04函数概念及其表示学案

函数概念及其表示

1．函数的基本概念

(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．

一个方法：求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：

①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .

基础自测

1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为_________ 2．(2011·江西)若f (x )＝

)

12(log 12

1 x ，则f (x )的定义域为_______

3．下列各对函数中，表示同一函数的是_______

（1）．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x （2）．f (x )＝lg x ＋1

x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)

（3）．f (u )＝

1＋u

1－u

，g (v )＝ 1＋v

1－v

（4）．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为_______ （1）．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 （2）．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 （3）．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 （4）．y ＝⎣⎡⎦

⎤x ＋510 5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．

考向一 求函数的定义域

【例1】►求下列函数的定义域： （1）f (x )＝

)

1(log 122---x x 的定义域是________

（2）f (x )＝

4

3)1ln(2

+--+x x x 的定义域是___________

（3）若函数y ＝lg(ax 2＋x ＋1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为 ． 若函数的值域为R ，实数a 的取值范围是________

（4）若函数ax x f -=16)(在[]2,1-上是减函数，则a 的取值范围是__________. 求函数定义域的主要依据是

(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.一定不能忽视函数的定义域。 【训练1】

（1）已知f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－x －1

2的定义域；

（2）已知)1(log )(ax x f a -=在[]2,1-上是增函数，则a 的取值范围是________.

（3）已知)32(log )(22--=ax x x f a 在)2,(--∞上是增函数，则a 的取值范围是_____

（4）函数⎩

⎨⎧∈-∈=M x x P

x x x f ,,)(其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定

f (P )={y |y =f (x ),x ∈P }，f (M )={y |y =f (x ),x ∈M }.给出下列四个判断：

①若P ∩M =，则f (P )∩f (M )=； ②若P ∩M ≠，则f (P )∩f (M ) ≠； ③若P ∪M =R ，则f (P )∪f (M )=R ； ④若P ∪M ≠

R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中正确判断有___个

考向二 求函数的解析式 【例2】►：

（1）已知f ⎝⎛⎭⎫

2x ＋1＝lg x ，求f (x )；

（2）定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． （4）已知函数)()2(x f x f -=+，当∈x )2,0[时x f =2)(，求当∈x )4,2[以及

当∈x )0,2[-时)(x f 的解析式。

（5）设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x < 0时,f (x )=x + e x (e 为自然对数的底数),

则()ln6f 的值为____.