江西省抚州市临川十中2017-2018学年高二3月月考数学(文)试题Word版含答案

江西省抚州市临川十中2017-2018学年
高二3月月考数学（文）试题
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．设全集U R =，2{|ln(2)},{|2}A x Z y x B x x x =∈=-=≤，则A B = （ ）
A ．}2|{<∈x Z x
B ．{}02x Z x ∈≤<
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2 2．已知a R ∈，则“1a =-”是“21(1)a a i -+-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．设,p q 是两个命题，若p q ⌝∧是真命题，那么（ ）
A ．p 是真命题且q 是假命题
B ．p 是真命题且q 是真命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是假命题且q 是假命题
4．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（
A ．13
B ．23
C ．12
D ．56
5．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为（ A ．-2 B ．16 C ．-2或8 D ．-2或16
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201512016a a a -<<-，则必 定有（ ）
A ．201620170,0a a <>且
B ．201620170,0a a ><且
C ．201520160,0S S <>且
D ．201520160,0S S ><且
7．函数()sin(2)cos 26
f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ） A π
B 2π
C 2
π
D π
8．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线与直线410x y ++=垂直，则点P 的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(1,0)或(1,4)--
C ．(2,8)
D ．(2,8)或(1,4)--
9．双曲线22221x y a b -=与椭圆22
221(0,0)x y a m b m b
+=>>>的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为
边长的三角形一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
10．在三角形ABC 中，90A ∠=
，1AB AC ==，则AB BC ⋅= （ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
11. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）
A ． 86π-
B ．83π-
C ．203
D ．16
3
12．已知F 是双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，E 是双曲线
的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，
则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,)+∞
C
．1) D
．1+)∞，
第II 卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，规定πθπρ<≤-≥,0，若点M
的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为
14．圆O 是等边ABC ∆的内切圆，在ABC ∆内任取一点P ，则点P 落在圆O 内的概率是 15. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形．则(6)f =
16. 设数列{}n a 满足244a a +=,点(,)n n P n a 对任意的n N +∈,都有向量1
(1,2)n n P P +=-
,则
数列{}n a 的前n 项和n
S =
三、解答题：（共六大题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，过点(1,2)P -的直线l 的斜率为1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ．
（1）求直线l 的参数方程； （2）求||||PA PB ．
正视图
侧视图
俯视图
18.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连
得到下表2：
（Ⅰ）求z 关于（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程ˆˆˆy
bx a =
+，其中1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a
y bx x
nx ==-⋅==--∑∑）
19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin A a =
. （1）求角B 的大小；
（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状。

20.（本小题满分12分）如图，四棱柱
1111ABCD A B C D -的底面A B C D 是
菱形，A C B D = ，1AO ⊥底面
ABCD ，21==AA AB ． （Ⅰ）证明：BD ⊥平面1
ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠= ，求点C 到平面1OBB 的距离．
21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点
为()120F -，，
点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分12分）已知函数()2ln 2f x x x ax =++，a ∈R . （1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；
（2）当1
2a =时，函数()()1
f x
g x x x =
-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.
江西省抚州市临川十中2017-2018学年高二3月月考
数学（文）试题参考答案
一、选择题： BCCB DDAB CACB 二、填空题：13. )3
,2(π
- 14.
9
3π 15. 61 16. 27n n -
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，
所以：cos sin αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向向量为t ，
则
1.22
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩…………………5分 （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,
由此得2(2)2(1)22
-+
=+, 即
240t -+=.
设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ， 所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数， 由韦达定理得 PA PB ⋅=124t t =
…………………10分
18.解：（1）2.2,3==z t ,
455
1=∑=i i i z t ,555
1
2=∑=i i
t
4553 2.2ˆ 1.25559
b
-⨯⨯==-⨯，ˆ 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-⨯=- 4.12.1-=∴t z ………………… 6分 （2）2010,5t x z y =-=-，代入4.12.1-=t z 得到：
5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =- ……………………………… 9分 （3） 1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，
∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ……………………… 12分
19.解：（1
）sin A a =
，由正弦定理得sin sin A A =
，………2分
tan 3
B B π
=∴=. …4分
（2）2241
cos 22
a b B ac +-=
=，224a c ac ∴+=+……6分 又222a c ac ∴+≥，所以4ac ≤，当且仅当a c =取等号. ……8分
1
sin 2
S ac B =≤
max S ∴= ………10分
此时ABC ∆为正三角形.…………12分
20.（Ⅰ）证明：因为1
AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1
AO ⊥BD ．………………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．………………2分
因为1AO CO O = ，1A
O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．………………………………3分
（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，21==AA AB ，60BAD ∠= ，
所以1OB OD ==
，OA OC ==4分
所以OBC ∆
的面积为1122
12OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯．……………5分
因为1
AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥
，11A O ==．……………………………6分 因为11A B //平面ABCD ，
所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ． 7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．
因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ．
因为1A A //1B B ，所以BD ⊥1B B ．…………8分
所以△1OBB 的面积为1
11
1212
12OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……9分
设点C 到平面1OBB 的距离为d ，
因为11
C OBB B OBC V V --=，所以1111
33
OBB OBC S d S A O D D =g
g ．………10分
所以1
1
12
1
2
OBC OBB
S AO d S ∆∆⋅=
==
．
所以点C 到平面1OBB
12分
解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1A CO ，
因为BD ⊂平面11BB D D ，
所以平面1A CO ⊥平面11BB D D ．………4分
连接11A C 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ， 因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11
CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OAO C 为平行四边形． 所以111O C OA ==．………………6分 因为平面11
OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．…8分 因为11O C A O ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ．
因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分
所以11
2
2
O C OC CH OO ⋅=
==
．
所以点C 到平面1OBB
的距离为
2
．…12分
21.（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分
设椭圆的右焦点为()220F ，
，已知点(2B 在椭圆C 上，
由椭圆的定义知122BF BF a +=
，所以2a ==．………2分
所以a =2b =．……………3分
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +
=．…………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分
因为点(2B 在椭圆C 上，所以
2242
1a b
+=． ②…………………2分
由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +
=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．…………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +
=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．
联立方程组22,
18
4y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y 得22
8
12x k =+．
所以0x =
0y =．………………………………………………6分 所以直线AE
的方程为y x =
+．……………………………7分
因为直线AE 与y 轴交于点M ，
令0x =
得y =
，即点M ⎛⎫ ⎝．……………………8分
同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=
．………10分
即20t =，即240t -=．………………………11分
解得2t =或2t =-．
故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分
解法二：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．……………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +
=交于两点E ，F ，
设点()
,2sin E θθ（0θ<<π）
，则点()
,2sin F θθ--．……6分
所以直线AE
的方程为y x =
+．………………………7分
因为直线AE 与y 轴交于点M ，
令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫
⎪+⎝⎭
．………………………………8分 同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫
⎪-⎝⎭
．………………………………………………………9分
假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=
．………10分
即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθ
θθ--+
⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分 解得2t =或2t =-．
故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．
…12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,
∵()2ln 2f x x x ax =++， ∴()1
22f x x a x
'=
++. ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即1
220x a x
++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………2分 ∴ 1
22a x x
-≤
+对()0,x ∈+∞都成立. 当0x >时
, 12x x +≥=当且仅当1
2x x
=,
即2x =时,取等号.
∴2a -≤
即a ≥∴a
的取值范围为)
⎡+∞⎣. …5分
（2）当12a =时, ()()2ln ln 111
f x x x x x
g x x x x x x ++=-=-=+++.
()()
21
1ln 1x x g x x +-'=+. ……6分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，
∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,
即方程1
1ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ………8分
令()1
1ln x x x
ϕ=+-()0x >,
由于0x >, 则()211
0x x x
ϕ'=-
-<, ∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ∵()413ln 3ln
33ϕ=-=4e 274
1 2.5ln 0327
>>, ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 2565
13ln 04256
<<,
∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈.
∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ∵t ∈N *， ∴t 的最大值为3. ……12分。