复变函数论第一章复数与复变函数
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数的学习要点
第一章 复数与复变函数的学习要点复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析．复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数．复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数．为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识．本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续．另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点．学习要点及基本要求1．熟悉复数的三种常用的表示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角．2．熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意义．掌握复数相等的两种规定：设111i z re θ=，222i z r e θ=，则1212Re Re z z z z =⇔=且12Im Im z z =；1212z z r r =⇔=且122()k k θθπ=+∈（或12z z =且12Arg Arg z z =）． 3．掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如12arg z z 表示向量2z 到向量1z 的夹角等）． 121212z z z z z z -≤±≤+，Re ,Im Re Im z z z z z ≤≤+；1Re ()2z z z =+，1Im ()2z z z i=-，2z z z =⋅； 1212Arg Arg Arg z z z z ⋅=+，1122Arg Arg Arg z z z z =-（其中12,0z z ≠）；1Arg Arg z z =-，Arg Arg z z =-，1Arg z n=（其中0z ≠）． 4．掌握直线和圆周方程的如下几种常用的复数表示：直线的几种复数表示：（1）一般形式： 0z z d ββ++=，其中β是不为零的复常数，d ∈．（2）过两点,()a b a b ≠的直线：Im 0z a b a-=-（复数方程）； ()z a t b a =+-，t -∞<<+∞（复参数方程）．若限制01t ≤≤，则上面的参数方程为连接两点,()a b a b ≠的直线段的参数方程．（3）两点,()a b a b ≠的连线段的垂直平分线：z a z b -=-或1z a z b -=-． 圆周的几种复数表示：（1）一般形式：0az z z z d ββ⋅+++=，其中β是复常数，,a d ∈，2ad β>．（2）不共线三点,,a b c 所确定的圆周：Im 0a zc z a bc b--=--． （3）以0z 为心，R 为半径的圆周：0z z R -= （复数方程）， 0i z z R e θ=+⋅，02θπ≤≤或πθπ-≤≤（复参数方程）． （4）以两点,()a b a b ≠为对称点的圆周：z a r z b-=-，(0,1)r r >≠． 5．理解复数在球面上的几何表示（即单位球面上的球极投影），非正常复数∞的几何表示（即单位球面上的北极点），复平面和扩充复平面的几何表示（即分别为复球面去掉北极点和复球面），并掌握复数与其球极投影点的坐标之间的如下关系：设z ∈，(,,)Z x y u 为z 在复球面222:1S x y u ++=上的球极投影，则1x iy z u+=-（已知(,,)Z x y u ，可求z ）， 22221(1)11z zx z z z y i z z u z ⎧+⎪=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪-⎪=⎪+⎩（已知z ，可求(,,)Z x y u ）． 6．会用复数来表示一些平面点集，并会判断一个平面点集是否区域、单连通区域和多连通区域．7．理解简单（闭）曲线、光滑曲线和分段光滑曲线的含义．8．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如，极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．9．正确理解并熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-=⎣⎦． 复变函数()f z 在点集E ⊂上不一致连续⇔存在两个点列n z ，n z 'E ∈，虽然0()n n z z n '-→→∞，但 lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-≠⎣⎦． 10．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．第二章 解析函数的学习要点解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，首先，从复变函数的导数或可微的概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质及函数值的算法——尤其是多值函数的分支函数的函数值的算法（即已知初值求终值的计算公式提供的算法）．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系：● 在一点连续，可微与解析的关系（可微⇒⇐连续；解析⇒⇐可微）；● 可微与解析两个概念之间的联系和差异；● 可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别（进而体会实部、虚部两个二元实函数所满足的柯西—黎曼条件的作用）．2．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则）．3．能熟练运用实部、虚部两个二元实函数所满足的条件来讨论具体函数的可微性和解析性；能熟练地运用复变函数导数和解析的运算法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况及讨论方法希望大家要熟习： ● ()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析． ● 2()f z z =；2()Re f z z =在都在上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在上处处不解析；2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在上处处不解析． ● ()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数）．● 有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++；正切、余切、正割和余割函数（即tan z 、cot z 、sec z 和csc z ）都在其自然定义域内解析． 4．熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式：函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．5．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的：● 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．● 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法），简洁的判断某些函数的不解析性，例如，z ，Re z ，Im z ，z e ，sin z 等都在复平面上不解析；一般地，若()f z 在区域D 内解析，且()f z 不恒为常数，则Re ()f z ，Im ()f z ，()f z 等都在D 内不解析．6．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．7．通过幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数学习，达到下面的目的：（1）初步了解和体会研究初等多值函数的基本思想（即将其分支函数单值化）；初步掌握将初等多值函数单值化的基本方法（即寻找支点——产生多值的客观原因，再取连接支点的适当支割线——消除多值实现原因的方法）；（2）了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）——这是判断支点的依据，了解支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化）——这是作支割线的依据，并理解它们在将多值函数单值化中的作用；（3）知道多值解析函数的含义（即在单值化区域内，每个分支函数都是单值解析函数），据此说明为什么教材中涉及的具体多值函数除幅角函数外，其他的都是多值解析函数．8．熟练掌握将幅角函数，对数函数，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类常用根式类函数w 和w分出它们的单值分支函数，并会利用下面列举的已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，快速地求出满足初值条件要求的单分支函数在另一指定点处的函数值．五类已知初值在连续变化意义下求终值的公式（注意：这些公式也是判断支点的手段；这些公式中后面的四类在今后的函数值的计算中经常用）：（1）一般公式（2个）：● 设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定，比如G 是单值化区域，()f z 就是单值的，否则()f z 就是多值的），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0()f z （称为初值），则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）要按下面的公式计算：10()()()C f z f z f z =+∆其中()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，()f z 的连续改变量．● 在上述公式中，若进一步还有()0f z ≠（z G ∈），则借助复数的极坐标表示以及下面的幅角类函数的已知初值求终值的公式，还可得下面的一般公式：设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），且()0f z ≠（z G ∈），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0arg ()00()()i f z f z f z e =（称为初值）， 则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）还可按下面的公式计算：0arg ()arg ()11()()C i f z i f z f z f z e e ∆=⋅，其中0arg ()i f z e 是初值0arg ()00()()i f z f z f z e =中的因子0arg ()i f z e ，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（2）幅角类函数的公式（2个）：● 设arg z 是幅角函数rg A z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg z 在某一点0z G ∈的值为0arg z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg z 要按下面的公式计算：10arg arg arg C z z z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，arg ()f z 是rg ()A f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg ()f z 在某一点0z G ∈的值为0arg ()f z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg ()f z 要按下面的公式计算：10arg ()arg ()arg ()C f z f z f z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（3）对数类函数的公式（2个）：● 设ln ln arg z z i z =+（称为确定分支的结构表示）是对数函数Ln z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln z 在某一点0z G ∈的值为000ln ln arg z z i z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln z 要按下面的公式计算：110ln ln arg arg C z z i z i z =+∆+其中{}00arg Im ln z z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线， arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+是Ln ()f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln ()f z 在某一点0z G ∈的值为000ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln ()f z 要按下面的公式计算：110ln ()ln ()arg ()arg ()C f z f z i f z i f z =+∆+其中{}00arg ()Im ln ()f z f z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（4）根式类函数的公式（2个）：● arg zi n e =（称为确定分支的结构表示）是根式函数在区域{}\0G ⊂内的0z G ∈0arg z i n e =，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg argC z z i i n n e e ∆⋅其中0arg z i n e 0arg z i n e =中的因子0arg z i n e ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠arg ()f z i n e =是根式类函数在区域G 0z G ∈的值为0arg ()f z i n e ，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg ()arg ()C f z f z i i n n e e ∆=⋅其中0arg ()f z i n e 0arg ()f z i n e 中的因子0arg ()f z i ne ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()Cf z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．特别，取()()f z P z =（多项式函数）或()()f z R z =（有理函数）时，上述公式就是两类常用根式类函数分值函数已知初值求终值的公式．（5）一般幂函数的公式：● 设ln arg z i zz e e ααα=⋅（称为确定分支的结构表示）是一般幂函数在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知z α在某一点0z G ∈的值为00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1z α要按下面的公式计算：10ln arg arg 1C z i z i z z e e e αααα∆=⋅⋅其中0arg i z e α是初值00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅中的因子0arg i z e α（具体可用00arg 0ln i z z z e e ααα=计算），01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．9．在8涉及的计算中，幅角的连续改变量的计算是关键，下面列举的幅角连续改变量的计算公式是具体计算中常用的（希望熟练掌握）：设C 是一条有向简单曲线，1()f z 和2()f z 在C 上连续，且1()0f z ≠，2()0f z ≠，则 1212arg ()()arg ()arg ()C C C f z f z f z f z ∆=∆+∆；1122()arg arg ()arg ()()C C C f z f z f z f z ∆=∆-∆；11arg ()C C f z n∆=∆． 特别，取1101()()()()m k k m f z P z a z a z a ==--，则注意到0arg 0C a ∆=，有11011arg ()arg ()()arg()m mk k C C m i C i i f z a z a z a k z a =∆=∆--=∆-∑ 取1101101()()()()()()()m n k k m n a z a z a P z f z Q z b z b z b ββ--==--，则注意到0arg 0C a ∆=，0arg 0C b ∆=，有111011101()arg ()arg()()()argarg()arg().()()mn C C k k m nm C i C i j C j i j n P z f z Q z a z a z a k z a z b b z b z b βββ==∆=∆--=∆=∆--∆---∑∑第三章 复积分的学习要点复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路．实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而真正理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与二元实函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点．复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()f z 沿C 可积或()d Cf z z ⎰存在⇔(,)d (,)d Cu x y x v x y y -⎰和(,)d (,)d Cv x y x u x y y +⎰都存在．此时还有()d (,)d (,)d (,)d (,)d CCCf z z u x y x v x y y i v x y x u x y y =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法和牛顿－莱布尼兹公式法，并能用这两种方法熟练计算复积分．● 熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C （C 为光滑曲线）的参数方程为：()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰，其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外为了能用上述公式顺利地进行计算，还要能正确写出一些常见曲线的参数方程，例如：（1）连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程：121()z z z z t =+-，01t ≤≤． （2）圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤． ● 熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径（要求是光滑或逐段光滑的曲线），若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z '=，z D ∈），则0()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里值得注意的是：10 用牛顿－莱布尼兹公式计算积分的关键是：找到被积函数()f z 在包含积分路径C 的某区域内的原函数．20 当()F z 为某多值函数在包含积分路径C 的某单值化区域内的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值（常常作为初值）以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定（即分支函数的已知初值求终值的公式来确定）．4．熟悉并掌握几个常用典型的积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，记()I C 表示C 的内部，()W C 表示C 的外部，则()1()1()2,1d 0()0nCa I C n a I C n a W C n Zi z z a π∈=∈≠∈∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰，，，，， ． ② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),1d 1(),()(1)当当i n i n nCn n n i z e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰．特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,1d 0,()nCn n i z z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当． ③0d Cz Z z =-⎰，221d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意光滑或逐段光滑曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为单连通区域内解析函数的积分特征；熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解各种形式的柯西定理在计算积分中所起的作用）；初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，体会这种方法的基本思路：即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题，关注以下三个要点：生的变上限函数．内的一个原函数．一个原函数；当解析函数在此区域内的积分与路径有关时，它一定没有原函数，此时变上限函数是多值函数．附：定理3.3 若函数()f z 在单连通区域D 内解析，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．定理3.4 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．问题思考：若解析函数()f z 在某多连通区域D 内的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰是多值函数（即()f z 在D 内的积分与路径有关），试用考虑如何将0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 内单值化？并由此再体会第二章中，为什么将多值函数单值化时，要用割线将定义域割开，其道理是什么？6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分．并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）． 9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法． 10．归纳复积分()d Cf z z ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式． 当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用教材第3章习题3的第11或12题． 11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的：①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()d Cf z z ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()d 0Cf z z =⎰．注意：这两种说法也适合于多连通区域的情形．第四、五章 复级数的学习要点复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
复变函数1 复数与复变函数
2 . 乘方与开方运算 1）乘方 z
n
=r e
n inθ
= r ( cos nθ + i sin nθ )
n
n
De Moivre 公式： ( cosθ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
z=z1+t(z2−z1). (0≤t≤1)
z1 + z2 z= 2
的中点为
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z + i |= 2; | z − 2i |=| z + 2 |; Im(i + z ) = 4.
解：
1)
| z + i |= 2
y x −i
设 z = x + i y , 方程变为
⇔
他们的实部和虚部都相等
复数的表示法 1.代数形式 : z = x + iy
1)点表示 虚轴
复数z = x + iy ↔ 平面XOY 上的点 z ( x, y )
y y r
θ
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
r 复数z=x+iy ↔ 矢径z
y
r = | |z
r z z=x+iy
| x |≤| z |,| y |≤| z | | z |≤| x | + | y |, zz =| z | =| z | x
4
即
π π⎞ ⎛ w0 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 ⎠ ⎝ 16 9π ⎞ ⎛ 9π 8 w1 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 16 ⎠ ⎝
复变函数详细讲解
x1 x2 y1 y 2 ix2 y1 x1 y 2
x2 y 2
2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
浙江大学
c) 共轭复数：
z x iy , z x iy
容易 验证
互为共轭复数
2
z z,
zz x y
x
O
z1
3 3 1 3 z3 i 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n zz z r n (cos n i sin n )
复数的方根
设
z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
wn z
的所有w值为z的n次方根，并且记为
wn z
浙江大学
设
w e i ,
则
n e in re i
r
n
e
in
e
i
n r , n 2k , k 0,1,2,
即
r,
n
2k
n
1 n
,
k 0,1,2,
i sin
w re
n
i
2 k
复数的 模
Arg z
复数的 幅角
浙江大学
讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为
0 arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
复变函数论
arg
z
arctg
3 1
3
2 3
，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z
2(cos(
2
)
sin(
2
))
i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0
x
0,
y
0, arg
z
当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (
(
,
))
arctan
y
(
(
,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接
复变函数论 第一章
(1) z i 2; (2) z 2i z 2 ; (3) Im(i z ) 4.
求下列方程所表示的曲线:
11
2016/12/7
复变函数
1.乘积与商 四、复数的乘幂与方根 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z y 先把 z1 按逆时针方向
1 2
r
12
2016/12/7
复变函数
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. z1 注 : arg(z 1 z 2 ) argz 1 argz 2 , arg ( ) argz1 argz 2不一定成立. z2 2.幂与根 n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂, n n z z z. 记作 z , z
x 0, y 0, x 0 , y 0.
2016/12/7
ห้องสมุดไป่ตู้
复变函数
3. 利用平行四边形法求复数的和差
y
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 . y
z2 z1
o
z1 z2
z2 z1
o x
x
z1 z2 4. 复数和差的模的性质 z2 因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故 y z2 z1 z2 (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 ( 2) z1 z2 z1 z2 . z
复变函数
三、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x, y ) 表示. 1. 复数的模 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
明德 第一章 复数与复变函数
P x, y
复数z x iy可用xoy平面上 坐标为( x，y )的点p表示.此时，
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 平 面— 复 平 面 或 z平 面
0
z x iy
x 实轴
数z与点z同义
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) oP { x , y } 显然下列各式成立 可 用 向 量 oP表 示z x iy。 x z, y z, 称向量的长度为复数z=x+iy 的模或绝对值； 2 以x轴正方向为始边,OP 为终边的的夹角 θ 称为复数 2 z z z z . z x y, z=x+iy的辐角. y 虚轴 uu r
2 2
法 2. 将 z x iy 代入得： x y 1 i 2
x y 1 i 4 即 x y 1 4
2 2 2
2
z 2i z 2
解: 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
0
特别的，以z0为圆点？
z z0 Re i 0 2 , 为参数
x
0 2 , 为参数
例5 指出下列方程表示的曲线
1
解:法 1.
zi 2
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
距离为2的点的轨迹, 即圆 x y 1 4
n
k 0,1,,n 1
(1) 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
n n (2)几何上， z 的n个值是以原点为中心， r 为半 径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
复变函数8-17
第一章复数与复变函数1.1复数1.1.1复数及其代数运算1.复数概念，i虚数单位复数：z=x+iy（x，y），x，y分别称为实部与虚部，x=Re（z），y=Im（z）x=0，y，z=iy，纯虚数；y=0，z=x实数复数的相等，复数等于零，复数不可比较大小，只能说相等与否。
共轭复数：实部相等，虚部互为相反数，及x+iy与x-iy互为共轭复数，记。
2.复数的代数运算：加减乘除满足定理：（1）交换律（2）结合律（3）分配律注意：（1）z+0=z ，0*z=0 （2）z*1=z ，z*=1（3）若，则，中至少有一个为零，反之亦然；（4）（5）共轭复数运算性质：（1）（2）（3）（4）1.1.2复数的几何表示1.复平面：x轴定义为实轴，y轴虚轴；z=x+iy与一对有序实数（x，y）唯一确定。
xOy定义为复平面2.复数的模与辐角复数的向量表示；复数的模：向量z的长度为复数z的模，记(1)(2)，z(3)，，(4)(5)推论：（6）复数的辐角：Argz，无穷多个，相差2π的整数倍。
辐角主值：-π，称为辐角主值，记argz1.1.3复数四则运算的几何意义直角坐标与极坐标的关系：z=x+iy，z=r（），复数z的三角表达式。
讲解例题：复数乘除法的几何表达：（），（）（）（）（）定理1.1 两个非零复数乘积的模它们模的乘积，乘积的辐角等于它们辐角的和。
定理1.2 两个非零复数商的模它们模的商，商的辐角等于被除数与除数的辐角差。
复数的代数表达：z=x+iy复数的三角表达：z=r（）欧拉公式：复数的指数表达：z=r（）（）习题讲解：1.1.4扩充复平面1.复数的球面表示（概念的理解）2. “无穷远点”的概念。
扩充复平面：包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。
无穷远点是唯一的。
3.复数复数与扩充复平面上的无穷远点相对应。
复数的实部、虚部、辐角均无意义。
z=的运算规定（了解）1.2复数的乘幂与方根1.2.1复数的乘幂复数的指数表达：z=r，对于任何整数n，复数z的乘幂下列公式都成立：当r=1时，（）欧拉公式：即可得出：（）（）1.2.2复数的方根（w，），复数w为复数z的n次根，记作w=，或者w=。
魏雅薇复变函数论第一章
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
z1 z2 z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1.
南开大学 魏雅薇
2. 结合律
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 );
南开大学 魏雅薇
共轭复数: 复数 x-iy 称为复数 x+yi 的共轭复数(其中x, y
均为实数), 并记做 z . 显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即
z z z.
南开大学 魏雅薇
复数的四则运算
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2. 注意 复数不能比较大小.
第二部分：复变函数的积分
第三部分：复变函数的级数
第四部分：留数及其应用
第一章
复数 和
复变函数
南开大学 魏雅薇 第一章：复数与复变函数
1 复数，复数域 2 平面点集 3 复变函数的极限，连续
南开大学 魏雅薇
第1节 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
南开大学 魏雅薇
南开大学 魏雅薇
例 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为 z1 z2 z1 z2 z1z2 ,
所以由运算规律7，有
z1 z2 z1z2 z1 z2 z1 z2 2Re z1 z2 .
复变函数1.pdf
2⎢⎣⎡cos
π 4
+
i
sin
π⎤ 4 ⎥⎦
4
1+
i
=
8
⎡π
⎢ 2⎢cos
4
⎢⎣
+ 2kπ 4
+
π i sin 4
+
2kπ
⎤ ⎥
4
⎥ ⎥⎦
即
w0
=8
2
⎣⎡⎢cos
π 16
+
i
sin
1π6⎥⎦⎤,
(k = 0,1,2,3).
w1
=
8
2⎣⎡⎢cos
9π 16
+
i sin 916π⎥⎦⎤,
w2
=
8
2⎣⎡⎢cos
当 z 的模 r = 1,即 z = cosθ + i sinθ ,
(cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ .棣莫佛公式
例 计算（ 12-2i）3
解 由于 12-2i = 4[cos(−π / 6) + i sin(−π / 6)]
因此( 12-2i)3 = 43 (cos(−π / 6) + i sin(−π / 6))3
例如，设 z1 = −1, z2 = i, 则 z1 ⋅ z2 = −i,
Argz1 = π + 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,"),
A故Arrgg3(zπz21+z=22)π2(=m+−2+πm2n+π)π,2k=π(m−, π=(+k02,=k±π01,,,
± 2,"), ± 1, ± 2,"),
第一章复数与复变函数
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
• 总之,复变函数得主要研究对象就是解析函 数,包括单值函数、多值函数以及几何理论 三大部分。在悠久得历史进程中,经过许多 学者得努力,使得复变函数论获得了巨大发 展,并且形成了一些专门得研究领域。
• 从20世纪30年代开始,我国数学家在单复变 与多复变函数方面,做过许多重要工作:在四 五十年代,华罗庚教授在调与分析、复分析、 微分方程等研究中,有广泛深入得影响。在 70年代,杨乐、张广厚教授在单复变函数得 值得分布与渐进值理论中得到了首创性得 重要成果。从80年代起,我国数学工作者在 数学得各领域中开展了富有成果得研究工 作。这些都受到国际数学界得重视。建议 大家多读一些数学史资料。
解: （cos 3 i sin 3）=(cos i sin )3
cos3 3i cos2 sin 3cos sin2 i sin3
cos 3 cos3 3cos sin2 4 cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
1、 复平面点集得几个基本概
定义1、1 邻域:
念
平面上以 z0 为中心, (任意的正数 )为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为 z0 的邻域.
复变函数第一章
3、复数的模与辐角
模: 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所 引向量oz). 向量的长度称为复数的模,定义为：
| z | x2 y2 0 即 | z |2 z z | z | 0 z 0
性质:
| z | Re z z ; | z | Im z z ;
F(1 (z z), 1 (z z)) 0
2
2i
三点z1, z2 , z3共线的充要条件是
z3 z1 t (t为非零实数) z2 z1
例11 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2, z z 2x, z z 2yi
De Moivre公式
(cos i sin )n cos n i sin n
方根 非零复数z的n次方根,是指满足n z的
复数的全体,记为n z
设z rei , ei 则 nein rei
从而 n r, n 2k
从而 n r , 2k
1
bz a bz a
例6 设 z1 , z2是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：| z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
第一章复变函数
ϕ/n+4(2π/n) ϕ/n+3(2π/n)
复数研究可归结为实数研究
z → z0
x → x0 y → y0
16
例题， p4, 3(1) 计算 a + i b 解答：
a + ib =
2 2
a +b +i 2 2 2 2 a +b a +b a b
= 4 a 2 + b 2 e i (ϕ0 + 2 kπ ) / 2 = 4 a 2 + b 2 e iϕ0 / 2 e ikπ ( k = 0, 1) = ± a +b e
≤ arctan ≤ 2 x 2 0 ≤ ϕ < 2π
−
复数 z 的三种表示: 的三种表示: 代数式： 代数式： z = x + iy 三角式： 三角式： z = 指数式： 指数式：
y ρ cosϕ ρ ϕ
2 2
ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
iϕ
•
z(x,y) ρ sinϕ x
z=ρe
模： ρ ≡| z |=| x + iy |= x + y
o
复数平面
欧拉(Euler)公式 "the most remarkable formula in mathematics" (by Richard Feynman)
e = cos ϕ + i sin ϕ
e
z1 + z2
iϕ
= e ⋅e
例3. w=1
/ z =u(x,y)+i v(x,y)
1 ( x − iy ) x y = = 2 −i 2 2 z ( x + iy )( x − iy ) x + y x + y2
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引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为5+525(15)40--=．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章§1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre 公式.难点：德摩弗()DeMoiVre 公式.课时：2学时.1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位．两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为 ()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±±1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz 的长度称为复数z 的模，记为图1.1220r z x y ==+≥显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212z z z z +≤+ (1.2)（三角形两边之和≥第三边，图1.2）图1.21212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足y xθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件 Argz ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+ (1.5)(0,1,2,)k =±±注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有 (cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z r e r r r e z r e r e z r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z = 2(0)z ≠ (1.10) 12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当21z =时可得 12()12i z z re θθ+= 此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有 12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z ===时，有()(cos sin )n i n n in n z re r e r i θθθθ===+当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+ (1.13)例1.1求cos3θ及sin3θ用cos θ与sin θ表示的式子解：3cos3sin 3(cos sin )i i θθθθ++（）= 3223cos 3cos sin 3cos sin sin i i θθθθθθ=+--323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos θθθθθθ∴=-=-233sin33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-4.曲线的复数方程例1.2连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为121()(01)z z t z z t =+-≤≤过1z 及2z 两点的直线（图 ）的参数方程为121()()z z t z z t =+--∞≤≤+∞例1.3 z 平面上以原点为心，k 为半径的圆周的方程为z R =z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为Im 0z =，虚轴的方程为Re 0z =.作业:第42页 2,3,4§2 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义1.1 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z 的ρ-邻域，记为0N z ρ（）． 显然，0N z ρ（）即表示以0z 为心，以ρ为半径的圆的内部 定义1.2 设E 为平面上的一个点集，若平面上一点0z 的任意邻域内巨有E 的无穷多个点，则称0z 为E 的内点．定义1.3 若E 的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集．若E 的所有点均为内点，则称E 为开集定义1.4 若0M ∃>，z E ∀∈，均有z M ≤则称E 为有界集，否则称E 为无界集．2. 区域与约当()Jordan 曲线定义1.5 若非空点集D 满足下列两个条件：(1) D 为开集．(2) D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域.定义1.6 若0z 为区域D 的聚点且0z 不是D 的内点，则称0z 为D 的界点，D 的所有界点组成的点集称为D 的边界，记为D ∂，若0r ∃>，使得0()r N z D ϕ⋂=，则称0z 为D 的外点 定义1.7 区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+有关区域的几个例子 例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部（即圆形区域）：0z z R -< 例1.6 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0z z R -≤ 例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0z z R -=为边界，且均为有界区域例1.7 上半平面 Im 0z >下半平面 Im 0z <它们都以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域．左半平面 Re 0z >右半平面 Re 0z <它们都以虚轴Re 0z =为边界，且均为无界区域．例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Im y z y <<.图1.4x其边界为1y y =与2y y =，亦为无界区域． 例1.9 图 所示的圆环区域表为r z R <<其边界为z r =与z R =，为有界区域．定义1.8 设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[,]αβ上的连续实数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+ ()t αβ≤≤ (1.13)所确定的点集C 称为z 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C 的参数方程，()z α及()z β分别称为C 的起点和终点，对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ，若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线．若在t αβ≤≤上时，()x t '及()y t '存在节不全为零，则称C 为光滑（闭）曲线．定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为C 、()I C 、()E C 三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质： 图1.5(1)彼此不交．(2)()I C 与()E C 一个为有界区域（称为C 的内部），另一个为无界区域（称为C 的外部） (3)若简单折线P 的一个端点属于()I C ，另一个端点属于()E C ，则P 与C 必有交点． 对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C 绕行一周时，C 的内部（或挖）始终在C 的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C 的正方向（或负方向）．定义1.10设D 为复平面上的区域，若D 内任意一条简单闭曲线的内部全含于D ，则称D 为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例1.5 1.8-所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域． （请读者针对定义1.10自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1． 复变函数概念定义1.11 设E 为一复数集，若存在一个对应法则f ，使得E 内每一复数z 均有唯一（或两个以上）确定的复数u 与之对应，则称在E 上确定了一个单值（或多值）函数()w f z =()z E ∈，E 称为函数()w f z =的定义域，w 值的全体组成的集合称为函数()w f z =的值域．例如w z =，w z =及11z w z +=- (1)z ≠均为单值函数，w =w Argz =(0)z ≠ 均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设()w f z =是定义在点集E 上的函数，若令z x iy =+，w u iv =+则u 、v 均随着x 、y 而确定，即u 、v 均为x 、y 的二元实函数，因此我们常把()w f z =写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+ (1.14)若z 为指数形式，i z re θ=，则()w f z =又可表为(,)(,)w p r i r θθθ=+ (1.15) 其中(,)p r θ，(,)Q r θ均为r 、θ的二元实函数．由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面z 上的点集和复平面w 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换．3. 复变函数的极限和连续性定义1.12 设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，若存在一复数0w ，使得0ε∀>，0δ∃>，当00z z δ<-<时有0()f z w ε-< ()z Z ∈则称()f z 沿E 于0z 有极限0w ，记为lim()0()f z w z z z E =→∈ 定义1.12的几何意义是：对于0ε∀>，存在相应的0δ>，使得当z 落入0z 的去心δ-邻域时，相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域．这就说明lim()0()f z z z z E →∈与0z z →的路径无关．即不管z 在E 上从哪个方向趋于0z ，只要z 落入0z 的去心δ-邻域内，则相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域内，而在数学分析中，0lim ()x x f x →中x 只能在x 轴上沿着0x 的左，右两个方向趋于0x ，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，lim()0()f z z z z E →∈均写成lim ()0f z z z → 可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：(1)若极限存在，则极限是唯一的．(2)lim ()0f z z z →与lim ()0g z z z →都存在，则有lim [()()]lim ()lim ()000f zg z f z g z z z z z z z ±=±→→→ lim ()()lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z =→→→ lim ()()0lim lim ()lim ()000f z z z f zg z g z z z z z z z →=→→→ (()0)g z ≠ 另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理： 定理1.2 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义，000z x iy =+为E 的聚点，则lim ()0f z a ib z z η==+→的充要条件0lim (,)x x u x y a →=及0lim (,)y y v x y b →= 证明：因为()[(,)][(,)]f z u x y a i v x y b η-=-+-从而由不等式1.1可得(,)()(,)()u x y a f z v x y b f z ηη-≤-⎫⎪⎬-≤-⎪⎭(1.16) 及 ()(,)(,)f z u x y a v x y b η-≤-+- (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明．由(1.17)可得充分性部分的证明． 定义1.13设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，且0z z ∈，若0lim ()()f z f z =则称()f z 沿E 于0z 连续．根据定义1.13，()f z 沿E 于0z 连续就意味着：0ε∀>，0δ∃>，当0z z δ-<时，有0()()f z f z ε-<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若()f z ，()g z 沿集E 于点0z 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母0z 不为零）沿点集E 于0z 连续．(2)若函数0()f z η=沿集E 于0z 连续，且()f E G ⊆，函数()w g η=沿集G 于00()f z η=连续，则复合函数0[()]w g f z =沿集E 于0z 连续．其次，我们还有定理1.3 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义,0z E ∈,则()f z 在点000z x iy =+连续的充要条件为：(,)u x y ,(,)v x y 沿E 于点00(,)x y 均连续.事实上,类似于定理1.2的证明,只要把其中的a 换成00(,)u x y ,b 换成00(,)v x y 即可得到定理的证明.例1.10 设1()()2z z f z i zz =- (0)z ≠ 试证()f z 在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设(cos sin )z r i θθ=+,则22211()()()sin 222z z z z z z f z i i r zz θ-+-=== 因此000lim ()0z z f z z θπθ→→⎧⎪=⎨→⎪⎩当沿着正实轴=0时1当沿着正实轴=时4故0lim ()z f z →不存在,从而在原点不连续. 定义1.14 若函数()f z 在点集E 上每一点都连续,则称()f z 在E 上连续,或称()f z 为E 上的连续函数.特别地,当E 为实轴上的区间[,]αβ时,则连续曲线(1.16)就是[,]αβ上的连续函数()z z t =其次,若E 为闭区域D ,则D 上每一点均为聚点,考虑其边界上的点0z 的连续性时,0z z →只能沿D 的点z 来取.与数学分析相同,在有界闭集E 上连续的伏辩函数具有以下性质：(1)在E 上()f z 有界,即0M ∃>,使得()()f z M z E ≤∈ (2)()f z 在E 上有最大值和最小值.(3)()f z 在E 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>使对E 上任意两点1z ,2z ,只要12z z δ-<就有12()()f z f z ε-<作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17。