云南省重点中学高二数学寒假作业(7) Word版 含答案

云南省2013-2014学年高二寒假作业（7）数学 Word 版含答案第I
卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1.“ab<0”是“方程ax 2＋by 2
＝1表示双曲线”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．10
D ．12
3.在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2
与49 cm 2
之间的概率为 （ ） A ．
5
1 B ．
5
2
C ．
5
4 D ．
10
3
4.若如图所示的程序框图输出的S 的值为126，则条件①为( )
A ．n≤5? B．n≤6? C ．n≤7? D．n≤8?
5.下列求导数运算正确的是（ ）
A ．
B ． x x x x
sin 2)cos ('2
-=
C ．
D ． x x 2cos 2)2sin 2(=
6.定义域R 的奇函数()f x ,当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成
立, 若3(3)a f =,()b f =１,2(2)c f =--,则( )
A.a c b >>
B.c b a >>
C.c a b >>
D. a b c >>
7.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线
32
a x =上一点,∆21F PF 是底角为30
的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）
A ．
1
2
B ．
2
3 C ．
3
4 D ．
45
8.设集合{|14}M x x =<<；2
{|230}N x x x =--≤；则()R M C N 为
A .(1,4)
B .(3,4)
C .(1,3)
D .(1,2)(3,4)
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
9.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，
则椭圆
22
=1x y m n
+ 的离心率为________．
10.等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113
a a -的值为 .
11.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域上一动点，
则OM 的最小值为_______
12.已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

13.已知关于x 的一元二次不等式02
>++c bx ax 的解集为{x|－1<x<2}，则关于x 的不等式02
<+-a bx cx 的解集为 .
14.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cosB ＝－4
1
，则b ＝ .
三、解答题（题型注释）
15.（本小题满分12分）若a ∈R ，解关于x 的不等式12<+-x
a x .
16.（本小题满分13分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2
3的椭圆过点 (2，
2
2). （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在不过原点O 的直线l ，使得直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列？若存在，试求△OPQ 面积的取值范围；若不存在，请说明
理由.
17.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 满足21a ＋3a ＝32a ，且3a ＋2是2a ，4a 的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n b ＝n a ＋n
a log 12，n S ＝1
b ＋2b ＋···＋n b ，求n S .
18.已知x>0,y>0,x+y=1 求 (1+x 1)(1+y
1
)的最小值
19.已知，如图，⊙O ：x 2＋y 2
＝1和定点A (2,1)，由⊙O 外一点P (a ，b )向⊙O 引切线PQ ，
切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |. （1）求实数a 、b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；
20.（本题满分12分）△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且
cos cos 2B b
C a c
=-+
（1）求∠B 的大小；
（2）若a =4，35=S ，求b 的值
试卷答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224
c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==
8.B
9.
10.16
12.36
13.{x|－2
1<x<1}
14.4 15.
原不等式可化为0)2
1)((>+-+a x a x ．
（1）当a ＝－2时，解集为：{x|x≠2}；
（2）当a>－2时，解集为：{x|x>1－2
a 或x<－a}；
（3）当a<－2时，解集为：{x|x>－a 或x<1－2
a }.
16.
（1）由题可设椭圆的方程为22
a x ＋22
b y ＝1（a>b>0），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=1
2122322b a
a c ，解得：
⎩
⎨⎧==12b a ，∴椭圆的方程为：1422=+y x
. （2）假设这样的直线l 存在，由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， ∴可设l ：y ＝kx ＋m （m≠0），设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，由⎩⎨
⎧=-++=0
442
2y x m
kx y 消去y 得：)1(48)41(222-+++m kmx x k ＝0，则△＝)14(1622+-m k >0，且1x ＋2x ＝
2
418k km +-，1x ·2x ＝22
41)1(4k m +-，∴1y ·2y ＝(k 1x ＋m)(k 2x ＋m)＝k 21x 2x ＋km(1x ＋2
x )
＋m 2
，
∵直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，∴2211x y x y ⋅＝k 2，∴
22
22418m k m k ++-＝0， 又m≠0，∴k 2
＝41，∴k＝±2
1.
由于OP 、OQ 的斜率存在，∴1x ≠0且2x ≠0，∴m 2
≠1，又△>0，∴m 2
<4k 2
＋1＝2，
∴0<m 2<2且m 2
≠1，设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝
2
1||k
m +，又|PQ|＝
2
2
22
411441k
m k k ++-⋅+，∴S △OPQ
＝21×d×|PQ|＝
21×2
1||k m +×22
22411441k m k k ++-⋅+＝|m|·22m -＝)2(22m m -＝1)1(22+--m ，
∵0<m 2<2且m 2
≠1，∴0<1)1(22+--m <1，即S △OPQ ∈(0，1)，
∴这样的直线l 存在，且S △OPQ 的取值范围为：(0，1). 17.
（1）由⎩⎨⎧+=+=+②
)2(2①
32342231 a a a a a a ⇒232+-q q ＝0，∴q＝1或q ＝2，
当q ＝1时，代入得②式不成立，当q ＝2时，代入②式得1a ＝2，∴n a ＝n
2(n∈N*).
（2）∵n b ＝n a ＋n
a log 12＝n
2－n ，
∴n S ＝(2＋21
＋22
＋···＋n 2)－(1＋2＋···＋n)＝1
2
+n －2－21n －2
2
1n .
18.
略19.
略20.
⑴由cos cos sin
cos2cos2sin sin
B b B B
C a c C A C
=-⇒=-
++
2sin cos cos sin sin cos
A B B C B C ⇒+=-
2sin cos sin cos cos sin A B B C B C ⇒=--
2sin cos sin()2sin cos sin A B B C A B A ∴=-+⇒=- 12
cos ,0,23
B B B ππ⇒=-<<∴=又
⑵114,sin 522a S S ac B c c ===
=⨯⇒=由
22222cos 1625245b a c ac B b b =+-⇒=+-⨯⨯⇒=。