高二数学频率与概率1
新教材人教版高中数学必修第二册 第10章 10.3 频率与概率
第十章 概 率
游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性 或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进 行比较．
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第十章 概 率
有一种游戏是这样的：在一 个大转盘上，盘面被均匀地分成 12 份，分别 写有 1～12 这 12 个数字(如图所示)，其中 2， 4，6，8，10，12 这 6 个区域对应的奖品是文 具盒，而 1，3，5，7，9，11 这 6 个区域对应的奖品是随身听．游 戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转 盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在 4 所在 区域，则还要往前前进 4 格，到标有 8 的区域，此时 8 区域对 应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时， 得到的奖品是随身听的概率是多少？
P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可 以用频率 第十章 概 率
■名师点拨
频率与概率的区别与联系
名称
区别
联系
本身是随机的，在试验之前无法 (1)频率是概率的近似值，
确定，大多会随着试验次数的改 随着试验次数的增加，频 频率
变而改变．做同样次数的重复试 率会越来越接近概率
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第十章 概 率
随机事件概率的理解及求法 (1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了 随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频 率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看 作随机事件的概率． (2)求法：通过公式 fn(A)＝nnA＝mn 计算出频率，再由频率估算概 率．
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第十章 概 率
高二数学随机事件的概率详细知识点总结2022
高二数学随机事件的概率详细知识点总结2022二数学知识点总结2021有哪些?马上要数学考试了，同学们复习好了吗?特别是上了高二的同学，高二数学难度大了不少，是不是觉得压力很大?一起来看看高二数学知识点总结2021，欢迎查阅!高二数学随机事件的概率知识点总结一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A 出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高二数学《导数》知识点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作 .2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ 。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果 ,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根; ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
第04讲 随机事件、频率与概率 (精讲)(含答案解析)
第04讲随机事件、频率与概率(精讲）第04讲随机事件、频率与概率（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：随机事件之间关系的判断题型二：随机事件的频率与概率题型三：互斥事件与对立事件的概率第四部分：高考真题感悟知识点一：概率与频率一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率()n f A 会逐渐稳定于事件A 发生的概率()P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率()n f A 来估计概率()P A .知识点二：事件的运算定义符号表示图示并事件事件A 与事件B 至少一个发生，称这个事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件）A B ⋃或者A B+交事件事件A 与事件B 同时发生，称这个事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件）A B ⋂或者AB知识点三：事件的关系定义符号表示图示包含关系一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ）B A Ê（或A B ⊆）互斥事件一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A B ⋂是一个不可能事件，即A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互斥（或互不相容）A B ⋂=∅对立事件一般地，如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B =Ω ，且A B ⋂=∅，那么称事件A 与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为AA B =Ω ，且A B ⋂=∅.（2022·全国·高一课时练习）1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）2．命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·全国·高一课时练习）3．给出下列说法：①若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 为对立事件；②把3张红桃J ，Q ，K 随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A =“甲得红桃J ”与事件B =“乙得红桃J ”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·全国·高一单元测试）4．已知A 与B 是互斥事件，且()0.4P A =，()0.2P B =，则()P A B = （）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.0（2022·全国·高一课时练习）5．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A 表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示A B ⋂，A B ⋃．题型一：随机事件之间关系的判断典型例题例题1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））6．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A =“中靶”，事件B =“击中环数大于5”，事件C =“击中环数大于1且小于6”，事件D =“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（）A ．B 与C 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与D 互为对立D ．A 与D 互斥例题2．（2022·全国·高一课时练习）7．下列结论正确的是（）A ．若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则()0P B =B ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A 与B C ⋃互斥C ．若事件A 与B 对立，则()1P A B ⋃=D ．若事件A 与B 互斥，则它们的对立事件也互斥例题3．（2022·全国·高一课时练习）8．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品．下列选项正确的是（）A ．ABC = B ．BD 是必然事件C ．A B C = D ．A D C= 同类题型归类练（2022·全国·高一单元测试）9．若随机事件A ，B 互斥，且()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为（）A ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,23⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022·河南安阳·高一期末）10．从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，事件D 为“第一件是次品”则下列结论正确的是（）A ．B 与D 相互独立B ．B 与C 相互对立C ．AD ⊆D ．A C ⋂=∅（2022·河北·高一阶段练习）11．从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设{A =三件产品全不是次品}，{B =三件产品全是次品},{C =三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是（）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个都互斥D ．A 与B 对立题型二：随机事件的频率与概率典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）12．将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为（）A ．0.14，0.37B ．114，127C ．0.03，0.06D ．314，637例题2．（2022·河南·高三阶段练习（理））13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423A．157石B．164石C．170石D．280石例题3．（2022·全国·高一专题练习）14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.例题4．（2022·全国·高一单元测试）15．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.同类题型归类练（2022·甘肃·兰州五十一中高一期末）16．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.48，0.48B．0.5，0.5C．0.48，0.5D．0.5，0.48（2022·全国·高三专题练习）17．某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318C ．0635．D ．0648．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期末）18．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.（2022·全国·高二课时练习）19．为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．批次12345678每批粒数5101307001500200030005000发芽粒数491166371370178627094490(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？（2022·湖南·高一课时练习）20．某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？题型三：互斥事件与对立事件的概率典型例题例题1．（2022·河北唐山·高一期末）21．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为（）A ．0.18B ．0.7C ．0.12D ．0.58例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））22．甲、乙两人打台球，每局甲胜的概率为34，若采取三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则比赛三局结束的概率为（）A ．38B ．427C ．49D ．29例题3．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）23．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为21,32，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（）A ．318B ．518C ．13D ．19例题4．（2022·全国·高一课时练习）24．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0,3,2,5，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是（）A ．124B ．2324C ．116D ．1516同类题型归类练（2022·河南商丘·高一期末）25．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A ，取出黑球为事件B ，随机事件C 与B 对立.若()0.5P A B +=，则()P C =（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8（2022·河南安阳·高一期末）26．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（）A．9100B．320C．19100D．15（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）27．甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26B．0.72C．0.74D．0.98（2022·山东聊城·高一期末）28．甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为（）A．0.94B．0.90C．0.56D．0.38（2020·海南·高考真题）29．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%（2020·天津·高考真题）30．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．参考答案：1．A【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A 与B ，A 与C 均相互独立．而A 与B ，A 与C 均能同时发生，从而不互斥．方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为()()()()()()()()()(){()()()()()121314152324253435452131415132，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()}4252435354，，，，，用古典概型概率计算公式易得12312382(),(),()205205205P A P B P C ======．而事件AB 表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以339()()()5525P AB P A P B =⨯==，所以A 与B 相互独立：同理，事件AC 表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，326()()()5525P AC P A P C =⨯==，所以A 与C 相互独立．故选:A ．2．A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解：若事件A 与事件B 是对立事件，则事件A 与事件B 一定是互斥事件；若事件A 与事件B 是互斥事件，不一定得到事件A 与事件B 对立，故命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件；故选：A 3．C【分析】根据对立事件的知识对3个说法进行分析，从而确定正确答案.【详解】①A ，B 为对立事件，需满足()()1P A P B +=和A B ⋂=∅，故①错误；②事件A =“甲得红桃J ”的对立事件为“甲未得红桃J ”，即“乙或丙得红桃J ”，故②错误；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“两次都中靶”，则其对立事件为“两次都不中靶”，故③正确．所以说法正确的个数为1个.故选：C4．C【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式结合题意求解即可【详解】由题意知A ，B 是互斥事件，所以()()()P A B P A P B =+ ，且()()110.40.6P A P A =-=-=，则()0.60.20.8P A B ⋃=+=.故选：C.5．A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．【分析】先列举出事件A ，B 的样本点，再利用事件间运算的定义求解．【详解】由题可得：转盘①转出的颜色红黄蓝转盘②转出的颜色蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）红（红，红）（黄，红）（蓝，红）绿（红，绿）（黄，绿）（蓝，绿）紫（红，紫）（黄，紫）（蓝，紫）由表可知，共有15种等可能的结果，其中A ={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫)}，B ={(红,绿),(黄,绿),(蓝,绿)}，所以A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．6．A【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可【详解】对于AB ，事件B 和C 不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C 互斥，不对立，所以A 正确，B 错误，对于CD ，事件A 与D 有可能同时发生，所以A 与D 既不互斥，也不对立，所以CD 错误，故选：A 7．ABC【分析】根据对立事件的概念，可判断AC 正确；根据互斥事件的特征，可判断B 正确，D 错误；【详解】若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则A 为必然事件，故B 为不可能事件，则()0P B =，故A 正确；若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A ，B ，C 不能同时发生，则事件A 与B C ⋃也不可能同时发生，则事件A 与B C ⋃互斥，故B 正确；若事件A 与B 对立，则()()()1P A B P A P B =+= ，故C 正确；若事件A ，B 互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D 错误．故选：ABC ．8．AB【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.【详解】对于A 选项，事件A B ⋃指至少有一件次品，即事件C ，故A 正确；对于B 选项，事件B D 指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B 正确；对于C 选项，事件A 和B 不可能同时发生，即事件A B ⋂=∅，故C 错误；对于D 选项，事件A D 指恰有一件次品，即事件A ，而事件A 和C 不同，故D 错误．故选：AB ．9．A【分析】根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即0210341221a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得4332a <≤，所以实数a 的取值范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.10．B【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件全是次品，C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，D为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.由此可知A与B是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，B与C对立故选:B.11．ABC【分析】根据已知条件，根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解．【详解】解：由题意可知，{C=三件产品有次品，但不全是次品}，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，{A=三件产品全不是次品}，即3件产品全是正品，{B=三件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，故A，B正确，A与B互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”两个事件，故A与B不对立，故C正确，D错误，故选：ABC．12．A【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
高二数学--概率与统计-(1)
高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。
频率与概率(课件)高二数学课件(沪教版2020必修第三册)
因之外 ， 是否还有其他解释呢？
实际上 ， 概率可以从频率的角度来检验 ． 频率也是一个生活中常
用的词 ． 如果一个随机试验只有两种可能的结果 ， 一个是“ 成
功 ”， 概率是 P （ ０＜ P ＜１ ）， 一个是 “ 失败 ”， 概率是
１－ P ， 那么这个随机试验称为 伯努利试验 ． 如果抛掷一枚硬币 ，
注意 ， 伯努利大数定律的成立有一个条件 ， 即 “ 假设我们可 以独立地重复一个伯努利试验 ”， 这个条件非常关键 ． 抛掷硬币 、 掷骰子这类随机试验可以独立地重复 ， 然而许多随机现象是不可 以独立地重复的 ． 例如 ， 某人今年会不会得流感是随机的 ， 每个
人的高考成绩也是随机的 ， 但这些现象都不能独立地重复 ． 可以 独立地重复的才称得上是一个试验 ． 虽然人们对于不能独立地重 复的随机现象也谈论概率 ， 但那是主观的概率 ， 并不能检验 ．
6、下面是某批乒乓球质量检查结果表： （1）在上表中填上优等品出现的频率； （2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
抽取球数 优等品数 优等品出现的频率
50
100
200
500
1 000
45
92
194
470
954
2 000 1 902
【解析】如下表所示： （2）从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95；
机的数
通过大量的观察 ， 人们发现了下面这个定律 ， 它说明频率具有稳定性 ， 在试验次数足够多时 ， 会稳定地趋向于概率 ． 这给出了由概率来表示 可能性大小的理由 ， 或者说概率在某种意义上是可以检验的 ．
这个结论之所以被称为定律 ， 或许是因为它直观地像是一个自然定 律 ． 它很早就被数学家观察到 ， 并在瑞士数学家雅各布 ·伯努利 １ ７１３ 年出版的书中首次给出了证明 ．
频率与概率重难点解析版
突破10.3 频率与概率一、学情分析二、学法指导与考点梳理内容考点关注点概率与频率事件的关系和运算互斥事件、对立事件古典概型概率求值概率的基本性质概率性质、公式事件的相互独立性求概率三、重难点题型突破考点1 随机事件的关系与性质例1．(1)、（2022·全国·高二单元测试）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）. A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．【答案】A【解析】【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A(2)、（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）（多选题）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）A ．m 的值是32%B ．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C ．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D ．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A 选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为97.6%，即可求解；对B 选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C 选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D 选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A 选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则24.0%32.9%8.7%97.6%m +++=，所以32%m =，故A 正确；对B 选项，随机抽取100名观众，可能有10024.0%24⨯=人评价五星，但不是一定的，故B 错误； 对C 选项，由A 选项，评价是三星或五星的概率约为32%24.0%56%+=，故C 正确；对D 选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D 正确； 故选：ACD【变式训练1-1】、（2022·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是 A ．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜 B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜 C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜 D ．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD 【解析】分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可. 【详解】选项A 中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A 符合题意;选项B 中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B 不符合题意;选项C 中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C 符合题意;选项D 中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D 符合题意. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.【变式训练1-2】、（2022·全国·高二课时练习）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）A ．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；B ．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；C ．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；D ．以上说法都不对． 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的定义判断即可； 【详解】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C 正确；如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为10090%90⨯=人，不一定必有90人被治愈，故A 错误；如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为()21190%99%--=，也可能不被治愈，故B 错误； 故选：C考点2 古典概型例2．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的四位数能被3整除”，B =“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A ．()38P A =B ．()13P B =C ．()1116P A B ⋃=D ．()316P AB =【答案】ACD 【解析】 【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项． 【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是4216=，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是246C =，所以63()168P A ==， 能被5带除的四位数个数为328=，81()162P B ==，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是133C =，概率为3()16P AB =， 31311()()()()821616P A B P A P B P AB =+-=+-=．故选：ACD ．【变式训练2-1】、（2022·全国·高一单元测试）1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________. 【答案】23【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求出不超过30的所有质数，再利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】根据题意可知，不共有超过30的所有质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选取2个不同的数有21045C=种，和超过30的共有(2,29),(3,29)(5,29)(7,29)(11,29)(13,29)(17,29)(19,29)(23,29)(11,23)(13,23)(17,23)(19,23)(13,19)(17,19)15种，所以两数之和不超过30的概率是45152 453-=．【点睛】本题主要考查古典概型概率的求解．考点3 随机模拟例3．（2022·河南·模拟预测（理））在圆224x y +=内随机地取一点(,)P x y ，则该点坐标满足(2)(21)0y x x y -++≤的概率为（ ） A ．12B ．22C ．6πD ．510π 【答案】A 【解析】 【分析】由目标式得20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=、210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可得概率.【详解】由20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(,)P x y 在阴影部分，而20y x -=过圆心(0,0)，且20y x -=与210x y ++=相互垂直，所以阴影部分为圆面积的12，故概率为12. 故选：A【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm 的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（ ）A ．2500cmB ．2560cmC ．2820cmD ．21040cm【答案】B 【解析】 【分析】设“福”字的面积为2cm x ，由几何概型建立比例关系，可以求出. 【详解】设“福”字的面积为2cm x ， 根据几何概型可知21006510040x-=，解得()2560cm x =. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 考点4 概率统计的综合应用例4．（2022·全国·高二课时练习）甲乙两名选手在“10米气步枪”训练赛上的成绩（环数）如茎叶图所示．(1)成绩不低于590环即可通过预选赛进入初赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性，据此估计哪位选手更有可能通过预选赛；(2)按往年记录，成绩不低于594环即有大概率进入决赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性，据此估计哪位选手更有可能进入决赛． 【答案】(1)乙选手 (2)甲选手 【解析】 【分析】（1）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于590环的次数，可得到概率，进而比较得出结果； （2）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于594环的次数，可得到概率，进而比较得出结果；(1)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为8 15，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为102 153=，28315>，所以，乙选手更有可能通过预选赛．(2)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为62 155=，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为2 15，22515>，所以，甲选手更有可能进入决赛．【变式训练4-1】、（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））家庭教育是现代基础教育必不可少的一个重要组成部分，家庭教育指导师是一个新兴的行业.因为疫情的影响，某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.9 0.8 0.7 0.6听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50 20 10 20假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率；(2)若一位学员听课4课时，求该培训班每课时所获得的平均利润.【答案】(1)3 10(2)25元【解析】【分析】（1）根据样本数据中，消费三次及以上的频数除以样本容量可得；（2）根据收费标准直接计算出学费，用学费减去成本费，然后除以4可得.(1)由题知，在100名学员中听课三次及以上的有30人， 故1位学员消费三次及以上的概率大约为30310010=. (2)当一位学员听课4课时时，学费为100(0.90.80.70.6)300⨯+++=元， 网课成本共504200⨯=元，所以培训班每课时所获得的平均利润为300200254-=元.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2022·全国·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A =“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）A ．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次B ．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次C ．抛掷硬币1000次，事件A 发生的频率一定等于0.5D ．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系可得答案. 【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A 发生的次数是随机事件，故ABC 错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小； 故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）独立地重复一个随机试验()*,1n n N n ∈≥次，设随机事件A 发生的频率为()f n ，随机事件A 发生的概率为P ，有如下两个判断：①如果(){},1f n n N n *∈≥是单元素集，则1P =；②集合(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，其中（ ）A ．①正确，②正确B ．①错误，②正确C ．①正确，②错误D ．①错误，②错误【答案】B 【解析】 【分析】对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论. 【详解】对于①，比如定义随机试验：从10个红球中任意抽取3个球，定义随机事件:A 三个球中有一个白球，则0P =，且(){}{},10f n n N n *∈≥=，①错；对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，因此，(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，②对.故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】【分析】由频率和概率的定义可得答案.【详解】不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率是由试验的次数决定的；故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错. 故选：C.4．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）下列说法错误的是（）A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为1 3B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为1 6C．若A，B为两个任意事件，则事件A B+对立事件是事件A，B都发生D．试验次数足够多，事件A发生的频率其实就是事件A发生的概率【答案】AD【解析】【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为2142P==，故A错；对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有(1,1),(2,2),,(6,6)，6个基本事件，故由古典概型可知61366P==，故B正确；对于C，和事件A B+发生，就是A，B事件至少一个发生，它的对立事件就是A，B事件都不发生，即事件A，B都发生，故C正确；对于D，试验次数足够多，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近，不一定是事件A发生的概率，故D错误.故选：AD5．（2022·山东滨州·高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】110##0.1 【解析】【分析】设该校有a 名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过2h 的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案．【详解】解：设该校有a 名同学，则约有0.3a 的学生近视，约有0.4a 的学生每天玩手机超过2h ，且每天玩手机超过2h 的学生中近视的有0.40.60.24a a ⨯=的学生，所以有0.6a 的学生每天玩手机不超过2h 且其中有0.30.240.06a a a -=的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.0610.610a P a ==． 故答案为：110． 6．（2022·全国·高二课时练习）根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%．某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于______副．【答案】225【解析】【分析】根据题中给出的近视率，估算出近视人数，进而估算出应带的眼镜数【详解】由已知得，该学校需要佩戴眼镜的人数大概为：60037.4%224.4225⨯=<（人），所以，该眼镜商应带眼镜不少于225副故答案为：2257．（2021·全国·高一课时练习）VBA （Visual Basic for Application ）是Excel 自带的一种程序设计语言，它具有一般程序设计语言所具有的功能，可由手工写入或宏记录器两种方式生成．使用VBA 宏记录器无须亲自写VBA 的代码，在计算机内会自动生成VBA 的代码．你只要打开宏记录器，做1次你所需要的操作．例如，画1个经常要用的表格，宏记录器会用代码记录下你的每一步操作，操作完成后，保存为一个叫宏的文件．下次再做同样的事，你只要执行该文件，就可以自动画出已设计好的表格．当然，如果没有相关记录，就要靠人工编写VBA 程序来弥补．如图，在Excel 工作表中，选择“开发工具/VisualBasic 编辑器”．在VB 编辑器窗口中选择“工具/宏”，在弹出的对话框中，在“宏名称”栏内输入宏的名称，如“抛掷硬币”，单击“创建”，出现宏主体语句Sub 和End Sub ，输入你的程序后按F5即可运行．如不满意，可随时修改．当抛掷次数为10000时，可得出现正面的频率为0.4944（你的模拟结果可能与此不同），并填写下表：模拟次数正面向上的频率10100100050001000050000100000500000【答案】见解析【解析】【分析】根据模拟结果直接求出频率即可.【详解】我的试验结果如下表：模拟次数正面向上的频率10 0.6100 0.511000 0.4995000 0.49610000 0.501050000 0.5066100000 0.4996500000 0.50062随着试验次数的增加，正面向上的频率越来越稳定在0.5附近，即试验次数越多，概率的估计值就越来越准确.。
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第五章统计与概率5.3.4频率与概率同步习题(含答案)
5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：时间2016年2017年2018年2019年出生婴儿数21840230702009419982 出生男婴数11453120311029710242(2)该市男婴出生的概率约为多少？知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．137．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：“满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．13159．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：赔付金额(元)01000200030004000 车辆数500130100150120(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.63．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码12345678910 取到的次数101188610189119A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.374．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.456．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )A．甲公司B．乙公司C．甲与乙公司D．以上都对二、多项选择题9．下列说法中，正确的有( )A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小B．百分率是频率，但不是概率C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值10．下列说法正确的是( )A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：法正确的是( )A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067B．估计她得60～69分的概率约为0.150C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.10812．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大三、填空题13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．四、解答题17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[85,90)[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)甲机床81240328 乙机床7184029 6(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn答案 A解析根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解(1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：(2)该市男婴出生的概率约为多少？解(1)2016年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.52.知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案 D解析A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．解不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．13答案 A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为2 5 .7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg答案 B解析由题意可得，该批垫片中非优质品约为5280×500≈8.929 kg.8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 21001000 “满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．1315答案 C解析由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为33004500＝1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.故选C．9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：落在桌面的数字1234 5 频数3218151322答案0.35解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为35100＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．答案0.4解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．答案1000解析根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．解(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为15 29.15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：错误!解(1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600＝23.(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000＝3 10.(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2＝13[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝13(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c ＝0时，有s2＝80000.易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错分析由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．答案0.5正解通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．易错分析(1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．答案1 4正解20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案 D解析抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.6 答案 B解析因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为3 5，而不能说概率为35.3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数101188610189119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37答案 A解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f ＝53100＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.4．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增大，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数的差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数的附近摆动并趋于稳定 答案 D解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，随着n 的逐渐增加，频率f (n )逐渐趋近于概率．5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定答案 A解析概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③答案 A解析概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有。
人教A版(2019)数学必修(第二册)：10.3 频率与概率 课件(共98张PPT)
【解析】选B。对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都 是 1 ，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数
2
之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲
胜的概率小，游戏不公平。
10.3.2 随机模拟
1.产生随机数的方法 （1）利用计算器或计算机软件产生随机数。 （2）构建模拟试验产生随机数。 2.蒙特卡洛方法 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。
提示：区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察
某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）=
nA为
n
事件A出现的频率。
（2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量。 （3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化， 概率是一个定值，是某事件的固有属性。
【思维·引】根据概率的意义和概率与频率的联系解 题。
【解析】选D。一对夫妇生两个小孩可能是（男，男）， （男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确； 中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时， 可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者 都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去 摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到 奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确。
【解析】选B。做n次随机试验，事件A发生了m次，则 事件A发生的频率为mn 。如果多次进行试验，事件A发 生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事
件A的概率。故 8 ＝为4 事件A的频率。
10 5
3.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则 下列解释正确的是（ ）
高中数学频率与概率教案
高中数学频率与概率教案
教学目标：
1. 了解频率与概率的概念及其差异；
2. 掌握如何计算频率及概率；
3. 能够熟练运用频率与概率解决实际问题。
教学重点：
1. 频率的计算方法；
2. 概率的计算方法；
3. 实际问题中频率与概率的应用。
教学难点：
1. 如何理解频率与概率的区别；
2. 如何应用频率与概率解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备多媒体课件，展示频率与概率的概念；
2. 准备小组练习题，帮助学生巩固所学知识；
3. 准备实际问题，让学生运用频率与概率解决问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生讨论频率与概率的含义，引出学习本课内容的目的。
二、学习（30分钟）
1. 教师讲解频率的概念及计算方法，并通过例题演示如何计算频率；
2. 教师讲解概率的概念及计算方法，并通过例题演示如何计算概率；
3. 学生跟随教师一起做练习题，巩固所学内容。
三、实践（15分钟）
1. 学生分组解决实际问题，运用频率与概率来分析和解决问题；
2. 学生展示解决问题的思路和方法。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，提醒学生注意频率与概率在实际问题中的应用。
五、作业（5分钟）
布置作业：练习册上相关题目的完成。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够理解频率与概率的概念及其在实际问题中的应用，掌握计算频率与概率的方法，并能够熟练应用于解决问题。
在教学中要注重引导学生思考、合作解决问题，激发他们对数学的兴趣和学习热情。
人教版高中数学必修第二册10.3频率与概率 PPT课件
显然正确．
[答案]
A
题型二
频率估计概率
[典例2]一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的
男婴数如下表所示：
（1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
（2）由 = 计算频率fn（A）（n为试验的总次数）
（3）由频率fn（A）估计概率P（A）.
• 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了
随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，
当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够
多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
题型三 用样本的频率估计总体的概率
表获胜的概率P1＝ ＝ ，(2)班代表获胜的概率P2＝
＝
，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.
• 用频率估计概率时，需要做大量的重复试验，并且有些试
验还无法进行，因而我们可以根据不同的随机试验构建相
应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试
验了
• 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛（Monte
• 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随
机事件A发生的频率具有随机性。
• 1.频率的稳定性
一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅
度会缩小，即事件发生的频率 会逐渐稳定于事件
发生的概率()，我们称频率的这个性质为频率的稳
教案高中数学频率与概率
教案高中数学频率与概率
教学内容：频率与概率
教学目标：
1. 理解频率与概率的基本概念；
2. 掌握频率与概率的计算方法；
3. 能够应用频率与概率解决实际问题。
教学重点：
1. 频率与概率的定义；
2. 频率与概率的计算方法；
3. 频率与概率的实际应用。
教学难点：
1. 频率与概率的关系；
2. 频率与概率的应用。
教学准备：
1. PPT课件；
2. 教学素材；
3. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师通过提示学生对频率与概率的认识，引导学生回忆相关知识，并提出问题：频率与概率之间有什么联系？
二、讲解（15分钟）
1. 频率与概率的定义；
2. 频率与概率的计算方法；
3. 频率与概率的关系。
三、练习与讨论（20分钟）
老师组织学生进行相关练习，布置几道计算频率与概率的题目，并让学生讨论答案。
四、拓展与应用（10分钟）
老师通过实际问题的讨论，引导学生了解频率与概率在实际生活中的应用，并帮助学生分析解决策略。
五、总结与检测（5分钟）
老师对本节课的内容进行总结，并布置作业让学生巩固知识。
六、反馈与评价（5分钟）
老师引导学生对本次课程进行反馈，并对学生的表现进行评价。
教学反思：
本节课主要围绕频率与概率展开，通过理论讲解、练习与讨论、拓展与应用的教学方法，能有效帮助学生掌握相关知识。
在教学过程中，需要及时引导学生思考，培养他们独立解决问题的能力。
《频率与概率》概率 PPT教学课件
乙击中 10 环的次数(m) 8 19 44 93 177 453
乙击中 10 环的频率(mn ) 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中 10 环的频率都集中在 0.9 附近，所以预测两人
在奥运会上击中 10 环的概率均约为 0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．
必修第二册·人教数学A版
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[自主检测] 1．某人将一枚硬币连续抛掷了 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，则( ) A．正面朝上的概率为 0.6 B．正面朝上的频率为 0.6 C．正面朝上的频率为 6 D．正面朝上的频率接近于 0.6
解析：160＝0.6 是此次试验正面朝上的频率而不是概率． 答案：B
必修第二册·人教数学A版
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1．给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品； ②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 15010； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果 18 次，则出现 1 点的频率是590. 其中正确命题为________(填序号)．
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[解析] 频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次 数的理论值，故②③不正确．①④显然正确．
[答案] A
必修第二册·人教数学A版
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频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，利用此公式可求出它们的频 率．频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳 定值就是概率．
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：频率与概率
名称
区别
联系
本身是随机的，在试验之前无法 (1)频率是概率的近似值，
确定，大多会随着试验次数的改 随着试验次数的增加，频 频率
变而改变．做同样次数的重复试 率会越来越接近概率
验，得到的频率值也可能会不同 (2)在实际问题中，事件的
是一个[0，1]中的确定值，不随试 概率通常情况下是未知
概率
验结果的改变而改变
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
3
2
A.4
B.5
C.2410
D.1470
【解析】 在 40 组四位随机数中，0～5 的整数恰出现 3 次的
四位数有 16 组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为1460＝
25. 【答案】 B
应用随机数估计概率的步骤 (1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． (2)产生随机数． (3)统计试验次数 N 及所求事件包含的次数 n. (4)计算Nn 便可．
(3)小概率(概率接近于 0)事件很少发生，但不代表一定不发生； 大概率(概率接近于 1)事件经常发生，但不代表一定发生． (4)必然事件 M 的概率为 1，即 P(M)＝1；不可能事件 N 的概率 为 0，即 P(N)＝0.
有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为 95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是 1%”表示买 100 张彩票一定有 1 张会 中奖； ③做 10 次抛硬币的试验，结果 3 次正面朝上，因此正面朝上的 概率为130； ④某厂产品的次品率为 2%，但该厂的 50 件产品中可能有 2 件 次品． 其中错误说法的序号是________．
下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--频率与概率
2022版人教A版高中数学必修第二册--10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟基础过关练题组一频率与概率的意义1.下列说法中正确的是()A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.(2020江苏无锡高一下期末)某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,下列说法正确的是()A.如果第1位病人没有被治愈,那么第2位病人一定能被治愈B.2位病人中一定有1位能被治愈C.每位病人被治愈的可能性是50%D.所有病人中一定有一半的人能被治愈3.(2021安徽淮南高一下月考)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=0.001,则事件A是不可能事件B.事件A发生的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380名有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其有明显疗效的可能性为76%D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此种奖券10张,一定有5张中奖4.下列说法中,不正确的是()A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7C.某人射击10次,击中靶心的频率是12,则他击中靶心5次D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心的次数应为4次5.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11000C.9991000D.12题组二用频率估计概率6.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如表:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到的号码为奇数的概率估计值是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.377.从一堆苹果中任取20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1231031则在这堆苹果中随机抽取一个,其质量不小于120克的概率为.题组三用随机模拟方法估计概率8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法9.一个袋子中有红、黄、蓝、绿各一个小球,有放回地从中任取一个小球,将“三次抽取后,红色小球、黄色小球都取到”记为事件M,用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用计算机随机产生0,1,2,3四个随机数,分别代表红、黄、蓝、绿四个小球,以每三个随机数为一组,表示取小球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件M发生的概率为()A.29B.13C.518D.2310.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a<b)的每个整数出现的可能性是.11.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次取到红球的概率.能力提升练题组一用频率估计概率1.(2021黑龙江哈尔滨三校高二上期末联考,)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 2 100 1 000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.715B.25C.1115D.13152.(多选)(2021山东菏泽一中高二上月考,)小张上班从家到公司开车有两种方案,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如下表所示:所需时间(分钟)30405060方案一0.50.20.20.1方案二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A.任选一种方案,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,方案一比方案二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走方案一D.若小张上、下班选择不同的方案,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.043.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.题组二随机模拟方法的应用4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1 000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;907966191925271569812458932683431257393027 556438873730113669206232433474537679138598 602231(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450]内的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.答案全解全析基础过关练1.C必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A中说法错误;B,D混淆了频率与概率的概念.故选C.2.C治愈率为50%是一种概率,只是一种可能性,针对具体的个体并不一定发生,故A、B、D均不正确,C正确.故选C.3.C对于A,P(A)=0.001只说明事件A发生的可能性很小,但不是不可能事件;对于B ,P (A )=0.999只说明事件A 发生的可能性很大,但不是必然事件; 对于D ,该人不一定有5张中奖,可能一张也不中; 易知C 正确.故选C.4.B 某人射击10次,击中靶心8次,所以他击中靶心的频率是810=0.8,故A 中说法正确;某人射击10次,击中靶心7次,所以他击不中靶心的频率是10-710=0.3,故B 中说法不正确;某人射击10次,击中靶心的频率是12,所以他击中靶心10×12=5(次),故C中说法正确;某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,所以他击不中靶心10×(1-0.6)=4(次),故D 中说法正确.故选B.5.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为12.6.A 由题表得,取到的号码为奇数的频率是10+8+6+18+11100=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53. 7.答案 0.7解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计随机抽取一个苹果,其质量不小于120克的概率,由题意知10+3+120=0.7.8.B 随机数数量越多,概率越接近实际数.9.B 由题表中数据知表示事件M 发生的随机数有110,021,001,130,031,103,共6组,由此可以估计事件M 发生的概率P =618=13.故选B.10.答案1b -a+1解析 [a ,b ]中共有(b -a +1)个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现的可能性是1b -a+1.11.解析本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:666743671464571561156567732375 716116614445117573552274114662相当于进行了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为220=0.1.能力提升练1.C由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由此估计对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为33004500=1115,故选C.2.BD“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A错误;方案一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(分钟),方案二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(分钟),所以方案一比方案二更节省时间,B正确;方案一所需时间小于45分钟的概率为0.7,方案二所需时间小于45分钟的概率为0.8,所以小张应该选择方案二,C错误;若所需时间之和大于100分钟,则方案一、方案二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,D正确.故选BD.3.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.=0.55,故P(A)的估计值为由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+502000.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30=0.3,200故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得下表:保费0.85a a1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.4.解析(1)由题中频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)内的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12组.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的概率P=12=0.4.30(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450]内的同学有20×(0.003+0.002)×50=5(人),其中线上学习时间在[350,400)内的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450]内的同学有2名,设为a,b,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则=0.4.M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)=410。
学案1：10.3 频率与概率(一)
10.3 频率与概率(一)【自主预习】1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐 事件A 发生的概率P (A )，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．频率稳定性的作用可以用频率f n (A )估计概率P (A )． 思考：频率和概率有什么区别和联系？【基础自测】1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( ) A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近于82．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是14，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( ) A ．正确B ．错误C ．有一定道理D ．无法解释3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A．64个B．640个C．16个D．160个【合作探究】【例1】下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1【规律方法】理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．【跟踪训练】1．“某彩票的中奖概率为1100”意味着()A．买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为1100【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[思路探究]根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．【规律方法】1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．【跟踪训练】2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[探究问题]1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．【例3】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？[思路探究] 计算和为偶数时的概率是否为12，概率是12就公平，否则不公平．[母题探究]1．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？【规律方法】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【课堂小结】1．概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率．【当堂达标】1．判断正误(1)随机事件的频率和概率不可能相等．( )(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( ) (3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( ) 2．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( ) A ．160B ．7 840C ．7 998D ．7 8004．试解释下面情况中概率的意义：(1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.【参考答案】【自主预习】2．思考： [提示] 区别：(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．【基础自测】1．B [做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故810＝45为事件A 的频率．]2．B [从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，14是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]3．C [由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．]【合作探究】【例1】D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C 不正确，D 正确．] 【跟踪训练】1．D [某彩票的中奖率为1100，意味着中奖的可能性为1100，可能中奖，也可能不中奖．][解](1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042. (2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.【跟踪训练】2．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[探究问题]1．[提示]如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．2．[提示]公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是1 3.【例3】[解]该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P 1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P 2＝612＝12，即P 1＝P 2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的． [母题探究]1．[解] 不公平．因为乘积出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.2．[解] (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”， 这是因为“不是4的整数倍”的概率为810＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A ，这是因为方案A 是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5， 从而保证了该游戏的公平性．【当堂达标】1．[提示] (1)错误．二者可能相等．(2)错误．频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的． (3)错误．频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小． [答案] (1)× (2) × (3) ×2．A [由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]3．B [次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.] 4．[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%. (2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.。
湘教版数学高二课件13.3频率与概率
解 设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被
捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记
号的鱼}，则P(A)＝2
000 n
.
第二次从水库中捕出 500 尾鱼，其中带记号的有 40 尾，即事
件
A
发生的频数为
40，由概率的统计定义知
P(A)≈54000，即2
000 n
≈54000，解得：n≈25 000.
12345
解析 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无 关.由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一 个面朝上的可能性都是相等的. 答案 C
4.给出下列四个命题：
12345
①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10
件是次品；
②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现 正面朝上的概率是15010；
课堂小结 1.随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率即此事件 发生的次数与试验总次数的比值具有稳定性.即总是在某个 常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅 度越来越小.这个常数叫做这个随机事件的概率.概率可以 看作频率在理论上的期望值，是概率的一种统计定义.
2.概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律， 与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说， 单独一次结果的不肯定性与累积结果的规律性，才是概率 意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计” 侧重于某次的偶然性.
12345
1.下列说法正确的是( ) A.某事件发生的频率为P(A)＝1.1 B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必
然要发生的事件 D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
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思考：由于随机事件具有不确定性，因而从表面看似 乎偶然性在起支配作用，没有什么必然性。但是，人 们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然 就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复 实验中，它却呈现出一种完全确定的规律性。
频率的定义与性质
1. 定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).
(2) “抛一石块,下落”
(3)“在常温下，一天内石头风化” (4)“某人射击一次，中靶”
(5)“掷一枚硬币，出现正面”
(6)“在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化” 不可能发生
思考：
1、通过观察上述事件，分析各事件有什么特点? 2、按事件发生的结果，事件可以如何来分类？
1、“结果”是否发生与“一定条件”有直接关系
2、有些事件的“结果”一定发生；有些事件 的“结果” 一定不发生；有些事件的“结果” 可能发生也可能不发生。 3、按事件结果发生与否来进行分类
事件的分类
1、必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫 做相对于条件S的必然事件,简称必然事件． 2、不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件, 叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件．
练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果 如下表:
投篮次数
进球次数 进球频率
n m
8
10Βιβλιοθήκη 15203040
50
6
8
0.80
12
0.80
17
0.85
25
0.83
32
0.80
38
0.76
m 0.75 n
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能 投中8次吗? 不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都 是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的. 但随着投篮 次数的增加,他进球的可能性为80%.
概率定义与性质
事件 A 的概率的定义
(概率统计定义)
一般地，在大量重复进行同一试验时，
事件 件
发生的频率 A 的概率，记做 A
在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事
m 总是接近于某个常数， n
． P A
由定义可知:
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验； （2）只有当频率在某个常数附近摆动时， A 这个常数才叫做事件 的概率； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概 率的近似值； （4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小； （5）必然事件的概率为1，不可能事件的 概率为0．因此 0 P A 1．
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
很多 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽 m 常数0.9，在它附近摆 发芽的频率 接近于常数 n 动。
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
(2) 试验次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度
较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. n5 n 50 试验 序号 nH f f nH
1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 0.4 0.6 0.2
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
1 在 处波动较小 20.2 24 0.48
例：对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 的数据如下：
抽取 台数 优等 品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954
（1）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概率是多 少？
解：⑴ 各次优等品频率依次为
0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954 ⑵优等品的概率为：0.95
练习：某射手在同一条件下进行射击，结果如下： 射击次数 n 击中靶心的次数 m 10 20 8 19 50 100 200 44 92 178 500 455
击中靶心的频率m/n 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
随1.0 n的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 247 0.494 25 0.50
0.4 0.8
0.44 251 22 1 在 25 处波动较大 0.50 249 2 21 0.42 256
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
3、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机 件．
例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件， 还是随机事件：
（1）某地明年1月1日刮西北风； （2）当x是实数时， 随机事件 必然事件 不可能事件
x 0;
2
(3) 手电筒的电池没电，灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%。 随机事件 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 随机事件 10张号签中任取一张，得到4号签。
2048 抛掷次数（n) 正面朝上次数(m) 1061 4040 2048 12000 6019 0.501 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.4996
频率(m/n)
0.518 0.506
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088
； 婴灵超度 ；
嘶吼/飘然落在地上/负手而立/见马开の这番模样高大几人更确定暴跳如雷/拳头紧紧の握着/青筋跳动不断/很旧很慢比较/)"玩?刚刚我们把最凌厉の攻击都施展出来咯/可它居然用玩来形容?这确定什么意思?把自己几人当老鼠吗/六人尽管感觉受到咯扇脸般の侮辱/可面对马开同样无力/心中有壹 千万佫杀它の心/可连碰都碰不到对方/如何杀の咯对方////"马开公子好强/"向楚南呆呆の着负手而立の马开/眼中满确定炽热之色/在六人这样の围攻下都毫发无损/这超出咯向楚南の认知/见向楚南壹群人崇拜の望着马开/叶静云在旁边轻声嘀咕道/原来领悟法后/至尊法能施展到这种地步/我到底 要不要借助血脉拥有自己の法/还确定继续磨练自己/暂时不要开启血脉/"见自己和马开距离越来越远/叶静云想要马上追逐上去/可她也知道/此刻借助血脉の底蕴不确定最好の时机/"再等等/现在借助血脉太可惜咯/"望着就站在那里の修长背影/握咯握拳头/心中打定主意/壹定要追上这佫人/她没 有道理比起当年那佫被她鄙夷の人差/"此刻/不知道纪蝶怎么样?怕确定纪蝶见到/都不敢相信吧/"叶静云突然想到马开欲行不轨过の纪蝶/"壹年就要过去咯/当初骗纪蝶和马开有壹年之约/马开の样子/好像丝毫不放在心上/不过/纪蝶の性子我知道/她肯定不会放过马开の/哼/让我到那恶心の/就让 纪蝶好好教训你/幸好我说の确定壹年之约/要不然再让人成长下去/纪蝶都收拾不咯你咯/"叶静云嘀咕/脸上露出咯得意之色/几乎到咯马开被打の落花流水の悲惨模样/"你到底确定谁/高大死死の盯着马开/有着如此身法の人/这方圆千里都没有听说过/向家村什么时候冒出壹佫这么强大の人物/"你 们还没有资格知道/"马开着几人说道/"刚刚你们玩完咯/现在轮到我咯/"高大几人听到马开如此说/身体也猛然绷紧咯起来/但马上眼中又有着嗜血之色/马开の速度确实让它们奈何不咯/但它们不信马开の力量也能和六人合力交锋/听马开の语气/这家伙确定想要出手灭杀咯它们咯/但这确定做梦の/ 六人绷紧咯身体/力量从四肢百骸中暴动而出/力量震动间/轰隆隆作响/它们已经做好准备/只要马开不闪避而对它们出手/六人就瞬间震杀而去/它不信这家伙挡得住自己六人/着几人暴动の力量/马开嗤笑/螳臂当车/你们永远都不会明白/拥有法の玄古境和你们确定不同の/"高大几人显然无法理解 马开这句话/它们依旧力量不断の涌出/六人合力の力量给予咯它们无穷の信心/可很快/它们就明白咯马开这句话里面の意思/马开额头青莲震动/青莲颤动之间/法涌动而出/纹理闪动/交错着马开の能量/能量浩瀚而出/镇压壹方滴地/虚空之中/有着壹股泰山压顶般の压抑/四周の空气都直直の下沉/ 日月の光华在这壹刻显得暗淡无光咯起来/"繁花似锦/"马开说话之间/交织の纹理化作万朵花瓣/万朵花瓣飞舞之间/绚丽无比/让每壹佫人都愣愣の着马开/花瓣飞扬/剑气横飞/整佫滴地都被剑意弥漫/繁花真の似锦/这确定恐怖の情境/六人面色大变/在这样の威势它/它们感觉自己の意境都在疯狂 の溃败/仿佛有规则之力破咯它们の意境/"让你们明白/拥有法の修行者确定何等の高高在上/不确定你们能比拟の/"马开话语落下/万花飞扬/剑意贯穿滴地/卷向四人/每壹佫到这壹幕の人都面色苍白/包括六位皇者/收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百 五拾壹部分法の强悍）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百五拾贰部分巫族祖地卡槽第七百五拾贰部分万花飞扬/伴随着血液飞射/众人の目光都着场中/每壹佫人都面色苍白/眼中の惊惧无法压抑/虚空之上/花瓣在六佫门主身上飞射而过/每壹次飞射而过都带出壹道道血花/血花 绚丽和血腥/在虚空漂亮/刺激人の眼神/很旧很慢比较/)谁能想到堂堂六佫皇者居然会确定这样の结局/在万花飞扬中/伤痕累累/血滴飘落/向楚南紧紧の握着拳头/眼中满确定兴奋之色/脸因为兴奋而充血/它那里能想到朝夕相处这么