奥数：小学奥数系列：第11讲.全等三角形中的倍长类中线.学生版 (2)

合集下载

三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解

三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。

全等三角形中的倍长中线与截长补短法

1
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
2
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D作DG∥AE交BC于G，
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，
A
B
C
D
M
N
思考题
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°, ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.
如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）的结论还成立吗 ?
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形
例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC 提示：方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC>2AD 分析：要证AB+AC>2AD，由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

全等三角形中的倍长类中线--讲义--学生版

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一、倍长中线【例1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA例题精讲全等三角形中的倍长类中线【例3】已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA家庭作业。

倍长中线题型详解

倍长中线题型详解
全等模型-倍长中线
倍长中线是指一个三角形中，连接一个角的两个中点所构成的线段。

倍长中线具有以下性质：
1.倍长中线是三角形中线的一种，即连接一个角和对边中
点的线段。

2.在一些情况下，倍长中线可以用来证明两个三角形全等。

例如，如果在平行四边形ABCD中，AO=OD且AB//CD，则可以推出三角形AOB和三角形DOC全等，因为AOB和DOC都是等腰三角形，且AO=OD，___。

此时，倍长中线
AD即为三角形ABC的中线，将其延长至点E，使得DE=AD，连接EC，则可以证明三角形ABD和三角形ECD全等，且
AB=CE，AB//CE。

3.倍长中线还可以用于解决一些几何问题，例如，已知
AD是三角形ABC中BC边上的中线，且AB=4，AC=6，则
AD的取值范围为2<AD<5.
4.另外，倍长中线也可以用于证明一些三角形中的等角关系，例如，在三角形ABC和三角形CDE中，如果点A在线
段CE上，且BC=CD，AB=ED，∠BAC=∠CED，则可以证
明BC=CD。

5.类似的，倍长中线还可以用于证明一些长度关系，例如，在三角形ABC中，如果AB=AC，CE是AB边上的中线，且
延长AB至D使得BD=AB，则可以证明CD=2CE。

6.最后，倍长中线还可以用于解决一些复杂的几何问题，
例如，在三角形DEF的顶点D在三角形ABC的边上，且
∠BAC+∠EDF=180°，AB=DF，AC=DE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P，则可以通过猜想BC与DQ的数
量关系和∠BPD与∠FDB的关系来解决这个问题。

三角形全等专题倍长中线法

全等三角形基本判定条件：1、三边对应相等(SSS)。

2、两边夹角对应相等(SAS)。

3、两角夹边对应相等(ASA)。

4、两角对边对应相等(AAS)。

5、直角三角形全等条件：①斜边及一直角边对应相等（HL）；②一直角边及一锐角对应相等（ASA）或斜边及一锐角对应相等（AAS）；③两直角边对应相等(SAS) 。

★注意：直角三角形全等，除边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS）对应相等外，还有直角边及斜边（HL）、一直角边及一锐角（ASA)、斜边及一锐角（AAS）、两直角边（SS）等对应相等。

除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件：1、三条中线对应相等，两个三角形全等。

2、三条高线对应相等，两个三角形全等。

3、三条角平分线对应相等，两个三角形全等。

4、两个角及第三个角的角平分线对应相等，两个三角形全等。

5、两条边及第三条边上的中线对应相等，两个三角形全等。

6、钝角三角形中，一钝角和其一邻边对应相等，钝角所对的较大边也相等，两个三角形全等。

或两边及其中一边的对角(钝角)对应相等，两个三角形全等。

（SSA）7、等腰三角形中，底边和顶角分别对应相等，两个等腰三角形全等。

8、等腰直角三角形中，周长相等，两个等腰直角三角形全等。

（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等）。

9、等边三角形中，有一边对应相等，两个三角形全等。

★特别提示：在三角形全等的判定中，一定有边相等，一定没有AAA和SSA（除非此角为钝角），这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

三角形全等的性质：1.全等三角形的对应角相等。

4. 全等三角形的对应边上的中线相等。

2.全等三角形的对应边相等。

5.全等三角形的对应角的角平分线相等。

3.全等三角形面积周长相等。

6.全等三角形的对应边上的高对应相等。

等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写“等边对等角”）。

全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FE DA B CFEC ABD AB F D E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABCF EAB C D3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

小学奥数目录(精品文档)_共29页

小学奥数目录（精品文档）_共29页正文：尊敬的读者，感谢您选择阅读本篇小学奥数目录。

本文将为您呈现29页内容丰富、精心准备的奥数目录，帮助小学生提高数学能力，拓宽数学视野。

第1页一、加减法练习题1.1 加法练习题及解答1.2 减法练习题及解答第2页二、乘除法练习题2.1 乘法练习题及解答2.2 除法练习题及解答第3页三、数的大小比较3.1 数的大小比较练习题及解答第4页四、分数运算4.1 分数加减法练习题及解答4.2 分数乘除法练习题及解答第5页五、小数运算5.1 小数加减法练习题及解答5.2 小数乘除法练习题及解答第6页六、几何形状6.1 点、线和面的认识6.2 线段和直线的区分6.3 图形的识别和命名第7页七、数据统计7.1 一元数据统计7.2 二元数据统计第8页八、常见数学推理题8.1 数列8.2 推理题练习第9页九、逻辑推理9.1 逻辑图形推理练习题及解答9.2 数字逻辑推理练习题及解答第10页十、解方程10.1 一元一次方程练习题及解答10.2 一元二次方程练习题及解答第11页十一、空间几何11.1 空间几何基础知识11.2 空间几何练习题及解答第12页十二、概率与统计12.1 概率的认识和运用12.2 统计的基本原理和方法第13页十三、立体几何13.1 立体几何基础概念13.2 空间图形的投影与展开第14页十四、函数与方程14.1 函数概念及基本性质14.2 方程与不等式的应用第15页十五、几何证明15.1 证明方法和基本结论15.2 几何证明练习题及解答第16页十六、数学思维能力培养16.1 推理与判断题训练16.2 迭代思维训练第17页十七、运动与速度17.1 运动的基本概念17.2 速度和距离的关系第18页十八、比例与百分数18.1 比例的认识和应用18.2 百分数的计算和转化第19页十九、数轴与有理数19.1 数轴与有理数的认识19.2 整数与分数在数轴上的表示第20页二十、平面几何20.1 平面几何基本概念20.2 多边形的性质与分类第21页二十一、数列与数表21.1 等差数列与等比数列21.2 数表的填补和推理第22页二十二、求图形的面积22.1 不规则图形的面积计算22.2 三角形和四边形的面积计算第23页二十三、三角形与全等23.1 三角形的基础知识23.2 三角形全等条件与判定第24页二十四、余弦定理与正弦定理24.1 余弦定理的应用24.2 正弦定理的应用第25页二十五、角的认识与计算25.1 角的基本概念25.2 角的计算与运用第26页二十六、三视图与正投影26.1 三视图的理解与构图26.2 正投影的基本原理和构图第27页二十七、数字的重要性质27.1 素数与合数27.2 因数与倍数第28页二十八、分数与小数的转化28.1 分数转化为小数28.2 小数转化为分数第29页二十九、勾股定理与毕达哥拉斯数29.1 勾股定理的应用29.2 毕达哥拉斯数的性质和应用就此，我们为您提供了精心编制的小学奥数目录。

全等三角形专题——倍长中线简化版

.
.
全等三角形专题 ——倍长中线
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造初全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，下面举例子说明。

一、证明线段不等
1、如图，在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，求证：2AB AC AD +f
二、证明线段相等
2、如图，在ABC V 中，AB AC f ，E 为BC 边的中点，AD 为BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF CG =
3、已知如图，ABC V 中D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AC 与BE 交于点F ，且EA EF =,求证：BF AC =
B。

全等三角形倍长中线法的经典例题

全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一：嘿，同学们！今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法，这可太有趣啦！先来说说啥是倍长中线法。

就好像我们搭积木，找到了关键的那块积木，整个造型就稳啦！倍长中线法就像是那个关键的“积木”，能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。

比如说有这样一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

那我们就延长AD 到点E，让AD = DE 。

这时候，连接BE ，哇塞，神奇的事情发生啦！“小明，你说说这时候能发现啥？”我问同桌小明。

小明挠挠头说：“好像能得到一些相等的边和角。

”“对呀！”我兴奋地说，“你看，因为AD 是中线，BD = DC ，又因为我们延长AD ，让AD = DE ，再加上对顶角相等，这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛！”再看这道题，三角形ABC 中，AD 是中线，AB = 5 ，AC = 3 ，求中线AD 的取值范围。

这可难倒了不少同学，可咱们用倍长中线法，不就轻松多啦？我跟后桌的小红一起讨论，我说：“小红，你想想，倍长中线之后，是不是能把条件都联系起来啦？”小红眼睛一亮：“对呀，这样就能构造出全等三角形，然后就能找到边的关系啦！”哎呀，这不就像我们找宝藏，倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛！通过这些例题，咱们是不是发现，倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀！只要我们灵活运用，那些难题就都不在话下啦！我觉得呀，数学就像一个大宝藏，而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具，只要我们用心去寻找，就能发现无数的惊喜！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题！先来说说啥是倍长中线法吧。

就好像我们走路遇到一条河，直接过去太困难，但是如果修一座桥，是不是就轻松多啦？倍长中线法就像是那座桥，能让我们在解全等三角形的难题时，一下子找到出路！比如说有这么一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

延长AD 到E，使DE = AD。

中线倍长构造全等的所有题型

中线倍长构造全等的所有题型在中考数学中，全等三角形的构造与证明一直是重点和难点。

其中，中线倍长构造全等三角形更是常见题型。

掌握这一方法，可以大大提高解题效率。

下面，我们就来详细解析中线倍长构造全等的所有题型。

首先，我们要了解中线倍长构造全等的概念。

当一条中线倍长后，可以得到两个全等三角形。

这是因为，根据SSS（边边边）全等条件，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

而中线倍长恰好满足这个条件。

接下来，我们来看倍长中线的两种情况。

a.一条边倍长：假设三角形ABC中，AB是倍长边，BC是中线。

那么，根据中线倍长构造全等的方法，我们可以得到两个全等三角形：△ABC和△AC"B。

其中，C"是BC的中点。

b.两条边倍长：这种情况更复杂一些，但原理相同。

假设三角形ABC中，AB和AC是倍长边，BC是中线。

那么，我们可以得到两个全等三角形：△ABC 和△AC"B。

其中，C"是BC的中点。

掌握了倍长中线的两种情况，我们就可以应对中线倍长构造全等的各种题型。

a.已知中线求其他边长：这种题型要求我们根据已知中线和其他条件，求解其他边长。

这时，我们可以利用中线倍长构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质，求解未知边长。

b.已知一边和其中一条中线求其他边长：这种题型要求我们根据已知一边和其中一条中线，求解其他边长。

同样，我们可以利用中线倍长构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质，求解未知边长。

c.已知两个角分别与两个中线求全等三角形：这种题型要求我们根据已知两个角和两个中线，证明两个三角形全等。

这时，我们可以利用中线倍长构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质，证明两个三角形全等。

在实际解题中，中线倍长构造全等的方法非常有用。

下面我们通过一个综合实例进行分析。

【实例】已知三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=7，AD是BC的中线，求BD的长度。

解：根据中线倍长构造全等，我们可以得到△ADB和△ACB全等。

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法精编版

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC中,AD是BC边中线方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长1)（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE2)（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ （提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ，证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边） _D _ F _C _B _E _A_ D _ F _C _B _E _A例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。

方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）变式二：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：2AE ＝AC 。

三角形全等之倍长中线(习题及答案).docx

三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例 1：已知：如图，在△ABC 中， AB≠AC， D， E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF∥ BA 交 AE 于点 F， DF=AC．求证： AE 平分∠ BAC．AFB D E C【思路分析】读题标注：A？？FBD E C见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题， DE=EC，点 E 是 DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：A？？AF？？FB D E CB D E CG G（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△ DEF≌ △CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到 G，使 EG=EF，连接 CG．A？？FB D E CG在△ DEF和△ CEG中，ED ECDEF CEGEF EG∴ △ DEF≌ △ CEG（ SAS）∴DF=CG，∠ DFE=∠G∵DF=AC∴CG=AC∴∠ G=∠ CAE∴∠ DFE=∠ CAE∵DF∥ AB∴∠ DFE=∠ BAE∴∠ BAE=∠CAE∴AE 平分∠ BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD 是整数，则AD=________．AB D C2.已知：如图， BD 平分∠ ABC交 AC于 D，点 E 为 CD 上一点，且 AD=DE， EF∥BC交 BD 于 F．求证： AB=EF．ADF EB CE3. 已知：如图，在△ ABC 中， AD 是 BC边上的中线，分别以AB，AC 为直FA 角边向外作等腰直角三角形，AB=AE， AC=AF，∠ BAE=∠ CAF=90°．求证： EF=2AD．B D C如图，在△ ABC 中， AB >AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠ BAC的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交AB 于 F，交CA 的延长线于 G．求证： BF=CG．GAFB E D CA D4.如图，在四边形 ABCD中，AD∥ BC，点 E 在 BC上，点 F 是 CD 的中点，连接 AF， EF， AE，若∠ DAF=∠EAF，求证： AF⊥EF．FB E C思考小结1. 如图，在△ ABC中， AD 平分∠ BAC，且 BD=CD．求证： AB=AC．AB D C比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法 1：如图，延长AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE在△ BDE和△ CDA中ABD CD1 2BDE CDADE DA∴△ BDE≌ △ CDA（ SAS）B DC ∴AC=BE，∠ E=∠2∵AD 平分∠ BAC∴∠ 1=∠ 2E∴∠ 1=∠ E∴AB=BE∴AB=AC方法 2：如图，过点 B 作 BE∥ AC，交 AD 的延长线于点 E A∵BE∥AC 1 2∴∠ E=∠2在△ BDE和△ CDA中CB DE2BDE CDABD CDE ∴△ BDE≌△ CDA（ AAS）∴BE=AC∵AD 平分∠BAC∴∠ 1=∠ 2∴∠ 1=∠ E∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法___________构造全等，方法 2 是通过平行夹中点构造全等．1 是看到中点考虑通过不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ BCA=90°， CD是斜边 AB 的中线．求证：1CD AB．2CB D A【参考答案】巩固练习1.22.证明略（提示：延长 FD 到点 G，使得 DG=DF，连接 AG，证明△ADG≌△ EDF，转角证明 AB=EF）3.证明略（提示：延长 AD 到点 G，使得 GD=AD，连接 CG，证明△ABD≌△ GCD，△ EAF≌△ GCA）4.证明略（提示：延长 FE到点 H，使得 EH=FE，连接 CH，证明△BFE≌△ CHE，转角证明 BF=CG）5.证明略（提示：延长 AF 交 BC的延长线于点 G，证明△ ADF≌△ GCF，转角证明 AF⊥ EF）思考小结1. 2.倍长中线SAS AAS 角证明略。

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之倍长中线法(学生版)

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之倍长中线法（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 的面积保持不变；③AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．②D ．①② 2．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB << B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB << 3．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．30B ．24C ．20D ．48 4．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠ C ．ED BC EB += D ．2DEBC EFB S S =四边形5．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC=；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 7．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（）A ．5B ．7C ．8D ．98．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52CD ．39．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒10．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为( )A ．BE CF EF +<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能二、填空题 11．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．12．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且EAF DAE AF ∠=∠，交射线BC 于点F ，若133AF CF ==，，则BF 的长度为________13．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．14．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，5AB =，13AC =，6AD =，则BC =_______．15．已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB =4，AD =5，则边AC 的取值范围是______ ． 16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．17．如图，平行四边形ABCD ，点F 是BC 上的一点，连接AF ，∠FAD ＝60°，AE 平分∠FAD ，交CD 于点E ，且点E 是CD 的中点，连接EF ，已知AD ＝5，CF ＝3，则EF ＝__．18．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．19．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．20．如图，在正方形ABCD 中，MN 分别是AD 、BC 边上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A 、B 分别落在点'A 、'B 处，且点'B 恰好为线段CD 的中点，''A B 交AD 于点G ，作DP MN ⊥于点P ，交''A B 于点Q ．若4AG =，则PQ =________．三、解答题21．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D 是ABC 边BC 的中点，5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．（1）小明的想法是，过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 边AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，过点A 作AF AE ⊥，且AF AE =，连接EF 交BC 于点G ，连接CF ，求证BG CG =．22．（1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD 的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中∠ABM ＝∠NBC ＝90°，连接MN ，探索BD 与MN 的关系，并说明理由．23．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．24．定义：如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b c b ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若53BECF，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．25．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）。

全等三角形倍长中线知识点

全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。

在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。

全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。

当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。

倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。

具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。

我们来看倍长中线的性质。

根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。

也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。

2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。

接下来，我们来探讨倍长中线的应用。

倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。

以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。

当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。

通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。

2. 求解三角形的面积。

由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。

通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。

3. 寻找三角形的重心。

重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。

在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。

因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。

总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。

通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。

倍长中线模型构造全等三角形

倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等方法一：在△ABC中 AD是BC边中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE请点击输入图片描述方法二：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E 连接BE请点击输入图片描述方法三：延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,∵D为AC中点∴AD=DC,在△ABD和△CED中，BD=DE,∠ADB=∠CDEAD=CD∴△ABD≌△CED（SAS）∴EC=AB=10在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC10-6＜BE＜10+6∴4＜2BD＜16∴2＜BD＜82、如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？。

解三角形倍长中线法

解三角形倍长中线法嘿，今天咱们聊个有点意思的数学话题——解三角形的倍长中线法。

别害怕，别怕，我知道你一听到“三角形”“中线”就开始打哆嗦，觉得又是一个让人头大的难题。

其实啊，说实话，这个方法比你想象的简单得多。

咱们先别急着走神，来，咱们慢慢聊，慢慢看，保证你听完之后也能轻松理解，甚至能自己动手做几道题。

啥叫中线？中线可不是什么小清新的时尚名词，而是指连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

举个简单的例子，想象一下你手里拿着一个大披萨，画个叉，把披萨分成三等份。

每一份的边都是三角形的一条边，而中线呢，就是你从披萨的一个角出发，笔直地划到另一边的中点。

这条线就叫中线，直白说，它把三角形分成了两个小三角形。

好啦，说清楚了中线，再说说什么是“倍长中线法”。

这个名字听着好像很高深，实际上就是在解三角形的时候，有一种特殊的情况，就是通过已知的中线长度来推算其他的一些边长。

说起来也挺简单的，举个例子，假设你给了我三角形的一个中线长，我就能根据这个信息推算出这个三角形的其他边长和角度，甚至整个三角形的形态。

是不是挺神奇的？那咱们就举个例子来说明一下。

假设有一个三角形，已知它的一个中线长度，还有两个顶点的边长。

怎么根据这些已知的条件来解出整个三角形的边长呢？嘿，这时候你就得用到倍长中线法了。

具体步骤其实不复杂，首先你得记住一个公式，它能够帮助你算出三角形的边长，这个公式就像个万能钥匙，能打开所有的谜题。

公式里涉及到的各种符号和参数其实就是三角形的基本信息——角度、边长和中线长这些。

知道了公式，咱们就得把题目给定的条件代进去。

这样做的好处是什么呢？就像你走迷宫时，拿到了一张地图，不管多复杂的迷宫，咱们照着地图走，基本上都能找到出口。

代入公式后，你会发现，一步步地解题，过程越来越清晰，答案也就自然而然地出来了。

说白了，倍长中线法就像是一个小小的推理游戏，只要找到正确的“线索”，剩下的就交给公式去做了。

不过呢，任何事情都有个难点，尤其是这中线法，虽然说简单，但要是你没搞清楚三角形的基本性质，那就像是在沙漠里找水，怎么也找不着。

全等三角形之倍长中线(讲义及答案)

全等三角形之倍长中线（讲义）➢ 知识点睛“三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．中点的思考方向：（类）倍长中线D CBAMAB CD延长AD 到E ，使DE =AD ，延长MD 到E ，使DE =MD ，连接BE 连接CE➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC ＞2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．D CB A2. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．3. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点，求证：BE =2AP ．E D CB PE D CB A4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DBAFE D B A【参考答案】1. 解：（1）如图，21BCDA（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE ＞AE ∴AB +AC ＞2AD （4）在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3＜AE ＜5+3 ∴2＜2AD ＜8∴1＜AD ＜42. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE3. 证明略．4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点1A在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G。