D3_3 微 分

常数 A 使得： 则称函数 在点
若存在与 Δx 无关的
A x o x
x0 处可微 , A x称为函数
在点
x0
处（关于△x ）的微分 , 记作： dy d f x0
Ax .
注明： ⅰ）函数的微分是关于自变量增量 ∆x 的线性函数;
ⅱ）函数增量∆y与其微分的差是较自变量增量∆x 的
1 1 e
x2
x2
d 1 e
x2



d x2 e
e 2 x dx
x2


1 1 ex
2x e 1 e
2
x2 x
2
dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 3. 在下列括号中填入适当的函数使得等式成立： e x (1) d arctan e x dx ; 2 x 1+e d tan x (2) sec3 x ; d sin x
令 x x0 x
f x f x0 f x0 x x0
使用原则:
1)
f x0 , f x0 各值较易计算；
2) x 与 x0 靠近 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 4. 求 解: 设
取 则
sin 29

的近似值 。
x2 (3) d C xdx ; 2 1 (4) d cos 2 x C sin 2 x dx ; 2 1 (5) d sin t C cos t dt ;
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容；
设函数 u x , v
x 均可微 ，
则
1. d u v du dv ;
u v d u u d v 4. d 2 v v
3. d uv v d u u d v ;
; (v 0)
2. d Cu Cdu ; (C 为常数)
§3.3
微 分
第3章
3. 3. 1 问 题 的 引 入 3. 3. 2 微 分 的 概 念 3. 3. 3 微 分 的 运 算 法 则 3. 3. 4 微 分 的 应 用
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 3. 1 问 题 的 引 入
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由 x0
误差限
4 积 , 试估计计算圆钢载面积 A 时所产生的误差 。
dx
o

x0
x
x0 x
“自变量的增量等于自变量的微分” x dx ; 由此得：d f
x f x dx
d f x dx
导数也叫作微商
机动 目录 上页 下页 返回 结束
从而 f x
4. 一阶微分形式的不变性
设函数 分别在对应的点处可微 , ⅰ) 若 u 是自变量， 由微分的定义得：
再如： 计算半径为 r 的圆的面积公式为： S r 2 ,
由于测量中误差的影响，测得圆的半径为： r r 试问此时圆的面积变化是多少？ 面积的增量为：
r
关于△r 的 关于△r 的 线性主部 高阶无穷小
故：
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 3 . 2 微 分 的 概 念
1. 微分的定义: 定 义 ：设
x
x
x0
称为测量 x 时的绝对误差限 ； 称为测量 x 时的相对误差限 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
误差传递公式 : x 若某个量 x 的测量值为： 0 , 已知测量误差限为： , 按公式 x
y f x 计算其函数值 y 时的绝对误差为：
f x f x0 f x0 df x0 f x0 x
解：方法Ⅰ： y

1 1 2 sin cos 2 x x 1 sin 2 1 x
sin 2 x
1
dy y dx

1 2 x
x 2 1 sin 2 1 x


dx ; 2
d sin 2 1 x 2sin 1 方法Ⅱ： dy x d sin 1 2 x 2 2 1 2 1 1 sin x 1 sin x
x0 30
f x sin x ,
6 ,
29 x 29 , 180

dx x x x0 29 30



180
29 sin cos sin 29 sin 180 6 6 180
例 5. 解:
计算
5
245 的近似值。
1 5
5
245 243 2
3 243
5
2 3 1 243
1 5
1 x

1 x
1 2 3 1 5 243
3.0048
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 6. 有一批半径为1cm 的球 ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
f x0 f x0 x o x
d f x0 f x0 x
当 f x0 0 时 ,
f x0 f x0 lim lim x 0 d f x x 0 f x x 0 0
切线纵坐标的增量
d f ( x0 )
d f x0 f x0 x tan x
特别地，取 y f x x 时，
dy d f x f x x 1 x x dx
y
y f (x)
f ( x0 )
故称 x 为自变量 x 的微分, 记作:
“一阶微分形式的不变性”
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 d x
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dx dy 2 1 x 基本初等函数的微分公式 ( 见 P125 )
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 3. 3 微 分 运 算 法 则
f x0 1 lim f x0 x 0 x
1
所以
x 0 时 f x0 与 d f x0 是等价无穷小, 故当
x 很小时, 有近似公式：
f x0 d f x0 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3 . 微分的几何意义




2sin 1 cos 1 x x
2 2
1 sin 1 x
d

1 x
sin 2 x
2

2
下页 返回
x 1 sin 2 1 x
目录 上页
dx ;
结束
机动
例 Biblioteka Baidu.
y ln 1 e

x2
,
求
d y.
x2
解:
dy
1 1 e
f x0 x x0
f x0 x
故 y 的绝对误差限可近似取为：
y f x0 x
f x0 x f x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
其相对误差限约为：
f x0
y
例9. 设测得圆钢截面的直径 d 60.0(mm) , 测量 d 的 绝对
1 3 0.0175 2 2
0.485
sin 29 0.4848
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别取
x0 0 , 而 x
又很小时，有近似公式：
f x f 0 f 0 x

常用近似公式: ( x 很小)
(1)
证明: 令
1 x 1 x
f x0 o x lim lim A f x0 x0 x 0 x x
A
在点
处可导， 且
“充分性” 由有限增量公式：
x0 x o x A x o x f x0 f d f x0 Ax f x0 x 即函数 y f x 在点 x0 处可微。
要镀上一层铜 , 铜多少克 ？
为了提高球面的光洁度,
厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需用
4 V R3 解: 已知球体体积为： 3 镀铜体积为 V 在 R 1, R 0.01 时体积的增量 V ,
V dV
R 1.R 0.01
VR R
R 1, R 0.01
0.13(cm)3 .
因此每只球需用铜约为：
8.9 0.13 1.16(g ) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 误差估计：
设某量的理论（精确）值为
x,
其测量（近似）值为
x0 ,
x x0
x x0 x0
若
称为
x 的绝对误差 ；
x 的相对误差 ；
称为
x x0 x ,
f x 1 x

得

f 0 1 , f 0
当 x 很小时， 同理可得：
1 x 1 x .
(3) e x 1 x
(5) ln 1 x
机动 目录 上页
(2) sin x
x
(4) tan x x
x
下页 返回 结束
1. 近似计算公式:
f ( x0 ) f ( x0 )x o x
当 x 很小时, 得近似公式:
f x0 f x0 x f x0 f x0 x df x0
f x0 x f x0 f x0 x
高阶无穷小； ⅲ）常数 A 与 ∆x 无关，但与 有关。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 可微与可导的关系 定理：函数
y f x 在点
x0 处可微的充分必要条件是： x0 处可导， 且 A f x0 .
在点
证: “必要性”

即
在点
处可微， 则
f x0 f x0 x f x0 A x o x
dy fu u
ⅱ) 若 u 是中间变量，且 的微分为：
u 为自变量
则复合函数
u 为中间变量
dy f u x x f u


f u x
du
dy fu u
d y f u du
5. d f f d ln f ; ( f 0)
由此得，要计算函数的微分，只要求得函数的导数再乘以
自变量的微分即可； 或者由一阶微分形式的不变性，一步步地 微分，直至自变量的微分为止。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 1. 已知 y arcsin sin 2 1 , 求 dy . x
变到
x0 x ,
问此薄片面积改变了多少?
2 x0 时 ，其 面积为：A x0 ,
当薄片边长为
当
x0 取得增量
(x) 2
x0 x
x
时， 面积的增量为：
x
x0
x0 x
2 A x0
关于△x 的 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 故：
称为面积函数在 x0 处的微分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意: 数学中的反问题往往出现多值性。
注意 目录 上页 下页 返回 结束
例如：
2 4 ,
2
2
2
4 ;
2 sin , 4 2
2 2 k sin ; 4 2
注意
目录
上页
下页
返回
结束
3. 3. 4 微 分 的 应 用