242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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高中数学:242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高中数学:242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算实质即 为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
3.两向量垂直的坐标表示 非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔___x_1_x_2+_y_1_y_2_=_0_____. 4.向量夹角的坐标表示
若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量的夹角为θ,则 cos θ= a b =
的形状等.
(3)已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下: a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0; a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0. 两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积
相反.
(4)垂直向量的坐标之间的关系:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为坐标平面内的 uuur uuur uuur uuur
变式探究:把(2)中条件“c=(2,1)”变为“c=(2,k)”且“(a-c)⊥b”,求实 数k.
解:因为 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,k), 所以 a-c=(-1,3-k), 又(a-c)⊥b, 所以-1×2+(3-k)×5=0,
所以 k= 13 . 5
方法技巧 数量积运算的注意点及运算思路 (1)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知 识的联系. (2)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互 补充.
答案:(1)D
(2)已知向量a=(2,-1),a+2b=(6,3),b·c=14,︱c︱=5,则向量c的坐标为 .
解析:(2)因为 2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以 b=(2,2).设 c=(x,y),

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

( )( )
r r 已知a = (1, x), b = 3,1) (例3 . r r r r (1)当x为何值时,a+b与a − 2b平行? 2 r r r r (2)当x为何值时,a+b与a − 2b垂直? 2
并判断∆ABC的形状,给出证明。
4、两向量夹角公式的坐标运算 、
r r 已知两个非零向量a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , r r r r θ 是a与b的夹角,如何求a与b的夹角的余弦值呢?
),向量 已知 a =(4,3),向量 的单位向量, 的单位向量,求 b .
例5
b 是垂直于 a
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达标测评: 达标测评: ⋅ 1 、已知 = (-3,4), = (5,2),求a b,| a |,| b | 已知a ),b 3 , )求 | ),b 2、a = (2,3), = (-2,4), c = (-1,-2) 求a b, , ), 2 1 2 , ),a ),(a (a + b) (a - b), (b + c),( + b)2 ) ), ),( 3、已知 = (-2,4), = (1,-2),则a 与b的关系是 ),b 、已知a 2 , 2),则 的关系是 A、不共线 、 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向 、 、 、 4、以A(2,5), (5,2), (10,7)为顶点的三角 ),B( , ), ),C( , ) 、 ( , ), 形的形状是 A、等腰三角形 √ 直角三角形 C、等腰直角三角形 B、 、 、 、 D、等腰三角形或直角三角形 、
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平面向量数量积的坐标表示、模和夹角

平面向量数量积的坐标表示、模和夹角

解析:设 e=(x,y),∴x2+y2=1.① 又 a·e=0,∴3x+4y=0.② 联立①②解得
x=45, y=-35,
或xy= =35-. 45,
答案:C
5.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+ b)·c=52,则 a 与 c 的夹角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.在利用公式 cosθ= x21x+1x2y+21 yx122y+2 y22求解时,一般先求 出|a|,|b|,a·b,再代入公式求解.
若求两向量分别所在的直线的夹角,求出上述 θ 角后, 分析 θ 角或其补角 π-θ 为所求的角.
3.利用坐标求距离有以下两种方法: (1)求向量的长度(模). 若 a=(x,y),则有|a|= x2+y2. (2)两点间距离公式.
或 xy= =35-45
.
故选 B.
答案:B
二、填空题 7.已知 a=(2,-3),b=(-5,8),则(a+b)·b=______.
解析:(a+b)·b=a·b+|b|2=2×(-5)+(-3)×8+[(-5)2 +82]=55.
1通过向量的坐标表示实现向量问题代数化,应注意与 方程、函数等知识的联系.
2向量问题的处理有两种思路:一种是纯向量式,另一 种是坐标式,两者互相补充.
总结规律
我们在进行向量的数量积运算时,要牢记有关的运算法 则和运算性质.解题时通常有两条途径: 一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算; 二是先利用数量积的运算律将原式展开,再由已知计算. 三是如果涉及图形的数量积运算,只需把握图形特点,求出 相关点的坐标,利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐 标的差得到向量的坐标即可.

2.4.2向量数量级的坐标表示

2.4.2向量数量级的坐标表示
试判断ABC的形状,并给出证明.
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
B(2,3)
A(1,2) 0
x
AB AC
三角形 ABC是直角三角形 .
故两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y ) 1 1
a b x1x2 y1 y2
B(x2,y2)
b
j
a
i
o 根据平面向量数量积的
x
坐标表示,向量的数量积的运算可 转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a b a b 0
向量数量积是否为零,是判断相应两条线段或直线的重 要方法之一
练习2:以原点和A(5,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,B=90,求点B的坐标. 3 7 y 答案:B的坐标为( , ) B 2 2 7 3 或( , ) 2 2
O
A x
四、逆向及综合运用
例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b是 垂直于 a 的单位向量,求 b .
(2)已知a 10, b (1,2),且a // b,求a的坐标.
3 (3)已知a (3,0), b (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.
例4:已知 a =(1, 3),b =( 3+1, 则a与b的夹角是多少?
解:由a =(1, 3),b =( 3+1, 3 1), 有 a b 1 ( 3 1) 3 ( 3 1) 4, a 2, b 2 2,

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2  平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
| AB | 32 32 3 2
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6: 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
()证明: b 1 a
即f (t )
作业:
1.已知向量 a与b同向, (1,2), a b 10 b
()求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4), (9, x), 且a // c, b c b
()求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即: 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得: 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1: A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状,并给出证明
解:
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)

| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角吗?答案不一定,当cos θ<0时,两向量的夹角θ可能是钝角,也可能是180°.1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(×)2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.(×)提示当两向量同向共线时,cos θ=1>0,但夹角θ=0,不是锐角.3.两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于()A.10 B.-10C.3 D.-3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a +2b =(4,-3),a -3b =(-1,2),所以(a +2b )·(a -3b )=4×(-1)+(-3)×2=-10. (2)如图所示,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 在边CD 上,且DE →=2EC →,则AE →·BE →的值是________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB =2,BC =2,∴A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2), ∵点E 在边CD 上,且DE →=2EC →,∴E ⎝⎛⎭⎫223,2.∴AE →=⎝⎛⎭⎫223,2,BE →=⎝⎛⎭⎫-23,2, ∴AE →·BE →=-49+4=329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b =x 1x 2+y 1y 2,并能灵活运用以下几个关系: ①|a |2=a ·a .②(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2. ③(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.跟踪训练1 向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a +b )·a 等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a =(1,-1),b =(-1,2),所以2a +b =2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a +b )·a =(1,0)·(1,-1)=1,故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a =(3,5),b =(-2,1). (1)求a -2b 及其模的大小; (2)若c =a -(a ·b )b ,求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a =(3,5),b =(-2,1),∴a -2b =(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), ∴|a -2b |=72+32=58.(2)∵a ·b =-6+5=-1, ∴c =a +b =(1,6), ∴|c |=12+62=37.反思感悟 求向量a =(x ,y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系要灵活应用公式a 2=|a|2=x 2+y 2,求模时,勿忘记开方. (2)a ·a =a 2=|a |2或|a |=a 2=x 2+y 2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.跟踪训练2 已知向量a =(2,1),a·b =10,|a +b |=52,则|b |等于( ) A. 5 B.10 C .5 D .25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a =(2,1),∴a 2=5, 又|a +b |=52,∴(a +b )2=50, 即a 2+2a ·b +b 2=50,∴5+2×10+b 2=50,∴b 2=25,∴|b |=5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),O (0,0),若|OA →+OC →|=13,α∈(0,π),则OB →,OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →+OC →|2=(OA →+OC →)2=OA →2+2OA →·OC →+OC →2=9+6cos α+1=13, 所以cos α=12,因为α∈(0,π),所以α=π3,所以C ⎝⎛⎭⎫12,32,所以cos 〈OB →,OC →〉=OB →·OC →|OB →||OC →|=3×323×1=32,因为0≤〈OB →,OC →〉≤π,所以〈OB →,OC →〉=π6,所以OB →,OC →的夹角为π6,故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a |=x 2+y 2求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练3 已知a =(1,-1),b =(λ,1),若a 与b 的夹角α为钝角,求λ的取值范围. 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a =(1,-1),b =(λ,1), ∴|a |=2,|b |=1+λ2,a ·b =λ-1.又∵a ,b 的夹角α为钝角,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ-1<0,2·1+λ2≠1-λ,即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1,λ2+2λ+1≠0.∴λ<1且λ≠-1.∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中,AB →=(2,3),AC →=(1,k ),若△ABC 是直角三角形,求k 的值. 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →=(2,3),AC →=(1,k ), ∴BC →=AC →-AB →=(-1,k -3).若∠A =90°,则AB →·AC →=2×1+3×k =0,∴k =-23;若∠B =90°,则AB →·BC →=2×(-1)+3(k -3)=0,∴k =113;若∠C =90°,则AC →·BC →=1×(-1)+k (k -3)=0, ∴k =3±132.故所求k 的值为-23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化,若在关于三角形的问题中,未明确哪个角是直角时,要分类讨论.跟踪训练4 已知a =(-3,2),b =(-1,0),若向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) A.17 B .-17 C.16 D .-16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa +b 与a -2b 垂直,得 (λa +b )·(a -2b )=0.因为a =(-3,2),b =(-1,0), 所以(-3λ-1,2λ)·(-1,2)=0, 即3λ+1+4λ=0,解得λ=-17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图,已知△ABC 的面积为32,AB =2,AB →·BC →=1,求边AC 的长.解 以点A 为坐标原点,AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系,设点C 的坐标为(x ,y )(y >0), ∵AB =2,∴点B 的坐标是(2,0), ∴AB →=(2,0),BC →=(x -2,y ). ∵AB →·BC →=1,∴2(x -2)=1,解得x =52.又S △ABC =32,∴12·|AB |·y =32,∴y =32,∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52,32,则AC →=⎝⎛⎭⎫52,32, ∴|AC →|=⎝⎛⎭⎫522+⎝⎛⎭⎫322=342, 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系,从而建立形与数的联系.利用平面向量的坐标解决线段的长度问题,提升了学生数形结合的能力,培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养.1.已知a =(3,4),b =(5,12),则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |=32+42=5,|b |=52+122=13.a·b =3×5+4×12=63.设a ,b 夹角为θ,所以cos θ=635×13=6365.2.若向量a =(x ,2),b =(-1,3),a·b =3,则x 等于( ) A .3 B .-3 C.53 D .-53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b =-x +6=3,故x =3.3.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ等于( )A .-4B .-3C .-2D .-1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m +n =(2λ+3,3),m -n =(-1,-1),由(m +n )⊥(m -n ),可得(m +n )·(m -n )=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.4.若平面向量a =(1,-2)与b 的夹角是180°,且|b |=35,则b 等于( )A .(-3,6)B .(3,-6)C .(6,-3)D .(-6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b =λa =(λ,-2λ)(λ<0),则|b |=λ2+(-2λ)2=5|λ|=35,又λ<0,∴λ=-3,故b =(-3,6).5.已知三个点A (2,1),B (3,2),D (-1,4).求证:AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1),B (3,2),D (-1,4),∴AB →=(1,1),AD →=(-3,3).又∵AB →·AD →=1×(-3)+1×3=0,∴AB →⊥AD →,即AB ⊥AD .6.已知a =(4,3),b =(-1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦值;(2)若(a -λb )⊥(2a +b ),求实数λ的值.考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b =4×(-1)+3×2=2,|a |=42+32=5,|b |=(-1)2+22=5,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=255=2525. (2)∵a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8),(a -λb )⊥(2a +b ),∴(a -λb )·(2a +b )=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,∴λ=529.1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若两非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0,a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围,稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1.已知a =(3,-1),b =(1,-2),则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |=10,|b |=5,a ·b =5.∴cos 〈a ,b 〉=a ·b|a ||b |=510×5=22.又∵a ,b 的夹角范围为[0,π].∴a 与b 的夹角为π4.2.设向量a =(2,0),b =(1,1),则下列结论中正确的是( )A .|a |=|b |B .a·b =0C .a ∥bD .(a -b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a -b =(1,-1),所以(a -b )·b =1-1=0,所以(a -b )⊥b .3.已知向量a =(0,-23),b =(1,3),则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B .3 C .- 3 D .-3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|=-62=-3.故选D. 4.已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与b 垂直,则|a |等于( )A .1 B. 2 C .2 D .4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a -b )·b =2a ·b -|b |2=2(-1+n 2)-(1+n 2)=n 2-3=0,∴n 2=3,∴|a |=12+n 2=2.5.若a =(2,-3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A .(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313,21313C.⎝⎛⎭⎫31313,21313或⎝⎛⎭⎫-31313,-21313D .以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ,y ),∵(x ,y )是单位向量的坐标形式,∴x 2+y 2=1,即x 2+y 2=1,①又∵(x ,y )表示的向量垂直于a ,∴2x -3y =0,②由①②得⎩⎨⎧ x =31313,y =21313或⎩⎨⎧ x =-31313,y =-21313.6.已知a =(1,1),b =(0,-2),且k a -b 与a +b 的夹角为120°,则k 等于( )A .-1+ 3B .-2C .-1±3D .1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a -b |=k 2+(k +2)2, |a +b |=12+(-1)2=2,∴(k a -b )·(a +b )=(k ,k +2)·(1,-1)=k -k -2=-2,又k a -b 与a +b 的夹角为120°,∴cos 120°=(k a -b )·(a +b )|k a -b ||a +b |, 即-12=-22×k 2+(k +2)2,化简并整理,得k 2+2k -2=0,解得k =-1±3.7.已知OA →=(-2,1),OB →=(0,2)且AC →∥OB →,BC →⊥AB →,则点C 的坐标是( )A .(2,6)B .(-2,-6)C .(2,-6)D .(-2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ,y ),则AC →=(x +2,y -1),BC →=(x ,y -2),AB →=(2,1),∵AC →∥OB →,∴2(x +2)=0,①∵BC →⊥AB →,∴2x +y -2=0,②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =6,∴C (-2,6). 8.已知向量a =(1,1),b =(1,m ),其中m 为实数,则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0,π12内变动时,实数m 的取值范围是( )A .(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33,3C.⎝⎛⎭⎫33,1∪(1,3) D .(1,3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图,作OA →=a ,则A (1,1).作OB 1→,OB 2→,使∠AOB 1=∠AOB 2=π12, 则∠B 1Ox =π4-π12=π6, ∠B 2Ox =π4+π12=π3, 故B 1⎝⎛⎭⎫1,33,B 2(1,3). 又a 与b 的夹角不为0,故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33,1∪(1,3). 二、填空题9.已知a =(3,3),b =(1,0),则(a -2b )·b =________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a -2b =(1,3),(a -2b )·b =1×1+3×0=1.10.已知平面向量a =(2,4),b =(1,-2),若c =a -(a ·b )b ,则|c |=________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b =2×1+4×(-2)=-6,∴c =a -(a ·b )b =a +6b =(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c |=82+(-8)2=8 2.11.设m =(a ,b ),n =(c ,d ),规定两向量m ,n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n =(ac -bd ,ad +bc ),若已知p =(1,2),p ⊗q =(-4,-3),则q 的坐标为________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (-2,1)解析 设q =(x ,y ),则p ⊗q =(x -2y ,y +2x )=(-4,-3).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y =-4,y +2x =-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =1.∴q =(-2,1). 12.已知向量OA →=(1,7),OB →=(5,1)(O 为坐标原点),设M 为直线y =12x 上的一点,那么MA →·MB →的最小值是________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 -8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ,12x , 则MA →=⎝⎛⎭⎫1-x ,7-12x ,MB →=⎝⎛⎭⎫5-x ,1-12x , MA →·MB →=(1-x )(5-x )+⎝⎛⎭⎫7-12x ⎝⎛⎭⎫1-12x =54(x -4)2-8. 所以当x =4时,MA →·MB →取得最小值-8.三、解答题13.(2018·安徽芜湖质检)已知向量a =(1,2),b =(2,-2).(1)设c =4a +b ,求(b ·c )a ;(2)若a +λb 与a 垂直,求λ的值.考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c =4(1,2)+(2,-2)=(6,6),∴b ·c =(2,-2)·(6,6)=2×6-2×6=0,∴(b ·c )a =0·a =0.(2)∵a +λb =(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),(a +λb )⊥a ,∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=52.14.已知OA →=(4,0),OB →=(2,23),OC →=(1-λ)OA →+λOB →(λ2≠λ). (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影;(2)证明A ,B ,C 三点共线,且当AB →=BC →时,求λ的值;(3)求|OC →|的最小值.考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →=8,设OA →与OB →的夹角为θ,则cos θ=OA →·OB →|OA →||OB →|=84×4=12, ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ=4×12=2. (2)AB →=OB →-OA →=(-2,23),BC →=OC →-OB →=(1-λ)OA →-(1-λ)OB →=(λ-1)AB →,又因为BC →与AB →有公共点B ,所以A ,B ,C 三点共线. 当AB →=BC →时,λ-1=1,所以λ=2.(3)|OC →|2=(1-λ)2OA →2+2λ(1-λ)OA →·OB →+λ2OB →2=16λ2-16λ+16=16⎝⎛⎭⎫λ-122+12, ∴当λ=12时,|OC →|取最小值2 3.。

高中数学:242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高中数学:242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究基础巩固1.向量a =(-1,2),b =(1,3),下列结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.a ∥(a -b )D.a ⊥(a -b )a -b =(-2,-1),易得a ·(a -b )=0,故a ⊥(a -b ),选D .2.若a =(3,4),则与a 共线的单位向量是( ) A.(3,4)B.(35,45)C.(35,45)或(-35,-45) D.(1,1)a 共线的单位向量是±a|a |=±1(3,4),即与a 共线的单位向量是(35,45)或(-35,-45).3.若平面向量a =(3,x ),b =(1,2),向量a 在b 方向上的投影等于√5,则x 的值等于( ) A.√2B.6C.1D.-2依题意有a ·b |b|=√5=√5,解得x=1.4.在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.4B.-4C.2D.-2,由向量的加减,可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(0,2)=0+4=4.5.设x ,y ∈R ,向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a+b |=( ) A.√5B.√10C.2√5D.10向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b =(3,-1),故有|a+b |=√32+(-1)2=√10,故选B .6.若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则实数λ的值为( ) A.3B.-92C.-3D.-53BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5), ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3), λBA⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+4,2λ+5). 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0, 解得λ=-3.7.已知单位向量a 与向量b =(1,-1)的夹角为45°,则|a -b |= .|a|=1,|b|=√2,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|=√(a-b)2=√|a|2-2a·b+|b|2=1.8.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.·b=-1+3y,|a|=√10,|b|=√1+y2,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=a·b|a||b|=-√10×√1+y=√22.解得y=2或y=-12(舍去).9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2√5.综上,|a-b|=2或2√5.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0)-(1,2)=(3,-2), DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,6)-(5,8)=(3,-2), 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形ABCD 是平行四边形. 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,8)-(1,2)=(4,6), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×4+(-2)×6=0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形ABCD 是矩形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以四边形ABCD 不是正方形. 综上,四边形ABCD 是矩形.11.已知向量a =(1,2),b =(cos α,sin α),设m =a +t b (t ∈R ). (1)若α=π4,求当|m |取最小值时实数t 的值;(2)若a ⊥b ,问:是否存在实数t ,使得向量a -b 与向量m 的夹角为π4?若存在,求出实数t ;若不存在,请说明理由.当α=π4时,b =(√22,√22),a ·b =3√22, ∴|m |=√(a +tb )2=√5+t 2+2ta ·b =√t 2+3√2t +5=√(t +3√22)2+12,∴当t=-3√22时,|m |取得最小值.(2)假设存在满足条件的实数t.由条件得cos π4=(a -b )·(a+tb)|a-b ||a+tb|, ∵a ⊥b ,∴|a -b |=√(a -b )2=√6,|a +t b |=√(a +tb )2=√5+t 2,(a -b )·(a +t b )=5-t ,∴-√6·√5+t 2=√22.∴t 2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±3√52.∴存在t=-5±3√5满足条件.能力提升1.已知O 为坐标原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3sin α,cos α),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(3π2,2π),且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则tan α的值为( )A.-43B.-45C.45D.346sin 2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin 2α+5sin αcos α-4cos 2α=0,等式两边同时除以cos 2α,得6tan 2α+5tan α-4=0,由于α∈(3π2,2π),所以tan α<0,解得tan α=-43,故选A .2.已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P 满足BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-√2 B.-1C.-2D.-2√2,因为AD ∥BC ,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B (0,0),A (0,2),C (2,0),D (1,2),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),故P (1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×1+1×(-1)=-1.3.已知a ,b ,c 均为单位向量,且|a +b |=1,则(a-b )·c 的取值范围是( ) A.[0,1] B.[-1,1] C.[-√3,√3]D.[0,√3]a ,b 为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b |=√3,设a-b 与c 的夹角为θ,则(a-b )·c =|a-b ||c |·cos θ=√3cos θ,∵cos θ∈[-1,1], ∴(a-b )·c 的取值范围为[-√3,√3].4.已知向量a =(√3,1),b 是不平行于x 轴的单位向量,且a ·b =√3,则b = .b =(x ,y ).∵|b |=√x 2+y 2=1,∴x 2+y 2=1.∵a ·b =√3x+y=√3, ∴x 2+[√3(1-x )]2=1.∴4x 2-6x+2=0.∴2x 2-3x+1=0. ∴x 1=1,x 2=12,∴相应有y 1=0,y 2=√32.∵(1,0)是与x 轴平行的向量,∴b =(12,√32). (12,√32)5.已知三个点A (2,1),B (3,2),D (-1,4).(1)求证:AB ⊥AD ;(2)若四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.A (2,1),B (3,2),D (-1,4),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-3)+1×3=0, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⊥AD.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,四边形ABCD 为矩形,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ . 设点C 的坐标为(x ,y ),则DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y-4). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),∴{x +1=1,y -4=1,解得{x =0,y =5.∴点C 的坐标为(0,5).∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2), ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8+8=16. 设AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ, 则cos θ=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×2√5=4.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.6.如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D ,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由.以点D 为坐标原点,分别以BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 由题意易知|BC|=10,则D (0,0),B (-5,0),C (5,0),A (75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗=(-10,0), 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点E 的坐标为(0,y )(y ≠0),此时AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y -245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y -245)×0=14,为常数,故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数.。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积以及平面向量的坐标表示•那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基二、教学目标1知识与技能:掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法:通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算,揭示几何图形与代数运算之间的内在联系,明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观:能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用四、教学设想(一)导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们最新高一数学优质学案(附经典解析)学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数 量积的表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来 么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示?若能,如 何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数 对吗?同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示 (二) 推进新课、新知探究、提出问题① 平面向量的数量积能否用坐标表示② 已知两个非零向量 a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标 表示a b 呢?③ 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件?④ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公 式? 活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究 .前 面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来 表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性 运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具 备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的思路2•在平面直角坐标系中 ,平面向量可以用有序实数对来表示,那最新高一数学优质学案(附经典解析)运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢?教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充•推导过程如下:a=x i i +y i j,b=x2 i +y2j,••• a b=(x i i +y i j) (x2 i +y2j)=X i X2 i 2+X i y2 i j・+X2y i i j+y i yf.又Ti i =1,j j-=1, i j=j i =0,a b=X i X2+y i y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即a=(X i,y i),b=(X2,y2),贝y a b=X i X2+y i y2.2°向量模的坐标表示若a=(X,y),则| a| 2=X2+y2,或| a|= J x2 y2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x i,y i)、(X2,y2),那么I 2 2a=(X2-x i,y2-y i),| a|= U(X2 x」皿 y i)-3°两向量垂直的坐标表示设a=(X i,y i),b=(X2,y2),则a 丄b X i X2+y i y2=0.4 °两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),是a 与b 的夹角, 根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cos 0=a ?b --------------------------- L|a||b| J x ; y ; ? J X i讨论结果:略.(三) 应用示例 例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形 的形状问题•判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看 边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去 证明•在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相 等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零 ,则此三角形为等腰 三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面 图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5三点,我们发现AABC 是直角三角形.下面给出证明.V AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), 二 AB -A C =1 X (-3)+1 X 3=0.x i X 2 y y 2y 2AB丄AC.•••△ ABC是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC中,A B =(2,3),AC =(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若/ A=90°,则AB 丄AC,所以AB AC=0. 于是2X 1+3k=0故k=;.3同理可求若/ B=90°时,k的值为口;3 若/ C=90°时,k的值为Md.I故所求k的值为I或号或弓13例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4)求/ BAC的余弦值;⑵a=(3,0),b=(-5,5),求 a 与 b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x i,y i)与b=(X2,y2)的数量积 a b=x i X2+y i y2 和模I a l= J x:y:,| b|= J x;y;的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cos 9詁菽r y hJ x F y.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0W9諾n生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), XC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AB -A C =3X (-1)+3 X 6=15.又T | A B|=J32 32=3逅,| AC |= J( 1)2 62=后,.看BAC號缶7警(2)a b=3X (-5)+0 X 5=01|§3,| b|=52.设a与b的夹角为9则cos 9昴出T又;0"9"n9 =点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高变式训练设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a b及a、b间的夹角9精确到1°解:a b=5X (-6)+(-7) X (-4)=-30+28=-2.| a|=』52 ( 7)2莎,| b|= 6)2( 4)2V52由计算器得cos 9=r^ F.03.利用计算器中得9-92°.例3已知| a|=3, b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若 a 丄 b,求 a;(2)若 a // b,求 a.活动:对平面中的两向量a=(x i ,y i )与b=(x 2,y 2),要让学生在应用中深 刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示 X i X 2+y i y 2=0与向量共线 的坐标表示X i y 2-X 2y i =0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直 是ab=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给 出这两种类型的同式变形训练解:(1)设 a=(x,y),由I a|=3 且 a 丄b,2 2 [ [2 c得 X y |a| 9,2X 3X 0,X —殒 解得 13y — v Ts 13 二a=( 2、唸2届)或a=2屁,色后.13 13 13 13 ⑵设 a=(x,y),由 | a|=3 且 a / b,得X 2 y 2 |a|2 9,3X 2y 0.X 5 解得13 或 y 2品13 --a=(—^13, ■— ^13 )或a=( ~6胡3, "9^/13).13 13 13 13点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线 ,也能熟练地进行公式的逆用 513 13 5 1313最新高一数学优质学案(附经典解析)利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证一次函数y=2x-3的图象(直线l i)与一次函数y= ^x的图象(直线12)互相垂直.解:在l i:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在1i上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2)于是:AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得A B CD =1X(-2)+1 X 2=0,A B丄CD ,即h 丄l2.(四)课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.(五)作业最新高一数学优质学案(附经典解析)。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
7a 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。
例4:已知 a 、b 是非零向量,且
a b a b ,求 a 与 a b 的夹
角。
例5:已知△ ABC 中,
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6:求证:
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa

ab cos a, b
量数量积的运算律:
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式:
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1:已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时, 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲:南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义:已知两个向量 a 和 b ,
它们的夹角为 ,我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积(或内积)记
作 a b 即 a b a b cos
(其中 00 1800 )。
2、向量数量积的性质:

数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

方向性
向量的模只与向量的长度有关, 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知,可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量,然后分别求出分量 的模,再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线,那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题,展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$, 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题,展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$,其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的,即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值,即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

解:ka b (k 2, 1), a 3b (7,3)
1平行:3k 2 (1)7 0 k 1 .
3
2垂直:7k 2 (1)3 0
k 17 . 7
练习:已知a 1, 2,b 2, 3, c 2a b, d a mb,
若c与d的夹角为45 ,求实数m的值.
例6、已知a k,1,b 2, 2,且a与b的夹角为锐角,
2利用b // a,设b的坐标为4,3 ,再利用 b 1构造方程.例3、已知ຫໍສະໝຸດ (4,3),求与a垂直的单位向量b.
解:设b x, y
b a且 b 1
4x 3y 0
x
2
y2
1
x
y
3 5
4 5

x
y
4 5
3 5
b
3 5
,
4 5

3 5
,
4 5
例4、已知A(1, 2), B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状.
1.a b x1x2 y1y2 2. AB x2 x1 2 y2 y1 2
3.a b x1x2 y1y2 0
4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
4、两向量共线的坐标表示:已知a x1, y1 ,b x2, y2
a与b共线 a=b x1 y2 x2 y1 0
新知探究: a b a b cos 为a与b的夹角
1、平面向量的数量积的坐标表示:
1i2 __1__,j2 __1__,i j __0__ .
2已知a x1, y1 ,b x2, y2 , a b _x_1_x2___y_1_y_2 _ .

242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

55
55
( 2)( 2, 22)或 2, ( 22); 3) k( 5.
提高练习
1、已 O A 知 (3,1), O B(0,5),A 且 /C O / , B BC A, B 则 C的 点 坐标 ( 3 , 2为 9 )
4
2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5, 8),则四边形ABCD的形状是 . 矩形
四、逆向及综合运用
例4(1)已知 a =(4,3),向量 b 是垂直于 a
的单位向量,求 b .
( 2)已 a知 1,0 b(1,2),a且 //b,a的 求坐 .
( 3)已 a知 (3,0)b , (k,5),a且 与 b的夹3角 ,
4
求 k的.值
答案 1) b: (3, ( 4)或 b(3,4).
oi
x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示 ab.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
ax1iy1 j b x2iy2 j,
ab(x1iy1j)(x2iy2j)
2
2
x1x2i x1y2ijx2y1ijy1y2j
x1x2y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应
4、两向量夹角公式的坐标运算 设a与b的夹角为 (0 180), 则cos ab
ab
设a(x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 , (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
x12 y12 x22 y22 其中x12 y12 0,x22 y22 0.
( 精 确 到 1 o )
解 : a b 5 ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) 2
a 5 2 7 2 7 4 ,b ( 6 ) 2 ( 4 ) 2 5 2 ,

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图,i是x轴上的单位向量, j是y
轴上的单位向量,
由于
所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 . b j a
i j j i 0 .
oi x
下面研究怎样用
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则
求a b,a b,a与b的夹角 .
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则(a b)( a b)
.
练习:课本P1191、2、3.
例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断ABC的形状,并给出证明.
y
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
a x1i y1 j, b x2 i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2 i y2 j)
பைடு நூலகம்
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
教学难点
能准确运用向量数量积的坐标表 示中平行、垂直、夹角及距离公式等 结论,解决有关问题。
一、复习引入
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用


待客殷勤,而且还很会做广告,他将酒旗挂得老高,诚心诚意地希望有人去买酒。可是事与愿违,就是无人光顾,最好的酒都变酸了。宋人实在不解,问别人原因是什么,别人对他说,你没看见店门口的恶狗吗?有恶狗在,谁还敢去你店里买酒

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

例 1. 已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3, 4),则向量A→B在C→D方向上的投影为 ( )
A.3 2 B.3 15 C.-3 2 D.-3 15
2
2
2
2
【答案】A
【解析】∵A→B=(2,1),C→D=(5,5),∴由向量数量 积的几何意义知向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos 〈A→B,C→D〉=A→|B· C→DC→ |D= 512+5 52=3 2 2.故选 A.
3
若∠B=900,则 AB⊥BC,又BC =AC-AB =(-1,k-3),故得 2×(-1)+3×(k-3)=0.
解得 k 11;
3
若∠C=900,则 AC⊥BC,故2×(-1)+3(k-3)=0.
解得 k 3 13 .
2
所求的k值为
2 3

11 3

3
2
13
.
类型四 数量积的定义及几何意义
x1x2
y1 y2
0
练习:a (3,4), b
终点坐标为( x, 3x),
a,

b
且 b起点坐标为( (__1_45_,15_)_
1,
2)
例 2:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4), 求证:(a+b)⊥b .
证明:∵(a+b)·b=a·b+b2 =5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 =0
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b

242平面向量数量积的坐标表示、模讲课

242平面向量数量积的坐标表示、模讲课

例题讲解
例3 已知b=(1,1),a·b=3, |a-b|=2,求|a|.
例题讲解
例( 4 1)设a (m 1, 3), b (1, m 1), 若(a b) (a b), 求m的值.
(2)已知 a 3 且b 1,2 a // b 求 a.
例题讲解
例5 已知向量a=(λ,-2),b= (-3,5),若向量a 与b的夹角为钝角, 求λ的取值范围.
+y1y2 j j
x1x2 y1 y2
即 a·b =X1x2 + y1y2
结论:两个向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积的和。
2.平面向量的模长公式:
(1) 设 a ( x , y), 则
2
a x2 y2或 a x2 y2 .
3.平面内两点间的距离公式: (2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1, y1 ), ( x2 , y2 ), 那么
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
r 一、复习巩固 1.向量 a与
r b
的数量积的定义是什么?
rr rr
agb = a b cosq
rr 其中 是 a 与 b 的夹角
2.向量的数量积具有哪些运算性质?
r r r r r rr r
(1)a b a b 0(a 0,b 0)
r | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(平面内两点间的距离公式)
4.向量垂直的判定:
设 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
a b x1 x2 y1 y2 0.
5.两向量夹角的余弦:
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答案:B的坐标为(3,7) 22
y
B
或(7, 3) 22
A
O
x
例 3 .a r (5 , 7 ),b r ( 6 , 4 ),求 a r•b r及 a r、 b r间 的 夹 角
( 精 确 到 1 o )
rr 解 : a • b 5 ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) 2
r
r
a 5 2 7 2 7 4 ,b ( 6 ) 2 ( 4 ) 2 5 2 ,
y C(-2,5)
证 : 明 A B (2 1 ,3 2 ) (1 ,1 )
A C ( 21 ,52)( 3,3)
B(2,3)
AA B C 1 ( 3 ) 1 30
A(1,2)
ABAC
x
三角A 形B是 C 直角三.角0 形
变式:以原点和A(5,2)为两个顶点 作等腰直角三角形OAB,B=90,求点 B的坐标.
例 1 (1已 ) a知 (1,2 3)b , (1,1),
求 ab, ab, a与 b的夹 . 角
解:r r
rr
ab1 3, ab2 42 32(1 3),
rr cosrabr 1,Q0o180o,60o.
a b 2
(2已 ) 知 a(2,3),b(2,4),
则( ab) ( ab) -7 .
rr
rr
法一:a b (0,7),a b (4,1)
rr rr
(a b)( a b) 0 4 7(1) 7.
r 法二:(a
rr b)( a
r b)
r a
2
r2 b
r2 r2 a b 13 20 7
例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断ABC的形状,并给出证明.
重点难点 教学重点:平面向量数量积的坐 标表示 教学难点:向量数量积得坐标表 示的应用 课时安排:1课时
一、复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a;
a b a 转化为它
们相应的坐标来运算,那么怎样用
4
求 k的.值
答案 1) b: (3, ( 4)或 b(3,4).
55
55
( 2)( 2, 22)或 2, ( 22); 3) k( 5.
提高练习
1、已 O A 知 (3,1), O B(0,5),A 且 /C O / , B BC A, B 则 C的 点 坐标 ( 3 , 2为 9 )
4
2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5, 8),则四边形ABCD的形状是 . 矩形
rr
rr
a 和 b 的 坐 标 表 示 a • b 呢 ?
二、新课
1.平面向量数量积的坐标表示
如图,i 是x轴上的单位向量,j
单位向量,
由于 ab a bcos
所以
是y轴上的
y A(x1,y1)
i i 1 . j j 1 . B(x2,y2) a
b
j
i j j i 0 .
oi
x
下面研究怎样用
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
abx1x2y1y2. B(x2,y2) a
b
j
oi
x
根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)aaa 或 a aa;
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2;
由 计 算 器 得 cos 2 0.03
7452
1.6rad920
四、逆向及综合运用
例4(1)已知 a =(4,3),向量 b 是垂直于 a
的单位向量,求 b .
( 2)已 a知 1,0 b(1,2),a且 //b,a的 求坐 .
( 3)已 a知 (3,0)b , (k,5),a且 与 b的夹3角 ,
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
三维目标 1.通过探究平面向量的数量积得坐标运算, 掌握两个向量数量积得坐标表示方法。 2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用 两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、 角度、垂直等几何问题 3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步 加深学生对平面向量数量积得认识,提高学 生的运算进度,培养学生的运算能力,培养 学生的创新能力,提高学生的数学素质。
a和b的坐标表示 ab.
设两个非零向量 a
rrr
=r(x1,y1r), b =(rx2,y2),则
ax1iy1 j b x2iy2 j,
rr r r r r
ab(x1iy1j)(x2iy2j)
r2
rr
rr
r2
x1x2i x1y2ijx2y1ijy1y2j
x1x2y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应
4、两向量夹角公式的坐标运算 设a与b的夹角为 (0 180), 则cos ab
ab
设a(x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 , (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
x12 y12 x22 y22 其中x12 y12 0,x22 y22 0.
三、基本技能的形成与巩固
3、已知 a = (1,2),b = (-3,2),
若k a +2 b 与 2a - 4b 平行,则k = - 1.
小结
1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离公式,
形成转化技能。
作业
P108 3.7
• 板书设计:
课后反思:
(2)两点间的距离公式
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 ),

AB (x1 x2 )2 (y1 y2 )2
3、两向量垂直和平行的坐标表示
(1)垂直 ab ab0
设a(x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
(2)平行
设a(x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x2y1 0
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