最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题新课标卷精品001

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2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)

○…………外………………○…………：___________班级：________○…………内………………○…………2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设z =1−i 1+i +2i ，则|z|=A. 0B. 12C. 1D. √22.已知集合A ={x |x 2−x −2>0 }，则∁R A = A. {x |−1<x <2 } B. {x |−1≤x ≤2 }C. {x|x <−1}∪ {x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪ {x|x ≥2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5= A. −12 B. −10 C. 10 D. 125.设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为A. y =−2xB. y =−xC. y =2xD. y =x6.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为答案第2页，总12页…………○※※答※※题※※…………○A. 2√17 B. 2√ C. 3 D. 2 7.已知函数f(x)={e x ，x ≤0，lnx ，x >0，g(x)=f(x)+x +a ．若g ，x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0，B. [0，+∞，C. [–1，+∞，D. [1，+∞，8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 39.已知双曲线C ，x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A. 32 B.3 C. 2√3 D. 410.（题文）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0x −y +1≥0y ≤0，则z =3x +2y 的最大值为_____________，12.记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=_____________，13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案， 14.已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________，三、解答题（题型注释）15.在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90∘，∠A =45∘，AB =2，BD =5.（1）求cos∠ADB ，（2）若DC=2√2，求BC .16.设椭圆C:x 22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.17.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立，（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0，，2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用，（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;，ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？18.已知函数f(x)=1x−x+alnx，（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2，19.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0，（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．20.[选修4–5：不等式选讲]已知f(x)=|x+1|−|ax−1|.（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.答案第4页，总12页参数答案1.C【解析】1.分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到z =i ，根据复数模的公式，得到|z |=1，从而选出正确结果. 详解：因为z=1−i 1+i +2i =(1−i)2(1+i)(1−i)+2i =−2i 2+2i =i ，所以|z |=√0+12=1，故选C.2.B【解析】2.分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x 2−x −2>0的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A={x|x <−1或x >2}，所以可以求得C R A ={x|−1≤x ≤2}，故选B. 3.A【解析】3.分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A. 4.B【解析】4.分析：首先设出等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果d =−3，之后应用等差数列的通项公式求得a 5=a 1+4d =2−12=−10，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3(3×2+3×22⋅d)=2×2+d +4×2+4×32⋅d ，整理解得d =−3，所以a 5=a 1+4d =2−12=−10，故选B.5.D【解析】5.分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.…………○…………装学校:___________姓名…………○…………装详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1，所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D. 6.B【解析】6.分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，点M 在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为√42+22=2√5，故选B.7.C【解析】7.分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程f(x)+x +a =0有两个解，将其转化为f(x)=−x −a 有两个解，即直线y =−x −a 与曲线y =f(x)有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数f(x)的图像（将e x (x >0)去掉），再画出直线y =−x ，并将其上下移动，从图中可以发现，当−a ≤1时，满足y =−x −a 与曲线y =f(x)有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数f(x)的图像，y =e x 在y 轴右侧的去掉，再画出直线y =−x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=−x −a 有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足−a ≤1，即a ≥−1，故选C.8.A【解析】8.分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果. 详解：设AC=b,AB =c,BC =a ，则有b 2+c 2=a 2，答案第6页，总12页从而可以求得ΔABC 的面积为S 1=12bc ，黑色部分的面积为S 2=π⋅(c 2)2+π⋅(b 2)2−[π⋅(a 2)2−12bc] =π(c 24+b 24−a 24)+12bc =π⋅c 2+b 2−a 24+12bc =12bc ，其余部分的面积为S 3=π⋅(a 2)2−12bc =πa 24−12bc ，所以有S 1=S 2，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到p 1=p 2，故选A.9.B【解析】9.分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到∠FON =30°，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60°，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，利用两点间距离同时求得|MN |的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON=30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=√(3−32)2+(√3+√32)2=3，故选B.10.A【解析】10.分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D 中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，………装…………○…………__________姓名：___________班级：________………装…………○…………同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==⎝⎭，故选A. 11.6【解析】11.分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式y=−32x +12z ，之后在图中画出直线y =−32x ，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线y=−32x +12z 过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z=3x +2y 可得y =−32x +12z ，画出直线y=−32x ，将其上下移动，结合z 2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由{x −2y −2=0y =0，解得B(2,0)，此时z max =3×2+0=6，故答案为6. 12.−63【解析】12.分析：首先根据题中所给的S n=2a n +1，类比着写出S n+1=2a n+1+1，两式相减，整理得到a n+1=2a n ，从而确定出数列{a n }为等比数列，再令n =1，结合a 1,S 1的关系，求得a 1=−1，答案第8页，总12页详解：根据S n =2a n +1，可得S n+1=2a n+1+1，两式相减得a n+1=2a n+1−2a n ，即a n+1=2a n ，当n =1时，S 1=a 1=2a 1+1，解得a 1=−1，所以数列{a n }是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以S 6=−(1−26)1−2=−63，故答案是−63.13.16【解析】13.分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有C 43=4种选法，从6名学生中任意选3人有C 63=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20−4=16种，故答案是16.14.−3√32【解析】14.分析：首先对函数进行求导，化简求得f′(x)=4(cosx +1)(cosx −12)，从而确定出函数的单调区间，减区间为[2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z)，增区间为[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z)，确定出函数的最小值点，从而求得sinx =−√32,sin2x =−√32代入求得函数的最小值.详解：f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx<12时函数单调减，当cosx >12时函数单调增，从而得到函数的减区间为[2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z)，函数的增区间为[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z)，所以当x=2kπ−π3,k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值，此时sinx=−√32,sin2x =−√32，所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32，故答案是−3√32.15. (1) √235. (2)BC =5.【解析】15.分析：(1)根据正弦定理可以得到BDsin∠A =ABsin∠ADB ，根据题设条件，求得sin∠ADB=√25，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos∠ADB=√1−225=√235，(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos∠BDC=sin∠ADB=√25，之后在△BCD中，用余弦定理得到BC所满足的关系，从而求得结果.详解：（1）在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A =ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°=2sin∠ADB，所以sin∠ADB=√25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB=√1−225=√235.（2）由题设及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB=√2 5 .在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2−2⋅BD⋅DC⋅cos∠BDC=25+8−2×5×2√2×√2 5=25.所以BC=5.16.(1) AM的方程为y=−√22x+√2或y=√22x−√2.(2)证明见解析.【解析】16.分析：(1)首先根据l与x轴垂直，且过点F(1,0)，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，利用两点式求得直线AM的方程；(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1,√22)或(1,−√22).所以AM的方程为y=−√22x+√2或y=√22x−√2.（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1<√2,x2<√2，直线MA，MB的斜率之和为k MA+k MB=y1x1−2+y2x2−2.由y1=kx1−k,y2=kx2−k得k MA+k MB=2kx1x2−3k(x1+x2)+4k(x1−2)(x2−2).将y=k(x−1)代入x 2+y2=1得答案第10页，总12页(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0.所以，x 1+x 2=4k22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1.则2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0.从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA =∠OMB .综上，∠OMA =∠OMB . 17.】(1)p 0=0.1.(2) ，i ）490.，ii ）应该对余下的产品作检验.【解析】17.分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得f(p)=C 202p 2(1−p)18，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意0<p <1的条件；(2)先根据第一问的条件，确定出p =0.1，在解，i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解，ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1−p)18.因此f ′(p)=C 202[2p(1−p)18−18p 2(1−p)17]=2C 202p(1−p)17(1−10p).令f ′(p)=0，得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时，f ′(p)>0；当p ∈(0.1,1)时，f ′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p 0=0.1.（2）由（1）知，p =0.1.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ∼B(180,0.1)，X =20×2+25Y ，即X =40+25Y .所以EX =E(40+25Y)=40+25EY =490.，ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX >400，故应该对余下的产品作检验. 18.（1）当a ≤2时，f(x)在(0,+∞)单调递减.，当a>2时， f(x)在(0,a−√a 2−42),(a+√a 2−42,+∞)单调递减，在(a−√a 2−42,a+√a 2−42)单调递增.（2）证明见解析.【解析】18.分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据f(x)存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a >2，令f′(x)=0，得到两个极值点x 1,x 2是方程x 2−ax +1=0的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果. 详解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=−1x 2−1+ax=−x 2−ax+1x 2.（i ）若a ≤2，则f ′(x)≤0，当且仅当a =2，x =1时f ′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减. （ii ）若a>2，令f ′(x)=0得，x =a−√a 2−42或x =a+√a 2−42.第11页，总12页当x ∈(0,a−√a 2−42)∪(a+√a 2−42,+∞)时，f ′(x)<0，当x∈(a−√a 2−42,a+√a 2−42)时，f ′(x)>0.所以f(x)在(0,a−√a 2−42),(a+√a 2−42,+∞)单调递减，在(a−√a 2−42,a+√a 2−42)单调递增.（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a >2.由于f(x)的两个极值点x 1,x 2满足x 2−ax +1=0，所以x 1x 2=1，不妨设x 1<x 2，则x 2>1.由于f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=−1x 1x 2−1+a lnx 1−lnx 2x 1−x 2=−2+a lnx 1−lnx 2x 1−x2=−2+a −2lnx 21x 2−x 2，所以f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<a −2等价于1x 2−x 2+2lnx 2<0.设函数g(x)=1x−x +2lnx ，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(1)=0，从而当x ∈(1,+∞)时，g(x)<0.所以1x2−x 2+2lnx 2<0，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<a −2. 19. (1，(x +1)2+y 2=4，（2）综上，所求C 1的方程为y =−43|x|+2，【解析】19.分析：(1)就根据x =ρcosθ，y =ρsinθ以及ρ2=x 2+y 2，将方程ρ2+2ρcosθ−3=0中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线C 2是圆心为A(−1,0)，半径为2的圆，C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果. 详解：（1）由x=ρcosθ，y =ρsinθ得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4，，2）由（1）知C 2是圆心为A(−1,0)，半径为2的圆，由题设知，C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2．由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以√k +1=2，故k =−43或k =0，经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点；当k =−43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以√k +1=2，故k =0或k =43，经检验，当k=0时，l 1与C 2没有公共点；当k =43时，l 2与C 2没有公共点，综上，所求C 1的方程为y=−43|x|+2，答案第12页，总12页20.（1）{x|x >12}，（2）(0,2]，【解析】20.分析：(1)将a=1代入函数解析式，求得f(x)=|x +1|−|x −1|，利用零点分段将解析式化为f(x)={−2,x ≤−1,2x,−1<x <1,2,x ≥1.，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式f(x)>1的解集为{x|x>12}；(2)根据题中所给的x ∈(0,1)，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式f(x)>x 可以化为x ∈(0,1)时|ax −1|<1，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当a =1时，f(x)=|x +1|−|x −1|，即f(x)={−2,x ≤−1,2x,−1<x <1,2,x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x|x >12}，（2）当x ∈(0,1)时|x +1|−|ax −1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax −1|<1成立，若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax −1|≥1，若a>0，|ax −1|<1的解集为0<x <2a，所以2a≥1，故0<a ≤2，综上，a 的取值范围为(0,2]，。

2018普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题及答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则 A ．B ．C ．D2．已知集合，则 A ． B ． C ．D ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少1i2i 1iz -=++||z =0121{}220A x x x =-->A =R ð{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->}{}{|1|2x x x x ≤-≥B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和.若，，则 A ． B ． C ．D ．5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A ．B ．C ．D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5B ．6C ．7D ．8n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =3144AB AC -1344AB AC -3144AB AC +1344AB AC +M A N B M N 1725223FM FN ⋅9．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |= A ．B ．3C ．D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学新课标1卷(理科试卷)-精美解析版(2021年整理精品文档)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷）理科数学本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 2i1i1++-=z ,则=z （） A ．0 B ．21 C ．1 D ．21．【解析】()()()i i 22i2i 2i 1i 1i 12=+-=+-+-=z ，则1=z，选C ．2．已知集合}02|{2>--=x x x A ,则=A C R ( ）A ．}21|{<<-x xB ．}21|{≤≤-x xC ．}2|{}1|{>-<x x x xD ．}2|{}1|{≥-≤x x x x 2．【解析】=≤--=}02|{2x x x A C R }21|{≤≤-x x ，故选B ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面的结论中不正确的是（ ) A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例6%4% 30%60%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设前经济收入构成比例28%5% 30%37%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设后经济收入构成比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37％相当于建设前的74％,故选A ．4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4233S S S +=，21=a ,则=5a （）A ．12-B ．10-C ．10D ．124．【解析】令{}n a 的公差为d ，由4233S S S +=，21=a 得376)33(311-=⇒+=+d d a d a ,则10415-=+=d a a ，故选B ．5．设函数ax x a x x f +-+=23)1()(．若)(x f 为奇函数,则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为（）A ．x y 2-=B ．x y -=C ．x y 2=D ．x y =5．【解析】R x ∈,ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2x a -=0=，则1=a ，则x x x f +=3)(,13)(2+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ． 6．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=( ）A ．4143-B ．4341-C ．4143+D ．4341+ 6．【解析】AB 4341)(4121)21(21)(21-=-+=+=+=, 则4143-=，故选A ．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．172B ．52C ．3D ．27．【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．8．设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ,过点)0,2(-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点,则=⋅（）A ．5B ．6C ．7D ．8M (A A BDE8．【解析】由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x y 4)2(322，解得⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==44y x ,不妨记)4,4(),2,1(N M ．又F 为)0,1(，所以8)4,3()2,0(=⋅=⋅FN FM ，故选D ．9．已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，a x x f x g ++=)()(．若)(x g 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[)0,1-B ．[)+∞,0C ．[)+∞-,1D ．[)+∞,1 9．【解析】若)(x g 存在2个零点，即0)(=++a x x f 有2个不同的实数根，即)(x f y =与a x y --=的图像有两个交点,由图可知直线a x y --=不在直线1+-=x y 的上方即可,即1≤-a ，则1-≥a ．故选C ．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AC AB ,．ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为321,,p p p ，则（）A ．21p p =3p = D ．321p p p += 10．【解析】令ABC Rt ∆Ⅱ，Ⅲ对应的面积分别为321,,s s s ．则bc s 211=；8222123bc a s =-⎪⎭⎫ ⎝⎛=π；()8422122222322bc a c b s b s +-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭ ⎝=πππ，因为222a c b =+，所以bc s 212=．所以2121p p s s =⇔=，故选A ．11．已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为N M ,．若OMN ∆为直角三角形，=MN （）xA ．23 B ．3 C ．32 D ．4 11．【解析】如图所示,不妨记 90=∠OMF ，F 为)0,2(，渐近线为x y 33±=，所以 30=∠=∠NOF MOF ，则3tan ,3cos =∠==∠=MON OM MN MOF OF OM ，故选B ．12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ )A ．433 B ．332 C ．423 D ．2312．【解析】正方体中，连接顶点Q P N M ,,,，三棱锥MNP Q -为正三棱锥，侧棱与底面所成的角都相等，所以正方体的每条棱与平面MNP 所成的角均相等,不妨令平面//α平面MNP ．易知，当平面α截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF 时截面的面积可以取到最大值．不妨取)10(<<=x x AM ，则x BC ED AF 2===,)1(2x CD EF AB -===,MN CF //且2==MN CF ，等腰梯形ABCF 、DEFC 的高分别为)1(26x -和x 26,所以 )122(23262)2)1(2()1(262)22(2++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+=+=x x x x x x S S S DEFC ABCF ABCDEF ．当21=x 时，截面面积的最大值为4332323=⨯．故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为．13．【解析】可行域为ABC ∆及其内部，当直线223zx y +-=经过点)0,2(B 时,6max =z ．M N PQABC D EFFAB)1(2x -x 2EDx 2x 2)1(2x - )1(2x -14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若12+=n n a S ，则=6S ．14．【解析】由12111+==a S a 得11-=a ，当2≥n 时，121211+-+=-=--n n n n n a a S S a ，即21=-n na a ，所以{}n a 是等比数列，()()()()()63321684216-=-+-+-+-+-+-=S ．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．(用数字填写答案)15．【解析】恰有1位女生的选法有122412=C C 种，恰有2位女生的选法有41422=C C 种，所以不同的选法共有16种．16．已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=,则)(x f 的最小值是．16．【解析】因为)(x f 是奇函数，且)2()(π+=x f x f ，即周期为π2，所以只需要研究)(x f 在(]ππ,-上的图像．又)1)(cos 1cos 2(2)1cos cos 2(22cos 2cos 2)(2+-=-+=+='x x x x x x x f ，则)(x f 在(]ππ,-上的极值点为πππ,3,3-=x ，因为0)(,233)3()3(=-=-=-πππf f f ,所以=min )(x f 233-．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一）必考题：共60分． 17．（12分）在平面四边形ABCD 中， 90=∠ADC ， 45=∠A ，2=AB ，5=BD ．（1）求ADB ∠cos ； (2）若22=DC ，求BC ．17．【解析】（1）如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理ADBABA BD ∠=sin sin ，得52sin =∠ADB ， 90=∠ADC ,ADB ∠∴为锐角，AB523sin 1cos 2=∠-=∠∴ADB ADB ；（2） 90=∠ADC ,52sin )90cos(cos =∠=∠-=∠∴ADB ADB CDB ，若22=DC ，则在BCD ∆中，由余弦定理CDB DC BD DC BD BC ∠⋅⋅-+=cos 2222，得5522252825=⨯⨯⨯-+=BC ．18．（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且BF PF ⊥．（1）证明：平面⊥PEF 平面ABFD ；（2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．18．【解析】（1)证明：四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点,CD AB EF ////∴且EF BF ⊥，F PF EF BF PF =⊥ ,，⊥∴BF 平面PEF , ⊂BF 平面ABFD ,∴平面⊥PEF 平面ABFD ．（2）方法1：由（1)知⊥BF 平面PEF ，⊥∴BF PE ， AD BF //，AD PE ⊥∴．令正方形ABCD 的边长为2，1,2===ED DC PD ,322=-=∴DE PD PE ．作EF PO ⊥交EF 于点O ,连接OD ，由（1)知平面⊥PEF 平面ABFD ，⊂PO 平面PEF ，平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ,斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD ， PDO ∠∴等于DP 与平面ABFD 所成的角．2,1===EF CF PF ，222EF PF PE =+∴，即PF PE ⊥且 60=∠PFE ，∴在POF Rt ∆中，2323==PF OP ． ∴在POD Rt ∆中，43sin ==∠PD PO PDO ，即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43． ABPCFEDABPCFE DO方法2：作EF PO ⊥交EF 于点O ,连接OD ，由(1）知平面⊥PEF 平面ABFD ,⊂PO 平面PEF ,平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ，斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD , PDO ∠∴等于DP 与平面ABFD 所成的角，令正方形ABCD 的边长为2，)0(>=a a OF ，则a EO -=2，2221a OF PF PO -=-=,2223a PO PD DO +=-=，由222EO ED DO +=得22)2(13a a -+=+，解得21=a ． ∴23=PO ，2=PD ,则43sin ==∠PD PO PDO ,即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43．方法3:作EF PO ⊥交EF 于点O ,由（1）知平面⊥PEF 平面ABFD ，⊂PO 平面PEF ，平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ，以E 为坐标原点,令正方形ABCD 的边长为2，)0(>=a a OF ，则)0,0,1(),1,2,0(),0,2,0(2---D a a P F90=∠DPF ,0=⋅∴，即0)1,2,1()1,,0(22=--⋅--a a a a ，即0)1()2(2=---a a a ，解得21=a ．所以)23,23,1(=DP ,易知平面ABFD 的一个法向量为)1,0,0(=n ,故432123,cos =⨯==><，即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43．19．（12分）设椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为)0,2(．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2)设O 为坐标原点,证明：OMB OMA ∠=∠．19．【解析】(1）右焦点为)0,1(F ，当l 与x 轴垂直时有1:=x l ，则A 为)22,1(或)22,1(-，直线AM 的方程为：)2(22--=x y 或)2(22-=x y ；（2）方法1:令直线BM AM ,的斜率分别为21,k k ，①当l 与x 轴重合时有021==k k ，所以∠=∠OMA ②当l 与x 轴不重合时，令,1:-=x my l ,(),,(2211y x B y x A 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x x my 得012)2(22=-++my y m ，则21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，因为21k k +)1)(1()(2112221212122112211--+-=-+-=-+-=my my y y y my my y my y x y x y ，所以21k k +0)1)(1(22222122=--+--+-=m y m y m mm m ，即直线BM AM ,的倾斜角互补，得OMB OMA ∠=∠．综合①②所述，得OMB OMA ∠=∠．方法2：令直线BM AM ,的斜率分别为21,k k ，①由（1)知，当l 与x 轴垂直时有21k k -=，即直线BM AM ,的倾斜角互补，得OMB OMA ∠=∠;②当l 不与x 轴垂直时,令),1(:-=x k y l ),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+-+k x k x k ,则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ，因为21k k +)2)(2(]4)(32[2)1(2)1(2221212122112211--++-=--+--=-+-=x x x x x x k x x k x x k x y x y ，所以=+21k k 0)2)(2(]4124312)22(2[212222=--++-+-x x k k k k k , 即直线BM AM ,的倾斜角互补,得OMB OMA ∠=∠．综合①②所述，得OMB OMA ∠=∠．20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?20．【解析】（1）由n 次独立重复事件的概率计算得182182220)1(190)1()(p p p p C p f -=-=，)101()1(380)1(18190)1(380)(1717218p p p p p p p p f --=-⨯--=' 且10<<p ,0)(='∴p f 时，得101=p ．又当)101,0(∈p 时，0)(>'p f ，)(p f 单调递增；当)1,101(∈p 时,0)(<'p f ，)(p f 单调递减，所以101=p 是)(p f 在)1,0(上唯一的极大值点,也是最大值点,即1010=p ．（2）（ⅰ）已检验的20件产品的检验费用为40220=⨯元．该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布)101,180(B ，估计不合格品件数为18101180=⨯，若不对该箱余下的产品作检验，余下的产品的赔偿费用估计为4502518=⨯元．所以,若不对该箱余下的产品作检验,则49045040=+=EX ．（ⅱ)若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用，400218040=⨯+=EX ．因为400490>,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验．21．（12分）已知函数x a x xx f ln 1)(+-=．（1）讨论)(x f 的单调性；(2）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明:2)()(2121-<--a x x x f x f ． 21．【解析】（1）)0(111)(222>-+-=+--='x x ax x x a x x f 令1)(2-+-=ax x x g ,42-=∆a ．①]2,2[-∈a 时,0≤∆，0)(≤'x f 恒成立，所以)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减．②2-<a 或2>a 时，0>∆．由0)(=x g 即0)(='x f 解得24,242221-+=--=a a x a a x ，且1,2121==+x x a x x ． 2-<a 时，0,021<<x x ，0)(<'x f 恒成立，所以)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减． 2>a 时，012>>x x ，在),(),,0(21+∞x x 上0)(<'x f ,)(x f 单调递减；在),(21x x 上0)(>'x f ，)(x f 单调递增．综上所述，2≤a 时，)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减；2>a 时,)(x f 在),24(),24,0(22+∞-+--a a a a 上递减，在)24,24(22-+--a a a a 上递增．（2)证明:方法1:由（1）知2>a 时)(x f 存在两个极值点，且012>>x x ．欲证明2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于证明))(2()()(2121x x a x f x f -->-．即证明2211)2()()2()(x a x f x a x f -->--,其中21,x x 是方程012=-+-ax x 的两个根．令t a t f t h )2()()(--=，则满足012=-+-at t ,即a tt =+1．)1(2)21(1)1(11)2(111)2()()(22t t t t t t t t a t a t a t f t h +-=-+-++--=--+--=--'=' 21>=+a t t ，0)1(2)(<+-='∴tt t h ，t a t f t h )2()()(--=在),0(+∞∈t 上为减函数．因为012>>x x ，所以)()(21x h x h >，即2211)2()()2()(x a x f x a x f -->--，得证．方法2:由(1）知012>>x x ，221>=+a x x ,121=x x ，从而有0112>>>x x ．212221112121ln 1ln 1)()(x x x a x x x a x x x x x f x f --+-+-=--212121122121ln )11)(()()(x x x x a x x x x x x x f x f -++-=--∴2121ln 2x x x x a -+-=，要证明2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于证明2ln 22121-<-+-a x x x x a ，即证明2121ln x x x x ->． 121=x x ，∴只需证明11211ln x x x ->，即证明01ln 2111>+-x x x 成立即可．令)1,0(,1ln 2)(∈+-=t t t t t ϕ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='tt t t t t t t ϕ，)(t ϕ在)1,0(上为减函数．所以0)1()(=>ϕϕt ,根据)1,0(1∈x ，证得01ln 2111>+-x x x 成立，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2||+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ．(1）求2C 的直角坐标方程；（2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程．22．【解析】(1）θρθρsin ,cos ==y x ，所以2C 的直角坐标方程为03222=-++x y x ;（2）曲线1C :⎩⎨⎧<+-≥+=0,20,2x kx x kx y ，其图像是关于y 轴对称且以)2,0(为端点的两条射线． 2C ：4)1(22=++y x ,其图像是以)0,1(-为圆心，半径为2若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则0<k 且)0(2≥+=x kx y 与2C 相切(如图）．由2122=++-k k 且0<k ，解得34-=k ，则1C 的方程为：34-=y 23．［选修4—5:不等式选讲］（10分）已知11)(--+=ax x x f ．(1）当1=a 时,求不等式1)(>x f 的解集；(2)若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立,求a 的取值范围．23．【解析】（1)当1=a 时,11)(--+=x x x f ，则1-≤x 时，2)(-=x f ，则1)(>x f 无解；11<<-x 时，x x f 2)(=，则1)(>x f 的解集为)1,21(; 1≥x 时，2)(=x f ，则1)(>x f 的解集为),1[+∞．综上所述,所求解集为),21(+∞．(2）)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，即x ax x >--+11，则11<-ax 成立．所以x a ax 20111<<⇒<-<-．因为10<<x 时，有),2(2+∞∈x ，所以20≤<a ．。

2018年全国卷一理科数学(精品解析版)

为 (2, 0) ．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB ．
20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p 1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 ．
A．
3
AB
1
AC
C．
4 3
4
AB
4 1
4
AC
B．
1
AB
3
AC
4
D．
1 4
AB
4 3
4
AC
7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，
圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短
C．1 ）
B．x 1 x 2
D． 2
C．x | x 1 x | x 2
D．x | x 1 x | x 2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF . （1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．

(完整版)2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)

理科数学试题第4页（共17页）
2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学试题答案（详细解析版）
一、选择题 1.【答案】C 【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到正确结果.
，根据复数模的公式，得到
详解：因为
，
，从而选出
所以பைடு நூலகம்
，故选 C.
点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得
每件不合格品支付 25 元的赔偿费用. （ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求 EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产
品作检验？
21．（12 分）
已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
所以所求的最短路径的长度为
，故选 B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两
个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平
面图形的相关特征求得结果.
8.【答案】D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 . （1）求 cosADB ；（2）若 DC 2 2 ，求 BC .

2018年高考新课标I卷_理科数学答案_(精美版)

13
16
．【答案】 − 3 23
max
z ．【解析】可行域为 ∆ABC 及其内部，当直线 y = − 3 x + 经过点 B (2,0) 时， z 2 2
y 1 A 1O
=6
．
－－1
C
B 2
x
第2页共8页
14
．【解析】由 a
n
1
= S1 = 2a1 + 1
6
得a
1
= −1
，当 n ≥ 2 时，a
☆
n
= S n − S n −1 = 2a n + 1 − 2a n −1 + 1
，即 aa
n
=2
所以 {a }是等比数列， S = −1 + (− 2) + (− 4) + (− 8) + (− 16) + (− 32) = −63 ． 15．【解析】恰有 1 位女生的选法有 C C = 12 种，恰有 2 位女生的选法有 C C = 4 种，所以不同的选法共有 16 种．【解析】因为 f ( x) 是奇函数，且 f ( x) = f ( x + 2π ) ，即周期为 2π ，所以只需要研究 f ( x) 在 (− π , π ] 上 16．的图像．又 f ′( x) = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2(2 cos x + cos x − 1) = 2(2 cos x − 1)(cos x + 1) ，则 f ( x) 在
，

第4页共8页
☆
19
．【解析】（1）右焦点为 F (1,0) ，当 l 与 x 轴垂直时有 l : x = 1 ，则 A 为 (1, 直线 AM 的方程为：或；（2）方法 1：令直线 AM , BM 的斜率分别为 k , k ， ①当 l 与 x 轴重合时有 k = k = 0 ，所以 ∠OMA = ∠OMB = 0 ； ②当 l 与 x 轴不重合时，令 l : my = x − 1, A( x , y ), B( x , y ) ，

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案

2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分）解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--．由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+．从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =．（2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭．（2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1；若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤．综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分）解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥．由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=．解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--．当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-．当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+．由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>；当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤．综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4．又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==；当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ．设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分）解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±．另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=，两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-．由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <．当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >．综上可得，当10x -<<时，()f x <0；当x > 0时，()0f x >．（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++．由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++．如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>；当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (新课标Ⅰ卷) 精校版

（2） ,∴ ，∴ ,∴ ,∴ .∴ .
18.
答案：
（1）略；（2） .
解答：
（1）分别为的中点，则，∴ ，
又，，∴ 平面，
平面，∴平面平面 .
（2），，∴ ，
又，，∴ 平面，∴ ，
设，则，，∴ ，
过作交于点，
由平面平面，
∴ 平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
A． B． C． D．
11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）
A． B．3C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则ห้องสมุดไป่ตู้截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若满足约束条件，则的最大值为________．
14．记为数列的前项和．若，则 ________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
A．5B．6C．7D．8
9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅰ卷,答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样4、已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x 5、执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( )A 、[－3,4]B 、[－5,2]C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 37、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、18+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π9、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、810、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

高考最新-2018高考全国卷Ⅰ数学(理)试题(word版) 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数(1)y x x x =-+的定义域为（）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）st OA ．st Ost OstOB ．C ．D ．3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b cC ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．23C ．33D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A ．96B ．84C ．60D ．482018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上．．．．．作答无效．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；D BCA（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 —i1•设z2i ，则|z 卜1 +i1A. 0B . —C. 1D. 、222.已知集合 A ={x x 2 —x —2 ，则 e R A =A. <X —1£X <2}B. {X —1^X^2}C.「x|x ：：：-1lU 「x|x 2?D .〈x|x_-1f|x_2l3 .某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 .设S n 为等差数列的前n 项和，若3S^ =S 2 S 4, a^2，则二养逋收人种植收人第三产业收入其养殖收入幫三产业收人种植收人其他收入35•设函数f(x) =X 3・(a -1)x 2 ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为6•在△ ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，贝U EB 二A . 2 ..17B . 2.5C. 3D. 28 .设抛物线C: y 2=4x 的焦点为F , 过点(-22, 0)且斜率为三的直线与C 交于M3N 两点,则T M 材A . 5B . 6C. 7D .810 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为ABC 勺斜边BC 直角边 AB AC △ ABC 勺三边所围成的区域记为 I ，黑色部分记为II ,其表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中, AO7.某圆柱的高为 2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点最短路径的长度为A . 一12B . -10C. 10D. 12A . y = -2xB . y - -xC. y = 2xD . y = xA . 3A^_1AC 4 4 1 3 TB . AB AC 4 43 1斗 C. — AB AC4 4 1 3T D. — AB AC 4 4 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱 9.已知函数 f (x)二Jn x , x 二0, x 0,g(x) = f (x) x a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A . [ -1, 0)B . [0 ,D. [1 ,直角三角形余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自 I ,II , III 的概率分别记为 P 1, P 2, Q,则A. p 1=p 2P 1=P 3C. P 2=P 3D. P 1=P 2 + P2x 2 y 2 =1 , O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M N.若厶OMF 为直角三角形，贝U | MN =11 .已知双曲线 c ：3B. 3 C. 2.3 D. 4A.12•已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此止方体所得截面面积的最大值为A.兰B.兰C. 31D•乜4342、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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