清华大学数学系概率论2013试题
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2013 (A)
2013 : 5 , 6 23 : 7:00-9:00 :
I
1. (1)
{ξn , ξ }n≥1 , {ηn , η }n≥1 ξn −→ ξ =⇒ ξn −→ ξ
w P P w
(Ω, F , P)
.
(2) ξn −→ ξ =⇒ ξn −→ ξ (3)
P
{ξn }n≥1
{ηn }n≥1 ξn ηn −→ 0.
w
limm→∞ supn≥1 P{|ξn | ≥ m} = 0
ηn −→ 0, 2.(1) {ξn }n≥1 (2) ∑∞
{ξn }n≥1 ∑n 1 k=1 D(ξk ) −→ 0. n2 {ξn }n≥1 E{ξn } = 0,
∑∞
n=1
D(ξn ) < ∞,
n=1 ξn (w )
3.
(ξ, η ) [0, ξ ]
,ξ η
p1 (x) = λ2 xe−λx , x ≥ 0,
η
1
4.
ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 )T ∼ N(a, B), (1)η = (ξ1 + 2ξ3 , 2ξ1 + ξ2 )T
1 2 0 a = (1, 1, 1)T , B = 2 5 0. 0 0 6 ;(2)E{2ξ1 + ξ2 |ξ1 + 2ξ3 }.
ξn ∼ Exp(1),
η= 7. 8. ξ
η
E{|ξ + η |} ≥ E{|η |}.
{ξn }n≥1 a = E{ξ1 } < ∞.
{ηn }
wenku.baidu.com
9. Y 1}).
{Ak }k≥1 F−
(Ω, F , P) ,η = ∑∞
n=1
∑∞
n=1
A n = Ω.
E{Y |An }IAn (w), G = σ ({An , n ≥
5.
{ξn }n≥1 ∑n 1 √ k=1 ξk n
(Ω, F , P) n≥1 E{ξn } = 0,D(ξn ) = 1, ξn
6.(1)
V1 ∼ χ2 (n) V1 + V2
V1 V1 +V2
, V2 ∼ χ2 (m)
(2)
{ξn }n≥1
ξ1 +···+ξm (n ξ1 +···+ξn
. > m) E{ξ } = 0. (Ω, F , P) ηn = ξn I[0,n] (ξn ),
(1)η (2)
G− A∈G ∫
; ∫ η (w)P(dw) =
A A
Y (w)P(dw).
2
3
2013 : 5 , 6 23 : 7:00-9:00 :
I
1. (1)
{ξn , ξ }n≥1 , {ηn , η }n≥1 ξn −→ ξ =⇒ ξn −→ ξ
w P P w
(Ω, F , P)
.
(2) ξn −→ ξ =⇒ ξn −→ ξ (3)
P
{ξn }n≥1
{ηn }n≥1 ξn ηn −→ 0.
w
limm→∞ supn≥1 P{|ξn | ≥ m} = 0
ηn −→ 0, 2.(1) {ξn }n≥1 (2) ∑∞
{ξn }n≥1 ∑n 1 k=1 D(ξk ) −→ 0. n2 {ξn }n≥1 E{ξn } = 0,
∑∞
n=1
D(ξn ) < ∞,
n=1 ξn (w )
3.
(ξ, η ) [0, ξ ]
,ξ η
p1 (x) = λ2 xe−λx , x ≥ 0,
η
1
4.
ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 )T ∼ N(a, B), (1)η = (ξ1 + 2ξ3 , 2ξ1 + ξ2 )T
1 2 0 a = (1, 1, 1)T , B = 2 5 0. 0 0 6 ;(2)E{2ξ1 + ξ2 |ξ1 + 2ξ3 }.
ξn ∼ Exp(1),
η= 7. 8. ξ
η
E{|ξ + η |} ≥ E{|η |}.
{ξn }n≥1 a = E{ξ1 } < ∞.
{ηn }
wenku.baidu.com
9. Y 1}).
{Ak }k≥1 F−
(Ω, F , P) ,η = ∑∞
n=1
∑∞
n=1
A n = Ω.
E{Y |An }IAn (w), G = σ ({An , n ≥
5.
{ξn }n≥1 ∑n 1 √ k=1 ξk n
(Ω, F , P) n≥1 E{ξn } = 0,D(ξn ) = 1, ξn
6.(1)
V1 ∼ χ2 (n) V1 + V2
V1 V1 +V2
, V2 ∼ χ2 (m)
(2)
{ξn }n≥1
ξ1 +···+ξm (n ξ1 +···+ξn
. > m) E{ξ } = 0. (Ω, F , P) ηn = ξn I[0,n] (ξn ),
(1)η (2)
G− A∈G ∫
; ∫ η (w)P(dw) =
A A
Y (w)P(dw).
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