高中数学 2.5向量的应用同步练习 苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用例题与探究 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用例题与探究 苏教版必修4典题精讲例1 ABCD 是正方形,BE∥AC，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证：AF=AE 。
思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出AF ，AE 的坐标，进而证明AF=AE 。
证明:如图2-5-1,建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A(-1,1)，B （0，1)。
设E （x,y ），则图2—5-1BE =（x,y-1）,=（1，-1）。
∵∥，∴x·（—1）—1·（y-1）=0。
∴x+y—1=0.又∵|CE |=|AC |,∴x 2+y 2—2=0。
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-+=-+,231,231010222y x y x y x x 2+y 2-2=0 即E(231,231--+)。
设F(m ，1),由=(m ，1)和=(231,231-+)共线，得231-m-231+=0。
解得m=—2—3.∴F（—2-3,1)，AF =(—1-3，0）,AE =（231,231--+), ∴｜AE |=22)231()233(--++=1+3=｜AF |,∴AF=AE.绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决。
2019-2020学年高一数学苏教版必修4同步练习：2.5 向量的应用 Word版含答案
2.5 向量的应用1、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A. 34(,)55- B. 43(,)55- C. 34(,)55- D. 43(,)55-2、已知O 、N 、P 在△ABC 所在平面内,且OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心3如图,设为内的两点,且,,则的面积与的面积之比为( )A. B.C.D.4、若O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-,则ABC ∆一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5、给出下面四个结论:①若线段AC AB BC =+,则AC AB BC =+;②若AC AB BC =+,则线段AC AB BC =+;③若向量AB 与BC 共线,则线段AC AB BC =+;④若向量AB 与BC 反向共线, AB BC AB BC +=+;其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6、在ABC ∆中, 3AB =,AC 边上的中线5BD AC AB ⋅=u u u r u u u r ,则AC 的长为( )A.1B.2C.3D.47、已知平面内四边形ABCD 和点O ,若OA a =,OB b =,OC c =,OD d =,且a cb d +=+,则四边形ABCD 为( )A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形8、已知三个力()()()1232,1,3,2,4,3F F F =--=-=-同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力4F ,则4F 等于( )A. ()1,2--B. ()1,2-C. ()1,2-D. ()1,29、已知A ,B 是以C 为圆心,,且5AB =则AC CB ⋅等于( ) A. 52- B. 52C. 0D. 210、如图,在重600N 的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30,60︒︒,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A.B. 150,150N NC. ,300ND. 300,300N N11、若等边ABC △的边长为平面内一点M 满足1263CM CB CA =+uuu r uu r uu r ,则MA MB ⋅=uuu r uuu r __________. 12、ABC ∆的外接圆的圆心为,O 半径为1, ()12AO AB AC =+,且AO AB =,则BA BC ⋅=__________ 13、已知向量()()1,1,1,a b a ==其中a 为实数, O 为原点,当此两向量夹角在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭变动时,a 的范围是__________ 14、已知向量1(6,2),(4,),2a b ==-过点()3,1A -且与向量2a b +平行的直线l 的方程为__________15、如图,在直角三角形ABC 中,已知BC a =,若长为2a 的线段P Q 、以A 为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时, BP CQ ⋅的值最大,并求出这个最大值答案以及解析1答案及解析：答案：A2答案及解析：答案：C 解析：由OA OB OC ==可知O 为△ABC 的外心, 02NA NB NC ND NC ++=⇒=-,所以N 为为ABC ∆的重心,所以PA PB PB PC ⋅=⋅,()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=,同理可证0PA AB ⋅=,O 、N 、P 依次是△ABC 的外心,重心,垂心.3答案及解析：答案： B 解析： 如下图,设,,则. 由平行四边形法则,知,所以,同理可得.故.4答案及解析：答案：B解析：因为, 所以,所以以,AB AC ,为邻边的四边形为矩形,即90,BAC ∠=︒所以ABC ∆为直角三角形.5答案及解析：答案：B解析：:结论①正确,当AC AB BC =+时,B 点在线段AC 上,这时AC AB BC =+.结论②不正确,,,A B C 三点不共线时,也有向量AC AB BC =+,而AC AB BC ≠+.结论③④不正确.6答案及解析：答案：B解析： 因为12BD AD AB AC AB =-=-uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r. 所以22221124BD AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r , 即2114AC =uuur . 所以2AC =uuu u r,即2AC =.7答案及解析：答案：D解析：由题意知a b d c -=-,∴BA CD =,∴四边形ABCD 为平行四边形.故选D.8答案及解析：答案：D解析：为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,所以()()()()()()40234,01231,2F =----------=.9答案及解析：答案：A5AB =ABC ∆为正三角形,∴155=22AC CB ⎛⎫⋅=⨯-- ⎪⎝⎭.10答案及解析：答案：C 解析：作▱OACB ,使30,60AOC BOC ∠=︒∠=︒,在▱OACB 中, 60ACO BOC ∠=∠=︒,90OAC ∠=︒,30OA OC cos =︒=,sin 30300AC OC N =︒=,300OB AC N ==.11答案及解析：答案：-2解析：∵等边三角形的边长为∴建立如图所示的直角坐标系∴3)CB =-uu r ,(3)CA =-u u r ∴125()6322CM CB CA =-+=--uuu r uu r uu r5(0,3)()2OM OC CM =+=+-uuu r uuu r uuu r ∴11())222MA MB ⋅=-⋅-=-uuu r uuu r , 故应填:-212答案及解析：答案：1解析： 设BC 的中点是D ,如图所示,则2AB AC AD ⋅=,则AD AO =,所以O 和D 重合,所以BC 是圆O 的直径,所以90BAC ∠=.又OA AB =,则1,2BA BC ==,所以60ABC ∠=,所以1 601212BA BC BA BC cos ⋅=⋅︒=⨯⨯=13答案及解析：答案：(⎫⋃⎪⎪⎝⎭ 解析： 已知()1,1,OA =即()1,1,A 如图所示,当点B 位于1B 和2B 时,与夹角为12π,即12,12AOB AOB π∠=∠=此时1,4126B Ox πππ∠=-=2,4122B Ox πππ∠=+=故(12,,B B ⎛ ⎝⎭又a 与b 夹角不为0,故1a ≠,由图象可知a 的范围是(.⎫⋃⎪⎪⎝⎭14答案及解析：答案：3270x y +-=解析：由题意得()22,3,a b +=-则直线l 的方程为()()33210x y -++=,即3270x y +-=.15答案及解析：答案：因为AB AC ⊥,所以0AB AC ⋅=.因为,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=-,()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-2AP AQ AP AC AB AQ AC AB a AP AC AB AP ⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅ ()22221cos 2a AP AB AC a PQ BC a a =-+-=-+⋅=-+θ故当1cos θ=,即0θ= (PQ 与BC 方向相同)时, BP CQ ⋅最大,其最大值为0. 解析：。
【金版学案】苏教版高中数学必修4练习：2.5向量的应用(含答案解析)
第2章 平面向量 2.5 向量的应用A 级 基础巩固1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F 4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →， 所以四边形ABCD 为菱形． 答案：D3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )A ．100焦耳B ．50焦耳C ．503焦耳D ．200焦耳解析：设小车位移为s ，则|s|＝10米． W F ＝F·s ＝|F||s|·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0， 所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→. 所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 答案：C5．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OA →＋OC →)＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|. 所以O 为△ABC 的外心． 答案：B6．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|v 1|＝5(km/h)， 水速为v 2，实际速度|v|＝10(km/h)， 所以|v 2|＝100－25＝75＝53(km/h)．答案：5 37．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________________．解析：因为AB →·AC →＝4×4×cos A ＝8， 所以cos A ＝12.所以∠A ＝π3.所以△ABC 是正三角形． 答案：正三角形8．过点A(2 015，2 016)且垂直于向量a ＝(－1，1)的直线方程为______________． 解析：在直线上任取一点P(x ，y)，则AP →＝(x －2 015，y －2 016)，依题意AP →·a ＝0， 所以－(x －2 015)＋y －2 016＝0，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝09．两个粒子a ，b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4，3)，v b ＝(2，10)．(1)写出此时粒子b 相对粒子a 的位移v ； (2)计算v 在v a 方向上的投影．解：(1)v ＝v b －v a ＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)| v |·cos 〈v ，v a 〉＝v·v a | v a |＝（－2，7）·（4，3）32＋42＝－8＋215＝135.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ， 由已知|a|＝1，|b|＝2，|a －b|＝2，则(a －b)2＝|a －b|2＝4，即a 2－2a·b ＋b 2＝4， 则1－2a·b ＋4＝4，所以a·b ＝12.所以|a ＋b|2＝(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，所以|a ＋b|＝ 6. 故对角线AC 的长为 6.B 级 能力提升11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34 解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0， 即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBC S △ABC ＝|PC||AC|＝23. 答案：C12．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝1，则OA →·OB→＝________．解析：因为圆x 2＋y 2＝1的半径为1，AB ＝1， 所以△AOB 为正三角形．所以OA →·OB →＝1×1·cos 60°＝12.答案：1213．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A(1，1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M(x 0，y 0)，N(x ，y)，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．所以将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 得x 2＋y 2＝1.所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
苏教版必修4高中数学2.5《向量的应用》练习题(含解析)
2．5 向量的应用情景：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．思考：你能从数学的角度解释这种现象吗？1．用向量解答物理问题的模式．①建模，______________________________________________.②解模，_______________________________________________.③回答，_______________________________________________.答案：①把物理问题转化成数学问题②解答得到的数学问题③利用解得的数学答案解释物理现象2．力、速度、加速度、位移都是________，它们的合成与分解就是________．答案：向量向量的加减法3．功的定义即是力F与其所产生位移s的________．答案：数量积4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可由____________________表示出来．答案：向量的线性运算及数量积5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________．(2)通过________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、平行等．(3)把运算结果________成几何关系．答案：(1)几何问题转化为向量问题 (2)向量运算(3)“翻译”6．常见到的问题包括以下命题：(1)求线段的长度或证明线段相等，可利用_________________________________________________________．(2)证明垂直或涉及垂直问题，常用。
苏教版必修4高中数学2.5向量的应用同步训练1
向量的应用(一)一、填空题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________．2．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________．3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．4．已知平面上三点A 、B 、C 知足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→＝_______.5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，知足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的________．6．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ＝________.7．已知非零向量AB →与AC →知足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝________.二、解答题9．如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M . 求证：MN ∥AD .10．求证：△ABC 的三条高线交于一点．11．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .三、探讨与拓展12. 如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 别离是AB 、BC 上的一个三等分点，且别离靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .答案5 ＋3y －7＝0 ° 4.－25 5．重心 6.－3 7．等边9．证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →， 同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →，∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .10．证明 如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线．AD 、BE 、CF 相交于一点H .11．证明 如图所示，成立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0，∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0,1)， DF →·DC →＝13， 又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos∠FDC ＝55， 又cos∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55， ∴cos∠ADB ＝cos∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .12．证明 设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有 P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A → ＝13(2λ＋1)B A →－λBC →，又E A →＝B A →－13B C →. ∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC → ＝kBA →－13kBC →. 于是有：⎩⎪⎨⎪⎧ 132λ＋1＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17. ∴P D →＝17C D →. ∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →.C D →＝23B A →－BC →. 从而B P →·CD →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－BC →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. ∴BP →⊥CD →.∴BP ⊥DC .。
2019-2020学年高一数学苏教版必修4同步练习：2.5 向量的应用 Word版含答案
2.5 向量的应用1、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A. 34(,)55- B. 43(,)55- C. 34(,)55- D. 43(,)55- 2、已知O 、N 、P 在△ABC 所在平面内,且OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心3如图,设为内的两点,且,,则的面积与的面积之比为( )A. B. C. D.4、若O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-,则ABC ∆一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形 5、给出下面四个结论:①若线段AC AB BC =+,则AC AB BC =+; ②若AC AB BC =+,则线段AC AB BC =+;③若向量AB 与BC 共线,则线段AC AB BC =+; ④若向量AB 与BC 反向共线, AB BC AB BC +=+; 其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6、在ABC ∆中, 3AB =,AC 边上的中线5BD AC AB ⋅=u u u r u u u r,则AC 的长为( )A.1B.2C.3D.4 7、已知平面内四边形ABCD 和点O ,若OA a =,OB b =,OC c =,OD d =,且a cb d +=+,则四边形ABCD 为( )A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形 8、已知三个力()()()1232,1,3,2,4,3F F F =--=-=-同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力4F ,则4F 等于( ) A. ()1,2-- B. ()1,2- C. ()1,2- D. ()1,29、已知A ,B 是以C 为圆心,且5AB =则AC CB ⋅等于( ) A. 52- B.52C. 010、如图,在重600N 的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30,60︒︒,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A. B. 150,150N NC. ,300ND. 300,300N N11、若等边ABC △的边长为平面内一点M 满足1263CM CB CA =+uuu r uu r uu r,则MA MB ⋅=uuu r uuu r__________.12、ABC ∆的外接圆的圆心为,O 半径为1, ()12AO AB AC =+,且AO AB =,则BA BC ⋅=__________13、已知向量()()1,1,1,a b a ==其中a 为实数, O 为原点,当此两向量夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭变动时,a 的范围是__________14、已知向量1(6,2),(4,),2a b ==-过点()3,1A -且与向量2a b +平行的直线l 的方程为__________15、如图,在直角三角形ABC 中,已知BC a =,若长为2a 的线段P Q 、以A 为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时, BP CQ ⋅的值最大,并求出这个最大值答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2答案及解析：答案：C解析：由OA OB OC==可知O为△ABC的外心,02NA NB NC ND NC++=⇒=-,所以N为为ABC∆的重心,所以PA PB PB PC⋅=⋅,()0PB PC PA PB AC⋅-=⋅=,同理可证0PA AB⋅=,O、N、P依次是△ABC的外心,重心,垂心.3答案及解析：答案： B解析：如下图,设,,则. 由平行四边形法则,知,所以,同理可得.故.4答案及解析：答案：B解析：因为,所以,所以以,AB AC ,为邻边的四边形为矩形,即90,BAC ∠=︒所以ABC ∆为直角三角形.5答案及解析： 答案：B 解析：:结论①正确,当AC AB BC =+时,B 点在线段AC 上,这时AC AB BC =+.结论②不正确,,,A B C 三点不共线时,也有向量AC AB BC =+,而AC AB BC ≠+.结论③④不正确.6答案及解析： 答案：B 解析：因为12BD AD AB AC AB =-=-uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r .所以22221124BD AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r ,即2114AC =uuur . 所以2AC =uuu u r,即2AC =.7答案及解析： 答案：D 解析：由题意知a b d c -=-, ∴BA CD =,∴四边形ABCD 为平行四边形. 故选D.8答案及解析： 答案：D解析：为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,所以()()()()()()40234,01231,2F =----------=.9答案及解析： 答案：A5AB =ABC ∆为正三角形,∴155=22AC CB ⎛⎫⋅=⨯-- ⎪⎝⎭.10答案及解析： 答案：C 解析： 作▱OACB ,使30,60AOC BOC ∠=︒∠=︒,在▱OACB 中, 60ACO BOC ∠=∠=︒,90OAC ∠=︒,30OA OC cos =︒=, sin 30300AC OC N =︒=, 300OB AC N ==.11答案及解析： 答案：-2解析：∵等边三角形的边长为∴建立如图所示的直角坐标系∴3)CB =-uu r ,(3)CA =-u u r ∴125(,)6322CM CB CA =-+=--uuu r uu r uu r5(0,3)()2OM OC CM =+=+-uuu r uuu r uuu r ∴11())222MA MB ⋅=-⋅-=-uuu r uuu r ,故应填:-212答案及解析： 答案：1解析： 设BC 的中点是D ,如图所示,则2AB AC AD ⋅=,则AD AO =,所以O 和D 重合,所以BC 是圆O 的直径,所以90BAC ∠=.又OA AB =,则1,2BA BC ==,所以60ABC ∠=, 所以1601212BA BC BA BC cos ⋅=⋅︒=⨯⨯=13答案及解析：答案：(⎫⋃⎪⎪⎝⎭解析： 已知()1,1,OA =即()1,1,A 如图所示,当点B 位于1B 和2B 时,与夹角为12π, 即12,12AOB AOB π∠=∠=此时1,4126B Ox πππ∠=-=2,4122B Ox πππ∠=+=故(12,,B B ⎛ ⎝⎭又a 与b 夹角不为0,故1a ≠,由图象可知a 的范围是(.⎫⋃⎪⎪⎝⎭14答案及解析： 答案：3270x y +-= 解析：由题意得()22,3,a b +=-则直线l 的方程为()()33210x y -++=,即3270x y +-=.15答案及解析： 答案：因为AB AC ⊥, 所以0AB AC ⋅=.因为,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=-,()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-2AP AQ AP AC AB AQ AC AB a AP AC AB AP ⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅()22221cos 2a AP AB AC a PQ BC a a =-+-=-+⋅=-+θ故当1cos θ=,即0θ= (PQ 与BC 方向相同)时, BP CQ ⋅最大,其最大值为0. 解析：。
苏教版高中数学必修4同步测试：2.5向量的应用.docx
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知O为△ABC 所在平面内的一点，| OA |2+ |BC|2=| OB|2+| CA|2=| OC|2+| AB|2，则O为△ABC的.2. O 是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(PB-PC)·(OB+OC)=(PC-PA)·(OA+OC)=0，则O为△ABC 的.3.已知在△ABC中，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则O为△ABC的.4.已知O为△ABC内一点，且满足(OA+OB)⊥(OA-OB),(OB+OC)⊥(OB-OC),则O为△ABC的.5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B（-1，3），若点C满足OC=OA+OB ，其中、∈R，且+ =1，则点C的轨迹方程为.6. 在△ABC中，已知向量AB与AC满足(ABAB+ACAC)·BC=0且ABAB·ACAC=12，则△ABC为三角形.二、解答题(共70分)7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F 的作用下在动摩擦系数 =0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？10. （20分）以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，∠OBA=90°,求点B的坐标和向量AB.2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 垂心解析：由| OA|2+| BC|2=| OB|2+| CA|2，得OA2-OB2=CA2-BC2，即(OA-OB)·(OA+OB)=(CA-BC)·(CA+BC)，所以BA·(OA+OB-CA+BC)=0，BA·2OC=0，即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上.所以O为△ABC的垂心.2. 外心解析：由(PB-PC)·(OB+OC)=0知CB·2OD=0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为△ABC的外心.3. 垂心解析：由OA·OB=OB·OC，知OA·OB-OB·OC=0.则OB·(OA-OC)= OB·CA=0.故OB⊥CA,即OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.故O为△ABC的垂心.4. 外心解析：由(OA+OB)⊥(OA-OB)得(OA+OB)·(OA-OB)=0.故OA2-OB2=0，即|OA|=|OB|.同理，由(OB+OC)⊥(OB-OC),可得|OB|=|OC|.故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为△ABC外接圆的圆心，即O为△ABC的外心.5. x+2y-5=0 解析：设OC=（x，y）,OA=（3，1）, OB=（-1，3）,∵OC= OA+OB,∴（x，y）=（3，1）+（-1，3）.∴3,3. xyαβαβ=-⎧⎨=+⎩①又+ =1,与①联立可得x+2y-5=0.6. 等边解析：设∠BAC的角平分线为AD，则ABAB+ACAC=λAD.由已知AD⊥BC,∴△ABC为等腰三角形.又cos A=12,∴A=60°,∴△ABC为等边三角形.二、解答题7.证明：设BA =a ，BN =b ,由M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD 、BC 的中点，且AD =2AB ，|a |=|b |,得NA =a -b , CM =a -b , 故NA =CM ，即NA ∥CM . 又BM =a +b , ND =a +b , 所以BM =ND ，即BM ∥ND . 从而四边形PMQN 是平行四边形. 又由BM ·NA =(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0, 故BM ⊥NA ，即BM ⊥NA . 所以四边形PMQN 为矩形. 8.解：设木块位移为s ,则 F ·s =|F ||s |cos 30°=50×20×32=5003. 将力F 分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为 |F 1|=|F |sin 30°=25,所以|f |=μ|G -F 1|=0.02×(8×10-25)=1.1, f ·s =|f ||s |cos 180°=-22.故F 和f 做的功分别为5 003 J 和-22 J.9.解：由题意知，原题可转化为在△ABC 内求一点P ，使得AP 2+BP 2+CP 2最小.设AB =a , AC =b , AP =t , 则BP = AP -AB =t -a , CP = AP -AC =t -b ,AP 2+BP 2+CP 2=t 2+(t -a )2+(t -b )2=3(t -3+a b )2+23 (a 2+b 2)- 23a ·b , 所以当AP =t =3+a b,即P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2最小.10.解：设B 点坐标为(x ,y ),则OB =(x ,y ), AB =(x-4,y-2).∵ ∠OBA =90°,∴ OB ⊥AB ,即OB ·AB =0. ∴ x (x-4)+y (y-2)=0，即x 2+y 2-4x-2y =0.①设OA 的中点为C ，则点C (2，1)，OC =(2，1)，CB =(x-2,y-1). 在等腰Rt △AOB 中，OC ⊥BC ,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y-5=0.②解①②，得1,3xy=⎧⎨=⎩或3,1.xy=⎧⎨=-⎩故B点的坐标为(1，3)或(3，-1).当B点坐标为(1，3)时，AB=(-3，1)；当B点坐标为(3，-1)时，AB=(-1，-3).。
高中数学 2.5向量的应用(一)课时作业 苏教版必修4
2.5 向量的应用(一)课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b (b ≠0)⇔________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________⇔________________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝________________________＝________________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________． (2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、填空题 1.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．2．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________．3．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝____.4．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是 △ABC 的________．(从重心、垂心、外心、内心中选择) 5．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是______三角形．7．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则 △ABC 的形状一定是________三角形．8．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ＝________.9．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的角平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝__________________. 二、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA ＝EF 且PA ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的________． ①重心、外心、垂心； ②重心、外心、内心； ③外心、重心、垂心； ④外心、重心、内心．(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 向量的应用(一)知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 (4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计 1．2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝－λ，n 2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 2.525 解析 BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.3．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 4．垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心． 5．45°解析 设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°. 6．直角解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． 7．等腰解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 8．－3解析 如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33， ∴|BC ||CE |＝3， ∴BC →＝－3CE →. 9．等边解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的角平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12， 又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°. 故△ABC 为正三角形．10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105，即OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的角平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. ∵∠A 的角平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得7x ＋y －29＝0. 12.证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2，2λ2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，0， 于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫22λ－1，－22λ.∴|PA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .∵PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝0， ∴PA →⊥EF →.∴PA ⊥EF . 13．③解析 如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵PA →·PB →＝PB →·PC →， ∴(PA →－PC →)·PB → ＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·PA →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心． 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ， BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． 故△ABC 的三条高线交于一点．。
苏教版数学高一必修4试题 2.5向量的应用 (2)
2.5 向量的应用一、填空题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)________．【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．【答案】 (10，－5)2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于________．【解析】 由题意可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．【答案】 (1,2)3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于________．【解析】 ∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0，∴AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝16.【答案】 164．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形的形状一定是________．【解析】 ∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，∴DB →⊥AC →，∴四边形ABCD 是菱形．【答案】 菱形5．在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________.【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k－1)．在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【答案】 46．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的________心．【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →⇔OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理OC →⊥BA →，OA →⊥BC →，故点O 为△ABC 的垂心．【答案】 垂7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝1，|AB →|＝3，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12. 【答案】 －128．已知船在静水中的速度大小为5 m/s ，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m ，船垂直到达对岸用的时间为5 s ，则水流速度大小为________m/s.【解析】 设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，船的实际速度为v 3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v 1|＝5 m/s ，|v 3|＝205＝4 m/s ，则v 3＝(0,4)，v 1＝(－3,4)， v 2＝v 3－v 1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．∴|v 2|＝3 m/s ，即水流的速度大小为3 m/s.【答案】 3 二、解答题9．已知，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证AC ⊥BD.【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0，∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD.10．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．【解】 如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，|OM →|＝10，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10.∴|OP →|＝10sin 60°＝2033. ∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033. ∴水流速度为1033km/h ， 船的实际速度为2033km/h. 11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A(1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．【解】 设M(x 0，y 0)，N(x ，y)，则MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)，由MA →＝2AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －1，1－y 0＝2y －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3， 又点M 在圆C 上，即(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，∴(－2x ＋3－3)2＋(－2y ＋3－3)2＝4，即x 2＋y 2＝1，∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
苏教版数学高一-必修4作业纸 2.5向量的应用
课题：§2.5向量的应用作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1. 已知),5,3(),,(),7,2(==-=c y x b a 若,c b a=+则y x ,的值分别为 .2. 等腰Rt △ABC 中，2==AC AB ,则BC AB ⋅ =.3. 在ABC ∆中，5,4,3===CA BC AB ,则⋅+⋅+⋅= .4.已知),3(),2,6(k b a -==，若a 与b 的夹角是钝角，则k 的取值范围是________________.5. 若向量)2,1(),1,3(=-=b a 且4,9-=⋅=⋅c b c a ，则向量c的坐标为 .6. 设c b a ,,都是单位向量，且0=⋅b a ，则)()(b c a c-⋅-的最小值为 .7. 已知a b a ,2,2==与b 的夹角为45，且a a b ⊥-)(λ，则实数λ的值为 .8. 若向量a 与b 的夹角为60，||4b =，72)3()2(-=-⋅+b a b a,则向量a 的模为 .9．已知向量)0,5(),4,3(),10,5(=--==c b a ，试将向量c 用b a,表示为 .10．若向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，则非零向量a 与b 的夹角为 .二、解答题：11．已知向量OA ， OB ，OC 满足条件OA +OB +OC =01===， 求证：⊿ABC 是正三角形．12．设(cos ,sin ),(cos ,sin )(0)a b ααβββαπ==<<<是平面上两个向量. 求证：a b a b +-与互相垂直.13．已知平面向量13(3,1),(,),2a b =-=(1)证明：a b ⊥；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使2(3),x a t b y ka tb =+-=-+，且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.三、作业错误分析及订正：2．填空题具体订正：_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用优化训练 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.5 向量的应用优化训练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.5 向量的应用优化训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
5 向量的应用5分钟训练(预习类训练,可用于课前）1.已知三个力F 1=(3，4),F 2=（2,-5）,F 3=(x,y ）的合力F 1+F 2+F 3=0.求F 3的坐标。
解：由题设F 1+F 2+F 3=0,得（3，4）+(2,—5)+(x ，y ）=（0，0)， 即⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+-=++.1,5.054,023y x y x ∴F 3=（-5，1). 2。
在四边形ABCD 中,AB ·=0，且AB =,则四边形ABCD 是( )A.梯形 B 。
菱形 C.矩形 D 。
正方形 思路解析:由AB ·BC =0得AB ⊥BC ，又AB =DC,∴AB 与DC 平行且相等。
从而四边形ABCD 是矩形. 答案:C10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来。
试求实际风速和方向。
解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为—a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v -a . 设OA =—a ，OB =—2a . ∵PO +OA =PA ， ∴PA =v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.∵PO+OB=PB,∴PB=v-2a。
苏教版高中数学必修四学同步训练平面向量二Word含答案(1)
2.5向量的应用(二)一、填空题1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________牛顿．2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为________．3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为______．4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W＝________.5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为________．6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________．7．一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝________.8. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保`持不变．二、解答题9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．10. 如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．11．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？三、探究与拓展12．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？答案1．25 2.|F |cos θ·s 3.102 4．2 5.(9,1) 6．(10，－5) 7．30°8．①③9. 解 如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度．则v 0＋v 1表示船实际航行的速度，∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，∴解直角三角形|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.故船实际航行的速度为45千米/小时．10．解 设A 、B 处所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3. |CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5. ∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.11. 解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为：W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．12．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，得|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )， Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)， ∵PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s.。
苏教版数学高一苏教版必修4第2章2.5向量的应用作业
[学业水平训练]1.已知力F 1，F 2，F 3满足|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝1，且F 1＋F 2＋F 3＝0，则|F 1－F 2|为________． 解析：∵F 1＋F 2＝－F 3，(F 1＋F 2)2＝(－F 3)2.即F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 23，∴F 1·F 2＝－12. ∴|F 1－F 2|＝（F 1－F 2）2＝F 21－2F 1·F 2＋F 22＝ 3. 答案： 32.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于__________．解析：因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，所以PA →·(PB →＋PC →)＝－23AM →·23AM →＝－49. 答案：－493.在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形的形状为__________．解析：∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →，∴对角线垂直，∴四边形为菱形．答案：菱形4.在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是________三角形．解析：∵BA →·(2BC →－BA →)＝0，∴BA →·(BC →－12BA →)＝0， 即BA 垂直于BA 边上的中线．∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰5.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28，所以|F 3|＝27. 答案：276.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB (α∥AB 且圆心O 到AB 的距离为12)上，因此夹角θ取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π67.已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )，∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )， ∴a ＝x 3，b ＝－y 2，即A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0， PA →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y ， ∵PA →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0， 即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．8.已知两恒力F 1＝i ＋2j ，F 2＝4i －5j (其中i ，j 分别是x 轴，y 轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力对质点所做的功．(力的单位：N ，位移的单位：m)解：(1)由已知得F 1＝(1，2)，F 2＝(4，－5)，设F 1，F 2对质点所做的功分别为W 1，W 2.∵AB →＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)，∴W 1＝F 1·AB →＝(1，2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，W 2＝F 2·AB →＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．(2)F 1，F 2的合力为F 1＋F 2＝(1，2)＋(4，－5)＝(5，－3)．设F 1，F 2的合力对质点所做的功为W ，则W ＝(F 1＋F 2)·AB →＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．[高考水平训练]1.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析：∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形，所以|AB →|＝|AC →|，因此△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形2.函数f (x )＝5x ＋6－x 取最大值时，x ＝________．解析：令a ＝(5，1)，b ＝(x ，6－x )，则f (x )＝a·b ≤|a ||b |＝6×6＝6.当且仅当b ＝λa (λ＞0)时取等号．故x 5＝6－x 1＝λ＞0， ∴x ＝5，λ＝1.所以当x ＝5时，函数f (x )max ＝6.答案：5.3.如图，有两条相交成60°的直线xx ′，yy ′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx ′，yy ′上行驶，起初甲在离点O 30 km 的点A 处，乙在离点O 10 km 的点B 处，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿yy ′方向行驶．求：(1)起初两车的距离是多少？(2)t 小时后两车的距离是多少？(3)何时两车的距离最短？解：(1)由题意知，|AB →|2＝(OB →－OA →)2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 60°＝302＋102－2×30×10×12＝700. 故|AB →|＝107(km )．(2)设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P ，Q ，则|AP →|＝60t ，|BQ →|＝60t .当0≤t ≤12时，|PQ →|2＝(OQ →－OP →)2＝(30－60t )2＋(10＋60t )2－2(30－60t )(10＋60t )cos 60°； 当t >12时，|PQ →|2＝(60t －30)2＋(10＋60t )2－2(60t －30)(10＋60t )cos 120°. 上面两式可统一为|PQ →|2＝10 800t 2－3 600t ＋700，即|PQ →|＝10108t 2－36t ＋7.(3)∵108t 2－36t ＋7＝108⎝⎛⎭⎫t －162＋4，∴当t ＝16时，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为104＝20 km. 4．在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子的最大拉力为F ，物体受到的重力为G ，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．(1)求绳子受到的拉力F 1；(2)当θ逐渐增大时，|F 1|的大小怎样变化，为什么？(3)θ为何值时，|F 1|最小？(4)已知|F |＝500 N ，|G |＝500 3 N ，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？解：(1)由题意，得|F 1|cos θ2＋|F 2|· cos θ2＝|G |，且|F 1|＝|F 2|，所以|F 1|＝|G |2cos θ2. (2)由θ∈[0，π)，得θ2∈[0，π2)，cos θ2∈(0，1]， 当θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小， 则|G |2cos θ2逐渐增大，即|F 1|增大， 所以当角度θ增大时，|F 1|也增大．(3)由(2)知，当θ最小时，|F 1|最小，故当θ＝0°时，|F 1|最小，且最小值为|F 1|＝|G |2. (4)因为|F 1|＝|G |2cos θ2≤|F |， 所以cos θ2≥|G |2|F |＝50032×500＝32. 又由θ2∈[0，π2)，得θ2∈[0，π6]，故θ∈[0，π3]．。
苏教版数学高一必修四 作业 2.5向量的应用
一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．解析：∵AB＝(－4,3)，∴做功W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：14．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为________．解析：作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.答案：120°5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA·OB ＝__________.解析：如图，取D为AB的中点，∵OA＝1，AB＝3，∴∠AOD＝π3.∴∠AOB ＝2π3. ∴OA ·OB ＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ，由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12. 所以|a ＋b |2＝(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6. 故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝2AP ，求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－6.①由RA ＝(1－x 0，－y 0)，AP ＝(x －1，y )，又RA ＝2AP ，∴1－x 0＝2x －2，－y 0＝2y ，∴x 0＝3－2x ，y 0＝－2y ，代入①式得y ＝2x ，即为所求．8.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角，设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|F a |cos 45°＝|F b |cos 30°，|F a |sin 45°＋|F b |sin 30°＝100，解得|F a|＝1502－506，故A处受力的大小为(1502－506)N.。
2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第2章 2.5 向量的应用 Word版含解析
姓名，年级：时间：2。
5 向量的应用学习目标核心素养(教师独具）1。
会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学建模和数学运算核心素养。
向量的应用（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2）向量在物理中的应用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．（3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面:一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．1．思考辨析（1)若△ABC是直角三角形，则有错误!·错误!＝0.（)（2)若错误!∥错误!，则直线AB与CD平行．（）（3）在物体的运动过程中，力越大，做功越多．( ）[解析] (1）可能错误!·错误!＝0或错误!·错误!＝0,故错误．（2）错误!∥错误!,AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．(3)W＝F·s＝｜F｜·｜s｜cos θ，故错误．［答案] （1）×（2)×（3）×2．已知△ACB,错误!＝a，错误!＝b,且a·b＜0，则△ABC的形状为( ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定［答案] A3．已知F＝(2，3）作用一物体，使物体从A(2,0）移动到B（4,0），则力F对物体作的功为________．［答案］4向量在物理中的应用【例1】如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．思路点拨：解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决,注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．［解］如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°,∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.｜错误!｜＝|错误!|cos 30°＝300×错误!＝150错误!（N)，｜错误!｜＝|错误!｜sin 30°＝错误!×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150错误! N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N。
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高中苏教数学④2.4~2.5测试题
一、选择题
1．a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a -b |，则以下判断错误的是（ ）
Ａ．a ·b =0
Ｂ．a ∥b
Ｃ．a ⊥b Ｄ．以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形
答案：B
2．设a 、b 为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a +3b |等于（ ） Ａ．7
Ｂ．10 Ｃ．13 Ｄ．4
答案：B
3．已知i 、j 分别为x 轴、y 轴方向上的单位向量，若28=-a +b i j ，816--a b =i +j 那么g a b 等于（ ）
Ａ．63 Ｂ．63- Ｃ．33 Ｄ．33-
答案：B
4．若向量a ，b 的夹角是60°，|b |=4，（a +2b ）·（a -3b ）=-72，则向量a 的模是（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12
答案：C
5．在△ABC 中，AB =a ，AC =b ，当a ·b ＜0时，△ABC 为（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形
Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰三角形
答案：C
6．若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，|a |=3，|b |=1，|c |=4，则a g b +b g c +c g a 等于（ ） Ａ．-11 Ｂ．-12 Ｃ．-13 Ｄ．-14
答案：C
二、填空题
7．已知a ·b =12，且|b |=5，则向量a 在向量b 方向上的射影为 ．
答案：125 8．已知点A （2，-4）、点B （-2，y ），若5AB =u u u r ，则y = ．
答案：7-或1-
9．已知点(22)(51)(14)A B C -，，，，，，则∠BAC 的余弦值为 ．
答案：
57475
10．已知(2)(35)x b ==-，，，a ，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ．
答案：10635x x x ⎧
⎫<≠-⎨⎬⎩⎭
且
三、解答题
11．已知向量1232-a =e e ，124b =e +e 其中e 1=（1，0），e 2=（0，1），求：
（1）a ·b ，|a +b |；
（2）a 与b 的夹角的余弦值．
解：（1）1212324-=+Q ，a =e e b e e
12(10)(01)==，，，e e ，
(32)(41)∴-，，，a =b =． 1221052∴=-==g ，a b a +b ；
（2）cos <>=g ，a b a b a b
2222
3(2)4110221.2211317=
+-+=
=
12．ABC △的顶点为(31)(1)(2)A B x C y -，，，，，，重心513G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．求： （1）AB 边上的中线长；
（2）AB 边上的高的长．
解：由题意可得532331(1)13x y ++⎧=⎪⎪⎨+-+⎪=⎪⎩
，．解得03x y =⎧⎨=⎩，． (01)(23)B C -，，，∴． （1）AB ∵的中点为302D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，132CD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u r ，∴， AB ∴边的中线长37CD =u u u r （2）(1
2)(32)AC AB =-=--u u u r u u u r ，，，∵， ∴可找到与AB u u u r 垂直的一个向量(23)=-，
b ． AC u u u r ∴在向量b 方向上的投影为13AC u u u r b b ·． AB ∴813． 13．已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g
，试判断△ABC 的形状．
解：()(2)OB OC OB OC OA -+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q g
22()[()()]()()()()()0.OB OC OB OA OC OA OB OC AB AC CB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+-=-+=+=-+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g
.AB AC ∴=∴u u u r u u u r ABC △为等腰三角形．
14．已知(21)(17)(51)OP OA OB ===u u u r u u u r u u u r ，，，，，，设C 是直线OP 上的一点，其中O 为坐标原点． （1）求使CA CB u u u r u u u r g
取得最小值时向量OC u u u r 的坐标； （2）当点C 满足（1）时，求cos ∠ACB ． 解：（1）Q 点C 在直线OP 上，
∴可设(2)OC tOP t t ==u u u r u u u r ，．
(17)(2)(5,1)OA OC t t OB ===u u u r u u u r u u u r Q ，，，，，
(127)CA OA OC t t ∴=-=--u u u r u u u r u u u r ，，
(521)CB OB OC t t =-=--u u u r u u u r u u u r ，．
(12)(52)(7)(1)CA CB t t t t ∴=--+--u u u r u u u r g 22520125(2)8t t t =-+=--．
∴当2t =时，CA CB u u u r u u u r g 取得最小值8-， 此时
(42)OC =u u u r ，； （2）当(42)OC =u u u r ，
时，(35)(11)CA CB =-=-u u u r u u u r ，，，， 4cos 1717CA CB ACB CA CB
∴∠==u u u r u u u r g u u u r u u u r ．。