12，25，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率．15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k(x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是．16．在三棱锥-P ABC 中，ABC V 和PBC V 都是边长为PA =若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为.四、解答题17．已知直线l 过点4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)当OA OB =时，求直线l 的方程； (2)当AOB V 的面积为6时，求直线l 的方程.18．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点.(1)求证：1//B A 平面1C BD ；(2)若13AA AB ==，3BC =，且AB BC ⊥，求三棱锥11B B C D -的体积.20．已知22:120+++-=e C x y Dx Ey 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上.（1）求C e 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引圆C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B .记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；21．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x -y +m =0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x -y上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，求实数m 取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB =u u u r u u u r ，3AF FB ⋅=u u u r u u u r．(1)求椭圆C 的方程；(2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k .若()121k k k +=，证明直线l 过定点， 并求出定点的坐标．。
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案
金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 10.311. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =， 所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos2222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若122m n ⋅=-.则11sin[2]6222x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯12=-=16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ， 平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<， 令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==， 故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==12-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为 同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==， 即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=， 所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===， 所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++. 因为322322(21)n n k b k ---=+， 所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=， 把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<， 所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦， 根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=，即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13x C y +=上任取一点,sin )P θθ(02)θπ≤≤，则点P 到直线l的距离为d=|2sin()4|πθ+-=，02θπ≤≤， 当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max d =23. 解(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A =-2211(1)25p =--=， 解得35p =.(2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且24(0)(1)25P X p ==-=, 2(1)(1)P X p p ==-24(1)(1)125p p p +--=， 327(3)125P X p ===， 故(2)1(0)P X P X ==-=54(1)(3)125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望24()2125E X =+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D 为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -，易得1(0,2,3)A B =-,设BE a =,则(0,2,)AE a =，因为1A B AE ⊥,所以1(0,2,3)AB AE ⋅=- (0,2,)430a a ⋅=-=， 解得43a =,即4(0,2,)3AE =, 又1(2,2,3)D B =-,(2,2,0)AC =-, 所以1(2,23)D B AE ⋅=-4 (0,2,)03⋅=,所以1D B AE ⊥, 且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC ⋅=-⋅-=，所以1D B AC ⊥，又AE AC A =，所以1D B ⊥平面AEC . (2) 4(0,2,)3AE =，1(2,0,3)D A =-，1(0,2,3)DC =-， 设平面1ACD 的一个法向量(,,)n x y z =， 则110,0,D A n D C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x z y z -=⎧⎨-=⎩令0z =，则3x y ==，即(3,3,2)n =，sin |cos ,AE θ=<|||||AE n n AE n ⋅>=⋅423=2⨯⨯==22.。
简说高中数学教材(南京市金陵中学张松年)P46-P62
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
南京市金陵中学数学组
了解数学的文化价值，知道数学与人类文化息息
相关；学习数学家的精神，为创造人类文明发愤
学习；了解数学发展的历程以及在科学发展中的
价值，体会数学的发生、发展的过程．
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必修1中，P5：旁白介绍Cantor．
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案例
教材必修1中，P27：用Excel作函数的图象．
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必修1中，P53：例5．
例5 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每 期利率为r设存期是x，本利和为y元． (1)写出本利和随存期x变化的函数关系式； (2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%， 试计算第5期后的本利和．
5．教材充分考虑学生的不同需求，为所有 学生发展提供帮助，为学生的不同发展 提供较大的选择空间
(1)教材中的引言、正文、练习、习题中的“感受· 理 解”部分、阅读、探究案例、实习作业、本章回顾 等内容构成一个完整的体系．它是教材的核心，体 现了高中数学教学的基本要求，是所有学生应当掌 握的内容．编写时，力图使所有学生都能理解． (2)考虑广大同学的不同需要，教材提供了较大的选 择空间．主要是设计了一些具有挑战性的内容，包 括思考、探究、链接、习题中的“思考· 运用”、 “探究· 展”等，以激发学生探索数学的兴 拓 趣．在掌握基本内容之后，学生可自主选择其中一 些内容作思考与探究．
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学---精校解析Word版
设集合则详解：因为,已知复数其中右边化为详解：因为点睛：复数计算时要把复数化为形式，以防止出错那么50人n=120在长方体,则三棱锥详解：根据题目条件，在长方体中=3所以三棱锥点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所在平面直角坐标系若双曲线的一条渐近线方程为,则实数【答案】双曲线的焦点在所以其渐近线方程为详解：因为双曲线所以其渐近线方程为，又因为该双曲线一条渐近线方程为,所以的值为轴上时为轴上时为.设各项均为正数的等比数列的前项和为，若则数列的通项公式为【答案】【解析】分析：根据基本量直接计算为等比数列，解得：点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可向上的点数依次记为,”的概率是【答案】【解析】分析：骰子连续抛掷种结果，满足向上的点数依次记为,共有：”的概率是点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式9. 若实数满足条件则的取值范围为【答案】【解析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析满足条件即，画出可行域：在，所以的取值范围为在平面直角坐标系,两曲线在区间上交点为处的切线与轴分别相交于两点则线段【答案】【解析】分析：求出和处切线方程，即可求出详解：由可得，又因为所以在点处切线方程为：，又因为所以点处切线方程为：，所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该是对角线且. 则中点， (1)点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大若对满足,都有则实数【答案】【解析】分析：正实数满足，可求得，由详解：因为，又因为正实数可求得时有最小值的取值范围为）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；在平面直角坐标系的左右焦点分别为,使得则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】【解析】分析：椭圆上恰好有,使得的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论,使得点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，在第一象限，时，，，解得，所以时，即且或点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到对于任意的实数,为中的最小值设函数，则实数的取值范围是 ____________.【答案】【解析】分析：函数可以看做由函数向上或向下平移得到，和图象即可分析出来函数可以看做由函数向上或向下平移得到在上当有最小值所以要使得在或在平面直角坐标系,.时求，且的值【答案】（1）2）．分析：直接带入即可利用向量数量积时，，，，若则.因为，所以，.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系的形式在四棱锥底面平面平面, 在棱上是棱的中点平面;平面.(1)是棱的中点，所以，所以，所以. (2)先证明平面所以，又因为，所以平面因为在，是棱的中点是棱是因为底面,平面, 平面,平面.平面平面., ,平面,平面,平面.村庄和供电站位于河流的两岸村庄侧的河岸所在直线恰经过现欲在河岸上,分别修建电缆和,.记电缆总长度为 (的解析式；电缆的总长度最小，）当, 最小值为【解析】分析：易得，，，，令,，故当，，递减，当,,递增，当详解：(1)垂直平分，，，于是，在之间,所以，，.，,得，，，递减,,递增时.时最小值为.点睛：此题为三角函数的实际应用题，解题时要注意分析题目中的条件，常常跟正余弦定理，三角函数比在平面直角坐标系已知椭圆的离心率为,且过点为椭圆的, 连结并延长,分别交椭圆于.设直线的斜率分别为,求出实数）存在详解：(1)设椭圆的方程为，，由题意知所以椭圆的方程为.则,又,所以直线的方程为.消去的横坐标在直线，从而点,点的坐标为(，，即存在,使得.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，设数列的前项的和为且满足对 (其中常数满足:数列是等比数列；,,使得,求数列的前）见解析；（2）．两式相减，所以数列所以论即可因为都有所以两式相减得,，时所以所以数列是常数列, ，是以为公比的等比数列得所以.得因为，时，时，.因此数列的前项的和.点睛：数列问题中出现一般都要用这个原理解题，但要注意验证常常跟对数运算结合在一起，很好的考查了数列的综合分析问题能力，因此在计算时要熟练掌握对数相关在平面直角坐标系已知函数的图像与直线相切其中求实数设函数在区间①求实数的取值范围；②设函数的极大值和极小值的差为,求实数.直接利用导数的几何意义即可求得在区间在区间内有两个不同跟即可；值和极小值的差为与函数相切于点在点，，.实数的值为在区间内有两个极值点，,,设,故只需,,所以，由,得,且.设,,令，，(在上单调递减,从而，实数的取值范围是.点睛：导数问题一直是高考中的必考考点，也是难点，函数在某区间有两个极值点，说明该函数的导函数已知矩阵，；在平面直角坐标系求直线在对应的变换作用下所得直线；.由，即解得，所以得上的任意一点在作用下得到上对应点.，即解得所以，的方程为.一直线在对应的变换作用下所得在直角坐标系以原点轴的非负半轴为极轴取与直角坐标系设曲线的参数方程为,(),直线(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；求曲线的最大距离时，.（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．得得⑵在上任取一点，则点到直线的距离为分∴当时，考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.23. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为次投篮机会的概率是的值；设该运动员投篮命中次数为求）分布列见解析，期望为【解析】分析：:“恰用完次投篮机会”,则其对立事件(2),:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件,依题意, 的所有可能值为,，故数学期望点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要的底面边长为垂足为,交: ⊥平面记直线与平面所成的角,的值．【解析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以分别以直线所在轴轴轴，分别写出坐标，设，利用所以计算平面法向量，所以以所在直线为轴, 轴, 轴设所以，,,,,所以，所以，所以，设平面的一个法向量，，则，即，。
江苏省南京市金陵中学河西分校高中数学苏教版选修1-2教案 《2.1.2演绎推理》 Word版无答案
金陵中学河西分校高二数学教学案
课题 2.1.2演绎推理课型新授结合已经学过的数学实例，了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基教学目标
本模式，并能运用它们进行一些简单的推理。
教学重点演绎推理的特点和形式
教学难点正确进行演绎推理
教学过程教学内容
一复习引入:
归纳推理的一般步骤：
类比推理的一般步骤：
二、学生活动
1.所有的金属都能导电, ------- -----大前提
因为铜是金属, ------------------------- --小前提
所以铜能够导电-----------------------------结论
2.一切奇数都不能被2整除,
因为(2100+1)是奇数,
所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
因为tanα是三角函数,
所以是tanα是周期函数
4.全等的三角形面积相等
如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等
那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
三、建构数学
1演绎推理的概念
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
注：。
江苏省南京市金陵中学2015-2016学年高二年级下学期数学检测卷1 含答案 精品
金陵中学高二年级数学检测卷（1）学号________ 姓名_______________ 2016.3.24 一、填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处) 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为 ▲ ． 2．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为 ▲ ． 3已知i 是虚数单位,则1－2i2＋i等于 ▲ ．4．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则 输出s 的值是 ▲ ．5．已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 ▲ ．6．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2， 且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角的余弦为 ▲ ．7．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝ ▲ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则 △ABC 的面积为 ▲ ．9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则c ＝ ▲ ．11．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 12．若命题“∀x ∈[1，3]，x 2－ax ＋4≥0”是真命题，则a 的取值范围是 ▲ ．（第4题）二、解答题(共6小题，总分80分)13．（本小题14分）已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x ．（1）求函数f (x )的最小正周期和值域；（T －13）（2）若α为第二象限角，且f (α－π3)＝13，求cos2α1－tan α的值．（T －14）14．（本小题14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ､F 分别是BD ､BB 1的中点．（1）求证：EF ∥平面A 1B 1CD ；（T －15） （2）求证：EF ⊥AD 1．（T －16）15．（本小题14分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8－200＝1000(元)．设购买某商品得到的实际折扣率＝实际付款额商品的标价．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（1）写出当x ∈(0，1000]时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（T －17）（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于23?（T －18）16．（本小题11分）正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(a n ＋12)2．（1）证明数列{a n }为等差数列并求其通项公式；（T －19）（2）设c n ＝1a n a n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明:13≤T n ＜12．（T －20）17．（本小题11分）已知函数f (x )＝ax ＋bx＋c (a ＞0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1．（1）用a 表示b ，c ；（T －21）（2）若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．（T －22）18．（本小题16分）如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上､下顶点分别为AB ，点P 在椭圆上，且异于点AB ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点MN ． （1）设直线APBP 的斜率分别为k 1､k 2，求证:k 1·k 2为定值；（T －23） （2）求线段MN 的长的最小值．（T －24）金陵中学高二年级数学检测卷（1）解答1．4 2．(0，6] 3．－i 4． 11 5．18 3 6．－127． 6 8．369．7 10．±5 11．(－3，－1)∪(1，3) 12．(－∞，4] 13．(1)因为 f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f (x )的周期为2π，值域为[－1，3]． ……6分(2)因为 f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13．因为cos2α1－tan α＝cos 2α－sin 2αcos α－sin αcos α＝cos α(cos α＋sin α)＝cos 2α＋cos αsin α，因为α为第二象限角， 所以 sin α＝223．所以cos2α1－tan α＝19－229． ……14分14．(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连结B 1D在平面BB 1D 内，E ､F 分别为BD ､BB 1的中点， ∴EF ∥B 1D ．又∵B 1D ⊂平面A 1B 1CD ，EF ⊂/平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1C D ． ……………………7分 (2)∵ABCD － A 1B 1C 1D 1是正方体，∴A 1D 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1 B 1． 又A 1D ∩A 1B ＝ A 1，∴AD 1⊥平面A 1B 1D ，∴AD 1⊥B 1D ．又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1． ………………14分15．(1)∵500÷0.8＝625 ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8， 0＜x ＜625，0.8x －100x ， 625≤x ≤1000．当x ＝1000时，y ＝0.8×1000－1001000＝0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7． ……6分 (2)当x ∈[2500，3500]时，0.8x ∈[2000，2800]①当0.8x ∈[2000，2500)即x ∈[2500，3125)时，0.8x －400x ＜23 解得x ＜3000∴2500≤x ＜3000； …10分②当0.8x ∈[2500，2800]即x ∈[3125，3500]时，0.8x －500x ＜23解得x ＜3750 ∴3125≤x ≤3500； ……13分综上，2500≤x ＜3000或3125≤x ≤3500即顾客购买标价在[2500，3000)∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于23．……14分16．(1)由S n ＝(a n ＋12)2得:当n ＝1时，a 1＝S 1＝(a 1＋12)2，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a n ＋12)2－(a n －1＋12)2，整理得(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0，又{a n }为正项数列，故a n －a n －1＝2，(n ≥2)，因此数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1．(6分)(2)c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋．．．＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12，(8分)T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列， ∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12．(11分)17．(1)f'(x )＝a －bx 2，则有⎩⎨⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝0 f'(1)＝a －b ＝1，解得 ⎩⎨⎧ b ＝a －1 c ＝1－2a……2分(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a ，令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则 g (1)＝0，g'(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)(x －1－aa )x 2．(i)当 0＜a ＜12时，1－a a＞1，若 1＜x ＜1－aa ，则g'(x )＜0，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (1)＝0f (x )＞ln x ，故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒不成立．(ii)当a ≥12时，1－a a ≤1，若x ＞1，则g'(x )＞0，g (x )是增函数，所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x ．综上所述，所求a 的取值范围为[12，＋∞) ……11分18．解(1)∵A (0，1)，B (0，－1)，令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0，∴ 直线AP 的斜率k 1＝y 0－1x 0，PB 的斜率k 2＝y 0＋1x 0，又点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1，(x 0≠0)，从而有k 1 k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14．……8分(2)由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线BP 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0)，由⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3k 1，y ＝－2．由⎩⎨⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1k 2，y ＝－2．∴直线AP 与直线l 的交点N (－3k 1，－2)，直线BP 与直线l 的交点M (－1k 2，－2)．又k 1 k 2＝－14，∴MN ＝|3k 1－1k 2|＝|3k 1＋4k 1|＝3|k 1|＋4|k 1|≥23|k 1|·4|k 1|＝43， 等号当且仅当3 |k 1|＝4|k 1|时取到，即k 1＝±32，故线段MN 长的最小值是43．……8分。
金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试(高二数学)含解析
1金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知直线l 1:ax ＋2y ＝0与直线l 2:2x ＋(2a ＋2)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为A ．－2B ．－23C ．1D ．1或－22．已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，则该圆锥的体积为A ．33πB ．332πC ．3πD ．33π3．已知f (x )＝f'(2023)ln x －12x 2＋x ，则f'(2023)＝A ．0B ．－2023C ．1D ．20234．曲线y ＝ln x －2x在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α的值为A ．45B ．－45C ．35D ．－355．已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24(x ＋3)，则r 2r 1＝A ．43B ．2C ．54D ．36．已知点P是抛物线x2＝2y上的一点，在点P处的切线恰好过点(0，－12)，则点P到抛物线焦点的距离为A．12B．1C．32D．27．已知数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，设c n＝a bn，T n为数列{c n}的前n项和，则当T n＜2023时，n的最大值为A．8B．9C．10D．1 8．在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题:甲：ln3＜3ln2；乙：lnπ＜πe；丙：212＜12；丁：3e ln2＞42．所写为真命题的是A．甲和丙B．甲和乙C．丙和丁D．甲和丁二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.设(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列说法正确的是A．a0＝1B．a1＋a2＋…＋a10＝310－1C．展开式中二项式系数最大的项是第5项D．a2＝9a110．已知在正四面体ABCD中，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则A．EF//平面ACD B．AC⊥BDC．AB⊥平面FGH D．E、F、G、H四点共面211．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把5－12(5－12≈0.618)称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线E :x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的左､右顶点分别为A 1，A 2，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则A ．a 2e ＝1B ．A 2B →·FB →＝0C ．顶点到渐近线的距离为eD ．△A 2FB 的外接圆的面积为2＋54π12．已知定义域为R 的函数f (x )＝x 4－x 2＋ax ＋1，则A ．存在实数a ，使函数f (x )的图象是轴对称图形B ．存在实数a ，使函数f (x )为单调函数C ．对任意实数a ，函数f (x )都存在最小值D ．对任意实数a ，函数f (x )都存在两条过原点的切线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．13．某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为______．14．已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，左顶点为A 1，若E 上的点P 满足PF 2⊥x轴，sin ∠PA 1F 2＝35，则E 的离心率为________．15．函数f (x )＝x 3－x 2－x －a 仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．16．如下图所示:一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图(1)；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图(2)……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{a n}中，a1，a2，a3，···，a6成等差数列，a5，a6，a7，···成等比数列，a2＝－10，a6＝2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．18．(本小题满分12分)－ln x(a∈R)已知函数f(x)＝x－ax(1)讨论f(x)的极值；(2)求f(x)在[1，e]上的最大值g(a)．e已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，数列{S na n }是公差为12的等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{2n a n}的前n项和为T n，是否存在实数t使得数列{T n＋t2n}成等差数列，若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足sin C＋cos C＝2，(1－cos A)b＝a cosB．(1)判断△ABC的形状；(2)若点D在BC上且BD＝3CD，点P与点A在直线BC同侧，且BC⊥DP，BC＝2PD，求cos∠ACP．设椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左､右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为33，若椭圆E 上的点到直线l :x ＝a 2c的最小距离为3－3．(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程．22．(本小题满分12分)函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax ，g (x )＝1－e x ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≥g (x )在x ∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.5分）函数f （x ）=lg （-x 2+2x+3）的定义域为___ ．3.（填空题.5分）若复数 1+ai 1−i 为纯虚数.i 是虚数单位.则实数a 的值是___ ．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．10.（填空题.5分）若曲线C 1：y=3x 4-ax 3-6x 2与曲线C 2：y=e x 在x=1处的切线互相垂直.则实数a 的值为___ ．11.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a 2−b 2c =3.则c=___ ．12.（填空题.5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f （2x-3）≤2的x 的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2-2ax+a 2-1.若关于x 的不等式f （f （x ））＜0的解集为空集.则实数a 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0.当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15的所有解的和为___ ．15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值；（2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.O.E 分别为B 1D.AB 的中点．（1）求证：OE || 平面BCC 1B 1；（2）求证：平面B 1DC⊥平面B 1DE ．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后.经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x）.其中f（x）= {x216+2(0＜x≤4)x+142x−2 (x＞4).当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m的最小值．19.（问答题.16分）设函数f k(x)=2x+(k−1)•2−x（x∈R.k∈Z）．（1）若f k（x）是偶函数.求k的值；（2）设不等式f0（x）+mf1（x）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2.若g（x）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．20.（问答题.16分）记f′（x）.g′（x）分别为函数f（x）.g（x）的导函数．若存在x0∈R.满足f （x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0）.则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=lnx存在“S点”.求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a.g（x）= be xx．对任意a＞0.判断是否存在b＞0.使函数f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S点”.并说明理由．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{-1}【解析】：利用交集的定义求解．【解答】：解：∵集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．【点评】：本题考查交集的求法.是基础题.解题时要认真审题．2.（填空题.5分）函数f（x）=lg（-x2+2x+3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-1.3）【解析】：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解出即可得到定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解得.-1＜x＜3．则定义域为（-1.3）．故答案为：（-1.3）．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.注意对数的真数必须大于0.考查运算能力.属于基础题．3.（填空题.5分）若复数1+ai为纯虚数.i是虚数单位.则实数a的值是___ ．1−i【正确答案】：[1]1【解析】：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】：解：∵复数 1+ai 1−i = (1+ai )(1+i )(1−i )(1+i ) =1−a+(1+a )i 2 = 1−a 2+1+a 2i 为纯虚数. ∴ {1−a2=01+a2≠0 .解得a=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义.属于基础题．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．【正确答案】：[1]32【解析】：先求出高一学生在总体中所占的比例.再用样本容量乘以此比例.即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】：解：高一学生在总体中所占的比例为 44+3+3 = 25 .故应从高一年级抽取的学生人数为80× 25 =32.故答案为：32．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和方法.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比.属于基础题．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．【正确答案】：[1]35【解析】：根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】：解：k=1.k ＞5不成立.S=0+12=1.k=1+2=3.k=3.k ＞5不成立.S=1+32=10.k=3+2=5.k=5.k ＞5不成立.S=10+52=35.k=5+2=7.k=7.k ＞5成立.输出S=35.故答案为：35【点评】：本题主要考查程序框图的识别和判断.利用模拟运算法是解决本题的关键．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】：解：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .∴恰好有1只是白球的概率P= m n =610 = 35． 故答案为： 35 ．【点评】：本题考查概率的求法.是基础题.解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：作出不等式组对应的平面区域.设z=x+y.利用z 的几何意义.先求出z 的最大值.即可得到结论．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y.则y=-x+z.平移直线y=-x+z.由图象可知当直线y=-x+z 经过点A 时y=-x+z 的截距最大.此时z 最大．由 {2x −y =0x −2y +3=0.解得 {x =1y =2.即A （1.2）. 代入z=x+y 得z=1+2=3．即z=x+y 最大值为3.∴2x+y 的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】：本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算.利用z 的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．【正确答案】：[1][0.2）【解析】：由指数函数的单调性求出函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））的值域.再由函数图象的平移得答案．【解答】：解：∵x∈（-1.2）.∴ 2x ∈(12，4) . 2x −2∈(−32，2) .则f （x ）=|2x -2|∈[0.2）.y=f （x-1）的图象是把函数f （x ）左右平移得到的.函数值域不发生变化.∴函数y=f （x-1）的值域为[0.2）．故答案为：[0.2）．【点评】：本题考查了函数的值域的求法.考查了函数图象的平移.是基础题．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．【正确答案】：[1]y= √2 sin （ π8 x+ π4 ）【解析】：根据函数的最高点的坐标确定A.根据函数零点的坐标确定函数的周期.利用最值点的坐标同时求φ的取值.即可得到函数的解析式．【解答】：解：∵函数图象的一个最高点为（2. √2）.∴A= √2 .x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6.0）.∴ T4=6-2=4.即函数的周期T=16.∵T= 2πω=16.∴ω= π8.此时函数y=f（x）= √2 sin（π8x+φ）.∵f（2）= √2 sin（π8×2+ψ）= √2 .∴sin（π4+φ）=1.即π4+φ= π2+2kπ.即ψ= π4+2kπ.∵|φ|＜π2.∴当k=0时.φ= π4.∴这个函数的解析式为y= √2 sin（π8 x+ π4）．故答案为：y= √2 sin（π8 x+ π4）【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.根据条件确定A.ω.φ的取值是解决本题的关键．10.（填空题.5分）若曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1] 13e【解析】：分别求出两个函数的导函数.求得两函数在x=1处的导数值.由题意知两导数值的乘积等于-1.由此求得a的值．【解答】：解：由y=3x4-ax3-6x2.得y′=12x3-3ax2-12x.∴y′|x=1=-3a.由y=e x.得y′=e x.∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.∴-3a•e=-1.解得：a= 13e．故答案为：13e．【点评】：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程.函数在某点处的导数.就是曲线过该点的切线的斜率.是中档题．11.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a2−b2c=3.则c=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式.进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题.化简求得a.b和c的关系式.然后根据已知条件可直接求得c．【解答】：解：∵tanA=7ta nB.∴ sinA cosA =7• sinBcosB．∴sinAcosB=7sinBcosA.∴a• a2+c2−b22ac =7•b• b2+c2−a22bc.整理得8a2-8b2=6c2. ①∵ a2−b2c=3. ②① ② 联立求得c=4.故答案为：4【点评】：本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.（填空题.5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f（2x-3）≤2的x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.2]【解析】：根据题意.由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数.且f（1）=-f（-1）=2.进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1.解可得x的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数.则在f（x）在[0.+∞）上也是增函数.故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2.则f（1）=-f（-1）=2.则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1.解可得x≤2.即不等式的解集为（-∞.2]；故答案为：（-∞.2]．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x 的不等式．13.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1.若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≤-2【解析】：由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1.不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1.原不等式的解集为空集.得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集.求出a的范围．【解答】：解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1.那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时.f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1.+∞）若原不等式的解集为空集.则（*）的解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．【点评】：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围.属于中档题．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0 .当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15 的所有解的和为___ ． 【正确答案】：[1]10000【解析】：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和.找出规律作和即可．【解答】：解：x∈[0.1）时.f （x ）=（x-1）2+2（x-1）+1=x 2. 令f （x ）=x- 15.得：x 2-x+ 15=0.∴x 1+x 2=1； x∈[1.2）时.f （x ）=（x-1）2+1. 令f （x ）=x- 15 .得：x 3+x 4=3. x∈[3.4）时.f （x ）=（x-2）2+2. 令f （x ）=x- 15 .得：x 5+x 6=5. ….x∈[n .n+1）时.f （x ）=（x-n ）2+n. 令f （x ）=x- 15 .得：x 2n+1+x 2n+2=2n+1. x∈[99.100]时.f （x ）=（x-99）2+99. 令f （x ）=x- 15 .得：x 199+x 200=199. ∴1+3+5+…+199=10000. 故答案为：10000．【点评】：本题考查了分段函数问题.考查了分类讨论以及二次函数的性质.是一道基础题． 15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ． （1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式.即可求角A 的大小； （2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .根据向量的数量积.求出AB•AC 的大小即可.求△ABC 的面积【解答】：解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA. 即sin （B+C ）=2sinAcosA. 则sinA=2sinAcosA. 在三角形中.sinA≠0. ∴cosA= 12 . 即A= π3 ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 . 则AB•ACcosA= 12 AB•AC= √3 . 即AB•AC=2 √3 .则△ABC 的面积S= 12 AB•ACsinA= 12×2√3×√32 = 32．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用.以及三角形面积的计算.利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ． （1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值； （2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．【正确答案】：【解析】：（1）函数f （x ）有最大值 178 .则 {a ＜0−4a 2−14a=178.解之.即可求实数a 的值；（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即 （x-1）（ax+a+1）＞0.再分类讨论.确定不等式的解集．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）有最大值 178 .所以a≥0.不满足题意； ∴ {a ＜0−4a 2−14a=178. ∴8a 2+17a+2=0.∴a=-2或a=- 18 ．（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即 （x-1）（ax+a+1）＞0a=0时.解集为（1.+∞）a＞0时.解集为（-∞.-1 −1）∪（1.+∞）．a【点评】：本题考查函数的最值.考查解不等式.解题的关键是确定方程两根的大小关系．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.O.E分别为B1D.AB的中点．（1）求证：OE || 平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【正确答案】：【解析】：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.可证四边形OEBF是平行四边形.又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.可证OE || 面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC.再证BC1⊥面B1DC.而BC1 || OE.OE⊥面B1DC.又OE⊂面B1DE.从而可证面B1DC⊥面B1DE．【解答】：证明：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.…2分DC .因为O.F分别是B1D与B1C的中点.所以OF || DC.且OF=12又E为AB中点.所以EB || DC.且d1=1..即四边形OEBF是平行四边形.从而d2=d3=32所以OE || BF.…6分又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.所以OE || 面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1.BC1⊂面BCC1B1.所以BC1⊥DC.…10分又BC 1⊥B 1C.且DC.B 1C⊂面B 1DC.DC∩B 1C=C. 所以BC 1⊥面B 1DC.…12分而BC 1 || OE.所以OE⊥面B 1DC.又OE⊂面B 1DE. 所以面B 1DC⊥面B 1DE ．…14分【点评】：本题主要考查了平面与平面垂直的判定.直线与平面平行的判定.属于基本知识的考查．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后.经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf （x ）.其中f （x ）= {x 216+2(0＜x ≤4)x+142x−2 (x ＞4) .当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意.写出y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .再对每一段考虑大于等于4.解出x 的范围.求并集即可； （2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .确定各段的单调性.求出值域.再求并集.为使4≤y≤10恒成立.则4≤y min .且10≥y max 即可．【解答】：解：（1）由题意.当药剂质量为m=4.所以y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .当0＜x≤4时 x 24 +8≥4.显然符合题意． 当x ＞4时2x+28x−1≥4.解得4＜x≤16.综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天． （2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .得在区间（0.4]上单调递增.即2m ＜y≤3m ； 在区间（4.7]上单调递减.即 7m 4≤y ＜3m .综上7m 4≤y ≤3m .为使4≤y≤10恒成立.只要 7m 4≥4 且3m≤10即可.即 167≤m ≤103． 所以应该投放的药剂质量m 的最小值为 167 ．【点评】：本题考查分段函数的应用.考查函数的单调性及应用：求值域.注意函数的各段解析式.属于中档题．19.（问答题.16分）设函数 f k (x )=2x +(k −1)•2−x （x∈R .k∈Z ）． （1）若f k （x ）是偶函数.求k 的值；（2）设不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m 的取值范围；（3）设函数g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2.若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数是偶函数.建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1.2]≠∅.等价为不等式在[1.2]内有解.利用参数分离法进行转化求解即可．（3）求出g （x ）的解析式.根据函数存在零点转化为方程有根.利用参数分离法进行求解即可．【解答】：解：（1）若f k （x ）是偶函数. 则f k （-x ）=f k （x ）.即2-x +（k-1）•2x =2x +（k-1）•2-x .即2-x -2x =（k-1）•2-x -（k-1）•2x =（k-1）（2-x -2x ）. 则k-1=1.即k=2；（2）f 0（x ）=2x -2-x .f 1（x ）=2x .则不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4等价为2x -2-x +m2x ≤4. ∵A∩[1.2]≠∅.∴不等式在[1.2]内有解. 即m2x ≤4-2x +2-x . 则m≤4−2x +2−x2x=4•2-x +（2-x ）2-1. 设t=2-x .∵1≤x≤2.∴ 14 ≤t≤ 12 . 设4•2-x +（2-x ）2-1=t 2+4t-1. 则y=t 2+4t-1=（t+2）2-5. ∵ 14≤t≤ 12.∴当t= 12时.函数取得最大值y= 14+2-1= 54.要使不等式在[1.2]内有解.则m≤ 54 .即实数m 的取值范围是 (−∞，54] ； （3）f 0（x ）=2x -2-x .f 2（x ）=2x +2-x .则f 2（2x ）=22x +2-2x =（2x -2-x ）2+2. 则g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4. 设t=2x -2-x .当x≥1时.函数t=2x -2-x .为增函数.则t≥2- 12 = 32 .若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.即g （x ）=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4=λt -t 2-4=0. 在t≥ 32 上有解. 即λt=t 2+4.即λ=t+ 4t .∵t+ 4t ≥2 √t •4t =4.当且仅当t= 4t .即t=2时取等号. ∴λ≥4.即λ的取值范围是[4.+∞）．【点评】：本题主要考查函数与方程的综合应用.求出函数的解析式.利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．20.（问答题.16分）记f′（x ）.g′（x ）分别为函数f （x ）.g （x ）的导函数．若存在x 0∈R .满足f （x 0）=g （x 0）且f′（x 0）=g ′（x 0）.则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”． （1）证明：函数f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”； （2）若函数f （x ）=ax 2-1与g （x ）=lnx 存在“S 点”.求实数a 的值； （3）已知函数f （x ）=-x 2+a.g （x ）=be xx．对任意a ＞0.判断是否存在b ＞0.使函数f （x ）与g （x ）在区间（0.+∞）内存在“S 点”.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据“S 点”的定义解两个方程.判断方程是否有解即可； （2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数.结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】：解：（1）证明：f′（x ）=1.g′（x ）=2x+2.则由定义得 {x =x 2+2x −21=2x +2.得方程无解.则f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”； （2）f′（x ）=2ax.g′（x ）= 1x .x ＞0. 由f′（x ）=g′（x ）得 1x =2ax.得x= √12a . f （ √12a ）=- 12 =g （ √12a ）=- 12 lna2.得a= e2 ；（3）f′（x ）=-2x.g′（x ）= be x (x−1)x 2.（x≠0）.由f′（x 0）=g′（x 0）.假设b ＞0.得b e x 0 =- 2x 03x 0−1＞0.得0＜x 0＜1.由f （x 0）=g （x 0）.得-x 02+a= be x 0x 0 =- 2x 02x 0−1.得a=x 02- 2x 02x0−1. 令h （x ）=x 2- 2x 2x−1 -a=−x 3+3x 2+ax−a1−x.（a ＞0.0＜x ＜1）. 设m （x ）=-x 3+3x 2+ax-a.（a ＞0.0＜x ＜1）.则m （0）=-a ＜0.m （1）=2＞0.得m （0）m （1）＜0. 又m （x ）的图象在（0.1）上不间断. 则m （x ）在（0.1）上有零点. 则h （x ）在（0.1）上有零点.则存在b＞0.使f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S”点．【点评】：本题主要考查导数的应用.根据条件建立两个方程组.判断方程组是否有解是解决本题的关键．。
数学丨江苏省南京一中、金陵中学、南通海安中学2025届高三上学期11月期中考联考数学试卷及答案
2025届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数则实数m=()A．B．C．D.2．已知集合A={0,1,2,3,6},B={x x-1∈A}，则ðA(A∩B)=()A．{0,6}B．{3,6}C．{-1,5}D．{0,1,2}3．在V ABC中，tan A=2，tan B=3，则C=()A．30°B．45°C．60°D．135°4．函数f(x)=x(x-3)2的极大值为()A．-4B．0C．1D．45．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60。
，则PC=()A．1B.·2C.·3D．26．曲线y=2sin x与y=sin的交点中，与y轴最近的点的横坐标为()A．-B．-C．D.7．在口ABCD中，，x∈R.若AP∥MN，则x=1234 A．B．C．D.77778．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为()35A．B．2C．D．3 22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在空间中，设a,b,c是三条直线，α,β,Y是三个平面，则下列能推出a//b的是() A．a丄c，b丄cB．a//α,a∈β,α∩β=bC.α丄Y，β丄Y，α∩Y=a，β∩Y=bD.α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，a//c10．已知函数f(x)=cos x cos2x，则()A．f(x)的最大值为1B．是曲线y=f(x)的对称中心C．f(x)在(|(0,),I上单调递减D．f(x)的最小正周期为2π11．设f(x)为R上的增函数，满足：f(1+x)+f(1-x)=2，f(2+x)+f(2-x)=4，则() A．f(3)=3B．f(x)为奇函数C．3x0∈R，f(x0)=x0+1D．丫x∈R，f(e x+1)-f(x)≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=sin(w x+φ)(w>0,0<φ<π)的一个单调减区间为「|L-,，则w=，φ=.13．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=ln x上的两点A，B满足OA丄OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为.14．已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且AB=OC=1，则-A-B-→.-A-的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．已知a，b，c分别为V ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C=b+c.(1)求A；(2)若V ABC的面积为·,周长为6，试判断V ABC的形状.16．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.(1)△PFH能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：上PFQ=90。
金陵好课堂数学教研活动
一、活动背景金陵好课堂数学教研活动是南京市金陵中学为提升教师教育教学水平，加强教师之间的交流与合作，推动数学学科教学研究而举办的一项重要活动。
本次活动旨在通过研讨、交流和实践，激发教师的教育教学热情，促进教师专业成长，提高课堂教学质量。
二、活动时间与地点时间：2022年10月15日地点：南京市金陵中学报告厅三、活动主题本次教研活动的主题为“基于核心素养的数学课堂教学策略研究”。
四、活动流程1. 开幕式由金陵中学副校长主持，介绍活动背景、目的和意义，并对参会教师提出期望。
2. 专题讲座邀请知名数学教育专家进行专题讲座，分享核心素养导向下的数学课堂教学策略。
3. 课堂教学展示由金陵中学优秀教师进行课堂教学展示，参会教师现场观摩并点评。
4. 分组研讨参会教师分成若干小组，针对课堂教学展示进行研讨，交流教学心得和经验。
5. 总结发言由金陵中学数学教研组长对本次活动进行总结，并对今后的教学工作提出建议。
五、活动内容1. 专题讲座讲座主题：核心素养导向下的数学课堂教学策略主讲人：张教授（知名数学教育专家）讲座内容：（1）核心素养的内涵及在数学教学中的体现；（2）核心素养导向下的数学课堂教学目标设定；（3）核心素养导向下的数学课堂教学方法；（4）核心素养导向下的数学课堂教学评价。
2. 课堂教学展示展示课例：《函数的单调性》授课教师：李老师（金陵中学优秀教师）教学设计：（1）通过生活实例引入，激发学生学习兴趣；（2）引导学生自主探究，发现函数单调性的规律；（3）结合实际问题，巩固所学知识；（4）通过课堂小结，总结函数单调性的应用。
3. 分组研讨参会教师分成若干小组，针对李老师的课堂教学展示进行研讨，交流以下内容：（1）课堂教学的优点和不足；（2）如何将核心素养融入数学课堂教学；（3）针对不同学情，如何调整教学策略。
4. 总结发言金陵中学数学教研组长对本次活动进行总结，提出以下建议：（1）教师应关注学生的核心素养，将核心素养融入课堂教学；（2）教师应注重培养学生的自主学习能力，提高课堂教学效率；（3）教师应加强教育教学研究，不断提高自身教学水平。
江苏省南京市金陵中学高二数学等比数列练习试题 百度文库
一、等比数列选择题1．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．25532．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．87．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20208．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ）A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．811．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12612．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12813．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．714．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列15．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．316．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或217．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ）A ．35B ．35C ．53D ．53-18．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >19．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8020．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．48二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列25．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2826．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34227．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩28．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 29．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=30．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n nq nq nq q q ++--- D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<32．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =34．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列35．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．A【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 2．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 3．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 4．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 6．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 7．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 8．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．故选：C ． 11．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 12．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 13．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 14．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24nna =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 15．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 16．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 17．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-， 故选：D 18．C 【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定. 故选：C. 19．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 20．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C.二、多选题21．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 22．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122n a n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m na n a m ==，得()()1111m n a a m d na a n d m⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 23．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 24．AD 【分析】根据等比数列的定义判断．设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 25．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 27．ABD 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 28．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 29．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 30．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 31．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.32．ABD【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可. 【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确； 1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 33．AC【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a q q f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0，∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1．∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ．∵S n ()21212n-==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确．S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确．∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．AC【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+， ()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=， 1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=， ()461r ∴=+， 解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
南京市金陵中学高二年级数学备课组48页PPT
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
南京市金陵中学高二年级数学备课组
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
江苏省金陵中学高二数学上学期10月学情调研试题苏教版
金陵中学2013—2014学年度第一学期学情调研试卷2013．10高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合M ＝{x |0≤x ≤1}，函数f (x )＝11－x的定义域为N ，则M ∩N ＝ ▲ ．[0，1)2．已知cos α＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝ ▲ ．－233．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积是 ▲ ．44. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≥3，f (x ＋1)，x ＜3，则f (log 23)＝ ▲ ．1125．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2，3)向这个圆引切线，则切线的方程为 ▲ ．3x －4y ＋6＝0及x ＝26．若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的 ▲ 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”) 充要7．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝ ▲ ．168.设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝16x ＋y 的最大值为 ▲ ．359．①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中是真命题的序号是___▲___．①，②，③10．如果两条直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则实数a 的值是 ▲ ．0或－111．过点A (3，2)，圆心在直线y ＝2x 上，与直线y ＝2x ＋5相切的圆的方程为 ▲ ． (x －2)2＋(y －4)2＝5，或(x －45)2＋(y －85)2＝512．过点P (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ▲ ．2x －4y ＋3＝013．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－1(x ＞0)，若a ＜b 时，f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围为 ▲ ． (4，＋∞)．14．若对于给定的正实数k ，函数f (x )＝k x的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是 ▲ ．(0，92)．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知m ＞0，p ：x 2－4x －12≤0，q ：2－m ≤x ≤2＋m ．(Ⅰ)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)若m ＝5，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解 (Ⅰ) A ＝[－2，6]，B ＝[2－m ，2＋m ] ，实数m 的取值范围是(4，＋∞)． (Ⅱ)A ＝[－2，6]，B ＝[－3，7] ，实数x 的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．16．(本小题满分14分)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于点A ，B ，求：(1)交点A ，B 的坐标；(2)△AOB 的面积；(3)圆心角AOB 的余弦．解：(1)由方程组⎩⎨⎧x －2y －5＝0，x 2＋y 2＝50，消x 得y 2＋4y －5＝0，解得y 1＝1，y 2＝－5， 所以⎩⎨⎧x 1＝7，y 1＝1，⎩⎨⎧x 2＝－5，y 2＝－5．所以点A ，B 的坐标分别为(7，1)，(－5，－5)．(2)由(1)知直线AB 的方程为x －2y －5＝0．因为圆O 的圆心为坐标原点O ，半径为52，所以原点O 到直线AB 的距离为 d ＝55＝5．又 AB ＝[7－(－5)]2＋[1－(－5)]2＝65，所以△AOB 的面积为S ＝12×65×55＝15．(3)方法一 因为OA ＝52，OB ＝52，AB ＝65， 所以 cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ⋅OB ＝－45．方法二 由(1)得→OA ＝(7，1)，→OB ＝(－5，－5)，∠AOB ＝＜→OA ，→OB ＞， 所以 cos ∠AOB ＝→OA ·→OB |→OA ||→OB |＝7×(－5)＋1×(－5)72＋12×(－5)2＋(－5)2＝－45 17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 为BD 中点，点F 在AC 1上， 且AC 1＝4AF .(1)求证：平面ADF ⊥平面BCC 1B 1； (2)求证：EF //平面ABB 1A 1.证明：(1) 因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC ， 而AD ⊂平面ABC ， 所以CC 1⊥AD .ABCC 1A 1B 1FE D又AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ，因为BC ⋂CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，因为AD ⊂平面ADF ，所以平面ADF ⊥平面BCC 1B 1. (2) 连结CF 延长交AA 1于点G ，连结GB . 因为AC 1＝4AF ，AA 1//CC 1，所以CF ＝3FG ，又因为D 为BC 中点，点E 为BD 中点，所以CE ＝3EB ， 所以EF //GB ，而EF ⊄平面ABBA 1，GB ⊂平面ABBA 1， 所以EF //平面ABBA 1.18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解：法一：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.法二：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0 得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2－6x ＋1＝0 是同一个方程，故D ＝－6，F ＝1．令x ＝0 得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为1，代入得出E ＝－2．∴圆C 的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.AB CC 1A 1B 1F E D G19．(本小题满分16分)如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°．(1)求BC 的长度；(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)， 从点P 看这两座建筑物的张角分别为∠APB ＝α， ∠DPC ＝β，问点P 在何处时，tan(α＋β)最小？解：(1)如图作AN ⊥CD 于N ．∵AB ∥CD ，AB ＝9，CD ＝15，∴DN ＝6，EC ＝9． 设AN ＝x ，∠DAN ＝θ，∵∠CAD ＝45°，∴∠CAN ＝45°－θ． 在Rt △ANC 和Rt △AND 中， ∵tan θ＝6x ，tan(45°－θ)＝9x∴9x ＝tan(45°－θ)＝1－tan α1+tan α 化简整理得x 2－15x －54＝0， 解得x 1＝18，x 2＝－3(舍去)． BC 的长度是18 m ．(2)设BP ＝t ，所以PC ＝18－t ，tan α＝9t ，tan β＝1518－t，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝9t ＋15 18－t 1－9t 15 18－t ＝－6t －45＋1350t+27＝－6t ＋27＋1350t+27－72≥－621350－72当且仅当t ＋27＝1350t+27，即t ＝156－27时，tan(α＋β)最小．答：P 在距离B 156－27时，tan(α＋β)最小．20. (本小题满分16分) 已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝1，A (12，B (0，t )，C (0，t －4)(其中0＜t ＜4)．(1)过点A 的直线l 被圆M 截得的弦长为3， 求直线l 的方程；(2)若直线PB ，PC 都是圆M 的切线，且点P 在 y 轴右侧，求△PBC 面积的最小值．解： (1)①当l ⊥x 轴时，l 的方程为x ＝12，满足题意．②当l 与x 轴不垂直时，设l ：y －52＝k (x －12)，BCA DP (第19题图)即kx －y ＋5－k2＝0．所以圆心M 到l 的距离d ＝|k ＋5－k 2|k 2＋1，又直线被圆所截弦长为3，则d ＝12－(32)2＝12， 所以 |k ＋5－k2|k 2＋1＝12，解得：k ＝－125，所以l ：12x ＋5y －372＝0．综上，直线l 的方程为x ＝12，或24x ＋10y －37＝0．(2)方法一：设PB 的斜率为k ，则PB ：y ＝kx ＋t ，即kx －y ＋t ＝0．因为PB 与圆M 相切，所以 |k ＋t |k 2＋1＝1，得k ＝1－t22t ．所以PB ：y ＝1－t 22t x ＋t ． 同理可得PA ：y ＝1－(t －4)22(t －4)x ＋t －4．由⎩⎨⎧y ＝1－t 22t x ＋t ，y ＝1－(t －4)22(t －4)x ＋t －4．解得x P ＝2t 2－8tt 2－4t ＋1． 由2x P ＝t 2－4t ＋1t 2－4t ＝1＋1t 2－4t ． 因为0＜t ＜4，所以0＞t 2－4t ≥－4，所以2x P ≤34，x P≥83． 当t ＝2时，x P ＝83，此时S △ABC ＝163．方法二：设圆M 与直线CP ，BP 分别切与G ，H ，连结MO ，CM ， 设∠OBM ＝α，∠OCM ＝β则∠MPC ＝π2－α－β由BC ＝4，得1tan α ＋1tan β＝4，所以4＝1tan α ＋1tan β≥21tan αtan β 得tan αtan β≥14，当且仅当α=β时取等号又PH ＝ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan αtan β1－tan αtan β＝41tan αtan β－1≥43所以S △ABC ＝12(BC ＋PC ＋BP )r ＝4＋PH ≥43＋4＝163，所以△PBC 面积的最小值163.附加题：(本题满分20分，以160＋20的形式计分)21．设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1， x ，y ∈R } ，若A ∩B ≠∅ ，求实数m 的取值．解 因为对任意m ∈R ，都有2m ≤2m ＋1，所以B ≠∅，集合B 表示在直线x ＋y ＝2m 与直线x＋y ＝2m ＋1之间的平面区域(包含边界)． 当m 2＞m 2，即0＜m ＜12时，A ＝∅，不满足条件；当m 2≤m 2，即m ≤0或m ≥12时，A ≠∅． (1)若m ≤0，则A ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }表示以点(2，0)为圆心，半径为|m |的圆面(m ＝0时是原点)， A ∩B ≠∅等价于点(2，0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，即|2－2m －1|2≤|m |，即2m 2－4m ＋1≤0，即(m －1)2≤12，解得1－22≤m ≤1＋22，所以m∈∅；(2)若m ≥12，则A ＝{(x ，y )|m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }表示以点(2，0)为圆心，大圆半径为|m |，小圆半径为m2的圆环．当(2，0)∈B ，即2m ≤2≤2m ＋1，即12≤m ≤1时，A ∩B ≠∅，满足条件；若m ＞1，则A ∩B≠∅等价于点(2，0)到直线x ＋y ＝2m 的距离不大于半径|m |，即|2－2m |2≤|m |，即m 2－4m＋2≤0，即(m －2)2≤2，解得2－2≤m ≤2＋2，所以1＜m ≤2＋2，满足条件．综上，实数m 的取值范围是[12，2＋2]．。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二年级上册学期12月阶段检测数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题一、单选题1．是等差数列，，，的第（ ）项．401-5-9-13-⋯A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-41n a n =--，得到是这个数列的第100项．40141n -=--401-【详解】解：等差数列，，中，，5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-5(1)(4)41n a n n ∴=-+-⨯-=--令，得40141n -=--100n =是这个数列的第100项．401∴-故选：C ．2．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．)(12nn a n=-)(112n n a n+=-)(12nnn a =-)(112n nn a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，，11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为，1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 3．在等差数列 中，若，则等于{}*()∈n a n N 45627a a a ++=19a a +A ．9B ．27C ．18D ．54【答案】C 【详解】,4565327a a a a ++==解得，59a =则，故选C.195218a a a +==【解析】等差数列的性质——等差中项.4．等比数列为递减数列，若，，则（ ）{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=518a a =A ．B ．C ．D ．6322316【答案】A 【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，7144176a a a a ⋅=⋅=4a 17a 2560x x -+=1n n a a +>4a ，再利用通项公式即可得出.17a 【详解】∵等比数列为递减数列，，，{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=∴与为方程的两个根，4a 17a 2560x x -+=解得，或，，42a =173a =43a =172a =∵，∴，，1n n a a +>43a =172a =∴，1317423a q a ==则，51318132a a q==故选:A.5．已知为等比数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 5312a a -=6424a a -=44S a =A ．15B ．C ．D ．14-158158-【答案】C【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.【详解】设公比为q ，显然，由已知得，，{}n a 1q ≠53641224a a a a -=⎧⎨-=⎩所以，故，即，64532a a q a a -==-531141612a a a a -==-11a =所以，()41434111518a q S qa a q --==故选：C.6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，{}n a {}n b 794π3a a +=26108b b b =（ ）3813481a a a b b ++=-A ．B ．C ．D ．π4π3π22π3【答案】D【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.【详解】因为数列是等差数列，，{}n a 79824π3a a a +==所以，，82π3a =3813832πa a a a =+=+因为数列是等比数列，，{}n b 2610368b b b b ==所以，，62b =26483141b b b =-==-所以.3813482π13a a a b b ++=-故选：D.7．设等差数列，的前n 项和分别是，，若，则（ ）{}n a {}n b n S n T 237n n S nT n =+65a b =A ．B ．651117C ．D ．31114【答案】B【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.n n S n T 665554a S S b T T -=-【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则n 2An Bn +2(2)2n S kn n kn =⋅=，故.2(37)37n T kn n kn kn =⋅+=+66555423622511325753167417a S S k k b T T k k k k -⨯-⨯===-⨯+⨯-⨯-⨯故选：B.8．已知数列（其中第一项是，接下来的{}2223333333441123123456712:,,,,,,,,,,,,2222222222222n a 112项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，221-222123,,222321-33333331234567,,,,,,2222222n n S 下列判断：①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等1010212-{}n a 2036M M n S <20191018S =式的正整数的最小值是.1019n S >n 2100其中正确的序号是A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②③④【答案】B 【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，{}n a 2k 21k -使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项k 21k -2k k b {}k b k 和，结合这些规律来判断各题的正误．k T 【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉{}n a 2k 21k -{}n a 三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：k 2k21k -122233333331212322212345672222222 对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为1010212-10{}n a ，命题①正确；()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=- 对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，k k b ()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==且数列的前项之和为{}k b k ，()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；k →+∞k T →+∞M n S M <对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为9{}n a ，()()()()91292122121219101312--+-++-=-=- 第行最后一项位于数列的项数为，且，10{}n a 2036101320192036<<则位于数阵第行第项（即），2019a 101006201910131006-=所以，101010201991010101100610061210062922222222S T ⎛⎫⨯+ ⎪--⎝⎭=++++=+=，命题③错误；1110235031007101822⨯=+≠由①知，，且，11203610210210182S T --===121121124083101922T --==>则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，1019n S >n a 11m 则有，可得出，()1011111112112101810192222m m mT +++++=+> ()14096m m +>由于，，则，，64634032⨯=64654160⨯=636440966465⨯<<⨯64m ∴=因此，满足的最小正整数，命题④正确．1019n S >2036642100n =+=故选B.【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题．二、多选题9．已知数列{an }为等差数列，其前n 项和为Sn ，且2a 1+4a 3＝S 7，则以下结论正确的有（ ）A ．a 14＝0B ．S 14最小C ．S 11＝S 16D ．S 27＝0【答案】ACD【分析】根据题意，由2a 1+4a 3＝S 7，可得a 14＝0，然后逐项分析即可得解.【详解】因为数列{an }为等差数列，设其等差为d ，由于2a 1+4a 3＝S 7，即6a 1+8d ＝7a 1+21d ，即a 1+13d ＝a 14＝0，故A 正确；当时，Sn 没有最小值，故B 错误；0d <因为S 16﹣S 11＝a 12+a 13+a 14+a 15+a 16＝5a 14＝0，所以S 11＝S 16，故C 正确；S 27＝＝27（a 1+13d ）＝27a 14＝0，故D 正确.12727()2a a +故选：ACD .10．各项均为正数的等比数列的前n 项积为，若，公比，下列命题正确的是{}n a nT11a >1q ≠（ ）A ．若，则必有是中最小的项B ．若，则必有59T T =7T n T 59T T =141T =C ．若，则必有D ．若，则必有67T T >78T T >67T T >56T T >【答案】BC【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A ，B ；利用推理判断59T T =67T T >C ，D 作答.【详解】正项等比数列的前n 项积为，，公比，{}n a nT11a >1q ≠当时，，而，则，即，而，有，数列59T T =67891a a a a =6978a a a a =781a a =21311a q =11a >01q <<单调递减，{}n a 因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A 不正确；{}n a 7T nT由选项A 知，，B 正确；711421331241151069784817()1T a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅==⋅当时，，而，则，数列单调递减，，有67T T >6171a q a =<11a >01q <<{}n a 8701a a <<<，C 正确；8877T a T T =<因，由C 选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D 不正确.665T a T =01q <<{}n a 6a 故选：BC 11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则数列前5项的和最大211n a n =-+{}n a B ．设是等差数列的前项和，若，则n S {}n a n 4815SS =816522S S =C ．已知，则使得成等比数列的充要条件为55a c =+=-,,a b c 1b =D ．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022{}n a 10110a <101110120a a +>0n S <n 【答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列前5项的和最大，A 对；{}n a B ：在等差数列中，成等差，{}n a 4841281612,,,S S S S S S S ---48481,5,5S S S S =∴=又，84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=B对；8165,22S S ∴=C ：成等比数列，所以不是充要条件，C 错；,,a b c 2,1,b ac b ∴=∴==±D ：为等差数列, ，{}n a 10110a <10111012101110120,0a a a a +>∴<<，所以D 错，1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>故选：AB12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波{}n a ()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈{}n a 那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）A ．12321n n a a a a a +++++=- B ．202020202021S a a =+C ．135********a a a a a ++++= D ．24620202021a a a a a ++++> 【答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A 选项，，.累加得，，12n n n a a a --=+ 31242311n n n a a a a a a a a a +--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩12123n n n a a a a a a a ++--=+++ 即.又，所以，A 正确；2212n na a a a a +-=+++ 21a =12321n n a a a a a +++++=-B 选项，由A 选项可知，故，B 不正确；21n n S a +=-202020202020122211a S a a =-=-+C 选项，，.12n n n a a a --=+ 423645202220202021a a a a a a a a a -=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩累加得，，20222352021a a a a a -=+++ 所以，C 正确；21135202120222022202211a a a a a a a a a -+=-+=++++= D 选项，由C 选项中同理可知，，D 不正确.31532021201920211202246202012021()1a a a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-=-+<+++ 故选：AC.三、填空题13．在数列中，若，，则________．{}n a 11a =1133n na a +=+n a =【答案】32n -【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.{}n a n a 【详解】因为，即，1133n na a +=+13n n a a +-=所以数列是公差为的等差数列，{}n a 3又，11a =所以.()13132n a n n =+-=-故答案为：.32n -【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数17之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.【答案】556【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.1a d 【详解】设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为5{}n a d则， ，解得：()3451217a a a a a ++=+5100S =()111139275451002a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+=⎪⎩153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：556【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.15．若数列满足，，，则的值为__________．{}n a 12a =23a =()*21n n n a a a n +++=∈N 2021a 【答案】3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.2021a 【详解】解：，则，132a a a +=3211a a a =-=，则，243a a a +=4322a a a =-=-，则，354a a a +=5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列为周期数列，且周期，{}n a 6T =又，∴．202163365=⨯+202153a a ==-故答案为：-3.16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上312述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又1421→→→称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，6m =63105168421→→→→→→→→至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简818m 1n 称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，n {}n a 1(a m m =，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时101a =9m __________.【答案】82【分析】由结合递推公式逆推，逐步计算可得的可能取值，再将的取值按从小到大的顺101a =m m 序排列，由中位数的定义可得中位数.【详解】因为，，101a =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时倒推可得：；1248163264128256512←←←←←←←←←；124816326412825685←←←←←←←←←；1248163264214284←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；1248165103612←←←←←←←←←故的所有可能取值为，中位数为，m 12,13,80,84,85,5128084822+=故答案为：.82四、解答题17．（1）在等差数列中，公差，前项和，求及；{}n a 13,22n d a ==n 152n S =-1a n （2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求.{}n a 12q =5318S =15,a a 【答案】（1），；（2），.13a =-10n =12a =518a =【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出；,n n a S （2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值.5318S =5a 【详解】（1）由题意得()()()113152122131222a n a n ⎧+⎪⨯=-⎪⎨⎪+-⨯=⎪⎩由得.代入后化简得()21122a n =-+()127300n n --=解得或（舍去），从而.10n =3n =-13a =-（2）由，解得，所以.515112311812a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-12a =45118a a q ==18．已知数列的前n 项和为，且满足{}n a n S ()*1N +=∈n n a S n (1)证明：数列是等比数列；{}n a (2)求的值．1100S a 【答案】(1)证明见解析；(2)1023【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．10S 10a 【详解】（1）证明：由①得()*1N +=∈n n a S n ②，111n n a S +++=②①得-，12n n a a +=即，112n na a +=当时，，1n =121a =解得，112a =是以为首项，为公比的等比数列．{}n a ∴1212（2）解：由（1）知，9101011122⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ，10101011122111212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--S．101010101011221102312-∴==-=S a 19．设等差数列的公差为，前项和为，已知，，.{}n a d n n S 17a =-4n S S ≥d Z ∈（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）令，求数列的前项和.n n b a ={}n b n n T 【答案】（1）；（2）.29n a n =-()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d ，写出通项公式；（2）对的正负讨论，求出的前项和..n a {}n b n n T 【详解】（1）因为，所以即4n S S ≥450,0,a a ≤⎧⎨≥⎩370,470,d d -≤⎧⎨-≥⎩解得，又，所以..7743d ≤≤d Z ∈2d =()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-（2）因为，29n n b a n ==-当时，，则，4n ≤0n a <n n n b a a ==-；()272982n n n n T S n n -+-=-=-=-+当时，，则，5n ≥0n a >n n n b a a ==.()22428216832n n T S S n n n n =-=--⨯-=-+综上所述：.()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求n S n a 通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．20．设数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 11a =()12n n na n S +=+(1)证明：数列是等比数列；n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求与.n S n a 【答案】(1)证明见解析(2)，()212n n a n -=+⋅12-=+n n S n 【分析】（1）利用进行整理原式，可得，即可证明为等比数列；11n n n S S a ++-=121n n S S n n +=⨯+n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）根据（1）的结论即可求，再利用即可得到.n S ()12n n n S S a n --=≥n a 【详解】（1）因为，()12n n na n S +=+所以，12n n n a S n ++=则()11121221n nn n n n n n S S n S S S S S n n n n +++++-=⇒=⇒=⨯+又，所以，11a =111S =所以数列是首项为1，公比为2的等比数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）可得，即，12n n S n -=12n n S n -=⋅当时，；2n ≥()()122121212n n n n n n a S S n n n ----=-=⋅-⋅=+⋅-当时，符合，1n =11a =()212n n a n -=+⋅所以.()212n n a n -=+⋅21．在①；②成等比数列；③；这三个条件中任21322n S n n t =++21373,,,a a a a =222n n n S a a =+-选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，且．{}n a n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”{}n a ()3log 1n a +n a 之和．n T 【答案】(1)1n a n =+(2)1086【分析】（1）选①或③，利用求得；选②，结合等比中项的知识求得等差11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 数列的公差，从而求得.{}n a {}n a （2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.n n T 【详解】（1）选①解：因为，21322n S n n t =++所以当时，，1n =112a S t ==+当，时，2n ≥()()2211313112222n n n a S S n n t n n t -⎛⎫=-=++--+-+ ⎪⎝⎭1n =+因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，{}n a 所以，.0=t 1n a n =+选②解：因为成等比数列，137,,a a a 所以，2317a a a =⋅因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，{}n a d 所以，()()212111326a a d a d a a d =+=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩所以，121a d =⎧⎨=⎩所以.()111n a a n d n =+-=+选③解：因为，222n n n S a a =+-所以当时，．1n =211122S a a =+-所以，21120a a --=所以或，12a =11a =-因为是各项均为正数的等差数列，{}n a 所以，12a =又当n ＝2时，，222222S a a =+-所以，所以，()2122222a a a a +=+-()2222222a a a +=+-所以，所以或（舍去），22260a a --=23a =22a =-其公差，211d a a =-=所以.()111n a a n d n =+-=+（2）设，所以，()3log 1n b a =+31b n a =-令，且b 为整数，12022b ≤≤又由，，67333log 31,log 3729,log 32187===6733log 32022log 3<<所以b 可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，n a 12345631,31,31,31,31,31------所以区间[1，2022]内所有“调和数”之和()()()()()()123456313131313131n T =-+-+-+-+-+-()1234563333336=+++++-()6313613-=--＝1086.22．已知等差数列满足.{}n a 3577,26a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；222n a n m +={}n b 11,1,2n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩{}n b (3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，{}n b n n S n 恒成立，求实数的取值范围.()()()11222n n n S n n p +-⋅++++⋅<p 【答案】(1)*21,n a n n =+∈N (2)21n n b =-(3)(],1-∞-【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；n a {}n b {}n b （3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.{}n b n n S p p 【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由已知，有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩所以，()32121n a n n =+-=+即等差数列的通项公式为.{}n a *21,n a n n =+∈N （2）因为，2112222222n a n n n n m +-++===当时，，2n ≥112n n n b b ---=所以2123211222n n n b b b b b b ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 累加得，23112222n n b b --=++++ 即.211212222121nn n n b --=++++==-- 当时，也满足上式.1n =11b =所以数列的通项公式为.{}n b 21n n b =-（3）由（2），所以，21n n b =-()()231222222n n n S n n +=++++-=-+ 原不等式变为，即，∴()()111222n n n n p ++-++⋅<11222n n p ++⋅<-对任意恒成立，112n p ∴<-*n ∈N 为任意的正整数，n 1112n->-∴.1p ∴≤-的取值范围是.p ∴(],1-∞-。
江苏省南京市金陵中学河西分校高中数学苏教版1-2教案 《2.1.1合情推理》 无答案
3、由 ， ，利用归纳推理，可猜测出的合理
结论是：
4、当a，b，c∈（0,+∞）时,由 ， ，利用归纳推理,可猜测出的合理=18,a4=32，利用归纳猜想可以猜测出｛an}的通项
公式为：
6、数列｛an}中，a1=1，an +1-an=2n—1
（1）首项为a1,公差为d的等差数列｛an}中
a1=a1+0d
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+4d
归纳猜想；
(2)1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
归纳猜想；
2、当n=1,2，3，4，5时,f（n）=n2+n+41的值分别是43,47，53，61，71,
11，11，13，17,23，31都是质数。
结论 对于所有的自然数n，n2–n+11都是质数。
（2）前提 矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和。
结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和.
（3)前提 所有的树都是植物，
梧桐是树。
结论 梧桐是植物.
（教师点题：归纳推理、类比推理、演绎推理）
二、建构数学
1、归纳推理的概念
例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的，
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以：.
例2、三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400，
猜想,凸n边形的内角和是。
例3、
由此我们猜想：
江苏省南京市金陵中学高二数学理测试题含解析
江苏省南京市金陵中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 变量与相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3), (12.5, 4), (13, 5)；变量与相对应的一组数据为(10,5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1),表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则A． B． C． D．参考答案：C2. “”是“”的条件（）A ．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：B略3. 下列命中，正确的是（）A．||＝||＝ B．||＞||＞C．＝∥ D．｜｜＝0＝0参考答案：C4. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：该程序框图的功能是（）A．求出a, b, c三数中的最大数 B．求出a, b, c三数中的最小数C．将a, b, c 按从小到大排列 D．将a, b, c 按从大到小排列参考答案：B5. 函数的单调减区间为A、 B、 C、 D、参考答案：C6. 已知回归直线的斜率估计值是1.23，样本中心为（4,5），则回归直线的方程为（）A. B.C. D.参考答案：C略7. 命题“对任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.对任意的参考答案：C略8. 与大小关系是（）A． B．C． D．无法判断参考答案：C9. 已知椭圆两焦点坐标分别是，，并且经过点，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.参考答案：A10. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设随机变量,则.参考答案：略12. 已知抛物线点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足O为坐标原点．则抛物线C的方程____________。
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问题3：怎样设计“问题”，引导学生进行探究？ 问题4：公式的其它证明方法，需要在课内介 绍吗？除了传统的证明方法外，还有其 它证明方法吗？
三、例题处理
增加公式逆运 用的问题
《两角和与差的余弦》的两份教案 教案一：参见本节课的案例分析 教案二：(简案)
问题情境：
学生活动： 问题1：改变一下问题中出现的角度，例如75 o改为85o 结果如何？
资料准备
新课程标准及教学要求
江苏教育出版社《数学课程标准（实验）解读》 《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》
教材 苏教版 必修1～5 选修2－1～3 其它版本教材 教辅资料 教研室《学习评价》
二、加强团结协作
——谈新课程教研
今天的教师已不是个体的劳动者，他要 把同事关系变成一个协作、互动、共同专业 成长的教师群体。那些充满生机、教育质量 较高的学校，同时是一个个充满创新活力的 学习型组织，这种健康的组织文化，保障着 教师同侪德业相劝、相互鼓励与欣赏。 （朱小蔓）
问题2：如果将75 o改为315o结果又如何？ 注意：此时两向量的夹角不等于315o－15o 目的：突破向量证明中的难点 问题3：等式中的15 o作改动结果又如何？ 意义建构： 问题4：在上面角度的变化过程中，你发现了什么？ 问题5：如何证明一般性的结论？ 数学理论：
特殊
一般
问题6：还有其他方法推导公式吗？ （省招班选）
思考： 1.本节内容需要让同学们体验和感受什么?
特殊到一般的过程至少应该体现在以下 两个方面： 1 ① 从特殊函数的对称性（y＝x2和y＝ ） x 到一般函数的奇偶性；
② 从特殊点的对称关系研究整个函数的对 称关系．
思考： 1.本节内容需要让同学们体验和感受什么? 数形结合的思想渗透也体现在两个方面：
普通高中课程标准实验教科书《数学》
高中新课程教研实践 回顾与思考
南京市金陵中学高二年级数学备课组
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一、加强学习研究
——谈走进新课程的准备 认真学习新课标，尽快转变教育观念
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 认真研究学生的状况，加速对新课程的适应 资料的准备
认真学习新课标，尽快转变教育观念 1.转变学生的学习方式是新课程改革的重点之一 倡导自主学习、合作学习、探究学习；
认真研究学生的状况，加速对新课程的适应 了解学生知识结构，作好初高中知识 的衔接 了解班级学生的学习状况，为教学方 式和学习方式的转进新课程的准备 认真学习新课标，尽快转变教育观念
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 认真研究学生的状况，加速对新课程的适应 资料的准备
集体备课第二阶段： 围绕组内公开课，难点突破 问题 听课 议课 教案交流 交流 《正弦定理》公开课设计时提出的问题 情境的创设，及其学生可能产生的想法 向量证明方法应如何处理？
是否需要探索出定值2R?如果需要探索，应 该作如何的引导？ 需不需要在本节课中安排正弦定理的应用？
三、谈谈一些问题和困惑
研究性学习
感受理解
课堂练习
问题：A，B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量A，B两点间距离的方法．
1.测量AB的距离可利用例1的方 法构造△ABC; 2.测量AC和BC的距离可利用例 2的方法构造△ACD和△BCD.
A B
C
D
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革
2.在教材分析中体现新课程理念（问题情境） “问题情境”的几种典型形式及举例
4) 教材例题选择的意图，是否需要删选或补充？
2.1.3函数的简单性质（奇偶性） 必修1 P34-35
生活中的对称
函数的对称 (形)
奇偶性的定义(数)
奇偶性的图形 特征(形)
奇偶性的判别 （应用）
探究
课标要求：
1.了解奇偶性的含义； 2.学会用图象的方法研究函数的性质；
思考： 1.本节内容需要让同学们体验和感受什么? 教材中，编者由实例，通过观察图象，抽 象出函数奇偶性的定义．结果很重要，其实过 程比结果更有意义，在探究的过程中，不仅能 让学生体验和理解了从特殊到一般的数学归纳 推理思维方式，进一步体会“数无形时少直觉， 形少数时难入微”的数形关系，而且能在此过 程中，感受数学中的对称美．
数学运用 问题7：你能推导两角和的余弦cos(α＋β)的公式吗？ 问题8：如果将公式中出现的一些角度作一些特殊处 理，你还能得到哪些结论？（开放性问题）
一般
例题（略） 回顾反思 （略） 特殊
集体备课的两个阶段
第一阶段
第二阶段
推行主备制
开展组内公开课
集体备课第二阶段： 围绕组内公开课，难点突破 问题 听课 议课 教案交流 交流
① 用数量关系描述图形的对称性；
② 利用图形的特征辅助对函数奇偶性的 判别． 类比的研究方法也需要学生在学习的过 程中加以体会．
思考：
2.本节学习的难点何在? 如何用数学符号语言刻画函数图象的对 称性？
( x0 , f ( x0 ))
( x, f ( x ))
如何加深学生对定义中关键词“任意” 的理解？
确立了知识与技能、过程与方法、情感 态度与价值观三位一体的三维课程目标.
2.学习方式的变革要求对传统教学方式进行变革 教师和学生角色和地位的改变； 课堂教学模式的改变；
课堂教学评价的改变.
一、加强学习研究
——谈走进新课程的准备 认真学习新课标，尽快转变教育观念
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 认真研究学生的状况，加速对新课程的适应 资料的准备
如何解决内容与课时的矛盾？ 如何面对新课标要求和高考指挥棒可能出 现的不协调？
感受研究问题的方法 向量的数量积 >> 算法含义
情境来源 挖掘教材和参考资料 挖掘生活
预设与生成的困难 二面角
•用什么量来度量相交平面的不同的 相对位置？
· Q β B
l
A
R
α
· P
线段的长度
实践中的一些问题 有情境却没有问题 有问答却没有对话
有活动没有体验
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 3.新的教学内容以及信息技术与新教材的紧密 结合给我们提出了新的学习需求．
S2 i←2； S3 S← S＋i； S4 i←i ＋ 1；
S←S＋i i←i＋1
i>4 N
S5 S← S＋i；
S6 i←i ＋ 1；
S7 S← S＋i； S8 i←i ＋ 1； S9 S← S＋i；
S10 输出S.
Y S←S＋i 输出S 结束
“问题情境”的几种典型形式及举例
感受体验型
感受生活中的数学概念 直线的斜率
情境创设及活动探究建议
习题选择 备课中遇到的问题(新教材的难度把握)
课后交流
一份备课记录:《两角和与差的余弦》
课题：两角和与差的余弦 一、目标分析：
重点：两角和与差公式的推导及应用
难点：用向量的方法推导公式 过程方法：经历用向量的数量积推导两角差的 余弦公式的过程 情感态度价值观：体验和感受数学发现和创造 的过程
集体备课的两个阶段
第一阶段
第二阶段
推行主备制
开展组内公开课
第一阶段 推行主备制 准备阶段
备课组长: 课时安排表
人员安排表
时间安排表
主备: 教材分析并形成教案课件
其他组员: 熟习课标和教材
第一阶段 实施阶段
推行主备制
统一进度、统一要求
主备教案上传 下载研究 集体讨论 个性化修改 目标分析
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革
2.在教材分析中体现新课程理念（教材分析） 1) 本节内容在教材中的地位是什么?
教 2) 课标对本节内容提出了什么目标? 材 •知识上的重点、难点 正 •探究的内容及探究过程的价值 文 •渗透的数学思想方法 处 3) 教材是如何创设问题情境？又给教师留下了 理 什么空间？
归纳抽象型 子集的概念
函数的概念
棱柱、棱锥、棱台
“问题情境”的几种典型形式及举例
问题解决型
呈现障碍 明确学习新知识的必要性
从特殊问题的解决的过程中探究新结论 循环结构 >>
两角和与差的余弦 正弦定理
引例:写出1+2+3+4+5的一个算法.
S1 S←1；
开始 S ←1 i←2
S1 S←1；
S2 S← S＋2； S3 S← S＋3； S4 S← S＋4； S5 S← S＋5； S6 输出S. 让计算机自 动生成 2，…10？
•特殊到一般；
•奇函数偶函数定义域的对称性 •非奇非偶函数的判定；
思考：
3.教材例题如何处理?
数的角度判断具有奇偶性 形的角度判断不具有奇偶性
为什么产 生矛盾?
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 2.在教材分析中体现新课程理念
教 要求掌握 材 思考运用 课后作业 习 题 探索拓展 分层要求 处 课后练习 理 问题情境 >> 正余弦定理的应用
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革
1.了解新课程的框架，把握新旧教材教学要求 的差别 新课程按照模块化设置，螺旋上升地安排 教学内容
新课程对传统的教学内容进行了增删，顺 序调整，有些内容的要求发生了改变
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 2.在教材分析中体现新课程理念
问题情境 → 学生活动 → 意义建构 → 数学理论 → 数学运用 → 回顾反思
学习使用函数型计算器
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 3.新的教学内容以及信息技术与新教材的紧密 结合给我们提出了新的学习需求．
学习使用几个常用程序
一、加强学习研究
——谈走进新课程的准备 认真学习新课标，尽快转变教育观念
认真研究新教材，推进课堂教学模式的变革 认真研究学生的状况，加速对新课程的适应 资料的准备