培优竞赛辅导二：有理数的巧算
培优竞赛辅导二：有理数的巧算
【培优竞赛辅导】第二讲 有理数的巧算【赛点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。
2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法【专题精讲】【例1】计算下列各题⑴ 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵ 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-【例2】计算：1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+【例3】计算：⑴111111261220309900++++++ ⑵1111133********++++⨯⨯⨯⨯ 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k =-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+【例4】（第18届迎春杯）计算：11112481024++++【例5】计算：11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++ 【例6】（第8届“希望杯”）计算：【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出：33333123450+++++的值。
【实战演练】1、用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=2、（第10届“希望杯”训练题）11111(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-= 3、已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-⨯+⨯+⨯+则abc =123452468103691215481216205101520254、计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯5、（“聪明杯”试题）212424824()139261839n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅6、11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 提示：22(1)21n n n +=++ 7、48121640133557791921-+-+-=⨯⨯⨯⨯⨯8、计算：23201012222S =+++++9、计算111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值. 10、计算：111132010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234232010+++++++++++++的值。
有理数的巧算方法
有理数的巧算方法有理数的计算呀，就像是一场有趣的游戏！咱先来说说加法。
嘿，你想想看，这加法不就像是把一堆小积木堆在一起嘛！比如 3 和 5 相加，那就是把 3 个小积木和 5 个小积木放到一块儿，结果不就是 8 个嘛！但有时候会遇到一些带符号的有理数相加，这时候可得注意啦！同号的就像志同道合的小伙伴，加起来顺顺利利的，比如两个正数或者两个负数相加，符号不变直接加数值就行啦。
可要是异号呢，那就有点像两个意见不太一样的人凑一块儿，得看谁的力量大，数值大的那个符号就是结果的符号，然后用大的数值减去小的数值。
再说说减法，哎呀呀，减法其实就是加法的变身呀！减去一个数不就等于加上它的相反数嘛！就好比说 5 减 3，不就是 5 加上-3 嘛，这多好理解呀！乘法呢，就像是一群小伙伴手牵手一起玩。
正数乘正数，那就是大家都很开心，结果也是正数；负数乘负数，那就是负负得正，就像大家一起把不开心的都抛开了，也变成正数啦；可要是一正一负相乘，那结果可就是负数喽，就像有一个小伙伴不太高兴，把气氛都带得有点低落啦。
除法呢，和乘法也有关系呀，除以一个数不就等于乘以它的倒数嘛。
这就好像是走一条路，正着走和倒着走的关系一样。
那咱再来说说一些巧算的方法。
比如凑整法，看到那些能凑成整数的数，就赶紧把它们凑到一块儿呀，这样计算起来多方便！还有利用运算律，加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，这些可都是宝贝呀，能让计算变得轻松好多呢！比如说计算 25×4×8，就可以先把 25 和 4 乘起来得 100，再乘以 8，多简单呀！再比如有些算式里有相同的因数，那就可以提取出来呀，剩下的数再进行计算，这多巧妙呀！还有些特殊的数对，像 1 和-1，0 之类的，遇到它们的时候也可以巧妙利用哦。
有理数的巧算方法可多啦，只要咱多观察、多思考，就一定能把这些计算变得像玩游戏一样有趣！别再觉得有理数计算很难啦，掌握了这些巧算方法，你会发现原来计算也可以这么有意思！你还在等什么呢，赶紧去试试吧！。
有理数巧算裂项法
有理数巧算裂项法
有理数是数学中一类重要的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。
在进行有理数加减乘除运算时，需要用到裂项法，这是一种巧妙的方法，可以将有理数化简，以方便进行运算。
裂项法的基本思想是将一个分数拆分成多个分数之和或之差，这样就能够消去一些因数，从而使计算更为简便。
以下是一些常见的裂项法示例：
1. 裂项法求和
例如，计算2/3 + 7/9
首先，我们找到这两个分数的公共分母，即9，然后将分母拆分成3×3，得到：
2/3 + 7/9 = 2/3×3/3 + 7/9×3/3
= (2×3)/9 + (7×1)/9
= 13/9
= (5×1)/(2×2×3) - (1×3)/(2×2×3)
= 5/12 - 3/12
我们可以将3/4和5/6都分别拆分成若干个分数之积，然后再合并起来，得到：
= 5/4
2/3÷4/5 = 2/3×5/4
总之，裂项法是一种十分常用且实用的方法，可以帮助我们更加方便地进行有理数的计算，提高计算效率。
培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案基础夯实： 一、填空题1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号）4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____5、25.2-减去85-与83-的差，所得的结果 ＝______-2____212-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则abab ＝_____-1______.7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝____256255______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为___0______；9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____.10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．．11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11101.5⨯_______ 米． 12．．、测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是在．．．．．．．1.665h 1.655<≤ ．．二、选择题1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）A ． 1B ．0C ．－1D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ）A ．－aB ．0C ．2aD ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ）A ．两数一定都是正数B ．两数都不为0C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ D ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ D ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大7、如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（B ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ C ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ C ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞010、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ D ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ B ）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．－113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ A ）小时？7A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 三、计算（1）)217(75.2)413()5.0(+-+---=-2；（2）1853432877431---+-=-1.25；（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+-------=1（4）2164118214837--+--+-=878-（5）)711()12787431(-⨯--=-31；（6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯=-1748；（7） 2011)1(524)436183(212-⨯÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+-=-1.5（8）[]22)3(231)5.01(1--⨯⨯---=61 ※典例剖析【例1】计算:)51413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++=61【例2】、阅读材料，解答问题.求201932222221++++++ 的值. 解：令201932222221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++ 运用材料以上方法计算：7201620132555551++∙∙∙++++=4122018-【例3】计算12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）==612.5【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不请问，该服装店售完这20件连衣裙后，赚了多少钱？答案：328元 三、培优检测A 组 一、计算题．．．．．1．、．|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+-=．612．、．5]43)436183(2411[÷÷-+-=72193．、．22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ =2593-4．、．+⨯+⨯+⨯751531311……．．200720051⨯+=200710035、2232318)52()5()3(-÷--⨯-+--=-31；6、]})2(34[)75.0(5.0{)4725.0(124--⨯--÷++-=312-5343332313二、今抽查10袋盐，每袋盐的标准质量是100克，超出部分记为正，统计成下表：问：这10袋盐一共有多重？答案：1000千克 B 组： 1、1999199********⨯++⨯+⨯ = 5997995；2、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ 115200 ．3、352172515515935312114715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 52；4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝ 6 5、若||1m m =+，则()201041m +=（ B ）A ．－１B ．１C ．12-D ．126、设0a b c ++=，0abc >，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ B ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１7、请你从右表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出思考题：计算：6059)60585958()602524232()601413121(+++∙∙∙+∙∙∙+++++∙∙∙+++=885第二讲 有理数的加减运算中的巧算考点·方法·破译1．理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方法则，并能熟练进行有理数的运算.2．掌握有理数加减乘除乘方混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算. 3．能用有理数运算律进行简便运算.常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 基础夯实： 二、填空题1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝__________2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝__________3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝__________5、25.2-减去85-与83-的差，所得的结果 ＝__________212-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝__________6、若实数a 、b 满足0a b a b+=，则abab ＝___________.7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为_________；9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是__________.10、3.05万是精确到________位的近似数．11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为_________ 米．12、测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值h 的取值范围是在 ．二、选择题1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A ． 1B ．0C ．－1D ．－32、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ ）A ．－aB ．0C ．2aD ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）A ．两数一定都是正数B ．两数都不为0C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大7、如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞010、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ ）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ ）小时？7A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 三、计算（1）)217(75.2)413()5.0(+-+---； （2）1853432877431---+-；（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+------- （4）2164118214837--+--+-（5）)711()12787431(-⨯--； （6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯；（7） 2011)1(524)436183(212-⨯÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+- （8）[]22)3(231)5.01(1--⨯⨯---※典例剖析【例1】计算:)51413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++【例2】、阅读材料，解答问题.求201932222221++++++ 的值. 解：令201932222221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++运用材料以上方法计算：7201620132555551++∙∙∙++++【例3】计算12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不请问，该服装店售完这20件连衣裙后，赚了多少钱？三、培优检测A 组 一、计算题1、|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+- 2、5]43)436183(2411[÷÷-+-3、22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ 4、+⨯+⨯+⨯751531311 (2007)20051⨯+5、2232318)52()5()3(-÷--⨯-+--； 6、]})2(34[)75.0(5.0{)4725.0(124--⨯--÷++-5343332313B 组： 4、199919971751531⨯++⨯+⨯ = ；5、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ ．6、352172515515935312114715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ；4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝5、若||1m m =+，则()201041m +=（ ）A ．－１B ．１C ．12-D ．126、设0a b c ++=，0abc >，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ ）A ．-3B ．1C ． 3或－1D ．－３或１7、请你从右表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值＝__________..8、已知c b a 、、都不等于零，且abc abc c c b b a a +++的最大值是m ，最小值为n ，求mnn m的值．思考题：计算：6059)60585958()602524232()601413121(+++∙∙∙+∙∙∙+++++∙∙∙+++。
培优专题3 有理数的巧算(含答案)-
培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607 微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5 计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6 计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7 计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9 计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
浙教版(2024)七年级上册第二章 有理数的运算 培优(含答案)
浙教版七年级上册第二章有理数的运算培优一、选择题1．2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（）A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×1052．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）3．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）A．−9+3=−6B．−9−3=−12C．9−3=6D．9+3=124．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b5．若式子x−2+(y+3)2=0，则(x+y)2025等于（ ）A．−1B．1C．−32025D．320256．计算：(−517)2023×(−325)2024=（ ）A．−1B．1C．−517D．−1757．22023个位上的数字是( )A．2B．4C．8D．68．求1+2+22+23+⋯+22018的值，可令S=1+2+22+23+⋯+22018，则2S=2+22+23+⋯+ 22019，因此2S−S=22019−1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+⋯+52018的值为（ ）A．52018−1B．52019−1C．52019−14D．52018−149．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）A．(12)3米B．(12)5米C．(12)6米D．(12)12米10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题11．用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是 ．12．小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算a*b=3a+2b，请照此程序运算（−4）*3= ．13．定义一种新的运算“(a,b)”，若a c=b，则(a,b)=c，如：(2,16)=4．已知(3,9)=x,(3,y)=4，则x−y= ．14．已知|3a+b+5|+(2a−2b−2)2=0，那么2a2−3ab的值为 ．15．“转化”是一种解决数学问题的常用方法，有时借助几何图形可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图（1）可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．这是将数字求和问题转化为面积求和问题，从而建立数与形的联系，使问题易于解决．利用这样的方法，请观察图（2）计算12+14+18+116+132+164＝ ．16．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ．三、解答题17．（1）计算：(−34−59+712)÷(−136)．（2）计算：−12022−|12−1|÷3×[2−(−3)2]．18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来．−3,|−3|,32,(−2)2,−(−2)19．我们知道，|a|可以理解为|a−0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB=|a−b|，反过来，式子|a−b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是_________．（2）数轴上点A用数a表示，则①若|a−3|=5，那么a的值是_________．②|a−3|+|a+6|有最小值，最小值是_________；③求|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值．20．用“※”定义一种新运算，规定a※b=b2−a，如1※3=32−1=8，（1）求1※2的值；（2）求(1※2)※(−5)的值．21．老师设计了一个有理数运算的游戏．规则如下：（1）若黑板上的有理数为“−4”，求应写在纸条上的有理数；（2）学习委员发现：若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最大整数是多少？22．为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表：每月用水量收费不超过10吨的部分水费1.6元/吨10吨以上至20吨的部分水费2元/吨20吨以上的部分水费2.4元/吨（1）若小刚家6月份用水15吨，则小刚家6月份应缴水费_____ 元．（直接写出结果）（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明算8、9月各用多少吨水？四、综合题23．阅读理解：计算(1+12+13)(12+13+14)−(1+12+13+14)(12+13)时，若把分别(12+13)与(12+13+14)看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下：解：令12+13=x，12+13+14=y，则原式=.(1+x)y−(1+y)x=y+xy−x−xy=y−x=1 4（1）上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可）（2）用上述方法计算：①(1+12+13+14)(12+13+14+15)−(1+12+13+14+15)(12+13+14)；②(1+12+13+…+1n−1)(12+13+14+…+1n)−(1+12+13+…+1n)(12+13+14…+1n−1)；③计算：1×2×3+2×4×6+3×6×9+4×8×12+5×10×151×3×5+2×6×10+3×9×15+4×12×20+5×15×25.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】0.612．【答案】−613．【答案】−7914．【答案】−415．【答案】636416．【答案】3；72817．【答案】（1）26；（2）1618．【答案】图见解答，−3<3<−(−2)<|−3|<(−2)2219．【答案】（1）5，2（2）①8或−2；②9；③102313220．【答案】（1）3（2）2221．【答案】（1）4（2）322．【答案】（1）解：∵小刚家6月份用水15吨，∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（15-10）×2＝26（元），故答案为：26.（2）解：由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得：1.6×10+2（x-10）＝1.75x ，解得：x ＝16，答：小刚家7月份的用水量为16吨.（3）解：因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨．设小刚家9月份的用水量为x 吨，则8月份的用水量为（40-x ）吨，①当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝8，②当10＜x ＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝6不符合题意，舍去．综上：小刚家8月份用水32吨，9月份用水8吨.23．【答案】（1）换元法；整体思想（转化思想）（2）解：①令12+13+14=a ，12+13+14+15=b ，∴b-a=15，∴原式=（1+a ）b-（1+b ）a=b+ab-a-ab=b-a=15；②令12+13+…+1n−1=m ，12+13+14+1n =t ，∴t-m=1n，∴原式=（1+m ）t-（1+t ）m=t+mt-m-mt=t-m=1n；③令1×2×3=x ，1×3×5=y ，∴x y =615=25∴原式=x +2x +3x +4x +5x y +2y +3y +4y +5y =15x 15y =x y =25.。
有理数的计算(培优)
有理数的计算（培优）
上次作业处理
引入
1、有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号； 其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通 常说的符号演算．
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善 于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速 度．有理数的计算常用的技巧与方法有：
1．利用运算律． 2．以符代数． 3．裂项相消． 4．分解相约． 5．巧用公式等．
例题讲解
Hale Waihona Puke 2、例题讲解3、例题讲解
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例题讲解
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例题讲解
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课堂总结： 1、让学生总结本节课的收获 2、老师点评本节课学生的表现 3、学生的努力方向
作业：
作业：
作业：
下课了啦！ 继续努力！ 下次课见！
培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案基础夯实： 一、填空题1、计算 1＋（－ 2）＋3＋（－ 4）＋ ⋯ ＋99＋（－ 100）＝ ___-50_ __2、计算 1－3＋5－7＋9－11＋⋯＋97－99＝ ____ -50 _____3、若 m <0，n >0，且| m |>| n |，则 m ＋n ___< _______ 0.（填>、<号）4、如果| a| ＝3，| b| ＝2，若 ab <0，那么 a- b ＝ ___ 5 _____535、 2.25 减去 与 的差，所得的结果 ＝ ____________ - 2 ___8812 、+3、-1.2 的和比它们绝对值的和小 ＝ _____ 7.4__ ___ 26、若实数 a 、b 满足 a b 0，则 ab ＝ ________ -1__ ___ .a b ab17、如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 1 的长2方形，接着把面积为 1 的长方形等分成两个面积为 1 的正方形，再把面积为 1 的正方形2 4 4 等分成两个面积为 1 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算81 1 1 1 1 1 1 12 4 8 16 32 64 128 2568、已知数轴上有 A 、B 两点， A 、B 之间的距离为 2，点 A 与原点 O 的距离为 6，则所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和为 ___0 ____ ；9、计算 211 1,221 3,231 7,241 15,251 31 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22018-1的个位数字是 _____ 3 ___ .1．0．、．3．.．0．5．万．是．精．确．到． _．_．百_．_．_．_．_．_．位．的．近．似．数．11、地球到太阳的距离大约是 150000000千米，用科学记数法表示为 __1.5 1011 ________________ 米．1．2．、．测．得．某．同．学．的．身．高．约．是． 1．.．6．6．米．，．那．么．意．味．着．他．的．身．高．的．精．确．值． h． 的．取．值．范．围．是．在．1. 6 55h <1. 665二、选择题1、在 1，－1，－2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）A ． 1B ．0C ．－ 1D ．－ 3 2、若 a <0，则| a －（－a ）| 等于（ D ）A ．－ aB ．0C ．2aD ．－ 2a2552563、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ）A．两数一定都是正数B．两数都不为05）7）C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或 3个 5、如果 a < 0，b >0，a ＋b <0，那么下列关系中正确的是（ D ）A ．a > b > －b >－aB ．a >－a >b >－bC ．b >a >－b >－aD ．－a >b >－b > a6、已知两个有理数 a 、b ，如果 ab < 0，且 a ＋b <0，那么（ D ）A ．a > 0，b <0B ．a <0， b >0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大 7、如果 a ＋ b <0， b 0 ，则下列结论成立的是（ B ）aA ．a >0，b >0B ．a <0，b <0C ．a >0，b < 0D ．a < 0，b > 08、、下列命题正确的是（ C ）A ．若 ab > 0，则 a >0，b >0B ．若 ab < 0，则 a <0，b <0C ．若 ab ＝0，则 a ＝0或 b ＝0D ．若 ab ＝0，则 a ＝0且 b ＝0 9、若 a ＋b ＋c ＝0，且 b <c < 0，则下列各式中，错误的是（ C ）A ．a ＋b >0B ．b ＋c <0C ．ab ＋ac >0D ． a ＋ bc >010、若a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则代数式 m cd a b 的值为（ D ）mA ．－3B ．1C ．±3D ．－3或 111、有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则a 2010 b2011等于（ B）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果 （a b ）20011,（a b ） 20021，则 ab 的值是（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．－ 113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由 1 个分裂为 16个，则这个过程要经过（ A ）小时？7A ．2B ．2.5C ． 3D ．3.5三、计算11（1）（ 0.5） （ 3 ） 2.75 （ 7 ） =-2；3735（ 2） 12 3 77 23 35 1 =-1.25 ；4848(13 7 7) ( 11)=- 1； 4 8 12 7 317.48 ( 37) 8.74 ( 88) 174.8 1.9 =-1748 ；2 12(38 61 34) 24 5 ( 1)2 8 6 4 3111 7418 6 8242（ 3） 4 （ 2） （ 5） ［（ 7） （ 3） （ 8）］ =14） 8786）2011=-1.56、(8) 12 (1 0.5) 13 2 ( 3)2 =16※典例剖析例 2】 、阅读材料，解答问题 . 求 1 2 22 23219 220的值 .运用材料以上方法计算：20182 3 2016 20171 5 5 5 5 5 例 3 】计算 21411 例 1 】计算 : (1 1 1 231 1) (1 14 5 2 31) (11 1 1 1 1) (1 1 1 1 623456 2 3 4 5解：令 S 1 2 2 2 23219 220 ①② - ①得 2S S 221 1∴ 2S 2 22 23 24 220 221 ②∴ 1 2 22 23 219 220 221 1112 1 2 3 1 2 3 4 ＋＋ ）＋（＋＋）＋＋＋＋）2334445555＋（510 ＋2＋⋯＋ 48 ＋50 5049)50、计算题141 21．、． 14(1 0.5) 3|2 ( 3)2|=． 6319 2．、．[1 1(3 1 3) 3] 5= ．．248 6 4 4722 1 2 2 2 3．、．|2 ( 52) ( 114)| 32 ( 23)2329510034 ．、．1 1⋯．⋯．．．1 3 3 5 5 7 ．． 2005 2007 =20075、2 32 2 2( 3)2( 5)3( )218 32=-31 ；57 42114(0.25 ) {0.5 ( 0.75) [ ( 2)2]} = 343 ==612.5【例 4】某儿童服装店老板以 30元的价格买进 20 件连衣裙，针对不同的顾客， 30 件连衣裙的售价完全不 相同，若以 45 元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 请问，该服装店售完这 20 件连衣裙后，赚了多少钱？ 答案：328 元 三、培优检测 A 组、今抽查 10 袋盐，每袋盐的标准质量是 100 克，超出部分记为正，统计成下表：盐的袋数 23 3 1 1 每袋超出标 准的克数+1 -0.5+1.5 -22、若 l 3+23+33+⋯ +153＝14400，则 23+43+63+⋯+303＝1152001 2 3 3 6 9 5 10 15 7 14 211 1 1 12 2 2 2 58 58 59 思考题：计算： (1 1 1 1) (4 2 2 2) (58 58)59=88531 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 354 3 4 60 3 45 60 59 60 601 11 1、35571997 1999问：这 10 袋盐一共有多重？答案： 1000 千克 B 组： 995 59978、已知 a 、 b 、c都不等于零，且ababcabc 的最大值是m ，最小值为mn ，求n 的值 =-16 ．mn第二讲 有理数的加减运算中的巧算考点·方法·破译1．理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方法则，并能熟练进行有理数的运算.2．掌握有理数加减乘除乘方混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算 3．能用有理数运算律进行简便运算 .常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑹错位相减法⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 、填空题1、计算 1＋（－ 2）＋3＋（－ 4）＋ ⋯ ＋99＋（－ 100）＝ _______2、计算 1－3＋5－7＋9－11＋⋯＋ 97－99＝ _________3、若 m <0，n >0，且| m |>| n |，则 m ＋n ________ 0.（填>、<号）4、如果| a| ＝3，| b| ＝2，若 ab <0，那么 a- b ＝ _________535、 2.25 减去 与 的差，所得的结果 ＝ ________________8812 、 +3、 -1.2 的和比它们绝对值的和小 ＝ __________ 211 的正方形等分成两个面积为 1 的长21 1 1方形，接着把面积为 1 的长方形等分成两个面积为 1 的正方形，再把面积为 1 的正方形2 4 4等分成两个面积为 1 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算81 1 1 1 1 1 1 1＝ ________ .24 8 163264 1282568、已知数轴上有 A 、B 两点， A 、B 之间的距离为 2，点 A 与原点 O 的距离为 6，则所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和为 _______ ；9、计算 211 1,221 3,231 7,241 15,251 31 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22018-1的个位数字是 _________10、 3. 05万是精确到 _____ 位的近似数．11、地球到太阳的距离大约是 150000000 千米，用科学记数法表示为 ____________ 米．12、测得某同学的身高约是 1.66 米，那么意味着他的身高的精确值 h 的取值范围是在 二、选择题1、在 1，－1，－2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A ． 1B ．0C ．－ 1D ．－ 36、若实数 a 、b 满足 aa bb 0，则 a a b b7、如图，把一个面积为2、若 a <0，则| a －（－a ）| 等于（ ） A ．－ a B ．0 C ．2a D ．－ 2a3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ） A ．两数一定都是正数 B ．两数都不为 0 C ．至少有一个为负数 D ．至少有一个为正数4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ） A ．1个 B ．2 个5、如果 a < 0，b >0，a ＋b <0， A ．a > b > －b >－a C ．b >a > －b >－a6、已知两个有理数 a 、b ， A ． C ． C ．3个 那么下列关系中正确的是（ B ．a >－a >b >－b D ．－a >b >－b >a 如果 ab < 0，且 a ＋b <0， 那么（ a >0，b <0 a 、b 异号 a ＋b <0， b 0 ， a A ．a >0，b >0 8、、下列命题正确的是（ A ．若 ab > 0，则 a >0， C ．若 ab ＝ 0，则 a ＝0 或 b ＝0 9、若 a ＋b ＋c ＝0，且 b <c < 0，则下列各式中，错误的是（ A ．a ＋ b >0 B ．b ＋c < 0 C ．ab ＋ac >07、如果 则下列结论成立的是（ ）B ．a <0，b <0 ） b >0 D ． 1 个或 3 个 ） ） B ．a <0， D ． a 、b 异号且负数的绝对值较大 b >0C ．a >0，b < 0D ．a < 0，b > 0 B ．若 ab < 0，则 a <0，b <0 D ．若 ab ＝0，则 a ＝0且 b ＝0 ） D ．a ＋bc >0 10、若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则代数式 m cd a b 的值为（ ）m D ．－3或1 A ．－3 B ．1 C ．±3 11、有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则 a 2010 b 2011等于（ ） A ．０ B ．１ C ．－１ D ．２12、如果 (a b)2001 1,(a b) 20021，则 ab 的值是（ ）A ．2B ． 1C ．0 13、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个） 分裂为 16个，则这个过程要经过（ ）小时？ 7 A ．2 B ． 2.5 三、计算D ．－ 1 ，若这种细菌由1个C ．3D ．3.51） ( 0.5) ( 31) 2.75 4 2) 13 77 23 48 34 358 1；3） 4 ( 2) ( 5) [( 7) ( 3) ( 8)]3111 74 18 682424）5）(134 87 172) ( 171) ；6)17.48 ( 37) 8.74 ( 88) 174.8 1.9 ；8) 12 (1 0.5) 1 2 ( 3) 231 1) (1 1 1 1 1) (11 1 14 5 2 3 4 5 6 2 3 4例 2】 、阅读材料，解答问题 . 求1 2 2223219220的值.解：令 S 1 2 2 2 23219 220①② - ①得 2S S 221 1运用材料以上方法计算：1 5 52 5352016 52017 2 3 4 20 212S 2 22 23 24 220 221 ②例 3 】计算1＋（ 1＋2）＋（ 1＋ 2＋3）＋（ 1＋2＋32 3 3 4 4 4 5 5 5※典例剖析7) 212(3 1 34)24 5 ( 1)2011 286411 例 1 】计算 : (1 1 1 23∴ 1 2 22 23 219220 221＋ 4 )＋ ⋯ ＋( 1 ＋ 2 ＋⋯＋ 48＋5 50 50 5049)501 1) (1 1 1 5 623 4【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20 件连衣裙，针对不同的顾客，30 件连衣裙的售价完全不售出件数 6 5 2 3 3 1售价(元)+3 +2 +1 0 —1 -220三、培优检测 A 组一、计算题1、14(1 0.5) 1 |2 ( 3)2|3盐的袋数 2 3 3 1 1每袋超出标准的克数+1 -0.5+1.5 -2、今抽查10 袋盐，每袋盐的标准质量是100 克，超出部分记为正，统计成下表：问：这10 袋盐一共有多重？[12143、|2 ( 52) ( 114)| 32( 23)2 45 4 31111 3 3 5 5 7 2005 20075、( 3)2( 5)3( 2)218 356 、14(0.25 7) {0.5 ( 0.75) [4 ( 2)2]}B 组：14、3 5 5 7 1997 19995、若 l 3+23+33+⋯ +153＝14400，则 23+43+63+⋯+303＝1 2 3 3 6 9 5 10 15 7 14 211 1 1 12 2 2 2 58 58 59思考题：计算： (V 1 1 1) (VI 2 2 2) (58 58)594、计算： 2 22 23 24 25 * 7 219220＝ 62010V 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 35VI 3 4 60 3 4 5 60 59 60 604、计算： 2 222324 25 219 2205、若 |m| m 1，则 20104m 1A ． －１B ．１6、设 1 2b c a c a b |a| |b| |c|． 3 或－1 D ．－３或１13＋23＋33＋43＋⋯＋ n 3的公式并计算C ． 12a b c 0，abc 0，则 A ． -3 B ．1 C7、请你从右表归纳出 13＋23＋33＋43＋⋯＋ 1003的值＝8、已知 a 、 b 、c 都不等于零，且abc abc c的最大值是 abcm ，最小值为mn ，求n 的值．mn的值是( )5、若|m| m 1，则4m 1 ( B )A ．－１B ．１C ．1D ．1226、设a b c 0，abc 0，则 b c a c a b的值是( B ) |a| |b| |c| 的值是 )A ．-3B ．1C ． 3 或－ 1D ．－３或１7、请你从右表归纳出 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋⋯＋n 的公式并计算出13＋23＋33＋43＋⋯＋1003的值＝___(1 2 3 99 100)2_________________________________________________________。
竞赛题中有理数运算的技巧
ｆ ＋ ＋ ＋ 三 三 三 …
＼４ ５ ６
…
＋ ｌ ９ ＋ —— ／ ＋ —— ＼５ ６ ｌ ６ —— ０ ０
／５ ８
５ ＼ ８
５ ９
解原 吉 （＋ ＋ ＋ 寻＋ ＋ ＋ ：式＝ ＋ ）（ ＋ ）… （ ≥ 丢 ＋
５ ９
， ，
兄
赛 攻
原 式＝１１＋１ ）（一 ）… （ 一 ） 一 ）（一 ＋１ ＋ ＋ １ １
：
ｌ 一—ｌ ＿
．
１ ２０¨８
利 用 错 位 相 减 的 方 法 也 能 求 解 ， 同 学 们 尝 试 解 答 （ 原 式 为 ４． 清 设 Ａ 可求 得结果 ） ．
１ 计算 ： ｌ ＋— Ｌ ＋— ｌ ＋… ＋一 ． —＿ ＿
略
＋５ ９） １ （ １＋ ５ ９）ｊ ５ （ ９
了 — — 一
＝ ）．
一
九 、 用 图 示 巧
例 － ： 去＋３… — ． ９ ｉ ÷＋ ＋ ＋ Ｉ － ￣ ２
—
１
— 一
解 为 求 击＋ … 的 ， ： 了 ÷＋ 击＋ ＋ 值我
们 可 设 计 如 图 １的 几 何 图 形 （ 正 方 形 的 边 长 为 大 １ 图 形 均 为 每 次 截 取 剩 余 面 积 的 半 ． 一 ．
解 ： Ａ ＝ １＋ ２＋ ２ ＋２ ＋ ．． ２ｏ 设 ２ ３ ． ＋２ ｏ ． ￣ 于 是 可 得 ２ ＝２ ＋２ ＋２ ＋２ ＋ … ＋２ ０ ． ， ４ ｚ ３ ４ ２０ ９
① ②
② 一① ， Ａ ＝２ 一 一 １ 得 ．
故原式 ＝２ ０ — １ ２９ ． ０
— ● 四 序相 加 反
Ｎ
．
有理数的运算技巧简便计算
有理数的运算技巧姓名有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
一. 巧用运算律例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题） 求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
解：原式=+++++++++++1213231424341602603605960()()() =++3+++=++++=⨯+⨯=1222242592121235912159592885 ()()二. 巧用倒序法 例2. 计算12003220033200340052003++++ 解：设A=++++12003220033200340052003，把等式右边倒序排列，得 A =++++40052003400420032200312003将两式相加，得2120034005200322003400420034005200312003A =++++++()()()即224005A =⨯，所以A =4005 所以原式＝4005 三. 巧用拆项法例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算11121123112341123100+++++++++++++++=________ 分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为14950，15050，而14950150992991002992100=⨯=⨯=- 同理，1505021002101=-那么本题就不难解决了。
解：原式=++++++12621222029900210100=-+-+-++-+-211212131314199110011001101()=-=211101200101()说明：形如1n n a ()+的分数，可以拆成111a n n a ()-+的形式。
初中数学培优：有理数的简便计算
初中数学培优：有理数的简便计算一、倒序相加法【典例】阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设s＝1+2+3+…+100，①则s＝100+99+98+…+1，②①+②，得2s＝101+101+101+ (101)（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）所以2s＝100×101，s=12×100×101＝5050③所以1+2+3+…+100＝5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝．（3）计算：101+102+103+ (2018)【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①，则s＝200+199+198+…+1②，①+②，得2s＝201+201+201+ (201)所以2s＝200×201，s=12×200×201＝20100，所以1+2+3+…+200＝20100；（2）猜想：1+2+3+…+n=12n（n+1）；故答案为：12n（n+1）；（3）s＝101+102+103+…+2018①，则s＝2018+2017+2016+…+101②，①+②，得2s＝2119+2119+2119+ (2119)所以2s＝（2018﹣100）×2119，s=12×1918×2119＝2032121，所以101+102+103+…+2018＝2032121．【巩固】【解析】设原式之和为s，对每个括号内的各项倒序相加，得原式与倒序相加得.二、裂项相消形如可写成①②.【典例】观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…解答下面问题：（1）若n为正整数请你猜想1or1)=；（2）证明你猜想的结论；（3）利用这一规律化简：1(r1)(r2)+1(r2)(r3)+1(r3)(r4)+⋯+1(r2009)(r2010)．（4）尝试完成．（直接写答案）1or2)+1(r2)(r4)+1(r4)(r6)+1(r6)(r8)+⋯+1(r2014)(r2016)=．【解答】解：（1）猜想：1or1)=1−1r1；故答案为：1−1r1；（2）等式右边=r1or1)−or1)=r1−or1)=1or1)=左边，得证；（3）原式=1r1−1r2+1r2−1r3+⋯+1r2009−1r2010=1r1−1r2010=2009(r1)(r2010)；（4）原式=12（1−1r2+1r2−1r4+⋯+1r2014−1r2016）=12（1−1r2016）=1008or2016)．故答案为：1008or2016)【巩固】计算下面各题（1）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+198×99+199×100（2）计算：1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2015．【解答】解（1）原式＝1−12+12−13+13−14+⋯+198−199+199−1100，＝1−1100=99100；（2）1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2015=21×2+22×3+23×4+⋯+22015×2016＝2（11×2+12×3+13×4+⋯+12015×2016）＝2（1−12+12−13+13−14+⋯+12015−12016）＝2（1−12016）=20151008．三、利用图形进行简便计算【典例】数学问题：计算1+12+13+⋯⋯+1（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算12+122+123+⋯⋯+12．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+122；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分；所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12，最后空白部分的面积是12．根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12=1−12．探究二：计算13+132+133+⋯+13．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+ 232+233+⋯+23，最后空白部分的面积是13．根据第n次分割图可得等式23+232+233+⋯+23=1−13．两边同除以2，得13+132+133+⋯+13=12−12×3．探究三：计算14+142+143+⋯+14．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果）第n次分割所有阴影部分的面积之和为；最后的空白部分的面积是；根据第n次分割图可得等式；两边同除以，得；解决问题：计算1+12+13+⋯+1．根据第n次分割图可得等式，所以1+12+13+⋯+1=．拓广应用：直接写出运算结果：5−15+52−152+53−153+⋯+5−15．【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示：所有阴影部分的面积之和为1；最后的空白部分的面积是14；根据第n次分割图可得等式34+342+⋯+34=1−14；两边同除以3，得14+142+143+⋯+14=13−13×4；故答案为：1，14，式34+342+⋯+34=1−14，3，14+142+143+⋯+14=13−13×4；解决问题：计算1+12+13+⋯+1．根据第n次分割图可得等式，K1+K12+K12+⋯+K1=1−1，所以1+12+13+⋯+1=1K1−1(K1)⋅．故答案为：K1+K12+K12+⋯+K1=1−1，1K1−1(K1)⋅．拓广应用：直接写出运算结果：5−15+52−152+53−153+⋯+5−15＝1−15+1−152+1−153+⋯+1−15＝n﹣（14−14×5）＝n−14+14×5．巩固练习1．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m 的值是（）A．46B．45C．44D．43【解答】解：23＝3+5，第一项为22﹣2+1，最后一项为3+2×133＝7+9+11，第一项为32﹣3+1，最后一项为7+2×243＝13+15+17+19，第一项为42﹣4+1，最后一项为13+2×3…453的第一项为452﹣45+1＝1981，最后一项为1981+2×44＝2069，1981到2069之间有奇数2019，∴m的值为45．故选：B．2．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（）A．12B．1118C．76D．59【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22．它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为5/9．故选：D．3．211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365＝．【解答】解：211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365＝455×（﹣211+365）+545×（﹣211+365）＝（﹣211+365）（455+545）＝154×1000＝154000．故答案为：154000．4．37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159＝．【解答】解：原式＝37.9×0.0038+0.0121×37.9+6.21×0.159，＝37.9×（0.0038+0.0121）+6.21×0.159，＝37.9×0.0159+6.21×0.159，＝0.159×（3.79+6.21），＝0.159×10，＝1.59．故答案为：1.59．5．计算：111×13×15+113×15×17+⋯+129×31×33=．【解答】解：∵1(K2)or2)=18（1K2+1r2−2），∴原式=18（111+115−213+113+117−215+⋯+129+133−231）=18（111−113−131+133）=18×2×（111×13−131×33）=14×31×33−11×1311×13×31×33=14×88011×13×31×33=2013×31×33=2013299．故答案是2013299．6．计算：191919767676−76761919=．【解答】解：191919767676−76761919，=19×1010176×10101−76×10119×101，=14−4，=−334．7．在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数之和等于1．【解答】解：∵1＝1−12+12−13+13−14+⋯+19−110+110＝（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（19−110）+110=12+16+112+120+130+142+156+172+190+110．∴这10个数可以是：2、6、10、12、20、30、42、56、72、90（答案不唯一）．8．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值．【解答】解：这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64＝643，所以，每行、每列、每条对角线上三个数字积为64，得ac＝1，ef＝1，ax＝2，a，c，e，f分别为14，12，2，4中的某个数，对a进行讨论，只有当a=14时，x不是14，12，2，4中某个数；推得x＝8．9．规定：正整数n的“H运算”是①当n为奇数时，H＝3n+13；②当n为偶数时，H＝n×12×12×⋯（其中H为奇数）．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H 运算”的结果是46．请解答：（1）数257经过257次“H运算”得到的结果．（2）若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值．【解答】解：（1）1次＝3×257+13＝7842次＝784×0.5×0.5×0.5×0.5＝493次＝3×49+13＝1604次＝160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5＝55次＝3×5+13＝286次＝28×0.5×0.5＝77次＝3×7+13＝348次＝34×0.5＝179次＝3×17+13＝6410次＝64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5＝1，11次＝3×1+13＝16，12次＝16×0.5×0.5×0.5×0.5＝1＝第10次，所以从第10次开始，偶数次等于1，奇数次等于16，257是奇数所以第257次是16．（2）若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环，此时“H”运算的结果总是a，则a一定是个奇数．那么，对a进行H运算的结果a×3+13是偶数，再对a×3+13进行“H运算”，即：a×3+13乘以12的结果仍是a，于是（a×3+13）×12=a，也即a×3+13＝A×2k即a（2k﹣3）＝13＝1×13，因为a是正整数所以2k﹣3＝1或2k﹣3＝13，解得k＝2或k＝4，当k＝2时，a＝13；当k＝4时，a＝1，所以a为1或13．。
初一暑假数学培优班有理数的巧算(二)
有理数巧算（二） 【知识要点】1、乘法分配律法先运用乘法分配律“()ac ab c b a +=+”去括号，然后再巧算，这种方法叫做乘法分配律法．2、提取公因数法一个多项式的各项有公因数，可以把这个公因数提取出来，使计算简便，这种方法叫做提取公因数法．3、约分法利用分数的基本性质，将分数的分子和分母同时缩小相同的倍数，从而达到化简的目的， 这种方法叫做约分法．约分法的实质是，将写成分数形式的算式中分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而化简计算过程，达到巧算的目的．4、凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么，就先求出这几个数的和，可以使计算简便。
这种方法叫做凑整法。
5、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1．计算：103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯例2．两个十位数11111111111和9999999999的乘积有几个数字为奇数？今日分享：生命如铜钱，每个人高兴怎么用就怎么用，但一个铜板只能用一次。
例3．9200492004920049199999999999个个个+⨯的和的末尾有多少个数字0？例4．计算：445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例5．计算：363.6542562555552345533⨯+÷+⨯例6．计算：311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯例9．计算：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998例10、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++76655443327665544332211217665544332217665544332212【课后练习】1．计算：9.0195105375.119484⨯+⨯ 2．计算：()()575412712551234⨯-⨯-⨯-+-⨯3．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1100311200211200311200414．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-20005．设94495199919995199519515S 个+++++=，求S 的末四位数字的和。
初一奥赛有理数的巧算
有理数的巧算在有理数的运算过程中，虽然掌握运算法则是关键，但是由于竞赛中的有理数计算题一般数值大，项数多，次数高，计算较复杂，若能巧妙运用有关运算定律和数学方法，往往能化繁为简，化难为易，既节省时间，又提高效率。
有理数的计算技巧来自于细心的观察和大胆的探索。
本节涉及的热门赛点有：● 利用运算律巧算 ● 凑整法计算 ● 恰当分组计算 ● 裂项相消巧算● 依规律计算● 错位相减巧算赛题详解赛点1 利用运算律巧算例1：两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？点拨：求出两个数的乘积是解题的前提，可将9999999999用（10000000000－1）代替，再运用乘法分配律，这比直接将两数相乘容易达到目的。
练习：计算 0.15921.6379.021.10038.09.37⨯+⨯+⨯赛点2 凑整法计算在十进制计算中，为了计算简便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一，整十，整百，整千等数。
例2：计算：89+899+8999+89999+899999赛点3 恰当分组巧算例3：计算1－2+3－4+5……+99－100练习：计算（1）（1+3+5+…+2007）－（2+4+6+…+2006） （2）1－3+5－7+9－11+…－2003+2005例4：计算1+2－3－4+5+6－7－8+9+10－…+2005+2006点拨：方法1观察可知2－3－4+5=0，6－7－8+9=0，……即从2开始，每连续4项之和为0。
而2006÷4+5001余2，则2006前面四项之和为2002－2003－2004+2005=0。
方法2也可以前四项组合。
练习：在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．赛点4 裂项相消巧算例5：求200220011431321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯的值练习:（1）132111019011216121+++⋯⋯+++ （2）1191751531311⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯（3）10981543143213211⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（4）从分数组{121,101,81,61,41,21}中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是__________（5）计算561542133011209127311-+-+-点拨: 类似这种分子都相同，分母都为两个相差等值的两数之积，并且前一个坟墓中的大数是后一个分母中的小数，我们可采取拆项法。
有理数计算(巧算)培优
………………………………………………最新资料推荐………………………………………七年级数学培优（2）——有理数的巧算 班级：________ 姓名：_________ 知识点精析：“算对与算巧”求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。
这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。
有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。
例题精讲：一. 巧用运算律例1. 计算12345678201220132014S变式题：计算1121231279()()()233444808080二. 巧添辅助数 例2. 计算：三. 巧用倒序相加法 例3、计算：12340272014201420142014 四. 巧用拆项法例4计算111112233420132014变式：.1111144771020112014五、巧用错位相加减法 例5、计算22013201412222变式：22013201415555 六、巧用整体换元法 例6、11111111111111232015232014232015232014七、巧用倒数法 例7、计算：......................................................最新资料推荐 (111171111711)36461218364612183636练习反馈：1. 计算：111111111111112319972319972319972319962、计算：1211230310653、求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++-+++++++++++++++++ （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
初中数学培优辅导资料(2)有理数的巧算
初中数学培优辅导资料（2）有理数的巧算一、内容提要有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．二、典型例题例1 计算：（1+3+5+……+2005+2007）+(2+4+6+……+2004+2006)(利用运算律巧算)例2 计算：89+899+8999+89999+899999（凑整法计算）例3 计算：1111 (12233420122013)++++⨯⨯⨯⨯（裂项相消法巧算）例4 计算：1+2－3－4+5+6－7－8+9+－……+2005+2006（恰当分组法巧算）例5 计算：2320131222......2+++++（错位相减法巧算）例6 计算：1131351397............244666989898⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（寻找规律巧算）三、专项练习用简便方法计算（1）1+5+52+53+…+599+5100（2）-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；（3）1111 (14477108891)++++⨯⨯⨯⨯ （4）1111 (155991320012005)++++⨯⨯⨯⨯ （5）2310011111 (2222)+++++ （6）201220132013201320122012⨯-⨯（7）1－2+3－4+5－6+7－8+……+2007－2008（8）1121231259............233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （9）1111112612203042----- （10）比较大小：207200720082008,2008200820092009a b ==。
竞赛中有理数计算的技巧
竞赛中有理数计算的技巧竞赛中有理数的计算除了应熟练掌握有理数数的运算法则外，还应了解、熟悉一些计算技巧才能立于不败之地。
一、倒序配式相加例1.计算)200019992000220001()54535251()434241()3231(21++++++++++++++ΛΛ 解：设原式的值为S ，按各括号的倒序配式，则有S=)200012000220001999()51525354()414243()3132(21++++++++++++++ΛΛ，与原式相加，得2S=1+2+3+4+…+2000，再构造2S 的倒序配式：2S=2000+1999+…+4+3+2+1，则4S=2001+2001+…2001=2001×2000。
故S=1000500二、拆项正负相消例2.计算：已知0)2(12=-+-ab a ，则+++++++)2)(2(1)1)(1(11b a b a ab …+)2004)(2003(1++a a 的值是_________ 解：由已知，得a=1，b=2，故原式=200520041431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ =)2005120041()4131()3121()2111(-++-+-+-Λ=20052004200511=- 三、添数配对加减例3.计算：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999 解：添上9+8+7+6+5+4+3+2+1，依次与原式各数配对相加，得原式20+200+2000+20000+200000+2000000+20000000+200000000+2000000000-（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=2222222220-45=2222222175四、字母代数化简例4.计算：2003·20052005-2005·20032002解：设2003=a ，则原式=[])110)(2()2(10)2(44-+⋅+-+++a a a a a a =a+2=2007五、逐步分解计算 例5.计算：20042003200320012003220032323-+-⋅- 解：原式=2004)12003(20032001)22003(200322-+-- =20042004200320012001200322-⋅-⋅=)12003(2004)12003(200122-- =20042001 六、局部换元计算例6.计算：2003200220014322222222+------Λ 解：设2002200143222222------Λ=x (1) 则2x=2003200254322222------Λ (2) (2)-(1)，得x=200324-， 故原式=200320032)24(2+-+=6七、整体代换求解例7.已知1146011101411201111815121=+++++++， 计算146011101411201111815121++--+---解：设146011101411201111815121++--+---=x ， 与已知式相加，得1+x=164021102112++， 故11640251-+=x =164131- 八、分组搭配计算例8.计算：)212019()2011918()6154()5143()4132()3121(++++++++++++Λ 解：原式21)2019201()5451()4341()3231(21++++++++++Λ=19 九、交错约分计算例9.计算：)119991)(120001)(120011)(120021)(120031(----- 解：原式=1999199820001999200120002002200120032002⋅⋅⋅⋅-=20031998- 十、提取公因数例10.计算：8874.81948.173748.17⨯+⨯+⨯解：原式=4448.171948.173748.17⨯+⨯+⨯=)441937(48.17++=17.48⨯100=1748。
有理数巧算“十字诀”
有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。
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【培优竞赛辅导】第二讲 有理数的巧算
【赛点解析】
1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。
2、有理数的相关概念和性质法则
⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质
3、常用运算技巧
⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
⑴ 32
333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544
-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-
⑵ 12713
923(0.125)(1)(8)()35
-⨯-⨯-⨯-
【例2】计算：1234567891011122005200620072008--++--++--++
+--+
【例3】计算：⑴111111
261220309900
++++++⑵
1111
133********
++++
⨯⨯⨯⨯
反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
①
111
(1)1
n n n n
=-
++
②
1111
()
()
n n k k n n k
=-
++
③
1111
[]
(1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n
=-
+++++
④
1111
()
(1)(1)211
n n n n
=-
-+-+
【例4】（第18届迎春杯）计算：1111 2481024 ++++
【例5】计算：11212312341235859 ()()()() 23344455556060606060 ++++++++++++++++
【例6】（第8届“希望杯”）计算：
11111111111111(1)()(1)()2320092342010232009201023
2009
--+-+++---+
-
-+++
【例7】请你从下表归纳出333331234n ++++
+的公式并计算出：33333123450++++
+的值。
【实战演练】
1、用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=
2、（第10届“希望杯”训练题）11
111
(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000
-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=
3、已知199919991999200020002000200120012001
,,199819981998199919991999200020002000
a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-
⨯+⨯+⨯+则abc =
4、计算：11
1
111315131517
293133
++
+
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、（“聪明杯”试题）2
12424824()139261839n n n n n n
⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅
6、111
11
(1)(1)(1)(1)(1)132435
1998200019992001
+
+++
+⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 提示：2
2
(1)21n n n +=++
123452468
10369
1215
4
8
1216
20
510152025
7、48121640
13355779
1921
-+-+-
=⨯⨯⨯⨯⨯
8、计算：2
3
201012222S =+++++
9、计算111
112123123100
+++⋅⋅⋅+
++++++⋅⋅⋅+的值.
10、计算：1111
32010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
223234
232010
+++
+
+++++++++的值。