简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定

一、知识点总结

1.由球的定义确定球心

⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.

⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.

⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.

⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2．构造长方体或正方体确定球心

⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.

⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.

⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.

3.由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心

O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连

1

线垂直于弦的性质，确定球心.

二：常见几何体的外接球小结

1、设正方体的棱长为

a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3

）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得

2

a

R=；

（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中

点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a

R

2

2

=。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角

面

1

AA作截面图得，圆O为矩形C

C

AA

1

1

的外接圆，易得a

O

A

R

2

3

1

=

=。

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6

r a

=

外接球半径为：a

R

4

6

=

三：常见题型

1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

图1 图2

图3

解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法

2.

，则其外接球

的表面积是 .

解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c

、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对

角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R

，则有

2R=

3.正四棱锥S ABCD

-

的底面边长和各侧棱长都为

S A B C D

、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

C D

A B

S

O1

图3

解析：寻求轴截面圆半径法

4. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形

ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的

外接球的体积为（ ） 解析：确定球心位置法 四：练习

1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形

ABCD

是边长为.

若PA =OAB ∆的面积为多少？

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？

A

O D

B

图4

3、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？

4、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体

ABCD 体积的最大值为2

3

，则这个球的表面积为多少？

5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为求该四面体外接球的体积.

6、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.

7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD

-

接球的体积.

8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的

，底面周长为３，则这顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8

个球的体积为 .

9、已知球O的面上四点A、B、C、D，DA ABC

⊥平面，AB BC

⊥，

O的体积等于 .