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2014年上海高三数学二模试卷汇编——解析几何

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2014年上海市闸北区高考数学二模试卷(文科)含详解

2014年上海市闸北区高考数学二模试卷(文科)含详解

2014年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（54分）本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分. 1．（6分）设a∈R，i是虚数单位．若复数是纯虚数，则a=．2．（6分）不等式＞|x|的解集为．3．（6分）若2是log2a与log2b的等差中项，则a+b的最小值为．4．（6分）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为．5．（6分）若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别为V1和V2，则V1：V2的值为．6．（6分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．7．（6分）如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE=FB=xcm．若要使包装盒的侧面积最大，则x的值为．8．（6分）设a＞0，a n=n•a n，若{a n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为．9．（6分）已知集合A={（x，y）|y=|x|+m}，B={（x，y）|y=mx}，若集合A∩B中有且仅有两个元素，则实数m的取值范围是．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分. 10．（6分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．11．（6分）函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值﹣M12．（6分）现有某种细胞100个，其中有占约总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为（）A．3844个B．5766个C．8650个D．9998个三、解答题（78分）本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤. 13．（18分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=A1B1=4，D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE的夹角；（2）求四面体BDEC1体积．14．（18分）设函数f（x）=（x∈R）．（1）求函数y=f（x）的值域和零点；（2）请判断函数y=f（x）的奇偶性和单调性，并给予证明．15．（20分）设{a n}是正数组成的数列，其前n项和为S n，并且对任意的n∈N*，a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项．（1）求证：数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣2；（2）已知数列{b n}是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n项恰好是数列{a n}的第r项，求的值．16．（22分）已知反比例函数y=的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）设直线l过点P（0，4），且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．①求A、B中点M的轨迹方程；②当=λ1=λ2，且λ1+λ2=﹣8时，求点Q的坐标．2014年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分. 1．（6分）设a∈R，i是虚数单位．若复数是纯虚数，则a=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数，然后由实部等于0且虚部不等于0列式求得实数a的值．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得：．故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（6分）不等式＞|x|的解集为（0，2）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．3．（6分）若2是log2a与log2b的等差中项，则a+b的最小值为8．【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】根据等差中项的定义，结合对数的性质得到ab=4，然后利用基本不等式的性质即可得到结论．【解答】解：由题得log2a+log2b=2×2=4，所以log2ab=4，ab=24=16，又a＞0，b＞0，所以a+b，当且仅当a=b=4时，取等号，所以a+b的最小值为8．故答案为：8【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的性质，以及对数的运算法则是解决本题的关键．4．（6分）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x﹣2y过可行域内的点A时，从而得到z=3x﹣2y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=3x﹣2y，当直线经过A（0，﹣2）时，z取到最大值，Zmax=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．5．（6分）若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别为V1和V2，则V1：V2的值为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】因为圆柱截面为正方形，则圆柱高与底面直径长相等，设为2R，又上下底面圆周均在同一球面上，进而求出球面半径，分别计算出球与圆柱的体积分别为V1和V2，可得答案．【解答】解：∵圆柱截面为正方形，则圆柱高与底面直径长相等，设为2R，则球面半径为为=R．∴V1：V2=：2πR3=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱和球的体积公式，是解答的关键．6．（6分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】通过向量的垂直，其数量积为0，建立关于x的等式，得出x求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），则==，故答案为：．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．7．（6分）如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE=FB=xcm．若要使包装盒的侧面积最大，则x的值为15．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，用x分别表示出包装盒的底面边长和高，将侧面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数性质求解即可．【解答】解：∵AE=FB=xcm，AB=60cm，∴EF=（60﹣2x）cm，又∵阴影部分为等腰直角三角形，∴包装盒侧面高为（60﹣2x）=（30﹣x）cm，由勾股定理得，包装盒底边长为xcm．则侧面积为S=4（30﹣x）x侧=﹣8x2+240x=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15cm时，包装盒的侧面积最大，最大面积为1800cm2．故答案为：15．【点评】本题考查实际模型中数据的提取和分析能力，以及函数性质的灵活应用，属于中档题．8．（6分）设a＞0，a n=n•a n，若{a n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（0，）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用{a n}是单调递减数列，可得a n+1﹣a n=（n+1）a n+1﹣na n＜0，由于a ＞0，可得，再利用{}的单调性即可得出．【解答】解：∵a n=n•a n，∴，∵{a n}是单调递减数列，∴a n+1﹣a n=（n+1）a n+1﹣na n＜0，∵a＞0，∴，∴，∵n≥1，∴．∴a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查了数列的单调性，属于基础题．9．（6分）已知集合A={（x，y）|y=|x|+m}，B={（x，y）|y=mx}，若集合A∩B中有且仅有两个元素，则实数m的取值范围是（﹣1，0）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】分当m＞0时，当m=0、当m＜0时三种情况，根据题意数形结合求得m的范围．【解答】解：当m＞0时，A中集合中所有元素为正，B过（0，0）点，至多有一个交点．当m=0只有一个交点，所以m＜0，如图，可知只有y=mx斜率大于﹣1时有两个交点，所以m∈（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查集合的表示方法、求两个集合的交集，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分. 10．（6分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【考点】C4：互斥事件与对立事件；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】用列举法列出从6个球中任取两个球的所有方法，查出两球颜色相同的方法种数，求出两球颜色相同的概率，然后由对立事件的概率计算公式得答案．【解答】解：令红球、白球、黑球分别为A，a，b，1，2，3，则从袋中任取两球有（A，a），（A，b），（A，1），（A，2），（A，3），（a，1），（a，2），（a，2），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种取法，其中两球颜色相同有（a，b），（1，2），（1，3），（2，3）共4种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P=1﹣．故选：D．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件和对立事件的概率计算公式，解答的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．11．（6分）函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值﹣M【考点】HM：复合三角函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，可利用赋值法进行求解即可【解答】解：∵函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M 采用特殊值法：令ω=1，φ=0，则f（x）=Msinx，设区间为[﹣，]．∵M＞0，g（x）=Mcosx在[﹣，]上不具备单调性，但有最大值M，故选：C．【点评】本题综合考查了正弦函数与余弦函数的图象及性质，利用整体思想进行求值，在解题时要熟练运用相关结论：y=Asin（wx+φ）为奇（偶）函数⇒φ=kπ（φ=kπ+）（k∈Z）12．（6分）现有某种细胞100个，其中有占约总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为（）A．3844个B．5766个C．8650个D．9998个【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】记经过n小时后的细胞总数为a n，由题意可得数列{a n}为首项，为公比的等比数列，求a10即可．【解答】解：记经过n小时后的细胞总数为a n，由题意可得a1=×100+×100×2=，a n+1=a n+2×a n=a n，∴数列{a n}为首项，为公比的等比数列，∴a n=×，∴a10=×=×100≈5766故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，构造数列并判断为等比数列是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（78分）本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤. 13．（18分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=A1B1=4，D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE的夹角；（2）求四面体BDEC1体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）首先，过点D作DF∥BE交AB于点F，连结FC1得到∠C1DF即所求异面直线所成角（或补角），然后，在△C1DF中根据余弦定理求解该角即可；（2）先求解△BDE的面积，然后，结合四面体BDEC1体积公式进行求解．【解答】解：（1）过点D作DF∥BE交AB于点F，连结FC1，∴∠C1DF即所求异面直线所成角（或补角），解得DC1==2，DF=，∴FC===，又CC1=4，∴FC1==，由余弦定理，有cos∠C1DF==．∴异面直线C1D与BE的夹角为arccos．（2）DE=2，BD=2，△BDE的高为3，∴S=×2×3=6，△BDE∴△BDE的面积为6，∵△A1B1C1为等边三角形，E为A1B1中点，∴C1E==2，∴高为C1E=2，∴四面体BDEC1体积V=×6×2=4．∴四面体BDEC1体积4．【点评】本题重点考查了空间中点线面的位置关系、空间角、体积计算等知识，考查空间想象能力，属于中档题．14．（18分）设函数f（x）=（x∈R）．（1）求函数y=f（x）的值域和零点；（2）请判断函数y=f（x）的奇偶性和单调性，并给予证明．【考点】34：函数的值域；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】5：高考数学专题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）先对已知函数化简，求函数f（x）的值域，然后令f（x）=0可求函数的零点；（2））利用函数的奇偶性和单调性定义来加以证明．【解答】解：（1）∵f（x）==﹣1+，∵2x＞0，∴3+2x＞3∴，∴0＜＜2，∴﹣1＜f（x）＜1，故y=f（x）的值域为（﹣1，1）；令f（x）=0，即=1，解得x=log23，∴y=f（x）的零点为x=log23，（2）对任意的x∈R，f（﹣1）=，故y=f（x）是非奇非偶函数，∴对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=，∵，，∴f（x1）＞f（x2），故y=f（x）在定义域R上是减函数．【点评】本题考查了函数的值域，零点，奇偶性和单调性，属于基本知识，应该掌握熟练．15．（20分）设{a n}是正数组成的数列，其前n项和为S n，并且对任意的n∈N*，a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项．（1）求证：数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣2；（2）已知数列{b n}是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n项恰好是数列{a n}的第r项，求的值．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得=，可判数列{a n}为首项为2，公差为4的等差数列，可得通项公式；（2）由题意2×3n﹣1=4r﹣2，解得r=，代入求极限可得．【解答】解：（1）由题意得=，a n＞0，平方可得S n=（a n+2）2，当n=1时，a1=（a1+2）2，解得a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+2）2﹣（a n﹣1+2）2，变形整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣4）=0，由题意知a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=4∴数列{a n}为首项为2，公差为4的等差数列，∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2（2）由题意2×3n﹣1=4r﹣2，解得r=，∴===【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及极限的运算，属中档题．16．（22分）已知反比例函数y=的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）设直线l过点P（0，4），且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．①求A、B中点M的轨迹方程；②当=λ1=λ2，且λ1+λ2=﹣8时，求点Q的坐标．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据反比例函数y=的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线，即可求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用=λ1=λ2，找到λ1和λ2与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及λ1+λ2=﹣8，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．【解答】解：（1）由题意得：顶点：（﹣1，﹣1）、（1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）焦点：（﹣，﹣）、（，）为焦点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）①直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l：y=kx+4（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）将y=kx+4代入y=，得kx2+4x﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）△=16+4k＞0，∴k＞﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）x1+x2=﹣，x1x2=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴x=﹣，y=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵k＞﹣4，∴x∈（﹣∞，0）∪（，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴A、B中点M的轨迹方程为y=2（x∈（﹣∞，0）∪（，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）②直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设直线l：y=kx+4（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）将y=kx+4代入y=，得kx2+4x﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵=λ1=λ2，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴λ1+λ2==﹣8，即2k2x1x2+7k（x1+x2）+24=0，解得k=﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴Q（2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）【点评】本题主要考查了双曲线方程的求法，以及根据直线与双曲线位置求直线方程，属于圆锥曲线的常规题．。

2014届上海高考数学解析几何专练

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＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}， 若 A∩B≠，则实数 m 的取
值范围是
．
7．（12 年 8）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xm2－m2y＋2 4＝1 的 离心率为 5，则 m 的值为 ．
8．（12 年 12）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x ＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径 的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ．
解答题（5 道题） 1．（08 年 18）设平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝x2＋
2x＋b(xR)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．求：
（1）求实数 b 的取值范围； （2）求圆 C 的方程 （3）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．
②点的坐标的处理的几种常类型．
第1 案例
种．分点问题 1．设 F1，F2 分别为椭圆
C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右
解析几何的问题 ①几何的问题（直线与圆） ②方程的问题（求曲线的方程） ③交点的问题（位置关系）
⑤直线与圆锥曲线的交点．
2．方法上 ①等价转化； ②待ห้องสมุดไป่ตู้系数法．
运算与转化
三、解析几何复习策略 1．我们应该做什么？
重视对基础知识、基本公式、基本方法的复习 如：（1）直线的方程的设法．
①过两点或一点的直线的方程；②不能根据条件设定 合适的方程（如 09 年 13）
直，则离心率 e＝
．
3．（09 年 13）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线

2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷(文科)含详解

2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷(文科)含详解

2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）二阶行列式的值是．（其中i为虚数单位）2．（4分）已知是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量+的模等于．3．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．5．（4分）已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=．6．（4分）若x∈（﹣π，π），则方程sin2x﹣cos2x=1的解是．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．8．（4分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．9．（4分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．10．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点（2，3），且它的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．12．（4分）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是．13．（4分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．14．（4分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）不等式＞2的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}16．（5分）“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又必要条件17．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：118．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线A1Q和PD所成的角为θ，求cosθ的值．20．（14分）某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0＜x＜10），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．22．（16分）已知数列{a n}满足（c为常数，n∈N*）（1）当c=2时，求a n；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使a n+3=a n恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．23．（18分）设函数g（x）=3x，h（x）=9x．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）=，求证：p（）+p（）+…+p（）=；（3）若f（x）=是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k •g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）二阶行列式的值是2．（其中i为虚数单位）【考点】O1：二阶矩阵．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，据此求解即可．【解答】解：=（1﹣i）（1+i）﹣（1+i）×0=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二阶行列式的求法，属于基础题，解答此题的关键是根据二阶行列式的意义得出所求代数式．2．（4分）已知是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量+的模等于．【考点】98：向量的加法．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】表示出知向量，求出+的坐标，然后求解模即可．【解答】解：是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，∴，=（0，1），∴+=（1，1），|+|=，平面向量+的模：．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的运算，向量模的公式，基本知识的考查．3．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为35．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数值．【解答】解：二项式（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1=•x7﹣r，令7﹣r=3，求得r=4，可得展开式中含x3项的系数值为=35，故答案为：35．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B={﹣1，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据正弦函数的值域确定出y的范围，得到集合A，集合B表示奇数集，求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的y=sinx，得到﹣1≤sinx≤1，即﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，集合B中x=2n+1，n∈Z，表示所有的奇数，∴B={…，﹣2，﹣1，0，1，2，…}则A∩B={﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．（4分）若x∈（﹣π，π），则方程sin2x﹣cos2x=1的解是．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由方程可得sin（2x﹣）=，可得2x﹣=2kπ+，或2kπ+，k∈z．根据x∈（﹣π，π），求得x的值【解答】解：由方程sin2x﹣cos2x=1可得sin（2x﹣）=，∴2x﹣=2kπ+，或2x﹣=2kπ+，k∈z．∵x∈（﹣π，π），∴2x﹣∈（﹣，），∴2x﹣的值可以为：﹣，﹣，，，∴x的值为﹣，﹣，，，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为x+y﹣3=0．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】求出圆心坐标，利用圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，求出直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程．【解答】解：由题意，圆x2+（y﹣1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵=1，∴k AB=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（4分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y 的最小值．【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；∴x+y的最小值为．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．9．（4分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f的几何意义求f的最小值．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；【点评】本题主要考查简单的线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量z，y的值，并输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点（2，3），且它的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则双曲线的一个顶点为（1，0），设双曲线方程为，代入点（2，3），可得，∴b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线、双曲线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（4分）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有种，所选3人中恰有两位女志愿者的方法有种，由此求得所选3人中恰有两位女志愿者的概率．【解答】解：所有的选法共有种，所选3人中恰有两位女志愿者的方法有种，∴所选3人中恰有两位女志愿者的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查等可能事件的概率的求法，属于中档题．13．（4分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为0．【考点】6F：极限及其运算；83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a，c的值，然后代入数列极限求得答案．【解答】解：∵a，1，c成等差数列，∴a+c=2 ①又a2，1，c2成等比数列，∴a2c2=1 ②联立①②得：或或，∵a≠c，∴或，则a+c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．14．（4分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，]．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m 的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）不等式＞2的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由不等式＞2，可得＜0，由此解得x的范围．【解答】解：由不等式＞2，可得＜0，解得﹣1＜x＜0，∴不等式＞2的解集为{x|﹣1＜x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】57：三角函数的图像与性质；5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的图象和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx=﹣cos2ωx，当ω=1时，函数的周期T=，∴充分性成立．若函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π，则T=，解得ω=±1，∴必要性不成立．故“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的周期性是解决本题的关键．17．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．18．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量模及其夹角的计算公式即可得出．【解答】解：∵（k＞0），∴=3（），∵=，∴=3（），化为，∵k＞0，∴=2．∴，当且仅当k=1时取等号．∴．∴向量与向量的夹角的最大值为．故选：B．【点评】熟练掌握向量的数量积、模及其夹角的计算公式是解题的关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线A1Q和PD所成的角为θ，求cosθ的值．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，得∠A1QC为异面直线A1Q、PD 所成的角（或其补角）．由此能求出两条异面直线A1Q和PD所成的角的大小．【解答】解：由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，故∠A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角（或其补角）．由题设知，，取BC中点E，则QE⊥BC，且QE=3，QC2=QE2+EC2=32+12=10．由余弦定理，得=．∴两条异面直线A1Q和PD所成的角θ=arccos．【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0＜x＜10），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3H：函数的最值及其几何意义．【专题】12：应用题．【分析】（1）掌握扇形的周长公式；（2）熟记扇形面积公式，总费用是四迥的装饰费用之和；变形成双勾函数，利用双勾函数的单调性求出最值．【解答】解：（1）设扇环的圆心角为θ，则30=θ（10+x）+2（10﹣r），即，（2）花坛的面积为：S==（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50，（0＜x＜10），装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比，令t=17+x，则，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，．答：当x=1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．【点评】本题是考查，扇形的周长公式和面积公式，要求学生熟记这两个公式，掌握双勾函数的单调性．属于中档题．21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出a2的值，结合隐含条件b2=a2﹣c2求出b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出k2的值，则E点到y轴的距离可求．（Ⅰ）依题设A1（﹣a，0），A2（a，0），则，．【解答】解：由，得：（﹣a﹣1）（a﹣1）=﹣1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．事实上，依题直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立，得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令y=0，得，则．若四边形ADBE为菱形，则x E+x D=2x0，所以．y E+y D=2y0，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即9k4+8k2=2（2k2+1）2整理得k4=2，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．22．（16分）已知数列{a n}满足（c为常数，n∈N*）（1）当c=2时，求a n；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使a n+3=a n恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）c=2时，推出关系式a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，进而推出递推公式，再利用递推公式求解数列的通项公式．（2）观察数列特点，利用数列的周期性即可求解．（3）假设存在常数c，使a n+3=a n恒成立，利用此关系式求出c，并进行验证．【解答】解：（1）c=2时，a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2）∴a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1∴a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2=…=a2﹣a1=6∴a n=a n﹣1+6 （n≥2）∴n≥2时，a n=a n﹣1+6=a n﹣2+6×2=…=a2+6×（n﹣2）=6n﹣4又n=1时，亦有a1=6×1﹣4=2 成立综上可知，a n=6n﹣4（2）c=1时，a n+1+a n﹣1=a n（n≥2）∴a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n，a3=a2﹣a1=6，a4=a3﹣a2=﹣2∴a n+6=a n+3+3=﹣a n+3=a n∴数列{a n}为一周期为6的数列．∵2014=335×6+4，∴a2014=a4=﹣2．（3）假设存在常数c，使a n+3=a n恒成立．∵a n+3=a na n+2+a n=ca n+1+a n=ca n+1 ①∴a n﹣1又a n+1+a n﹣1=ca n ②①式减②式得，（a n+1﹣a n）（1+c）=0．∴a n+1﹣a n=0，或1+c=0．又n∈N*，a n+1﹣a n=0时，数列{a n}为常数数列，不满足要求．∴1+c=0∴c=﹣1c=﹣1时，有：a n+1+a n﹣1=﹣a n，即对于n∈N且n≥2，都有a n+1=﹣a n﹣a n﹣1．∴a n+3=﹣a n+2﹣a n+1，a n+2=﹣a n+1﹣a n．∴a n+3=﹣a n+2﹣a n+1，=a n+1+a n﹣a n+1=a n（n≥1）．所以存在常数c=﹣1，使a n+3=a n恒成立．【点评】本题主要考察了利用数列的递推式求数列的通项，属于难题．23．（18分）设函数g（x）=3x，h（x）=9x．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）=，求证：p（）+p（）+…+p（）=；（3）若f（x）=是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k •g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知条件推导出9x﹣8•3x﹣9=0，由此能求出原方程的解．（2）由已知条件推导出ρ（）=，ρ（x）+ρ（1﹣x）=1，由此能证明ρ（）+ρ（）+…+ρ（）=．（3）由已知条件推导出a=﹣3，b=1．由此利用已知条件能求出实数k的取值范围．【解答】（1）解：∵g（x）=3x，h（x）=9x．h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0，∴9x﹣8•3x﹣9=0，解得3x=9，x=2．（2）证明：ρ（）=ρ（）==．∵ρ（x）+ρ（1﹣x）==+=1，∴ρ（）+ρ（）+…+ρ（）=1006+=．（3）解：∵f（x）=是实数集上的奇函数，∴a=﹣3，b=1．f（x）=3（1﹣），f（x）在实数集上单调递增．由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k•g（x））＞0，得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k•g（x）），又∵f（x）是实数集上的奇函数，∴f（h（x）﹣1）＞f（k•g（x）﹣2），又∵f（x）在实数集上单调递增，∴h（x）﹣1＞k•g（x）﹣2，即32x﹣1＞k•3x﹣2对任意的x∈R都成立，即k＜3x+对任意的x∈R都成立，k＜2．【点评】本题考查方程的解法，考查等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．。

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(1)含详解

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(1)含详解

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2 16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2 18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是1．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则和换底公式即可解出．【解答】解：原方程可化为log2x+log2（x+1）=1，∴log2x（x+1）=1，∴x（x+1）=2，又x＞0，解得x=1．因此方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点评】本题考查了对数方程的解法、对数的运算法则和换底公式，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）1．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】先求出函数，令3x+1=4，可得x．【解答】解：函数f（x）==3x+1，令3x+1=4，可得x=1故答案为：1．【点评】本题考查二阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x2+4y2≥=4|xy|=4，当且仅当|x|=2|y|=时取等号，∴x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．【解答】解：∵（1+2i）=3﹣4i，∴|1+2i|||=|3﹣4i|=5，∵∴|z|=5，∴|z|=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为0．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式组即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x（x+1）=0，∴原式=0+arccos1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值和函数定义域的求法，比较基础．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是3．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】所给的式子即（﹣1+3）11=2048=2045+3，显然它除以5的余数为3．【解答】解：∵﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311=（﹣1+3）11=2048=2045+3，它除以5的余数显然为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，整除的有关知识，属于中档题．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，进而根据边长为a的等边三角形面积为得到答案．【解答】解：如图所示：过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，故等边△AB1C的边长为，故面积S==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中分析出过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，是解答的关键．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=2．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先求出S n=n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵S n=na1+=n（），∴===2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=2700．【考点】81：数列的概念及简单表示法；F1：归纳推理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为[1，）．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】构造辅助函数f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，求出f（x）在[0，]上的值域并作出图象，由两函数的图象有两个不同交点求得k的取值范围．【解答】解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，则f（x）=sin2x+cos2x=．∵x∈[0，]，∴，∴，函数f（x）=在[0，]内的图象如图所示：∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．故答案为：[1，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了三角函数最值的求法，训练了数学转化思想方法和数形结合的解题思想解题思想方法，是中档题．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出OA，OC的长度，利用将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：ρ=交极轴于A点，∴A（1，0），x﹣y﹣=0，过极点O作l的垂线，垂足为C，则OC=，将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即•π（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：∵OB=3，OC=2，=3，∴∠BOC=60°，∴BC==，设O到BC的距离为h，则由等面积可得，∴h=，∴△ABC面积的最大值为••（+4）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是（1）（4）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．【解答】解：由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．（1）分别用A max、A min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．由C⊆D及A*的定义可知：C max≤C*min，D max≤D*min，C*min≤D max，∴C*min≤D*min，∴必有D*⊆C*．故（1）正确．（2）若设C=（﹣∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故（2）不正确．（3）若设C=（﹣∞，0），D=（﹣∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C ∩D*=（0，1）≠∅，故（3）不正确．（4）由（1）可知：对于C⊆D，必有D*⊆C*；取a=D*min﹣C*min，则对于任意的b∈C*，必恒有a+b∈D*．故（4）正确，故答案为：（1）（4）．【点评】本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=﹣455．【考点】F3：类比推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】对照已知，可得当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，要求a10即为x10的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案．【解答】解：∵当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，①∴当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，②又对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴a10即为x10的系数，可取①中的（﹣2x）9，②中的1，或①中（﹣2x）6，②中的x3，或①中的（﹣2x）3，②中的x6，或①中的1，②中的x9，∴a10=（﹣2）9+（﹣2）6+（﹣2）3+1=﹣455，故答案为：﹣455．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查形式上的类比，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法．【专题】5J：集合．【分析】求出集合A，B的元素，利用“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件即可得到结论．【解答】解：A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，当a=﹣2时，方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根分别为﹣2和b，∵﹣2＜﹣1，∴若“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b＞﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件的应用，利用不等式的性质求出集合A，B是解决本题的关键．16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】RG：数学归纳法．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先判断f n（x）不可能是偶函数，再用数学归纳法证明f n（x）是奇函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f1（x）=＜0，f2（x）=＜0，…，f n+1（x）=＜0，…，同理，x＞0时，函数值均大于0，∴f n（x）不可能是偶函数，∵f1（x）=是奇函数，假设f k（x）是奇函数，则f k+1（﹣x）===﹣f k+1（x），∴f k+1（x）是奇函数，从而f n（x）是奇函数，故选：A．【点评】本题考查数学归纳法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；H5：正弦函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=xsinx是偶函数且在（0，）上递增，∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D．【点评】本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【考点】J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．【解答】解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），（1）那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），如图（2），则轨迹是双曲线．∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答此题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；5G：空间角．【分析】法1：设AK与平面SBC所成角为θ，利用余弦定理求出AK，利用等面积求出A到平面SBC的距离，即可求直线AK与平面SBC所成角的大小．法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．【解答】解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．因为，…（2分）所以．所以．…（4分）所以．所以．…（6分）因为，…（8分）所以，…（10分）因此…（11分）则…（12分）解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则．…（4分）所以．…（6分）设是平面SBC的一个法向量，易求得．…（8分）设θ为AK与平面SBC所成的角，因为．…（10分）所以：．…（11分）所以…（12分）【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查等体积，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】23：新定义．【分析】（1）根据“局部奇函数”的定义，只要判断条件f（﹣x）=﹣f（x）是否成立即可得到结论．（2）根据“局部奇函数”的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+f（x）=0有解．即f（x）+f（﹣x）=0⇒2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（x）+f（﹣x）=0可转化为2x+2﹣x+2m=0，∵f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令，则．∵在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴，∴，即．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】12：应用题；5I：概率与统计．【分析】（1）1名顾客摸球2次停止摸奖的情况有，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．【解答】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）==，…（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==，P（X=20）==，P（X=30）==，P（X=40）==…（9分）所以，随机变量X的分布列为：X010203040P…（12分）．…（14分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）首先由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案；（2）设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，求出y2=±1，故有m=±，即可求直线MN的斜率；（3）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，利用等差数列的性质，可得，即可得出结论．【解答】解：（1）设动圆的圆心到直线x+1=0的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．（2）由题意得到F（1，0），则设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，得y2﹣4my ﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4．因为=﹣4，得到（x1﹣1，y1）=﹣4（x2﹣1，y2），所以有y1=﹣4y2代入到上面得到y2=±1，故有m=±，所以直线MN的斜率为±；（3）（理）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，得：y2﹣4ky﹣4t=0，则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，…（11分）若，即有，即：由此得：，因为，所以k=0…（15分）所以当直线MN的方程为x=t时，也就是k PM+k PN=2k PQ成立的充要条件是直线MN与x轴相垂直．…（16分）【点评】本题考查抛物线的定义，以及抛物线的有关性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确联立方程是关键．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用定义，可以找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）先证明第二段可取3个数，t2=1+3=4；再证明第三段可取9个数，即，由此即可得出结论；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：由题意，M1=1，M2=2+3+4=9，M3=5+6+…+13=81；…（4分）（2）证明：记t1=1，即M1=1，又由2+3+4=9=32，，∴第二段可取3个数，t2=1+3=4；再由5+6+…+13=81=34，即，因此第三段可取9个数，即，依次下去，一般地：，…（6分）∴，…（8分）…（9分）则．由此得证．…（11分）（3）解：不存在．令，则假设存在符合题意的等差数列，则{M n}的公比必为大于1的整数，（∵，因此q＞1），即此时，注意到，…（14分）要使成立，则1+q+q2必为完全平方数，…（16分）但q2＜1+q+q2＜（q+1）2，矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{M n}．…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。

(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理(含解析)

(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理(含解析)

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）．3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ）A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅ D ．1BD BC ⋅4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)8. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =…………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:19. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积 是 cm 3.10. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行11. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．第7题图12. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分）设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………（3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分）2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，BC =12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ；（2）求二面角1A A D E --的大小．200w v w ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩3.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．θ=︒时，求异面直线MC与PO所成的角；（1）当60-的体积最大时，求θ的值．（2）当三棱锥M ACO⊥交AO于点D，连DC．试题解析：解：（1）连MO，过M作MD AO又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.【答案】60°【解析】试题分析：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，需求直线AD 与平面11A BC 所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面11A BC 的法向量与直线AD 所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.在直角△AOG 中，AG ＝23AD AB 1， AO AB ，所以sin ∠AGO ＝AOAG． 10分故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°． 12分 考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】如图，在体A-中，BD长为E为棱BC的中点，求BCD（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；A-的表面积．（2）正三棱锥BCD8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）43π；（2. 【解析】试题分析：（1）要求球的表面积，首先要求出球的半径，如图即半圆O 的半径，这可在OBM ∆中列方程解得，圆O 半径为,r 则有sin OM BOB =，即sin30︒=r =（3）要阴影部分旋转后的体积，我们要看阴影部分是什么几何体，看看能不能把变成我们熟知的锥台、球，或者上它们构成的，本 题中，是在三角形内部挖去一个小三角形，因此最后所得可以看作是一个圆锥里面挖去了一个球，从而其体积就等于一个圆锥的体积减去球的体积，即231433V AC BC OM ππ=⋅⋅-⋅.。

2014届上海市高考数学·二模汇编 函数

2014届上海市高考数学·二模汇编 函数

2014届高中数学·二模汇编（专题：函数）2014届高中数学·二模汇编 函数一、填空题：1、已知集合1|1,A x x x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭R ，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则=⋂B A . 2、已知函数()21x f x =+的反函数为1()y f x -=，则1()0f x -<的解集是3、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是 ．4、函数()12-=x x f 的反函数为________.5、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .6、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．7、函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 8、函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f9、方程1)34(log 2+=-x x的解=x ．10、关于方程211323xx=-的解为 ． 11、函数()20y x x x=+>的值域为____________． 12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0,)x ∈+∞ 恒成立，则实数a 的取值范围是 .13、已知二次函数2()()f x x ax a x =-+∈R 同时满足：① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =. 规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数.若令1n nab a =-(n ∈*N )，则数列{}n b 的变号数等于14、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.15、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________.16、已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2lo g 20,21)(16x x x x f x． 若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．17、已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2lo g 20,21)(16x x x x f x．. 若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R )a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是 ． 18、对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ．19、对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．20、函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点______.21、已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，且()0=⋅+AC BC BA ，则满足条件的函数()f x 有 个．22、已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且()R MB MC MA ∈=+λλ，则满足条件的函数()f x 有 个23、已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈） 24、函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .25、对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．26、定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 27、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．28、方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x .29、若函数)(x f y =（R x ∈）满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f . 30、若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 . 31、若集合D }1|1||{≤-=x x ，则函数11)(+=x x f （D x ∈）的值域为 . 32、若函数x x a x f +-=)(（a 为常数），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ， 恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = .33、已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是二、选择题：34、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<35、函数21(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是（ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3 36、方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ）（A ）2（B ）4（C ）6（D ）837、方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ）（A ）2(B ）4（C ）6（D ）838、函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （ ） )(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦39、已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．040、某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立； ③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等； ④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②④D ．①③④ 40、函数)0(sin )(>=ωωx M x f ，在区间[]b a ,上是增函数，且M a f -=)(，M b f =)(则函数xM x f ωcos )(=在区间[]b a ,上 （ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 41、现有某种细胞100个，其中有约占总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少 （ ） A ．42小时 B ．46小时 C ．50小时 D ．52小时42、若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a第21题图ABCO三、解答题：43、设121()log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由； （3）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．44、某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(13)+百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OC OA 、满足00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．东北ABC O第21题图· · ·Z 45、为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，30013OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处 的补给船，速往小岛A 装上补给物资后，继续沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇给科考船补给 物资．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优. （1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？46、已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．47、已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．48、函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．49、定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M ∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数1234()11234f x x x x x =+++-----，判断函数()f x 在区间(2,3)上是否有零点， 并求不等式()0f x >解集区间的长度总和．50、定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，再向上平移3个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <） 满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M∈⎧=⎨-∉⎩ (M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．51、定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 广义周期，M 称为周距． （1）证明函数()()()1xf x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M 的值；（2）试求一个函数()y g x =，使()()()()sin f x g x A x x R ωϕ=++∈（A ωϕ、、为常数，0,0A ω>>）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M ；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域 为[]3,3-时，求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．52、定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 广义周期，M 称为周距．（1）证明函数()()()1x f x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出相应周距M 的值；（2）试判断函数()()sin f x kx b A x ωϕ=+++（k A ωϕ、、、为常数，0,0,0k A ω≠>>）是否为 广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T 和周距M ，若不是，请说明理由；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域为[]3,3-时， 求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．53、设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ；（2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证： )20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意 实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.54、设a 是实数，函数|2|4)(a x f x x -+=（R ∈x ）．（1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0≤a 时，求满足2)(a x f >的x 的取值范围；（3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．55、设a 是实数，函数|2|4)(a x f x x -+=（R ∈x ）．（1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0≤a 时，解关于x 的方程2)(a x f =；（3）当0>a 时，求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．56、已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g （1）求函数)()(21x g x f y -=-的最小值；（2）集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f恒成立， 求实数m 的取值范围.57、已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g . （1）求函数)()(21x g x f y -=-的最小值；（2）若函数)()(2)(1x g m x fx F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.58、已知函数)(x f y =在定义域R 上是增函数，值域为()+∞,0， 且满足：)(1)(x f x f =-．设)(1)(1)(x f x f x F +-=． （1）求函数)(x F y =值域和零点；（2）判断函数)(x F y =奇偶性和单调性，并给予证明．59、设函数x xx f 2323)(+-=R)(∈x ． （1）求函数)(x f y =的值域和零点；（2）请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明．。

上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)--含答案

上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)--含答案

2013学年上海市高考数学模拟试卷B考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟. 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q =2.3223ii+=- 3.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =4.已知+∈R b a 、，且3=+b a ，则以b a 、作为两边长的三角形面积最大值是5.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于6.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为7二项式6⎪⎭⎫ ⎝⎛+x m x 的展开式中2x 的系数为60，则实数m 等于 .8.已知21,F F 分别为椭圆16410022=+y x 的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为（2，-6），P 为椭圆上的一个动点，则||||2PF PM +的最大值是9.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学 要站在一起，则不同的站法有 种10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为11.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V VABC1ADE F1B1C12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为13.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________14.设代数方程0)1(242210=-+-+-nn n x a x a x a a 有n 2个不同的根n x x x ±±±,,,21 ，则⋅--=-+-+-)1)(1()1(2222120242210x x x x a xa x a x a a nn n )1(22n x x -⋅ ，比较两边2x 的系数得=1a （用n x x x a ⋅⋅⋅⋅ 210表示）；若已知展开式 +-+-=!7!5!31sin 642x x x x x 对0,≠∈x R x 成立，则由于0sin =xx有无穷多个根：,,,,2, πππn ±+±±于是)21)(1(!7!5!3122222642ππ⋅--=+-+-x x x x x ⋅-⋅⋅)1(222πn x ，利用上述结论可得=+++++222131211n二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n = A ．18 B ．19 C ．20 D ．2116.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为A.22(2)(2)10-+-=x y B.()()102222=+++y xC.()()102222=++-y x D.()()102222=-++y x17.将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是 A ．3π=x B.6π=x C ．x π= D. 2x π=18.对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分. 如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O 上,点A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值； （Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题7分，第（Ⅱ）小题7分如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题7分，第（Ⅱ）小题7分设公差为d （0d ≠）的等差数列{}n a 与公比为q （0q >）的等比数列{}n b 有如下关系：113375,,a b a b a b ===．OSBC（I ）比较15a 与7b 的大小关系，并给出证明．（II ）是否存在正整数,m n ，使得?n m a b = 若存在，求出,m n 之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题5分，第（Ⅲ）小题7分.矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上。

上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(理科) 有答案

上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(理科) 有答案

上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区2014届下学期高三年级二模考试数学试卷（理科）（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量ji +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->第10题图的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]-16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件)(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）ADCFPB（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点. (1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =．（1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π12 5．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又A C D A ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r，又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r ，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN === 2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x ，2=x （2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。

上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)答案--含答案

上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)答案--含答案

2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=， 即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立． （7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。

2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．4．（4分）函数y=x+（x≥2）的值域是．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取名学生．7．（4分）函数的最小正周期T=．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．10．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=．11．（4分）在极坐标系中，定点A（2，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，则点A和点B间的最短距离为．12．（4分）三阶矩阵中有9个数a ij（i=1、2、3、j=1、2、3）从中任取三个数，至少有两个数位于同一行或同一列的概率是（用分数表示）13．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为．14．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．17．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．18．（5分）设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是：①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，•为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m ∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出A ∩B．【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．【考点】I2：直线的倾斜角．【专题】5B：直线与圆．【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．【解答】解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【考点】HA：余弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．4．（4分）函数y=x+（x≥2）的值域是[3，+∞）．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=x+，∴当x≥2时，=．∴函数y=x+在[2，+∞）上单调递增，∴=3．∴函数y=x+（x≥2）的值域是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=1﹣3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，∴﹣i•i•（z+1）=﹣i（﹣3+2i），化为z+1=2+3i，化为z=1+3i，∴=1﹣3i．故答案为：1﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取40名学生．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I：概率与统计．【分析】由所给的学校的总人数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，做出高三年级的人数，乘以概率得到结果．【解答】解：∵某高中共有学生2400人，采用分层抽样法抽取容量为120的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，高三年级有2400﹣760﹣840=800人∴要在高三抽取800×=40人，故答案为：40．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数．7．（4分）函数的最小正周期T=π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；O1：二阶矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，易求，∴．故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣4，求得r的值，即可求得展开式中的x﹣4的系数a n，再用裂项法求得++…+的值，从而求得所给式子的值．【解答】解：（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x﹣2r，令﹣2r=﹣4，r=2，故展开式中x﹣4的系数为a n==，∴==2（﹣）．则（++…+）=2（+++…+）=2（1﹣）=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于中档题．11．（4分）在极坐标系中，定点A（2，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，则点A和点B间的最短距离为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】将直线ρcosθ+ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵定点A（2，），即A（0，2）与动点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，此时直线AB垂直于直线x+y=0，d=，故答案为：．【点评】此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=，tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．12．（4分）三阶矩阵中有9个数a ij（i=1、2、3、j=1、2、3）从中任取三个数，至少有两个数位于同一行或同一列的概率是（用分数表示）【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】采用间接解法解决．从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，若三个数分别位于不同的三行，有三种方法；若三个数分别位于不同的三列，有三种方法；从而计算出不满足要求的选法种数，根据概率公式得到三个数分别位于三行或三列的概率，最后利用减法得出至少有两个数位于同一行或同一列的概率即可．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；三个数分别位于三行或三列的概率∴所求的概率为1﹣=．故答案为：．【点评】本小题主要考查三阶矩阵、计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．13．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为5．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】连接AE会发现它与AB垂直，所以构造，将条件中的代入，便会得到，而，所以经过化简就可得到．同样的办法你会得到，显然得到的这两式需相加便经过化简得到m+n=，而这正好是在方向上的投影，所以求这个投影的最大值即可，而投影的最大值，通过图形就能得到．【解答】解：如图所示，．∴==6n ①同理，②①+②得：；∵，∴．∵=．∴，其几何意义就是在上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求在上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在上的投影取到最大值5．【点评】本题需注意的是构造两组数量级，将求m+n的最大值转化为求在方向上投影的最大值．14．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=2n﹣3．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得S（A）=2n﹣3．【解答】解：∵集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，∴取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则S={3，4，5，…，2n﹣1}，∵（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴S中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=2n﹣3．故答案为：2n﹣3．【点评】本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题．【分析】①α∥β⇒l⊥m，可由线面垂直的性质进行判断；②α⊥β⇒l∥m，可以由面面垂直的性质进行判断；③l∥m⇒α⊥β面面垂直的判定定理进行判断；④l⊥m⇒α∥β，可由面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：对于①l⊥α，α∥β，m⊂β⇒l⊥m正确；对于②l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m；l与m也可能相交或者异面；对于③l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又因为m⊂β则α⊥β正确；对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；综上所述①③正确，故选：B．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查空间想像能力及组织材料判断面面间位置关系的能力，属于基本题型．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】先根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化，再结合正弦定理即可得到答案．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：=．故选：A．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．解决本题的关键在于根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化．17．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．假设存在，则可计算出公比的范围，从而可下结论．【解答】解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：，设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq2，且ab=（aq）2=3，所以aq=；所以q=，当，则；当时，考查四个选项，只有B选项不符合上述范围故选：B．【点评】本题的考点是等比关系的确定，主要课程等比数列的定义，等比中项及切割线定理，属于基础题．18．（5分）设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是：①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，再分类说明对应的轨迹情况即可．【解答】解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则当r1=r2时，轨迹是直线；当r1≠r2且|PO1﹣PO2|=|r1﹣r2|＜2c时，圆P的圆心轨迹为双曲线．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查轨迹问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可．【解答】解：（1）连接OM，则OM⊥AB设OM=r，OB=﹣r，在△BMO中，sin∠ABC==⇒r=∴S=4πr2=π．（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．∴V=V圆锥﹣V球=π×AC2×BC﹣πr3=π×﹣π×=π．【点评】本题考查旋转体的表面积与体积的计算．S球=4πr2；V圆锥=πr3．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】先利用正弦定理，求出AD，再在△ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论．【解答】解：由∠ADC=150°知∠ADB=30°，由正弦定理得，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）在△ADC中，由余弦定理得：|AC|2=|AD|2+|DC|2﹣2|AD|•|DC|cos150°，即，即DC2+3•DC﹣6=0，解得（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以|BC|≈2.372（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由于2.372＜2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，•为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，建立方程，求出a，b，则椭圆方程可知．（II）直线与椭圆方程联立，消去y，得到关于a的一元二次方程，求出x1+x2，x1x2，求出•，即可得出结论．【解答】解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则，由c2=a2﹣b2得，由解得a2=8，b2=4，则椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：，∴====，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当5+4m=16，即时，=为定值，所以，存在点使得为定值（14分）．【点评】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知条件推导出f（x+2）﹣f（x）═2，由此证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（2）设g（x）=kx+b（k≠0），由=，推导出f（x）是广义周期函数，并能求出并求出它的一个广义周期T和周距M．（3）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4，知f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4，由此能求出f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【解答】（本题满分（16分）；第（1）小题（4分），第（2）小题（5分），第（3）小题7分）（1）证明：∵f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z），∴f（x+2）﹣f（x）=[（x+2）+（﹣1）x+2]﹣[x+（﹣1）x]=2，（非零常数）∴函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（4分）（2）解：设g（x）=kx+b（k≠0），则f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）∵=（非零常数）∴f（x）是广义周期函数，且．（9分）（3）解：∵f（x+2）﹣f（x）=﹣2（x+2）+g（x+2）+2x﹣g（x）=﹣4，∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4．（10分）设x1，x2∈[1，3]满足f（x1）=﹣3，f（x2）=3，由f（x+2）=f（x）﹣4得：f（x1+6）=f（x1+4）﹣4=f（x1+2）﹣4﹣4=f（x1）﹣4﹣4﹣4=﹣3﹣12=﹣15，又∵f（x+2）=f（x）﹣4＜f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最小值是x在[7，9]上获得的，而x1+6∈[7，9]，∴f（x）在[﹣9，9]上的最小值为﹣15．（13分）由f（x+2）=f（x）﹣4，得f（x﹣2）=f（x）+4，∴f（x2﹣10）=f（x2﹣8）+4=f（x2﹣6）+4+4=…=f（x2）+20=23，又∵f（x﹣2）=f（x）+4＞f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最大值是x在[﹣9，﹣7]上获得的，而x2﹣10∈[﹣9，﹣7]，f（x）在[﹣9，9]上的最大值为23．（16分）【点评】本题考查广义周期函数的证明，考查广义周期函数的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m ∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．【考点】8B：数列的应用；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g（i），即可得到结论．【解答】解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n﹣1）f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n﹣2）．（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i（1≤i≤n﹣3）行是以d i为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）﹣f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]﹣[f（i，j）+f（i，j+1）]=f （i，j+2）﹣f（i，j）=2d i（常数）知第i+1（1≤i≤n﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d i．综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；由于d1=4，d i=2d i﹣1（i≥2），∴，，由，即f（i，1）=f（i﹣1，1）+f（i﹣1，2）=2f（i﹣1，1）+d i﹣1得f（i，1）=2f（i﹣1，1）+2i，于是，即，又∵，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，∴，∴f（i，1）=（i+1）•2i（i=1，2，…，n）．（3）f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），，令g（i）=2i，=．S n＞m，，，令λ=，则当n＞λ时，都有S n＞m，∴适合题设的一个等比数列为g（i）=2i．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．。

2014理科二模-上海市浦东区高三数学

2014理科二模-上海市浦东区高三数学

2014年上海市浦东新区高三年级二模试卷——数学（理科）2014年4月（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=_____2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 .3.函数()31cos 4sin x x x f =的最大值为_______4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a = .5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点______.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =_____.7.π，则球的体积为 ____ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____9.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()n n a a a →∞+++=L ____． 10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =___.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__ ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15外接圆半径R 5=，则ABC ∆的周长为_______13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PFPA的最小值为 . 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “1x >”是“11x<”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ ）（A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） （A ）2（B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S .（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.（理）已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列；（2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式 12226log (1)35n n n b b b x +++++>+L 对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围． 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. （理）已知中心在原点O ，左焦点为1(1,0)F -的椭圆1C 的左顶点为A ，上顶点为B ，1F 到直线AB 的距离为||7OB . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 过点(3,0)P 作直线l ，使其交椭圆1C 于R 、S 两点，交直线1x =于Q 点. 问：是否存在这样的直线l ，使||PQ 是||PR 、||PS 的等比中项？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.(3) 若椭圆1C 方程为：22221x y m n +=（0m n >>），椭圆2C 方程为：2222x y m nλ+=（0λ>，且1λ≠），则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆.已知2C 是椭圆1C 的3倍相似椭圆，若直线y kx b =+与两椭圆1C 、2C 交于四点(依次为P 、Q 、R 、S )，且2PS RS QS +=u u u r u u u r u u u r，试研究动点(,)E k b 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.（理）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21x y =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M∈⎧=⎨-∉⎩ (M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++U 的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数1234()11234f x x x x x =+++-----，判断函数()f x 在区间(2,3)上是否有零点，并求不等式()0f x >解集区间的长度总和．参考答案1. _{}1,4,5___2. 43y x =± .3. _5_____4. a =13.5. __(2,3)-___.6. _23522n n -___.7. __323π__ ． 8.(理) 0.98 (文) _115__ 9. _13-__．10.(理) _3__. (文) 5 11.(理) __1 ． (文) ____2 _.12. 6+13．2. 14.(理)＿12＿个． (文)＿20＿个． 二、选择题 15. A 16. （理） ( D ) （文）（ A ） 17.（ D ）18. （理）（ B ） （文）（ C ）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

2014届上海市高考数学·二模汇编 立体几何

2014届上海市高考数学·二模汇编 立体几何

2014届高中数学·二模汇编（专题：立体几何）C DBA第12题2014届高中数学·二模汇编 立体几何一、填空题1、（2014年虹口二模理12）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、 △ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .2、（2014年崇明二模理10）已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同， 若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= ．3、（2014年崇明二模文10） 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 的高与球O 直径 相等，则它们的体积之比:V V =圆柱球 (结果用数值作答).4、（2014年闵行二模理7）用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ， 则该球的体积是 cm 3.5、（2014年徐汇松江金山二模文理9）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．6、（2014年浦东二模文理7） 一个与球心距离为3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为 .7、（2014年黄浦二模文理10）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离 是3，则这个球的表面积是 ．8、（2014年长宁嘉定二模理8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．9、（2014年长宁嘉定二模文8）已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=,21,2,10,)(x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________． 10、（2014年奉贤二模文8理7）若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________. 11、（2014年四区二模文理4)已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)． 12、（2014普陀二模文8）一个正方体内接于球，若球的体积为34π，则正方体的棱长为 .CDBA13、（2014普陀二模理12）若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .14、（2014闸北二模文理5）若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的 体积分别为1V 和2V ，则21:V V 的值为 ．15、（2014闸北二模理6）如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，则直线DE 与平面11BC A 的夹角为______． 16、（2014闸北二模文理7）如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．二、选择题17、（2014年虹口二模文17）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）. .A 12.B 2 .C 4 .D 818、（2014年闵行二模文理15）下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行19、（2014年徐汇松江金山二模文16理15）已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ① m l ⊥⇒βα// ② m l //⇒⊥βα ③ βα⊥⇒m l // ④ βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③BAC DA BC D 第15题（理）PMA BO20、（2014年黄浦二模文理16）已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等” 是“α||l ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件21、（2014年奉贤二模理15）已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ） A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅D ．1BD BC ⋅22、（2014年四区二模文理17）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别 记为1S 、2S ,则1S :2S =…（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:1三、解答题23、（2014年虹口二模理19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．24、（2014年虹口二模文19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于60︒．（1）求圆的侧面积和体积．（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；25、（2014年崇明二模理19） 如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，2BC =，12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ； （2）求二面角1A A D E --的大小．BACED第19题图如图，在体积为3的正三棱锥BCD A -中，BD 长为23，E 为棱BC 的中点，求 （1）异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）正三棱锥BCD A -的表面积．27、（2014年徐汇松江金山二模理19）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．1C第19题图Ａ Ｃ 1B 1A ＤＢ如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离.29、（2014年黄浦二模理19）已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示． (1) 求证：1DC ⊥平面BCD ； (2) 求二面角A BD C --的大小．ABCD PQ30、（2014年黄浦二模文19）已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1) 求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2) 若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =， 异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．31、（2014年长宁嘉定二模理20）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．ADCFPB 32、（2014年奉贤二模理19）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.33、（2014年四区二模理19) 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. A 1 B 1C 1D B A C(理19题图)34、（2014普陀二模文20）如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且︒=∠120AOC . （1）求三棱锥CB A A 1-的体积；（2）求异面直线B A 1与OC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.35、（2014闸北二模理14）如图，平面α内一椭圆14:22=+y x C ，1F 、2F 分别是其焦点，P 为椭圆C 上的点，已知α⊥1AF ，α⊥2BF ，121==BF AF ，直线PA 、PB 和平面α所成角分别为θ、ϕ．（1）求证：4cot cot =+ϕθ； （2）若2πϕθ=+，求直线PA 与PB 所成角的大小．第2011 36、（2014闸北二模文13） 如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ， D 、E 分别为1AA 与11B A 的中点．（1）求异面直线D C 1与BE 的夹角；（2）求四面体1BDEC 体积．。

2014年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1 17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．218．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=…b1=2b2=b3=b4=…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x ∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的应用，属于中档题．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用正弦定理化简已知等式得到三边之比，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知sinA：sinB：sinC=1：：，利用正弦定理化简得：a：b：c=1：：，设a=k，b=k，c=k，且最大角为C，∴cosC===﹣，∴C=．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．【点评】本题主要指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】A8：复数的模；O1：二阶矩阵．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）==﹣1，tanα=2，∴=﹣1，整理得：2+tanβ=﹣1+2tanβ，解得：tanβ=3．故答案为：3【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出a2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，∴a2+1=4，解得a=，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题考查古典概型中利用排列组合求基本事件个数，再求概率的类型，有2个特殊元素，从其中一个数学开始讨论，分2种情况讨论即可．【解答】解：从元素入手，特殊元素优先，先排数学，分2类：①当数学在第一节时，其他5个元素全排列即可，②当数学不在第一节时，也不排在最后一节，则应为；再排体育，又不排在第一节，应为，然后剩下4个元素全排列，即本类排法为，综上共有+=504又基本事件共有=720所以概率P==，故答案为：．【点评】利用排列组合求概率，属于排列中的特殊元素特殊位置类型，从元素入手或者从位置入手都可，但讨论标准讨论完前，不可更换．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是α1，α3．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，∴数列{a n}是递增数列，故α1是真命题；∵na n=2n2﹣8n，∴数列{na n}是先减后增数列，故α2是假命题；∵=2﹣，∴数列{}是递增数列，故α3是真命题；∵a n2=4n2﹣32n+64，∴数列{a n2}不是递增数列，故α4是假命题．故答案为：α1，α3．【点评】本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于+1．【考点】K4：椭圆的性质；QL：椭圆的参数方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将椭圆参数方程化为普通方程，可设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连接AF2，再由题设条件可知|AF1|=|F1F2|，∠F1AF2=90°，由|F1F2|=4，即c=2，由勾股定理求出|AF2|，再由椭圆的定义求出a即可．【解答】解：椭圆（a＞b＞0），可化为：（a＞b＞0）如图设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连AF2，由题设条件知|AF1|=|F1F2|=c，∠F1AF2=90°，又|F1F2|=4，即2c=4，c=2，则|AF1|=2，|AF2|===2，由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a，则2a=2+2，∴a=+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的简单性质和应用，解题时要注意运用定义，是快速解题的关键，本题属于基础题．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m •，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=26．【考点】8B：数列的应用．【专题】23：新定义；54：等差数列与等比数列．【分析】利用新定义，可得{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a14．【解答】解：∵△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n，△2a n+△1a n﹣2=0，∴△1a n+1=2，∴a n+2﹣a n+1=2，∵a1=1，a2=2，∴{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，∴a14=2+2（14﹣2）=26．故答案为：26．【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，确定{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据直线与圆相切的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若直线与圆相切则，圆心到直线的距离d=，即|a|=2，∴a=±2，∴α是β的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=，由积化和差得cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，再由和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，由此能求出公比q=﹣1．【解答】解：∵数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∵数列{cosa n}是等比数列，∴=，①∴2cosa1cos（a1+nd）=2cos（a1+d）cos[a1+（n﹣1）d]，积化和差得cos（2a1+nd）+cosnd=cos（2a1+nd）+cos（n﹣2）d，∴cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，∴sind=0，0＜d＜2π，∴d=π．由①，公比q=﹣1．故选：B．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意积化和差公式与和差化积公式的灵活运用．18．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）过点M作MD⊥AO，从而MD∥PO，∠DMC即异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，其高为，只需棱锥底面△ACO面积最大，即可，从而求得θ值．【解答】（12分）解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．又PO=，∴MD=．又OC=4，OM=3．又MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（5分）当∠MOC=60°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos当∠MOC=120°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos综上异面直线MC与PO所成的角等于arccos或arccos．…（8分）（2）∵三棱锥M﹣ACO的高为MD且长为，要使得三棱锥M﹣ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．…（10分）又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°．…（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角，及三棱锥体积最值问题，数中档题．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用倍角公式对函数解析式化简，求得函数的周期．（2）利用（1）中的解析式及f（x）的值求得a，求得函数解析式，最后根据三角函数的性质求得答案．【解答】解（1）y=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1∴T==π（2）∵f（x）的最小值为0，∴﹣2+a+1=0∴a=1∴函数y=2sin（2x+）+2最大值等于为2+2=4当2x+=kπ+（k∈Z），即x=+（k∈Z）时函数有最大值或最小值，∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角函数的周期，三角函数的图象及三角函数恒等变换的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5…b1=2b2=3b3= 4.5b4= 6.75…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】8B：数列的应用．【专题】12：应用题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）a1=10a2=9.5a3=9 a4=8.5 …b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75 ……（2分）当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…（5分）而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（8分）（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…（11分）由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …（13分）∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…（14分）【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．【考点】3T：函数的值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论．（2）根据|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，（3）利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x 均成立，即可得到结论．【解答】解：（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，∴f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．…（2分）对于g（x）=x3，如果存在M＞0满足|x3|≥M|x|，而当时，由，∴，得M≤0，矛盾，∴g（x）=x3不是“圆锥托底型”函数．…（5分）（2）∵f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．∴当x≠0时，=|x|+，此时当x=±1时，|x|+取得最小值2，∴M≤2．…（9分）而当x=0时，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．∴M的最大值等于2．…（10分）（3）①当b=0，k=0时，f（x）=0，无论M取何正数，取x0≠0，则有|f（x0）=0＜M|x0|，f（x）=0不是“圆锥托底型”函数．…（12分）②当b=0，k≠0时，f（x）=kx，对于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此时可取0＜M＜k|，∴f（x）=kx是“圆锥托底型”函数．…（14分）③当b≠0，k=0时，f（x）=b，无论M取何正数，取|x0|．有|b|＜M|x0|，∴f（x）=b不是“圆锥托底型”函数．…（16分）④当b≠0，k≠0时，f（x）=kx+b，无论M取何正数，取x0=≠0，有|f（x0）|=0≤M|x0|，∴f（x）=kx+b不是“圆锥托底型”函数．由上可得，仅当b=0，k≠0时，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．…（18分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线l：y=kx+b代入抛物线x2=2py，求出D的坐标，设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；（3）分别求出a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．【解答】解：（1）由直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pb∴点D（pk，pk2+b）…（2分）设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程可得x2﹣2pkx﹣2pm=0，得△=4p2k2+8pm=0，m=，切点的横坐标为pk，得C（pk，）…（4分）由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（6分）（2）∵=4p2k2+8pb，∴b=．…（8分）∴S△ABC=|CD||x2﹣x1|=．…（11分）∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（12分）（3）由（1）知CD垂直于x轴，|x C﹣x A|=|x B﹣x C|=，由（2）可得△ACE、△BCF的面积只与有关，将S△ABC=中的h换成，可得S△ACE =S△BCF=．…（14分）记a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a n}的无穷项和，此数列公比为，∴封闭图形的面积S===…（18分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(2)含详解

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(2)含详解

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5 2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+34．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣37．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．38．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣19．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（12&#215;5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】通过复数的虚部为0，即可求出实数a的值．【解答】解：因为复数为实数，所以a2+2a﹣15=0，解得a=3，或a=﹣5（舍去）．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，基本知识的考查．2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【考点】F5：演绎推理．【专题】29：规律型．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．【点评】本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+3【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由定积分运算公式，求出函数的f（x）=+x的一个原函数F（x）=lnx+，利用微积分基本定理即可得到所求积分的值．【解答】解：由积分运算法则，得（+x）dx=（lnx+）=（ln2+）﹣（ln1+）=ln2+故选：A．【点评】本题求一个定积分的值，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于基础题．4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】72：不等式比较大小；7I：不等式的综合．【专题】35：转化思想．【分析】根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，2×4的大小关系即可．【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣3【考点】64：导数的加法与减法法则．【专题】11：计算题．【分析】先求出函数的导数，再把x=﹣1代入f′（x）的解析式得到f'（﹣1），再由f'（﹣1）=8，求得a的值，即可得到函数f（x）的解析式，从而求得f （﹣1）的值．【解答】解：已知，∴f′（x）=3（2x+1）2×2+，∵f'（﹣1）=8，∴3×2+2a=8，故有a=1，∴=，∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，故选：A．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．8．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令函数f（x）的导数为0，求出x=lna﹣1，由x＞0，解出a即可．【解答】解：∵f′（x）=a﹣e﹣x，令f′（x）=0，∴a=e﹣x，∴x=﹣lna=lna﹣1，∵x＞0，∴lna﹣1＞0，∴＞1，∴0＜a＜1，故选：B．【点评】本题考察了函数的零点问题，对数函数的性质，导数的应用，是一道基础题．9．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】明确f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，再由基本不等式明确b＞＞，利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵0＜a＜b，∴b＞＞又∵f（x）=，∴f′（x）==＜0，∴f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，∴f （b）＜f （）＜f （）故选：D．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和基本不等式．解答的关键是在比较大小时体现了函数思想．10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题．【分析】由积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx【解答】解：由题意，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx∫01（）dx的大小相当于是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的，故其值为∫01（﹣x）dx=（﹣x2）|01=﹣所以，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx=故选：D．【点评】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）【考点】82：数列的函数特性；F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，就可得出正确选项【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）因此P（2003）=403，且P（2005）=401，所以P（2003）＞P（2005）故选：D．【点评】本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】23：新定义．【分析】根据定义，x⊗y=36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=36；x 和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=36，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1，故点（x，y）有35个，∴满足条件的个数为6+35=41个．故选：B．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．二．填空题：（4&#215;5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】由题意，可作出两个曲线y=x2与x=y2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2=x，y=x2所围成图形的面积．【解答】解：作出如图的图象…（2分）联立解得，…（5分）即点O（0，0），A（1，1）．故所求面积为：===…（10分）所以所围成图形的面积S=．故答案为：．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=±（7﹣i）．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得．又ω=，|ω|=，可得．即可得出a，b．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=x ﹣．【考点】3U：一次函数的性质与图象；67：定积分、微积分基本定理．【专题】53：导数的综合应用．【分析】设f（x）=ax+b，根据积分公式，即可求出f（x）的表达式．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt∴设f（x）=x+b，则f（x）=x+3f（t）dt=x+3（t+b）dt=x+3（）|=x+，∴=b，即b=，∴f（x）=x．故答案为：x【点评】本题主要考查积分的计算，利用待定系数法即可得到结论．比较基础．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列所以∴s7=2×72﹣7=91故答案为：91【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=﹣2．又，∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．【解答】解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）=+（k+1）（k+3）=（2k2+7k+6k+18）=（2k2+13k+18）=，就是说，当n=k+1时等式也成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上所述，对任何n∈N+都成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．属于中档题，19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题（3）先将f（x）≥k（x﹣1）恒成立，转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可【解答】解：（1）求函数f（x）=x3﹣6x+5的导数，得f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，列表讨论f′（x）的符号，得xf'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，由图数形结合可得（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，令，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3，∴k≤﹣3．【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x），由此可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a﹣2）e x，f'（1）=0，∴a=1．当a=1时，f′（x）=（x﹣1）e x，在x=1处取得极小值．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=（x﹣1）e x．当x∈[0，1]时，f′（x）=（x﹣1）e x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）=（x﹣1）e x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=﹣e，又f（0）=﹣2，f（2）=0，所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x）．所以f（x1）﹣f（x2）≤0﹣（﹣e）=e．【点评】本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．【解答】解析：（1）由题意．…（1分）当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＞0，则x∈（a，+∞），f'（x）＜0，则x∈（0，a），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，…（3分）当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），f'（x）＞0，则x∈（a，0），f'（x）＜0，则x∈（﹣∞，a），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数．…（5分）（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点T，∴切线方程：，将点T坐标代入得：，即，①设，则．令g'（x）=0，则x=1或x=2．…（8分）x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增所以g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值，所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．因为，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（12分）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．。

2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)含详解

2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每小题4分）1．（4分）函数y=2x﹣1的反函数为．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为（答案用数值表示）．7．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．8．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有种不同的取法．9．（4分）极坐标系中，极点到直线ρsin（θ+θ0）=a（其中θ0、a为常数）的距离是．10．（4分）已知函数f（x）=，则方程f（x）•cosx+=0的解是．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，…，则x1+x2+x3+x4+x5=．13．（4分）从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．若D为B1C1的中点，求直线AD与平面A1BC1所成的角．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，3）时，求证函数f（x）存在反函数．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=log2x；②y=sin x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：对任意的正奇数b，函数f（x）=2x+b不是等比源函数；（3）证明：任意的d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每小题4分）1．（4分）函数y=2x﹣1的反函数为y=log2（x+1）（x＞﹣1）．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将y=2x﹣1作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即得反函数的值域，问题得解．【解答】解：由y=2x﹣1得x=log2（y+1）且y＞﹣1即：y=1+log2（x+1），x＞﹣1所以函数y=2x﹣1的反函数是y=log2（x+1）（x＞﹣1）故答案为：y=log2（x+1）（x＞﹣1）【点评】本题属于基础性题，思路清晰、难度小，但解题中要特别注意指数式与对数式的互化，这是一个易错点，另外原函数的值域的确定也是一个难点．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=a+i，∴===．又满足||=，∴=，化为a2=1，又a＞0．∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=1．【考点】4H：对数的运算性质；6F：极限及其运算．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由对数函数的性质求出a=，再由等比数列前n项和公式求出a+a2+…+a n=1﹣（）n，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），∴=1，解得a=，∴a+a2+…+a n===1﹣（）n，∴（a+a2+…+a n）==1．故答案为：1．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和等比数列的知识点的合理运用．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=﹣12+22﹣32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：10【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【考点】J1：圆的标准方程；J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题．【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为256（答案用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得最大，可得n的值，再根据各项的二项式系数之和为2n，计算求得结果．【解答】解：由题意可得最大，故有n=8，则各项的二项式系数之和为28=256，故答案为：256．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．8．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有195种不同的取法．【考点】D3：计数原理的应用．【专题】12：应用题；5O：排列组合．【分析】从10个球中取出4个使总分不低于5分的取法有4红或3红1白或2红2白或1红3白，用组合数写出四种不同情况的表示式，计算出最后结果．【解答】解：∵取出4个球总分不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白．∴有C44+C43C61+C42C62+C41C63=195种．故答案为：195．【点评】本题考查分类加法原理，解题的关键是对于分类要做到不重不漏，准确的表示出结果．9．（4分）极坐标系中，极点到直线ρsin（θ+θ0）=a（其中θ0、a为常数）的距离是|a|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】先将原极坐标方程ρsin（θ+θ0）=a化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程点到直线的距离进行求解即可．【解答】解：将原极坐标方程ρsin（θ+θ0）=a化为：直角坐标方程为：ycosθ0+xsinθ0=a，原点到该直线的距离是：d==|a|．故答案为：|a|．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．10．（4分）已知函数f（x）=，则方程f（x）•cosx+=0的解是x=+，k∈z．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】先求得函数f（x）=sinx﹣cosx，则方程f（x）•cosx+=0，即sin（2x ﹣）=0，可得2x﹣=kπ，k∈z，由此解得x的值．【解答】解：∵函数f（x）==sinx﹣cosx，则方程f（x）•cosx+=0，即（sinx﹣cosx）cosx=﹣，即﹣cos2x=0，即sin（2x﹣）=0，∴2x﹣=kπ，k∈z，解得x=+，k∈z，故答案为：x=+，k∈z．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，解三角方程，属于中档题．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】K7：抛物线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点即双曲线的右焦点的坐标，进而求得a和b的关系式，把点（，3），代入双曲线方程求得a和b的值，最后求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：依题意可知，解得：a=3，b=4∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线的共同特征，考查了学生对双曲线基础知识的整体把握和灵活运用．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，…，则x1+x2+x3+x4+x5=50．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由F（x）=f（x）﹣1=0得f（x）=1，分别作出函数y=f（x）和y=1的图象，利用数形结合得到函数的对称轴即可得到结论．【解答】解：由F（x）=f（x）﹣1=0得f（x）=1，分别作出函数y=f（x）和y=1的图象如图：则在[1，27]内两个函数有5个零点，且x1=2，x2与x3关于x=6对称，x4与x5关于x=18对称…，则，，即x2+x3=12，x4+x5=36，则x1+x2+x3+x4+x5=2+12+36=50，故答案为：50【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性，利用数形结合得到函数的对称性是解决本题的关键．难度较大．13．（4分）从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=（n+1）（3n+2）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】由已知条件推导出：Eξ=[1×2+1×3+1×4+…+（n﹣1）n]，由此能求出结果．【解答】解：∵这两数的组合有种把所有可能的乘积都加起来，即1×2+1×3+1×4+…+（n﹣1）n，∴Eξ=[1×2+1×3+1×4+…+（n﹣1）n]=[（1+2+3+…+n）2﹣（12+22+32+…+n2）]={[]2﹣}=．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列知识的合理运用．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．【考点】12：元素与集合关系的判断；8B：数列的应用；F4：进行简单的合情推理．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣1﹣…﹣a2﹣a1，由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为【点评】本题考查了等差数列的求和公式，归纳推理，元素与集合关系，考查了探究意识与创新解答问题的能力，本题难度较高，不易入手，惟有耐心细致的列举几个特殊例子才能发现解答本题的规律，此类探究型题可以培养出创新思维的能力二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C，选项B，当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1，选项C，由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，选项D，可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论．【解答】解：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D ∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有=0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有=0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有=0；选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即≠0．故选：D．【点评】本题考查空间向量的数量积，转化为直线与直线的垂直是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的概念，通过特例法对A，B，C，D四个选项逐一判断排除即可．【解答】解：A中，=4n，n∈N*，∴a n=±2n，例如2，22，﹣23，﹣24，25，26，﹣27，﹣28，…不是等比数列，故A错误；B中，若a n=0，满足a n•a n+2=，n∈N*，但{a n}不是等比数列，故B错误；同理也排除D；对于C，∵a m•a n=2m+n，m，n∈N*，∴==2，即=2，∴{a n}为等比数列，故C正确．故选：C．【点评】本题考查等比数列的概念与性质，考查举例排除法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，分别判断是否满足基本不等式成立的条件，然后做出判断即可．【解答】解：A.，当且仅当，即1+sin⁡2x=2，sin⁡2x=1取等号，所以A错误．B．当a＜0时，，当且仅当﹣a=，即a=﹣2时取等号，所以B错误．C．当0＜a＜1，0＜b＜1时，lga＜0．lgb＜0，所以C错误．D．若a＜0，b＜0，则，所以，当且仅当a=b时取等号，所以D正确．故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，主要基本不等式成立的前提：一正二定三相等，缺一不可．18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q，利用充要条件的定义判断出p是q 的充要条件．【解答】解：q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα即α﹣β＞sin（β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β故选：A．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．若D为B1C1的中点，求直线AD与平面A1BC1所成的角．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】法一：以A1为原点，A1B1所在直线为x轴，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建系，利用向量法能求出AD与平面A1BC1所成的角．法二：由已知条件推导出AB1⊥平面A1BC1，设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．连接AC1，由已知条件推导出∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角，由此能求出AD与平面A1BC1所成的角．【解答】（理）解法一：如图1以A1为原点，A1B1所在直线为x轴，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建系，则A（0，0，1），D（），则=（），（2分）设平面A1BC1的一个法向量=（x，y，z），∵=（0，1，0），=（1，0，1），∴，取x=1，得=（1，0，﹣1），（6分）设AD与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．（10分）∴AD与平面A1BC1所成的角为．（12分）解法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1．由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥A1C1．又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1．从而得AB1⊥平面A1BC1，（4分）设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．知AB1⊥平面A1BC1，∴OG是AD在平面A1BC1上的射影，于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．（6分）在直角△AOG中，AG=，AD=，AB1=AB，AO=AB，∴sin∠AGO==．（10分）故∠AGO=，即AD与平面A1BC1所成的角为．（12分）【点评】本题考查直线与平面所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，3）时，求证函数f（x）存在反函数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；4R：反函数；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可，（2）经讨论去绝对值写成分段函数，也就是化简解析式，然后分别利用导数和基本初等函数判断在不同区间上的单调性，进而判定函数在[1，6]的单调性，也就是x→y一一对应，则对于任意y，都有唯一确定的x与之对应，必存在反函数．【解答】解：（1）判断：若a=1，函数f（x）=|x﹣1|﹣+1=x﹣，在[1，6]上是增函数．（2分）证明：在区间[1，6]上任取x1，x2，设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）（x2﹣）=（x1﹣x2）﹣（﹣）=＜0则f（x1）＜f（x2），即f（x）在[1，6]上是增函数．（6分）（2）因为1＜a＜3，所以f（x）=（8分）当1＜a＜3时，若1≤x≤a，f（x）=2a﹣（x+），f′（x）=﹣1，∵1＜a＜3，1≤x≤a，∴1≤x＜9，∴f′（x）=﹣1＞0，∴f（x）在[1，a]上是增函数，（9分）又∵f（x）在[a，6]上也是增函数，∴y=f（x）在[1，6]上是增函数．（11分）所以任意一个x∈[1，6]，均能找到唯一的y和它对应，（12分）所以y=f（x），x∈[1，6]时，函数f（x）存在反函数（14分）【点评】本题第一问要注意定义法的步骤：取值、做差、变形、判号、下结论．第二问最重要的是体会反函数存在的条件即函数在区间上单调，也就是一一对应，才能保证在求反函数时满足函数成立的条件，也就是对于定义域内任意一自变量，都有唯一确定的函数值与之对应．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】作出示意图，连接AC，在△ABC中，由余弦定理求出AC，在△ACD中，由余弦定理求出AD，从而可求∠CAD，即可得出结论．【解答】解：示意图，如图所示，（4分）连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+（180°﹣110°）=120°，又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°由余弦定理可得AC==3（7分）在△ACD中，∠ACD=360°﹣140°﹣（70°+30°）=120°，CD=3+9．由余弦定理得AD==（km）．（10分）由正弦定理得sin∠CAD==（12分）∴∠CAD=45°，于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°，（13分）∴从A到D的方位角是125°，距离为km．（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2，可得轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程；（2）①当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，即可求△AF1F2的面积的最大值；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称即可．【解答】解：（1）因为4＞2，所以轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程为；（2）①由题意，|F1F2|=2，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，∴△AF1F2的面积的最大值为•2•1=；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，下面证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．假设存在这样的两个不同的点S（x3，y3），T（x4，y4），设ST的中点为H（m，n），则k OH•k ST=﹣，k OM k AC=﹣，∴k OH=k OM=﹣，∴直线m过原点，斜率为﹣≠﹣∴假设不成立，∴AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=log2x；②y=sin x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：对任意的正奇数b，函数f（x）=2x+b不是等比源函数；（3）证明：任意的d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列的性质和等比源函数的概念能推导出①②都是等比源函数．（2）利用反证法能证明任意的正奇数b，函数f（x）=2x+b不是等比源函数．（3）任意的d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列，由此推导出任意的d，b∈N*，数列{g（n）}中总存在三项g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]成等比数列．由此能够证明任意的d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．【解答】（1）解：①∵log22，log24，log216成等比数列，∴y=log2x是等比源函数．②∵sin，sin（3•），sin（5•）成等比数列，∴y=sin x是等比源函数．（4分）（2）证明：假设存在正整数m，n，k，且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，（2n+b）2=（2m+b）（2k+b），整理得22n+2b•2n=2m+k+b（2m+2k），等式两边同除以2m，得22n﹣m+2b•2n﹣m=2k+b•2k﹣m+b．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2b•2n﹣m=2k+b•2k﹣m+b不可能成立，∴假设不成立，说明对任意的正奇数b，函数f（x）=2x+b不是等比源函数．（10分）（3）∵任意的d，b∈N*，都有g（n+1）﹣g（n）=d，∴任意的d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．由g2（m）=g（1）•g（k），（其中1＜m＜k），得[g（1）+（m﹣1）d]2=g（1）[g（1）+（k﹣1）d]，整理得（m﹣1）[2g（1）+（m﹣1）d]=g（1）（k﹣1），令m=g（1）+1，则g（1）[2g（1）+g（1）d]=g（1）（k﹣1），∴k=2g（1）+g（1）d+1，∴任意的d，b∈N*，数列{g（n）}中总存在三项g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]成等比数列．∴任意的d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．（18分）【点评】本题考查等比源函数的判断与证明，解题时要熟练掌握等比数列的基本性质的灵活运用．。

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第六部分 解析几何一、 直线1. 【2014年崇明区二模文理第1题】经过点(1,0)A 且法向量为(2,1)n =-的直线l 的方程是 . 【答案：220x y --= 】2. 【2014年普陀区二模文第3题】直线01:1=+x l 与03:2=+y x l 的夹角的大小为 . 【答案：6π】3. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文理第2题】直线10x +=的倾斜角的大小是____． 【答案： 56π 】4. 【2014年浦东新区二模文理第4题】已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =. 【答案：13】5. 【2014年黄浦区二模文第11题】11．已知直线05301221=+-=-+y x l y x l ：，：，则直线21l l 与的夹角的大小是 ．(结果用反三角函数值表示)【答案： arccos (arctan 7)10或 】6. 【2014年黄浦区二模文理第17题】17．已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案：B 】7. 【2014年闵行区二模文理第17题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x -= （C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+= 【答案：C 】 二、 曲线的方程、圆的方程、直线与圆8. 【2014年四区二模理6文7】在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .【答案：30x y +-=】9. 【2014年奉贤区二模文理第5题】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案：22(2)(1)1x y -+-=】10. 【2014年虹口区二模文理第15题】已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ） .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件【答案：A 】11. 【2014年崇明二模理14】已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ． 【答案：12- 】 三、 圆锥曲线方程及性质12. 【2014年浦东新区二模文理第2题】双曲线221916x y -=的渐近线方程为 . 【答案：43y x =± 】13. 【2014年崇明二模文理3】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ． 【答案：(,2)-∞-】14. 【2014年普陀区二模文第16题】已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案：B 】15. 【2014年普陀区二模理第16题】已知曲线1C :122=+y m x （1>m ）和2C :122=-y nx （0>n ）有相同的焦点，分别为1F 、2F ,点M 是1C 和2C 的一个交点,则△21F MF 的形状是（ ）)(A 锐角三角形. )(B 直角三角形. )(C 钝角三角形. )(D 随m 、n 的值的变化而变化.【答案：B 】16. 【2014年虹口区二模文第10题理7题】抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 . 【答案：3π】17. 【2014年嘉定、长宁区二模文第10题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）． 【答案：66.5】18. 【2014年奉贤区二模文理第11题】已知抛物线220y x =焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________. 【答案：43y x =± 】19. 【2014年嘉定、长宁区二模文第17题】已知双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ），方向向量为)1,1(=d的直线与C 交于两点A 、B ，若线段AB 的中点为)1,4(，则双曲线C 的渐近线方程是………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ． 02=±y x 【答案：B 】20. 【2014年嘉定、长宁区二模理第17题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C的渐近线方程是………………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【答案：B 】21. 【2014年四区二模文11】在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24yx =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .【答案：2213y x -=】22. 【2014年浦东新区二模文理第13题】抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为 .】23. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第18题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③ 【答案：Ｃ】 四、 极坐标与参数方程（理）24. 【2014年闵行区二模理第6题】在极坐标系中，21(02)ρθθπ=+≤<与=2πθ的交点的极坐标为 ． 【答案：(1,)2ππ+ 】25. 【2014年普陀区二模理第5题】若0>a ，在极坐标系中，直线2)3cos(=+⋅πθρ与曲线a =ρ相切，则实数=a .【答案：2 】26. 【2014年闸北区二模理科第4题】在极坐标系中，曲线1C :θρcos =与2C :a ρ=(0)a >只有一个交点，则=a ．【答案：1】27. 【2014年普陀区二模理第7题】若P 为曲线⎩⎨⎧==ααtan sec y x （α为参数）上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 . 【答案：4122=-y x 】28. 【2014年嘉定、长宁区二模理第9题】已知点),4(m P 在曲线C ：⎩⎨⎧==ty t x 4,42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为_______________． 【答案：5 】29. 【2014年四区二模理9】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案：⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数） 】30. 【2014年奉贤区二模理第9题】极坐标系中，极点到直线()a =+0sin θθρ（其中0θ、a 为常数）的距离是________.【答案： a 】31. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第11题】在极坐标系中，定点A (2,),2π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，则点A 和点B 间的最短距离为____________．32. 【2014年虹口区二模理第11题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．1】33. 【2014年黄浦区二模理第12题】12．直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量是 ．(答案不唯一) 【答案：111(2,1)(0,R)t t t ?刮】34. 【2014年浦东新区二模理第10题】 在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =___. 【答案： 3 】35. 【2014年崇明二模理11】在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．】 五、 线性规划（文）36. 【2014年闸北区二模文科第4题】设变量x y ，满足0,0,220,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩………则y x z 23-=的最大值为______. 【答案：3】37. 【2014年闵行区二模文第6题】若点(,)x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内(包括边界), 则4x y -的最小值为 ． 【答案：-5】38. 【2014年普陀区二模文第9题】若实数x 、y 满足条件：2303300x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则y x +的最大值为 . 【答案：715】39. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第10题】已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是__________．【答案：20】40. 【2014年黄浦区二模文第12题】12．已知实数y x 、满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥-.053,04,03y x y x y x 则目标函数1--=y x z 的最大值是 ． 【答案：32-】41. 【2014年浦东新区二模文第15】设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ A ）42. 【2014年奉贤区二模文第9题】设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+,4,42,2y y x y x 则2x y -的最大值等于________. 【答案：2】43. 【2014年四区二模文9】满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______. 【答案：37】44. 【2014年崇明二模文13】.设P 为不等式组013x y x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪+⎩≥0≥≥≤表示的区域内的任意一点，(1,1)m = ，(2,1)n = ，若O 为坐标原点，OP m n λμ=+，则2λμ+的最大值等于 . 【答案：5】45. 【2014年嘉定、长宁区二模文第13题】若平面区域⎩⎨⎧+≤+≤+)1(2,2||||x k y y x 是一个三角形，则k 的取值范围是_______________． 【答案：⎥⎦⎤ ⎝⎛--∞32,0)2,( 】 六、 圆锥曲线综合大题46. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第23题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案：解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=， 由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a ,则椭圆方程为14822=+y x . ----------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(21)4280,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得：,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=221122121212(,)(,)()(1)(1)x m y x m y x x m x x m k x x -⋅-=-+++--=22221212(1)()()k x x m k x x k m +-++++=22222222284(1)()2121k k k m k k m k k -+-+++++=()22254821m k m k ++-++，----------------（10分） 当5416m +=，即114m =时，MA MB ⋅= 167-为定值，所以，存在点11(,0)4M使得MA MB ⋅为定值（14分）．】47. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第二十一题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，若点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，求证MA MB ⋅ 为定值.【答案：解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=， 由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a , 则椭圆方程为14822=+y x . --------------------------------------------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(21)4280,k x k x k +-+-= ----------------------------------------------------------------（8分）设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得：,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x xMA MB ∴⋅= 11221111(,)(,)44x y x y -⋅-212121211121()(1)(1)416x x x x k x x =-+++--=16121))(411()1(2212212++++-+k x x k x x k=16121124)411(1282)1(2222222++++-+-+k k k k k k k =,167161211281622-=++--k k所以MA MB ⋅ 为定值167-. ------------------------------------------（14分】48. 【2014年嘉定、长宁区二模文第21题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为4，且椭圆Γ过点)2,2(A ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P 、Q 为椭圆Γ上关于y 轴对称的两个不同的动点，求⋅的取值范围．【答案：（1）解法一：由已知得2=c ， …………………………………………（1分）因为椭圆Γ过点)2,2(A ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,4,1242222b a b a ………………………………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,822b a ………………………………………………………………………（4分）所以，椭圆Γ的方程为14822=+y x ． ……………………………………………（6分） 解法二：由已知得2=c ，所以椭圆Γ的两个焦点是)0,2(1-F ，)0,2(2F ，……（1分）所以24223||||221=+=+=AF AF a ，故22=a ， ……………………（4分） 所以4222=-=c a b ． ……………………………………………………（5分）所以，椭圆Γ的方程为14822=+y x ． ………………………………………………（6分） （2）设),(y x P ，则),(y x Q -（0≠x ），)2,2(--=y x AP ，)2,2(---=y x AQ ， ………………………………（1分） 由14822=+y x ，得2228y x -=，所以2223)2(4222--=-+-=⋅y y y x 383232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y ， ………………………………………………………………（5分） 由题意，22<<-y ，所以241038323382+<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-y ． ……………（7分） 所以，AQ AP ⋅的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-2410,38． ………………………………（8分）】49. 【2014年嘉定、长宁区二模理第21题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案：（1）由已知得22=c ，因为椭圆Γ过点)1,3(，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,8,1192222b a ba ………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,1222b a …………………………………（5分）所以，椭圆Γ的方程为141222=+y x ． …………………………………（6分） （2）设直线l 的方程为m x y +=， …………………………………（1分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① …………………………………（2分）因为直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，所以△0)123(163622>--=m m ，所以162<m ． ……………………………………………………………（3分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，所以2321mx x -=+， 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， …………（4分） 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以AB PE ⊥，向量是直线l 的一个法向量， 所以PE ∥向量)1,1(-，即⎪⎭⎫⎝⎛-+-24,343m m ∥向量)1,1(-，所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ．又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分） 所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分）】50. 【2014年四区二模文21】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.【答案：（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)F A a =-- ，2(1,0)FA a =- . 由121FA FA ⋅=- ，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，22221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++.直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.】51. 【2014年四区二模理21】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =-- ，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=- ，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ===2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4. 】52. 【2014年崇明二模文理23】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>> 经过点3(1,)2M，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点. (1)求椭圆1C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)过点0(4,0)P且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点.【答案：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ； （2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠ ，代入22143x y +=，得： 2222(34)88120k x k x k +-+-=2222(8)4(34)(812)0k k k ∆=--+-> 恒成立.设1122(,),Q(,),P x y x y 线段PQ 的中点为33(,)R x y ，则2123332243,(1)23434x x k kx y k x k k+===-=-++ ， 由QP NP PQ NQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ NQ NP PQ NR ⋅+=⋅=，所以直线NR 为直线PQ 的垂直平分线，直线NR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， 令0y = 得：N 点的横坐标22213344k n k k==++， 因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4n ∈. 所以线段OF 上存在点(,0)N n 使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅ ，其中1(0,)4n ∈.（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k -+==++ ，则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .】53. 【2014年奉贤区二模文第22题】如图，已知平面内一动点A 到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F的长为 （1）求动点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方， 线段AC 的垂直平分线为m . ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由. 【（1）因为4>1F 、2F 为焦点的椭圆， 3分 （2）以线段21F F 的中点为坐标原点，以21F F 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得轨迹Γ的方程为22+14x y = 7分 max 23θπ=12F AF S ∆最大值为23tan tan 22πθ==②结论：当12AC F F ⊥时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分 证法1：假设存在这样的两个不同的点3344(,)(,),S x y T x y 和43433434,.(,),,,22ST H H H H y y ST m k k x x x x y y ST H x y x y -⊥∴==-++== 设的中点为则设线段AC 的中点为00(,)M x y 直线001:(x x )m y y k-=-- 由于H 在m 上，故001y (x ).H H y x k-=-- ① 又S T 、在椭圆上，所以有222234341 1.44x x y y +=+=与2两式相减，得34343434(x x )(x x )(y y )(y )04y +-++-=将该式写为3443344310422x x y y y y x x +-+⋅+⋅=-， 并将直线ST 的斜率k 和线段ST 的中点，表示代入该表达式中， 得10.4H H x ky += ② 14分①、②得004433H x ky x =+，由（1）00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入得04433H x x k ⎛=== ⎝⎭=01444H H x y k y k k +==-=-= 即ST 的中点为点M ，而这是不可能的.此时不存在满足题设条件的点S 和T . 16分 证法2：假设存在这样的两个不同的点3344(,)(,),S x y T x y 和(,)H H ST H x y 设的中点为，41,41-=⋅-=⋅AC OM ST OH k k k k 14分则14OH OM k k k ==-，故直线m 经过原点。

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