物理学 第五版 电子教案1-1

v v(t + ∆t )
c
速度方向变化
速度大小变化
v 令 ac = Δv n
v cb = Δ v t
讨论
问
dv v a =a= 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为
v(t ) = v(t + dt )
dv ≡0 dt
O
v v (t + d t )
v v(t ) v dv
所以
而
v a =a≠0
dv 所以 a ≠ dt
第一章
一 参考系 质点
质点运动学
§1-1 质点运动的描述
1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系 运动的描述具有相对性. 运动的描述具有相对性 2 质点 若物体的大小和形状对运动的影响可以忽略， 若物体的大小和形状对运动的影响可以忽略， 且不涉及物体的转动和形变， 且不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当 作是一个具有质量的点（ 质点） 作是一个具有质量的点（即质点）来处理 . 质点是理想化的抽象物理模型 .
分量式
2 运动方程
γ
x
v r (t )
z = z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) = 0
z
z (t )
o
x(t )
x
3 位移
y
v rA
o
A
r ∆r v rB
y
B
yB yA
v rA
A
r ∆r v rB
B
yB − yA
x
o
xA xB xB −xA
x
质点位置矢量发生变化, 经过时间间隔 ∆t 后, 质点位置矢量发生变化 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 v 位移矢量也简称位移. 位移矢量 ∆r . 位移矢量也简称位移
Q
v v v rB = rA + ∆ r
∴
v v v ∆ r = rB − rA
v v v 又 rA = xAi + yA j v v v rB = xBi + yB j v v v 所以位移 ∆r = rB − rA v v v ∆r = (xB − xA)i + ( yB − yA) j
y
yB yA
即
α
l
A
o
dy x dx =− dt y dt
dx x Q = − v, tan α = dt y v vB 沿 y 轴正向 当 α = 60o 时 v B = 1.73 v 轴正向,
v x v x dx v v vB = − j y dt v v ∴ v B = v tan α j
四
加速度 （反映速度变化快慢的物理量） 反映速度变化快慢的物理量）
t = 2s
x/m
6
例2（P7）如图所示 A、B 两物体由一长为 l 的刚性 （ ）如图所示, 、 细杆相连, 、 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 细杆相连 A、B 两物体可在光滑轨道上滑行 如物体 A以恒定的速率 v向左滑行 当 α = 60o时, 物体 的 物体B的 以恒定的速率 向左滑行, 速率为多少？ 速率为多少？ 建立坐标系如图, 解 建立坐标系如图 物体A 物体 的速度
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 位置 可求质点速度及其运动方程 .
v r (t )
求导 积分
v v (t )
求导 积分
v a (t )
一个球体在某液体中竖直下落, 例3（P8） 有 一个球体在某液体中竖直下落 其初速 （ ） v v v a = −1.0 vj (m/s 2 ) 度为 v0 = 10 j ( m/s) , 它的加速度为 问（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动 ）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？ ）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
1） 平均加速度 ） 单位时间内的速度增 量即平均加速度
y
A
O
v vA
B
v vB
v v a 与 ∆v 同方向 .
2）（瞬时）加速度 ）（瞬时） ）（瞬时
v v ∆v a = ∆t
x
v vA
v v ∆v dv v a = lim = ∆t →0 ∆t dt
v ∆v
v vB
v a
v 的极限方向，即指向曲线的凹侧. 方向为Δv 的极限方向，即指向曲线的凹侧
dx vx = = 1.0m / s dt
t = 3 s 时速度为
v 的大小： 速度 v 的大小： v = 1.8m/s v 1.5 o = 56.3 速度 v 与 x 轴之间的夹角 θ = arctan
1
v v v v = 1.0i + 1.5 j (m / s)
dy vy = = 0.5t dt
v 当 ∆t → 0 时, d r = d s v ds v v= et dt
v v ∆r dr v v = lim = ∆t →0 ∆t dt ∆x v ∆y v v v = lim i + lim j ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 当质点做曲线运动时 就是沿该点曲线的切线方向. 就是沿该点曲线的切线方向
y
v r (t1 )
O
p1 ∆r
v r (t2 )
∆s ∆ s r
'
p2
v （C）什么情况 ∆r = ∆s？ ）
方向不变的直线运动; 方向不变的直线运动
v ∆ r ≠ ∆s
z
x
v v 当∆t → 0 时， r = r ＝ds ∆ 即 d ∆s .
（D）位移是矢量 路程是标量 ）位移是矢量, 路程是标量.
v ∆ v = ∆ v 吗？ 讨论 v v v ∆v = v(t + ∆t ) − v(t ) v v v ∆v = v(t + ∆t ) − v(t )
在Ob上截取 上截取 有
a
v v(t )
v ∆v
b
O ∆ v = cb v v v ∆ v = ac + cb = ∆v n + ∆v t
oc = oa
v v v ∆r = r (t + ∆t ) − r (t )
A
v r (t)
o
x
v v = vxi + v y j
v v 平均速度 v 与 ∆ r 同方向.
平均速度大小
∆x 2 ∆y 2 v v = ( ) +( ) ∆t ∆t
2 瞬时速度 当 ∆t 简称速度 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, → 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度
y
B
v dx v v v v A = v x i = i = − vi dt
物体B 物体 的速度
α
l
A
v dy v v vB = v y i = j dt
o
v v
x
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量 为一直角三角形， 为一直角三角形
x + y =l
2 2
2
y
B
两边求导得
dx dy 2x + 2 y = 0 dt dt
v 2 2 2 ∆r = ∆x + ∆y + ∆z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z 2 )
x
v ∆r ≠ ∆r
2
位矢长度的变化
2 2
∆r = x2 +y2 +z2 − x + y + z
2 1 2 1
2 1
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 ） ' 不唯一的, 是不唯一的 可以是 ∆s或 ∆s r 是唯一的 而位移∆ r 是唯一的. （B） 一般情况 位移 ） 一般情况, 大小不等于路程. 大小不等于路程
二
位置矢量
运动方程
位移
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在 确定质点 某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 v 位置矢量, 简称位矢 r . 位置矢量
y
y
v j
vv v j k 式中 i、 、 分别为x、y、z
方向的单位矢量. 方向的单位矢量
v v v v r = xi + yj + zk
v *P r
]( m)
y
v = v0 e
v0
0
−1.0 t
y = 10[1 − e
y /m
10
− 1 .0 t
]( m)
v/m ⋅ s
-1
t /s
v0 /10
2.3 8.9974
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空 间位置的变化, 与路径无关， 间位置的变化 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量 ）反映了运动的矢量 性和叠加性. 性和叠加性
y
v r (t1 )
O
r P ∆r 1
v r (t2 )
∆s
P2
∆r
v v v v ∆ r = ∆ x i + ∆ yj + ∆ z k z
v dx v dy v dz v v= i + j+ k dt dt dt
o
v ds v Qv= et dt ds ∴v = dt
瞬时速率
平均速率
ds v v= = v dt ∆s v v = = ？v ∆t
y
B
v r (t + ∆t)
∆s v ∆r
v A r (t)
o
v dr dt
dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt dt
v 2v dv x v dv y v dv d r v = = i + j 加速度 a = 2 dt dt dt dt
v ∆v 2 2 = ax + a y 加速度大小 a = lim ∆t → 0 ∆ t 2 dvx d x ax = = 2 质点作三维运动时加速度为 dt dt v v v v a = axi + a y j + az k dvy d2 y ay = = 2 dt dt 加速度大小 2 2 2 2 dvz d z a = ax + ay + az az = = 2 dt dt
x
v o i z v k x z
v 位矢r 的值为
v 2 2 2 r = r = x +y +z
v 位矢 r 的方向余弦பைடு நூலகம்
cosα = x r cos β = y r cos γ = z r
x = x(t ) y = y (t )
y
β
v r
α
P
P
o
y
y (t )
v z v v v r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
v dx v dy v v= i + j dt dt
v v v v = vxi + v y j
y
v vy
v v
v vx
x
若质点在三维空间中运动, 若质点在三维空间中运动 三维空间中运动 其速度为
v 瞬时速率： 瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
dx 2 dy 2 dz 2 v v = v = ( ) +( ) +( ) dt dt dt
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 处，其速度大小为
v r ( x, y )
x
的端点
dr （A） ） dt v dr （C） ） dt
（B） ）
（D） ）
v v 例 1（P6）设质点的运动方程为 r (t ) = x (t ) i + y (t ) j , （ ）
uuv
制单位. 其中 x (t ) = 1.0t + 2.0 , y (t ) = 0.25t 2 + 2.0, SI制单位 制单位 时的速度.（ ） 作出质点的运动轨迹图. （1）求 t =3 s 时的速度 （2） 作出质点的运动轨迹图 ） 解 （1）由题意可得速度分量分别为 ）
v rA
A
r ∆r v rB
B
yB − yA
若质点在三维空间中运动， 若质点在三维空间中运动， o 三维空间中运动 则在直角坐标系 Oxyz 中其位 移为
xA xB xB −xA
x
v v v v ∆r = ( xB − x A )i + ( yB − y A ) j + ( z B − z A )k v 位移的大小为 ∆r = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 4 路程（ ∆s ）: 质点实际运动轨迹的长度 路程（ 质点实际运动轨迹的长度.
反映质点位置矢量变化快慢的物理量） 三 速度 （反映质点位置矢量变化快慢的物理量） 1 平均速度 B y 时间内, 在∆ t 时间内 质点从点 ∆ v vs r (t + ∆t) ∆r A 运动到点 B, 其位移为 时间内, ∆ t 时间内 质点的平均速度 v ∆r v ∆r ∆x v ∆y v v= = i+ j ∆t v∆t ∆t v 或
dv −1 = (−1.0s ) v 解：由加速度定义 a = dt
dv t = − 1 .0 ∫0 d t ∫ v
v v0
v = v0 e
∫ dy = v ∫ e
y 0 t 0 0
−1.0 t
o
v v0
dy −1.0t v= = v0e dt
-1.0 t
dt
y = 10[1 − e
− 1 .0 t
（2） 运动方程 ）
x(t ) = 1.0t + 2.0 y (t ) = 0.25t 2 + 2.0
由运动方程消去参数
t 可得轨迹方程为
2
y = 0 . 25 x − x + 3 .0 ( m )
轨迹图
y/m
6 4 2
t = − 4s t = − 2s
-6 -4 -2
t = 4s
t =0
0 2 4